DEBER MTODOS NUMRICOS 5.1 sese el mtodo de Newton-Raphson para determinar la raz mayor de:

Emplese un valor inicial de . Realcese los clculos hasta que sea menor del . Tambin verifquese los errores en la respuesta final.Sea la funcin tenemos que:

En la grfica podemos ver que la funcin corta en dos partes al eje x por lo que tendramos dos races, pero el problema solo nos pide la raz mayor.La frmula que vamos a utilizar para calcular el valor de las aproximaciones ser: Siendo la funcin la primera derivada de la funcin inicial

Solucin: El valor de la raz mayor es ya que el error porcentual es inferior al error pedido al principio.Sea

5.2 Determnese las races reales de:

a) Grficamenteb) Usando el mtodo de Newton-Raphson hasta que .

Sea la funcin tenemos que:

En la grfica podemos observar que tenemos que la funcin corta al eje x en tres ocasiones por lo que vamos a tener 3 valores de races.La primera derivada de la funcin es Xi = 0.5

Xi = 2

Xi = 3

Los valores de Xi se han tomado segn se acercan a la raz.Soluciones:Raz 1: y Raz 2: y Raz 3: y

5.3 Emplese el mtodo de Newton-Raphson para determinar las races reales de: Usando el valor inicial de a) ; b) y c) . Prubense y sense los mtodos grficos para explicar cualquier peculiaridad en los resultados.

Como nos muestra la figura la grfica corta al eje x en 5 puntos, resultndonos 5 races, pero solo vamos a calcular el valor de las pedidas por el ejercicio.La primera derivada de la funcin es

Xi = 3.5

Xi = 4

Xi = 4.5

Soluciones:Raz 1: y Raz 2: y Raz 3: y Los valores de las races se asemejan a los valores del grafico de la funcin.5.4 Determnese la raz real menor de:

a) Grficamenteb) Usando el mtodo de la secante, hasta un valor de , correspondiente a tres cifras significativas.

La grfica nos muestra 3 races pero el ejercicio nos pide calcular la menor de ellas por lo que nuestro intervalo a trabajar ser entre [0.9; 1.1].La primera derivada de la funcin es:

Solucin:La menor de las races toma un valor de con un valor de

5.5) Localcese la raz positiva de:

Donde x est dada en radianes. sese un mtodo grafico y despus calclese tres interacciones con el mtodo de Newton-Raphson con un valor inicial de para calcular la raz. Reptanse los clculos pero con un valor inicial de .sese el mtodo grafico para explicar los resultados.

La grafica nos muestra dos races una positiva y otra negativa pero el ejercicio nos pide calcular solo el valor de la positiva.La primera derivada derivada de la funcin es:

Xi = 2

Xi = 1

Solucin: Podemos concluir que en ambas tablas pese a haber hecho con dos valores distintos de Xi el resultado es el mismo coincidiendo con el de la grfica.5.6) Encuntrese la raz positiva de

Usando el mtodo de la secante. Emplease los valores inciales de y y calclese cuatro interacciones.Calclese e interprtense los resultados.

En la grfica podemos observar que tenemos dos valores de races pero solo vamos a calcular la positiva con el mtodo de la secante.Aplicamos la frmula de: Como dice el ejercicio utilizamos como valores de y , y calculamos el error absoluto

Solucin: El valor de la raz es de con un error absoluto de 0.00010415.5.7 Realcense los mismos clculos del problema 5.6 pero usando el mtodo de Newton-Raphson con un valor inicial de

Solucin: Como en el mtodo anterior, el valor de la raz es el mismo y el error absoluto es un 0.015 mayor al mtodo anterior.Este mtodo realiza menor nmero de iteraciones.

5.8) Encuntrense la raz cuadrada positiva de 10 usando tres iteraciones con:a) El mtodo de Newton-Raphson, con un valor inicial de b) El mtodo de la secante, con valores de y .

5.9) Determnese la raz real de:

Usando tres iteraciones y el mtodo de la secante con valores inciales de: y Calclese el error aproximado despus de la segunda y la tercera iteracin.

En la grfica podemos apreciar que tenemos dos races pero solo vamos a calcular el valor de la raz real en tres iteraciones, adems de calcular el error absoluto.Sean: y

Solucin: Al calcular el valor de la raz hemos obtenido un valor de Xi = 1.66 con un error absoluto de 0.04

5.10) Determinase la raz de:

Con el mtodo de la secante, con

Solucin: El valor de la raz es de Xi = 4.642

5.11) Determinase la raz real mayor de:

a) Grficamente

Como podemos observar grficamente tenemos el valor de tres races pero solo vamos a calcular la raz real mayor.

b) Usando el mtodo de la biseccin dos interacciones, y

c) Usando el mtodo de la regla falsa dos interacciones, y .6

d) Usando el mtodo de Newton-Raphson (dos interacciones, La primera derivada de la funcin es:

Xi = 3.6 y E% = 0

e) Usando el mtodo de la secante (dos interacciones, y

Solucin: Podemos comprobar que grficamente y utilizando el mtodo de Newton Raphson nos va el mismo valor de la raz Xi = 3 y el E% = 0.

5.12) sese el mtodo de Newton - Raphson para determinar todas las races de con

La primera derivada de la funcin es:

Soluciones: Raz 1= 2 f(2) = 3,5352E-06 Raz 2= -7 f(-7)=-1,9278E-05

5.13) Determnese la raz real ms pequea de:

a) Grficamente

b) Usando el mtodo de biseccin (dos iteraciones, y )

c) Usando el mtodo de la regla falsa (dos iteraciones, y )

d) Usando el mtodo de Newton Raphson (dos iteraciones, )

e) Usando el mtodo de la secante (dos iteraciones , y )

5.14) Determnese la raz positiva real ms pequea de:

a) Grficamente

b) Usando el mtodo disponible ms eficiente. Emplense los valores iniciales de y y realcense los clculos hasta que El valor de la raz menor es 1,11928979.5.15) Determnense las races de

a) Grficamente

b) Usando el mtodo disponible ms eficiente con

Soluciones:Raz 1 = -1,6Raz 2 = 2,403199935.16) Reptase el problema 5.12 pero usando el mtodo de Newton Raphson modificado.

Primera derivada Segunda derivada

Soluciones:Raz 1 = 1,56 Raz 2 = -7,345.17) Reptase el problema 5.12 pero usando el mtodo de la secante.

Soluciones:Raz 1 = 1,56 Raz 2 = -7,34

5.18) Desarrllese un programa para el mtodo de Newton-Raphson basado en la figura 5.4 y en la seccin 5.2.3. Prubese el programa duplicando los clculos del ejemplo 5.3Cdigo de Programacin, Lenguaje JAVA, programa NetBeans 8.0.1/* * To change this template, choose Tools | Templates * and open the template in the editor. */package javaapplication3;import java.util.Scanner;/** * * @author Fabrizzio */public class JavaApplication3 { /**pu * f(x)=-23,33 + 79,35x - 88,09x^2 + 41,6x^3 - 8,68x^4 + 0,658x^5 * f'(x)= 79,35-176,18x+124,8x^2-34,72x^3+3,29x^4 */ public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); double temp,temp1,temp2,y,n,y2,temp3,y3,temp4,anterior,y4; System.out.print("Introduce un nmero entero: "); n = sc.nextDouble(); anterior=n; y4=100; for(int i = 1;y4!=0; i++){ n=anterior; temp=((Math.pow((double)n,(double)5))*(0.658))+((Math.pow((double)n,(double)4))*(-8.68)); temp1=((Math.pow((double)n,(double)3))*(41.6))+((Math.pow((double)n,(double)2))*(-88.09)); temp2=((Math.pow((double)n,(double)4))*(3.29))+((Math.pow((double)n,(double)3))*(-34.72)); temp3=((Math.pow((double)n,(double)2))*(124.8))+((Math.pow((double)n,(double)1))*(-176.18)); y2=temp2+temp3+79.35; y=temp+temp1-23.33+(n*79.35); temp4=(y/y2); y3=n-temp4; if(i>1) y4=((Math.abs(anterior-y3))/n)*100; System.out.println("f("+n+")= "+y+"\n"); System.out.println("f'("+n+")= "+y2+"\n"); System.out.println(""+n+" + 1= "+y3+"\n\n"); System.out.println("E%= "+y4+"\n\n"); anterior=y3; } }}5.19) sese el programa desarrollado en el problema 5.18 y duplquense los clculos del ejemplo 5.5. Determnese la raz usando un valor inicial de Xi = 0.5. Realcense 5, 10, 15 o ms iteraciones hasta que el error relativo porcentual exacto sea menor del 0.1%. Grafquense los errores relativos porcentuales exacto y aproximado contra el numero de iteraciones sobre papel semilogaritmico. Interprtense los resultados.Cdigo de Programacin, Lenguaje JAVA, programa NetBeans 8.0.1* * To change this template, choose Tools | Templates * and open the template in the editor. */package javaapplication8;import java.util.Scanner;/** * * @author Fabrizzio */public class JavaApplication8 { /**f(x)= 0,5x-sen(x) * f'(x)= 0,5-cos(x) * @param args the command line arguments */ public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); double temp2,y,n,y2,temp3,y3,temp4,anterior,y4, temp5; System.out.print("Introduce un nmero entero: "); n = sc.nextDouble(); anterior=n; y4=100; for(int i = 1;y4!=0; i++){ n=anterior; temp2=Math.cos(n); temp3= Math.sin(n); temp5=(0.5*n); y2= 0.5-temp2; y=temp5-temp3; temp4=(y/y2); y3=n-temp4; if(i>1) y4=((Math.abs(anterior-y3))/n)*100; System.out.println("f("+n+")= "+y+"\n"); System.out.println("f'("+n+")= "+y2+"\n"); System.out.println(""+n+" + 1= "+y3+"\n\n"); System.out.println("E%= "+y4+"\n\n"); anterior=y3; } }

5.20) sese el programa desarrollado en el problema 5.18 para resolver los problemas 5.1 al 5.5.En todos los casos, realcense los clculos dentro de la tolerancia de Es = 0.001%.Cdigo de Programacin, Lenguaje JAVA, programa NetBeans 8.0.1package javaapplication1;import com.sun.org.apache.xpath.internal.operations.Mult;import java.util.ArrayList;import java.util.Scanner;/** * * @author Fabrizzio */public class JavaApplication1 { /**pu * f(x)= -0.875x^2+1.75x+2.625 * f'(x)= -1,75x+1,75 */ public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); double temp,temp2,y,n,y2,temp3,y3,temp4,anterior,y4; System.out.print("Introduce un nmero entero: "); n = sc.nextDouble(); anterior=n; y4=100; for(int i = 1;y4!=0; i++){ n=anterior; temp=(Math.pow((double)n,(double)2))*(-0.875); temp2=(1.75*n); temp3=(-1.75*n); y2=temp3+1.75; y=temp+temp2+2.625; temp4=(y/y2); y3=n-temp4; if(i>1) y4=((Math.abs(anterior-y3))/n)*100; System.out.println("f("+n+")= "+y+"\n"); System.out.println("f'("+n+")= "+y2+"\n"); System.out.println(""+n+" + 1= "+y3+"\n\n"); System.out.println("E%= "+y4+"\n\n"); anterior=y3; } }

RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS UTILIZANDO PROGRAMACINEjercicio 1%Newton-Raphson%Xi=3.5 y E%=0.01%clearclcsyms xcf= -(0.875*(x^2))+(1.75*x)+2.625;f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 3.1;tol=0.01error=100;n=1;disp(' n x E% ')disp(' 0 3.1 100')while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs((x1-xi)/x1)*100; xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end

Ejercicio 2% Newton-Raphson% xi=0clearclcsyms xcf= -2.1+(6.21*x)-(3.9*(x^2))+(0.667*(x^3));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 0.5;tol=0.01error=100;n=1;disp(' n xi error ')disp(' 0 0.5 100')while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs(((x1-xi)/x1)*100); xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end % xi=2syms xcf= -2.1+(6.21*x)-(3.9*(x^2))+(0.667*(x^3));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 2;tol=0.01;error=100;n=1;disp(' ');disp(' ');disp(' ');disp(' n xi error ')disp(' 0 2 100') while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs(((x1-xi)/x1)*100); xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end %xi=3syms xcf= -2.1+(6.21*x)-(3.9*(x^2))+(0.667*(x^3));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 3;tol=0.01;error=100;n=1;disp(' ');disp(' ');disp(' ');disp(' n xi error ')disp(' 0 3 100')while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs(((x1-xi)/x1)*100); xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end

Ejercicio 3% Newton-Raphson% xi=3.5clearclcsyms xcf= -23.33+(79.35*x)-(88.09*(x^2))+(41.6*(x^3))-(8.68*(x^4))+(0.658*(x^5));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 3.5;tol=0.0000001;error=100;n=1;disp(' n xi error ')disp(' 0 3.5 100')while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs(((x1-xi)/x1)*100); xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end % xi=4syms xcf= -23.33+(79.35*x)-(88.09*(x^2))+(41.6*(x^3))-(8.68*(x^4))+(0.658*(x^5));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 4;tol=0.0000001;error=100;n=1;disp(' ');disp(' ');disp(' ');disp(' n xi error ')disp(' 0 4 100')while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs(((x1-xi)/x1)*100); xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end

%xi=4.5syms xcf= -23.33+(79.35*x)-(88.09*(x^2))+(41.6*(x^3))-(8.68*(x^4))+(0.658*(x^5));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 4.5;tol=0.0000001;error=100;n=1;disp(' ');disp(' ');disp(' ');disp(' n xi error ')disp(' 0 4.5 100')while (error>=tol) x1 = xi - f(xi)/ df(xi); error=abs(((x1-xi)/x1)*100); xi=x1; fprintf('\t%i \t%3.5f \t%f\n',n , xi, error); n=n+1;end

Ejercicio 4%Secante% X1clearclcsyms xcf= 9.36-(21.963*x)+(16.2965*(x^2))-(3.70377*(x^3));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);x0=0.9;xi= 1.1;tol=0.001error=100;n=1;disp(' n xi-1 xi xi+1 error ')disp(' 0 0.9 1.1 ----- 100')while (error>=tol) x2 = xi - (xi-x0)*f(xi)/(f(xi)-f(x0)); error=abs(((x2-xi)/x2)*100); x0=xi; xi=x2; fprintf(' %i %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f\n',n , x0, xi, x2 ,error); n=n+1;end % X2syms xcf= 9.36-(21.963*x)+(16.2965*(x^2))-(3.70377*(x^3));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);x0=1.1;xi= 1.2;tol=0.001error=100;n=1;disp(' n xi-1 xi xi+1 error ')disp(' 0 0.9 1.1 ----- 100')while (error>=tol) x2 = xi - (xi-x0)*f(xi)/(f(xi)-f(x0)); error=abs(((x2-xi)/x2)*100); x0=xi; xi=x2; fprintf(' %i %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f\n',n , x0, xi, x2 ,error); n=n+1;end % X3syms xcf= 9.36-(21.963*x)+(16.2965*(x^2))-(3.70377*(x^3));f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);x0=2.1;xi= 2.3;tol=0.001error=100;n=1;disp(' n xi-1 xi xi+1 error ')disp(' 0 0.9 1.1 ----- 100')while (error>=tol) x2 = xi - (xi-x0)*f(xi)/(f(xi)-f(x0)); error=abs(((x2-xi)/x2)*100); x0=xi; xi=x2; fprintf(' %i %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f\n',n , x0, xi, x2 ,error); n=n+1;end

Ejercicio 5

%Newton-Raphson%xi=2clearclcsyms xcf= (0.5*x)-sin(x);f=inline(cf);der=diff(cf,x);df=inline(der);xi= 2;tol=0.01error=100;n=1;disp(' n xi error ')disp(' 0 2 100')while (n