TRABAJO DE ESTRUCTURAS II: METODO DE KANI, METODO DE TAKABEYA, LINEAS DE INFLUENCIA, ALGEBRA MATRICIAL, ANALISIS DE ARMADURAS Y ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS PLANOS CON EL USO DEL METODO DE LA RIGIDEZ

DIDIER YUSSETH SERRANO LOPEZ CODIGO: 07202023

PRESENTADO A: ING JAVIER RICARDO GOMEZ

BUCARAMANGA UNIVERSIDAD DE SANTANDER- UDES INGENIERIA CIVIL ABRIL 2011 METODO DE KANI

Todas las estructuras en general al estar sometidas a tensin sufren deformaciones como consecuencias de las cargas. Afortunadamente se

haban desarrollado unos mtodos manuales ms sencillos, aplicables a vigas continuas y prticos ortogonalesVENTAJAS: 1. Se trata de un mtodo de aproximaciones sucesivas y, en consecuencia, las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee, mientras las hiptesis fundamentales y los datos bsicos lo permitan. 2. La inclusin de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple. 3. La formulacin del procedimiento conduce a una eliminacin prcticamente automtica de los errores ocasionales. 4. Es muy fcil verificar en cualquier nudo la bondad de los resultados. 5. Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se pueden tener en cuenta con muy poco esfuerzo adicional. DESVENTAJAS: 1. Que su aplicacin est limitada a prticos ortogonales y que no influye los efectos de los acortamientos axiales, que se hace cada vez mas importantes al incrementar el nmero de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros das.

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO. 1. Calculamos las rigideces de las columnas y vigas con la siguiente ecuacin Kij=(bijxhij3)/h 2. Evalense los coeficientes de giro (ij) con la ecuacin ij= -1/2 (Kij/Kij) y momentos de empotramiento (Mfij) con la ecuacin Mfij= WL2/12 . Llvense estos valores a un diagrama adecuado y calclense los momentos de fijacin (Mi)de cada nudo. 3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos, empezando por el de mayor momento de fijacin para acelerar la convergencia. 4. Aplquese a cada uno de los elementos que concurren a cada nudo la ecuacin M0ij= ij [Mi +i M0ij y escrbanse en el diagrama los resultados obtenidos que constituyen para ese ciclo los valores de M0ij. Obsrvese que estos valores se convierten en M0ji al pasar a los nudos opuestos.

5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo y se repite el paso 3 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos. 6. Aplquense entonces las ecuaciones Mij=MFij+2M0ij+M0ji y Mji=MFji+2M0ji+M0ij a todos los elementos, con lo cual se obtendrn los momentos definitivos en cada uno de los extremos. Para mecanizar an ms el proceso, las ecuaciones pueden escribirse en la siguiente forma equivalente: Mij=MFij+M0ij+(M0ij+M0ji) y Mji=MFji+M0ji+(M0ij+M0ji) PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTO 1. Calculamos las rigideces de las columnas y vigas con la siguiente ecuacin Kij=(bijxhij3)/h 2. Evalense los coeficientes de giro (ij) con la ecuacin ij= -1/2 (Kij/Kij), coeficientes de desplazamiento (ij)con la ecuacin ij=-3/2(kij/2kij) y momentos de empotramiento (Mfij) con la ecuacin Mfij= WL2/12 y momentos de piso segn kani (Mpk)con la ecuacin (Mpk)n=-(hnni=1Hi)/3 Llvense estos valores a un esquema adecuado de la estructura y calclense los momentos de fijacin (Mi)de cada uno. 3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos, empezando por el de mayor momento de fijacin para acelerar la convergencia. 4. Aplquese a cada uno de los elementos que concurren a cada nudo la ecuacin M0ij= ij [Mi +i M0ij + Mij y escrbanse en el diagrama los resultados obtenidos (en el primer ciclo en este paso M0ij es igual a cero para el primer nudo y los Mij son nulos para todos los elementos). 5. Una vez recorridos todos los nudos se calculan los momentos de de desplazamiento Mij de todas las columnas mediante las ecuaciones Mij= ij[Mpk+(M0ij+M0ji)] la ecuacin Mij= ij [(M0ij+M0ji)]segn corresponda. Es conveniente proceder piso por piso. Al concluir este paso se habr realizado un ciclo. 6. Reptase los pasos 3 y 4 una y otra vez hasta. obtener la convergencia deseada, tanto en los momentos de giro como en los de desplazamiento. 7. Con los valores finales aplquense a cada elemento las ecuaciones Mij=MFij+2M0ij+M0ij+Mji y Mji=MFji+2M0ji+M0ij+Mji o su forma alterna Mij=MFij+M0ij+ (M0ij+M0ji+Mij) y Mji=MFji+M0ji+(M0ji+M0ij+Mji), que sirven para agilizar el proceso y facilitar su verificacin.

METODO DE TAKABEYA La principal ventaja a comparacin con la del mtodo de Kani es el tiempo, ya que este mtodo es realmente corto an para un problema complicado, y cuyo mtodo consiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y los desplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual se disminuye considerablemente el nmero de operaciones. Esto lo hace sumamente til. Una vez obtenida la convergencia de giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentos definitivos mediante las ecuaciones de ngulos de giro y deflexin.

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE TAKABEYA EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO. 1. Evalense los coeficientes de giro ij y momentos de empotramiento MFij. 2. Calclense los giros relativos iniciales de cada nudo 0i mediante la ecuacin 0i= ((i)MFij)/(2(i)kij). Llvense estos valores a un esquema adecuado. 3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se est trabajando a mano, para acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial. 4. Aplquese a cada nudo la ecuacin i = 0i + (i)( ijj ) y escrbanse en el diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de i. Obsrvese que estos valores corresponden a los j al pasar a los nudos opuestos. 5. Una vez recorridos todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 4 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos. 6. Finalmente aplquense las ecuaciones Mij=MFij+kij(2i+j) y Mij=MFij+kij(i +2j) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones verdaderas i se pueden obtener despejando su valor en la ecuacin i=2ECi.

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE TAKABEYA EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS. 1. Evalense los coeficientes de giro ij, los desplazamientos ij y los momentos de empotramiento MFij. 2. Calclense los giros relativos iniciales de cada nudo 0i mediante la ecuacin 0i= ((i)MFij)/(2(i)kij) y los desplazamientos relativos iniciales de cada piso 0n con la ecuacin 0n = (hnni=1Hi)/(2(n)kij) Llvense estos valores a un esquema adecuado. 3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos que facilite la sistematizacin de los clculos. 4. Aplquese a cada nudo la ecuacin i = 0i + (i) ij (j+ ij) y escrbanse en el diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de i. Estos valores corresponden a los j al pasar a los nudos opuestos. 5. Una vez recorridos todos los nudos procdase a evaluar todos los desplazamientos de piso con la ecuacin n= 0n+(n)ij(i+j). Hecho esto, se habr concluido un ciclo. 6. Reptase los pasos 4 y 5 hasta obtener convergencia de i en todos los nudos y de n en todos los pisos. 7. Finalmente aplquense las ecuaciones Mij=MFij+kij(2i+j+ij) y Mij=MFij+kij(2j+i+ ij) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y desplazamientos de piso verdaderos i y n se pueden despejar de las ecuaciones i=2ECi y ij=6EC(ij/hij).

LINEAS DE INFLUENCIA Definicin: Una lnea de influencia es una grfica de una funcin de respuesta de una estructura como funcin de la posicin de una carga unitaria hacia abajo que se mueve de un lado a otro de esa estructura. Objetivo: Analizar estructuras estticamente determinadas sujetas a cargas variables (como las vivas y las ambientales), la cual consta de dos pasos: 1.Determinacin de la posicin (o posiciones) de la(s) cargas(s) en las que la funcin de respuesta que interesa (por ejemplo, una reaccin, una cortante o un momento flexionante en una seccin de una viga, o una fuerza en un miembro de una armadura) se hace mxima y 2. Clculo del valor mximo de la funcin de respuesta. PASO A PASO PARA LA COSNTRUCCIN DE LNEAS DE INFLUENCIA PARA LAS REACCIONES, LAS CORTANTES Y LOS MOMENTOS FLEXIONANTES DE LAS VIGAS Y ARMAZONES, MEDIANTE LA APLICACIN DEL MTODO DE EQUILIBRIO. 1. Se selecciona el origen a partir del cual se medir la posicin de una carga unitaria hacia abajo y concentrada, en movimiento. Suele ser conveniente suponer que la carga unitaria se mueve desde el extremo izquierdo de la estructura hacia el derecho, con s posicin definida por una coordenada x que se mide desde el extremo izquierdo de la propia estructura. 2. Para construir una lnea de influencia para la reaccin de un apoyo:

a. Coloque la carga unitaria a una distancia x del extremo izquierdo de la estructura y determine la expresin para la reaccin, en trminos de x, por la aplicacin de una ecuacin de equilibrio o condicin. Si la estructura est compuesta de dos o ms partes rgidas conectadas entre s por articulaciones o rodillos internos, o por ambos tipos de ligas, la expresin para la reaccin puede cambiar conforme la carga unitaria se mueve desde una de las partes rgidas hacia la siguiente, cruzando una articulacin o rodillo interno. Por lo tanto, para ese tipo de estructuras, cuando se apliquen las condiciones de condicin, la carga unitaria debe colocarse en forma sucesiva sobre cada parte rgida de la estructura que se encuentre en la trayectoria de ella, y debe determinarse una expresin para la reaccin, para cada posicin de la carga. b. Una vez que se ha(n) determinado la expresin (o expresiones) para todas las posiciones de la carga unitaria, construya la lnea de influencia al trazar la grfica de la expresin (o expresiones) con la magnitud de la reaccin como ordenada, contra la posicin x de la carga unitaria como abscisa. Una ordenada positiva de la lnea de influencia indica que la carga unitaria aplicada en ese punto hace que la reaccin acte en la direccin positiva (es decir, la direccin de la reaccin usada inicialmente en la deduccin de la ecuacin de la lnea de influencia) y viceversa.

c. Repetimos el paso 2 hasta que se hayan determinado todas las lneas de influencia deseadas para las reacciones.

3. En general, resulta conveniente construir las lneas de influencia para las cortantes y los momentos flexionantes mediante el uso de las lneas de influencia para las reacciones en los apoyos. Por tanto, antes de proceder con la construccin de una lnea de influencia para la cortante o el momento flexionante en un punto de la estructura, hay que asegurarse que se dispone de las lneas de influencia para todas las reacciones, en cualquiera de los lados, izquierdo o derecho, del punto que se est considerando. De lo contrario, trcense las lneas de influencia requerida para las reacciones, aplicando el procedimiento descrito en el paso anterior. Se puede construir una lnea de influencia para la cortante (o el momento flexionante) en un punto de la estructura, como sigue:

a. Coloque la carga unitaria sobre la estructura, en una posicin variable x, a la izquierda del punto que se est considerando y determine la expresin para la cortante (o el momento flexionante). Si se conocen las lneas de influencia para todas las reacciones, entonces suele ser conveniente usar la parte de la estructura a la derecha del punto, para la determinacin de la expresin para la cortante (o el momento flexionante), la cual contendr trminos que solo comprendan reacciones. Se considera que la cortante (o el momento flexionante es positiva(o) o negativa(o) de acuerdo con la conveniencia de los signos de la viga. b. A continuacin, coloque la carga unitaria a la derecha del punto que se est considerando y determine la expresin para la cortante (o el momento flexionante). Si se conocen las lneas de influencia para todas las reacciones, entonces suele ser conveniente usar la parte de la estructura a la izquierda del punto, para la determinacin de la expresin deseada, la cual contendr trminos que solo comprenden reacciones. c. Si las expresiones para la cortante (o el momento flexionante) contienen trminos que solo comprenden reacciones, entonces en general es ms sencillo construir la lnea de influencia para esa cortante (o momento flexionante) mediante la combinacin de los segmentos de las lneas de influencia de las reacciones, de acuerdo con estas expresiones. De lo contrario, sustituya las expresiones para las reacciones en las expresiones para la cortante (o el momento flexionante) y trace las grficas de las expresiones resultantes, las cuales ahora estarn en trminos slo de x, con el fin de obtener la lnea de influencia.

d. Repetir el paso 3 hasta que se hayan determinado todas las lneas de influencia deseadas para las cortante y los momentos flexionantes.

PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Y LNEAS CUALITATIVAS DE INFLUENCIA.

La construccin de las lneas de influencia para las funciones de respuesta que comprenden fuerzas y momentos se puede facilitar de modo considerable mediante la aplicacin de un procedimiento desarrollado por Heinrich Muller-Bresalau, en 1986. El procedimiento, el cual comnmente se conoce como principio de Muller-Bresalau, se puede enunciar del modo siguiente: La lnea de influencia para una funcin de respuesta de fuerza (o de momento) queda dada por la forma deformada de la estructura liberada que se obtiene al eliminar la restriccin correspondiente a la funcin de respuesta de la estructura original y al dar a la estructura liberada un desplazamiento (o rotacin) unitario (a) en el lugar y en la direccin de la funcin de respuesta, de modo que slo la funcin de respuesta y la carga unitaria efecten trabajo externo. Este principio es slo vlido para las lneas de influencia para las funciones de respuesta que contienen fuerzas y momentos (por ejemplo, reacciones, cortantes, momentos flexionantes o fuerzas en los miembros de armaduras) y no se aplica a las lneas de influencia para las deflexiones.

Ejemplo: Encuentre las posiciones que producen mxima reaccin en B, mximo corte en C y mximo momento en B. V Varia entre 4,3 m y 9.0 m, suponga V = 4.3 m

Solucin: A) Mxima reaccin en B. Por inspeccin se ve que el mximo valor se obtendr cuando el tren de cargas se encuentra con el eje intermedio sobre la articulacin y el camin viaja en cualquiera de los dos sentidos.

Las ordenadas se obtienen midiendo a escala o por tringulos semejantes. Resulta entonces: Y1 = 0.573 R B MAX y2 = 1.000 y 3 = 0.573

= P1 y 1 + P 2 y 2 + P3 y 3 = = 35 x 0.573 + 145 x 1 + 145 x 0.573 = 248 kN

B) Para el mximo corte en C, el tren de cargas debe estar en la posicin sealada en seguida:

Por ltimo, para que el momento en B sea mximo, el camin debe estar en la siguiente posicin:

Resulta entonces: Y1 = 0 MBMAX y 2 = 3.730 y3 = 8.000

= 35 x 0 + 145 x (8.000 + 3.730) = 1701 KN m

Con lo cual queda resuelto el problema.

PROCEDIMIENTO PARA EL ANLISIS BASADO EN UNA COMBINACIN DEL PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Y EL METODO DEL EQUILIBRIO, PARA FACILITAR LA CONSTRUCCION DE LNEAS DE INFLUENCIA.

Ventaja: Permite construir la lnea de influencia para cualquier funcin de respuesta de fuerza o de momento, sin tener que determinar de antemano las lneas de influencia para otras funciones las cuales pueden ser necesarias o no. Por ejemplo, la construccin de las lneas de influencia para las cortantes y los momentos flexionantes, por este procedimiento, no requiere el uso de las lneas de influencia para las reacciones.

1. Dibujar la forma general de la lnea de influencia por la aplicacin del principio de Muller- Bresalau: a. Partiendo de la estructura dada, eliminar la restriccin correspondiente a la funcin de respuesta cuya lnea de influencia se desea, para obtener la estructura liberada. b. Aplique un(a) pequeo(a) desplazamiento (o rotacin) a la estructura liberada, en el lugar y en la direccin positiva de la funcin de respuesta. Dibuje una forma deformada de la estructura liberada que sea coherente con las condiciones de apoyo y de continuidad de sta, para obtener la forma general de la lnea de influencia. Recordando que las lneas de influencia para las estructuras estticamente determinadas slo constan de segmentos rectilneos.) Entonces, si slo se desea la lnea cualitativa de influencia, finalice el anlisis en esa etapa. De lo contrario, contine con el paso siguiente.

2. Determine los valores numricos de las ordenadas de la lnea de influencia mediante la aplicacin del mtodo de equilibrio y de la configuracin geomtrica de la propia lnea. a. Coloque una carga unitaria sobre la estructura dada (es decir, no liberada, en la ubicacin de la funcin de respuesta y determine el valor numrico de la ordenada de la lnea de influencia en ese lugar aplicando la ecuacin (o ecuaciones de equilibrio) o de condicin, o de ambos tipos. Si la funcin de respuesta que interesa es un cortante, entonces la carga unitaria debe colocarse de manera sucesiva en dos lugares, precisamente a la izquierda y a la derecha del punto en donde se desea la cortante, y deben calcularse los valores de las ordenadas de la lnea de influencia en esos lugares. Si la ordenada de la lnea de influencia en la ubicacin de la funcin de respuesta es cero, entonces colocar la carga unitaria en la ubicacin de la ordenada

mxima o mnima, y determine el valor numrico de esa ordenada por la consideracin de equilibrio. b. Aplicando la configuracin geomtrica de la lnea de influencia, determine los valores numricos de todas las ordenadas restantes, en donde ocurren los cambios en pendiente de esa lnea.

ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS PLANOS CON EL USO DEL METODO DE LA RIGIDEZ

OBSERVACIONES Antes de aplicar el mtodo de la rigidez a vigas y marcos, es importante conocer algunos conceptos y definiciones preliminares relacionadas con dichas estructuras. Identificacin de miembros y nodos Para aplicar el mtodo de la rigidez a vigas y marcos, debemos primero determinar cmo subdividir la estructura en sus componentes de elementos finitos. En general, los nodos de cada elemento se localizan en un soporte, en una esquina o un nudo, en los que se aplica una fuerza externa o donde va a determinarse el desplazamiento lineal o rotacin de un punto (o nodo). Por ejemplo, considere el marco en la figura 15-1a. Mediante el mismo esquema empleado para las armaduras, los cuatro nodos se especifican con un nmero dentro de un crculo y los tres elementos se identifican mediante un nmero en un cuadrado. Observe que tambin en los extremos cercano y alejado de cada miembro se identifican mediante las flechas marcadas a lo largo de cada miembro. Coordenadas de miembro y globales El sistema coordenado global o de la estructura se identificara con el uso de ejes x, y, z que tienen generalmente su origen en un nodo y estn posicionados de manera que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas positivas, figura 15-1a. Las coordenadas locales o de miembro x, y, z tienen su origen en el extremo cercano de cada miembro del eje x positivo est dirigido hacia el extremo alejado. La figura 151b muestra esas coordenadas para el elemento 3. En ambos casos hemos usado un sistema coordenado rgido por la regla de la mano derecha, de modo que, si los dedos de la mano derecha se curvan del eje x (x) hacia el eje y (y), el pulgar sealara en la direccin positiva del eje z (z), que seala hacia afuera de la pgina.

Fig. 15-1 Grados de la libertad Una vez identificado los miembros y nodos y que se ha establecido el sistema global de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la estructura. Marcos. Al derivar los mtodos clsicos de anlisis, despreciamos la deformacin en los miembros del marco causada por fuerza axial y fuerza cortante y consideramos solo el efecto de la flexin. Esto es justificable ya que las fuerzas axiales o cortantes, en general, no contribuyen en forma considerable a la deflexin de los miembros del marco. Sin embargo, en el anlisis que sigue, podemos proporcionar fcilmente un anlisis ms exacto del marco incorporando los desplazamientos por flexin y fuerza axial en el mtodo de la rigidez. (El pequeo efecto de la fuerza cortante puede tambin incluirse en el anlisis) en consecuencia, cada nodo de un miembro del marco tendr tres grados de libertad, cada uno de los cuales se identifican por medio de un nmero de cdigo. Como el caso de las armaduras, los nmeros de cdigos ms pequeos se usan para identificar los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no restringidos) y los nmeros mayores se usan para identificar los desplazamientos conocidos (grados de libertad restringidos). Un ejemplo de etiquetacin con nmeros de cdigo para un marco se muestra tambin en la figura 15-1. Aqu, el marco tiene 12 grados de libertad, para los cuales los nmeros de cdigo del 1 al 8 representan desplazamientos desconocidos y del 9 al 12 representan desplazamientos conocidos, que en este caso son iguales a cero. Vigas. Si despreciamos los efectos de la fuerza axial y la fuerza cortante y consideramos solo deflexiones de vigas causadas por flexin, como el anlisis clsico, el tamao de la matriz de rigidez de estructura ser algo pequeo. Adems, si la viga no tiene volados de patn, o si los soportes no tienen un desplazamiento transversal por asentamientos, entonces cada nodo, si est localizado en un soporte, tiene solo un grado de libertad, representado como un desplazamiento angular. As, la viga continua mostrada en la figura 15-2 se etiqueta con tres nodos y dos miembros y tiene tres grados de libertad. Los nmeros de cdigo 1 y 2 indican los desplazamientos angulares desconocidos y el nmero de cdigo 3 indica el desplazamiento angular conocido (cero).

Fig. 15-2

Carga intermedia de un miembro Si un elemento de marco o viga soporta una carga lateral entre sus nodos, ser conveniente para un anlisis matricial que los efectos que esta carga se conviertan en una carga equivalente en los nodos. Esto se debe a que el mtodo de la rigidez, igual que todos los mtodos de desplazamientos, se basa en plantear ecuaciones de equilibrio en los nodos y, por lo tanto, si se hace esta conversin de cargas, las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en forma sencilla. Para mostrar cmo tratar un caso de carga lateral, consideramos elemento de la viga o marco sometido a una carga distribuida constate como se muestra en la figura 13-3. Por el principio de su preposicin, esta carga puede representarse por (1) el elemento cargado con los momentos de empotramiento y las fuerzas cortantes en los nodos del elemento, figura 15-3b, y (2) el elemento, que se supone esta empotrado y sometido a la carga real y a sus reacciones en los empotramientos, figura 15-3c. El anlisis matricial se efecta solo para la carga mostrada en la figura 15-3b, ya que las cargas en el caso de los extremos empotrados pueden determinarse directamente. En otras palabras, una vez determinado el anlisis matricial de la carga en la figura 15-3b, las cargas internas y desplazamientos reales en puntos a lo largo del elemento puede obtenerse por superposicin de los efectos causados por las fuerzas nodales, figura 15-3b, por la carga distribuida y por las reacciones en los empotramientos, figura 15-3c. Las reacciones en los empotramientos para otros casos de carga se dan en el forro interior de la cubierta. La aplicacin de este procedimiento se ilustra numricamente en los ejemplos 15-1 y 15-3. El desarrolla del mtodo de la rigidez para vigas y marcos es igual que el procedimiento utilizado por armaduras. Primero debemos establecer las matrices de rigidez de los miembros y luego las matrices de transformacin para desplazamientos y cargas. Combinando estas matrices, podemos formar la matriz de rigidez de la estructura a partir del cual podemos determinar las cargas internas y los desplazamientos desconocidos.

Fig.15-3 En esta seccin desarrollaremos la matriz de rapidez de un miembro de un marco referido a un sistema de coordenadas locales x, y, z, figura 15-4. El origen se coloca en el extremo alejado f. en cada extremo del elemento hay tres reacciones, que consisten en fuerzas axiales flexionales y y en fuerzas cortantes y y en momentos

todas esas cargas actan en las direcciones coordenadas

positivas. En particular y son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj, ya que segn la regla de la mano derecha, estn dirigidos a lo largo del eje positivo z que es hacia afuera de la pgina. Los desplazamientos lineales y angulares asociados con esas cargas siguen tambin la misma convencin de signo positivo. Impondremos ahora por separado esos desplazamientos y luego determinaremos las cargas que actan en el miembro como consecuencia de cada desplazamiento.

Fig. 15-4 Desplazamientos x Si el miembro sufre un desplazamiento o un desplazamiento se generan las fuerzas axiales en los extremos del miembro mostradas en la figura 15-5 y 15-5b.

Fig.15-5

Desplazamientos y Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes resultantes que se generan cuando se impone un desplazamiento positivo mientras todos los otros posibles desplazamientos estn impedidos, se muestran en la figura 15-6. En partculas, el momento se ha desarrollado en la seccin 10.1 como la ecuacin 10-5. Igualmente, cuando se impone la figura 15-6b. las fuerzas cortantes y momentos requeridos son los mostrados en

Fig.15-6

Rotaciones z Si se impone una rotacin positiva mientras que todos los otros posibles desplazamientos estn impedidos, las fuerzas cortantes y momentos requeridos para esta deformacin son como se muestra en la figura 15-7. En particular, el momento que resulta se desarrolla en la seccin 10.1 como las ecuaciones 10-1 y 10-2. Igualmente, cuando se impone las cargas resultantes son como se muestra en la figura 15-7b.

Fig. 15-7

Por superposicin, si se suman los resultados anteriores en las figuras 15-5 a la 15-7, las seis relaciones carga-desplazamiento para el miembro pueden expresarse en forma matricial como

(15-1) Estas ecuaciones pueden tambin escribirse en forma abreviada como q=k d (15-2)

A la matriz simtrica k en la ecuacin 15-1 se llama matriz de rigidez de miembro. Los 36 coeficientes de influencia que contiene, toman en cuenta las formas axiales, cortantes y momento flexionante por desplazamientos del miembro. Fsicamente, estos coeficientes representan la carga sobre el miembro cuando este sufre un desplazamiento unitario especfico. Por ejemplo, si =1, figura 15-5, mientras todos los desplazamientos son

cero, el miembro ser sometido a las fuerzas =AE/L y =-AE/L, como s indica en la primera columna de la matriz k. De manera similar, las otras columnas de la matriz k son las cargas en el miembro por desplazamientos unitarios identificados por la codificacin de los grados de libertad indicada arriba de las columnas. En el desarrollo, se han satisfecho tanto el equilibrio como la compatibilidad de los desplazamientos.

MATRICES DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS Como en caso de las armaduras, debemos transformar las cargas internas q de miembro as como las deformaciones d de coordenadas locales x, y, z a coordenadas globales x, y, z. por esto se requieren matrices de transformacin.

Matriz de transformacin de desplazamientos

Fig 15-8 Considere el miembro del marco mostrado en la figura 15-8. Se ve aqu como un desplazamiento de coordenada global locales. genera desplazamientos de coordenadas

Igualmente, un desplazamiento de coordenada global desplazamientos de coordenadas locales.

figura 15-8b, genera

Finalmente, como los ejes z y z coinciden, esto es, estn dirigidos hacia fuera de la pgina, una rotacin de alrededor de z genera una correspondiente rotacin alrededor de z. As entonces,

De manera similar, si desplazamientos globales

en la direccin z,

en la

direccin y una rotacin se impone sobre el extremo alejado del miembro, las ecuaciones de transformacin resultantes son, respectivamente,

Si = representan los cosenos directores del miembro, podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial como

Por inspeccin, T transforma los seis desplazamientos globales D en x, y, z en los seis desplazamientos locales d en x, y, z. Por esto, a T se le llama matriz de transformacin de los desplazamientos. Matriz de transformacin de fuerzas

Si ahora aplicamos cada componente de carga al extremo cercano del miembro, podemos determinar cmo transformar las componentes de carga, de coordenadas locales a globales. Si aplicamos figura 15-9, vemos que

Si aplicamos

figura 15-9b, sus componentes son entonces

Finalmente, como

es colineal con

tenemos

De manera similar, las cargas extremas de componentes respectivas

darn las siguientes

Estas ecuaciones, agrupadas en forma matricial con , dan

Aqu, como se establecientes, transforma las seis cargas de miembro expresadas en coordenadas locales a las seis cargas expresadas en coordenadas globales.

MATRICES DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN MIEMBRO DE UN MARCO Con los resultados anteriores, los combinamos ahora para determinar la matriz de rigidez de un miembro que relacione las cargas globales Q con los desplazamientos globales D. para ello, sustituimos la d de la ecuacin 15-2 (q=k d) por la ecuacin 15-4 (d=TD), de modo que tenemos q=KTD Aqu las fuerzas q de miembro se relacionan con los desplazamientos globales D. si se sustituye este resultado por la q de la ecuacin 15-6 final (15-8) O , se obtiene el resultado

Donde,

(15-9)

Aqu, k representa la matriz de rigidez global del miembro. Podemos obtener su valor en forma generalizada por medio de las ecuaciones 15-5, 15-1,15-3 y efectuando las operaciones matriciales. Esto da un resultado final,

(15-10) Observe que esta matriz de 6x6 es simtrica. Adems la posicin de cada elemento est asociada con la codificacin en el extremo seguida de la del extremo alejado

que se muestran en la parte superior de las columnas y a lo largo de los renglones. Igual que la matriz k, cada columna de la matriz k representa las cargas en coordenadas globales sobre los nodos del miembro, necesarias para resistir un desplazamiento unitario en la direccin definida por el nmero codificado de la columna. Por ejemplo, la primera columna de k representa las cargas en coordenadas globales en los extremos cercano y alejado causadas por un desplazamiento unitario en el extremo cercano en la direccin x, esto es

MATRICES DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA VIGA

Si los soportes no sufren desplazamientos transversales como asentamientos, o si la viga no tiene un volado de patn, entonces, en general, cada uno de los soportes de la viga tendr solo un grado de libertad, llamado un desplazamiento angular , entonces la matriz de rigidez de una viga puede determinarse cancelando renglones y columnas de la matriz del marco en la ecuacin (15-10) asociados a los desplazamientos a lo largo de ya que los soportes de la viga no tienen ningn grado de libertad en estas direcciones. Adems, AE/L no es pertinente, ya que no se consideran desplazamientos ni las cargas axiales. En consecuencia, la matriz de rigidez de una viga queda representada por cuatro elementos que son

(15-11)

Debe observarse que esta matriz es equivalente a la matriz de rigidez del miembro en coordenadas locales, k, ya que las rotaciones no se transforman, esto es k =k T.

APLICACIN DEL MTODO DE LA RIGIDEZ AL ANLISIS DE VIGAS Y MARCOS

Ahora que hemos desarrollado k, podemos formular un procedimiento para aplicar el mtodo de la rigidez al problema de vigas y marcos. Matriz de rigidez de la estructura Una vez que se han encontrado todas las matrices de rigidez de los miembros, debemos ensamblarlas en la matriz de rigidez de la estructura k. este procedimiento depende primero en la posicin de conocer la posicin de cada elemento en la matriz de rigidez de miembro. A este respecto, recuerde que los renglones y las columnas de cada matriz k (ecuacin 15-10) se identifican por los tres nmeros de cdigo en el extremo alejado (FX FY FZ). Por lo tanto al ensamblar las matrices, cada elemento debe colocarse en la misma posicin de la matriz k. de esta manera, k tendr un orden que ser igual al nmero de cdigo mayor asignado a la estructura. Ya que representa el nmero total de grados de libertad en la estructura. Cuando varios miembros se conectan a un nodo, ellos tendran la misma posicin en la matriz k y por lo tanto esos coeficientes de influencia de rigidez de miembro deben sumarse algebraicamente entre s para determinar el coeficiente de influencia de rigidez nodal para la estructura. Esto es necesario ya que cada coeficiente representa la resistencia nodal de la estructura en una direccin particular (x, y o z) cuando ocurre un desplazamiento unitario (x, y o z) en el mismo u otro nodo. Por ejemplo, k26 representa la carga en la direccin y en la posicin del numero de cdigo 2 cuando ocurre un desplazamiento unitario en la direccin y la posicin del numero de cdigo 6. Procedimiento de anlisis Con este mtodo determinamos los desplazamientos, las reacciones en los soportes y las cargas internas para los miembros o elementos finitos de una viga o un marco estticamente determinado o indeterminado. Notacin Divida la estructura en elementos finitos e identifique arbitrariamente cada elemento y sus nodos. Use un nmero escrito dentro de un crculo para un nodo y un nmero encerrado en un cuadrado para un miembro. Por lo general, un elemento se extiende entre puntos de soporte, puntos de cargas concentradas, esquinas o nudos, o puntos donde las cargas internas o desplazamiento deben determinarse. Especifique los extremos cercano y alejado de cada elemento con una flecha trazada a lo largo del elemento y con la punta dirigida hacia el extremo alejado. Establezca el sistema de coordenadas globales X, Y, Z, con el origen en un punto nodal de uno de los elementos y los ejes localizados de manera que todos los nodos tengan coordenadas positivas. En cada punto nodal de un marco, especifique numricamente las tres componentes codificadas X, Y, Z. si se considera una viga continua sin volados de patn o desplazamientos transversales de sus soportes, y si los nodos estn en los

soportes, use un nmero de cdigo solo para identificar el desplazamiento angular en cada soporte. En todos los casos use los nmeros ms bajos para identificar los grados de libertad no restringidos y los nmeros mayores para identificar los grados de libertad restringidos. De acuerdo con el problema, establezca los desplazamientos conocidos Dk y las cargas externas conocidas Qk. Matriz de rigidez de la estructura Aplique la ecuacin 15-10 para determinar la matriz de rigidez de cada elemento expresado en coordenadas globales. En particular, los cosenos directores y se determinan a travs de coordenadas x, y, de los extremos del elemento, ecuaciones 14-5 y 14-6. Despus de determinada cada matriz de rigidez de miembro e identificados los renglones y columnas con los nmeros de cdigo apropiados, ensamble las matrices para determinar la matriz de rigidez de la estructura k. como comprobacin, las matrices de miembro y de la estructura deben ser simtricas. Desplazamientos y cargas Subdividida la matriz de rigidez segn la ecuacin 14-17. El desarrollo conduce, entonces, a QK=K11DU+K12DK QU=K21DU+K22DK Estas ecuaciones expresan el equilibrio por fuerzas y momentos de cada nodo. Los desplazamientos desconocidos Du se determinan con la primera de esas ecuaciones. Por medio de esos valores, las reacciones Qu en los soportes se calculan con la segunda ecuacin. Finalmente, las cargas internas q en los extremos de los miembros pueden calcularse combinando las ecuaciones 15-2 y 15-4, lo que da q = K TD

Soporte de un puente estticamente determinado

EJEMPLO N2

Determine las cargas en los nudos del marco de dos miembros que se muestra en la figura 15-11. Considere 1= 500 in4, A =10 in2 y E=29(103) ksi para ambos miembros.

Solucin.

Notacin. Por inspeccin, el marco tiene dos elementos y tres nodos que se identifican como se muestra en la figura 15-11b. El origen del sistema coordenado global se ha fijado en 1. Los nmeros de cdigo en los nodos se especifican con los grados de libertad no restringidos numerados primero. De las restricciones en 1 y en 3 y de las cargas aplicadas, tenemos

Matriz de rigidez de la estructura. matrices de rigidez:

Los siguientes trminos son comunes a ambas

Miembro 1.

Se sustituyen los datos en la ecuacin 15 -10, y tenemos

Las columnas y los renglones de esta matriz de 6 x 6 estn identificados por los tres nmeros de cdigo x, y, z, primero en el extremo respectivamente, fig. 15- 11 Esto se hace as para el posterior ensamble de los elementos. Miembro 2:

Sustituyendo los datos de la ecuacin 15-10 se obtiene

Como siempre, la identificacin de columnas y renglones se hace por medio de los nmeros de cdigo en la secuencia x, y, z para los extremos cercano y lejano, respectivamente, esto es, 1, 2, 3 y luego 7, 8, 9, figura 15-11b. La matriz de la rigidez de la estructura se determina ensamblado k1 y k2. El resultado, mostrado subdividido, ya que Q=KD, es

Desplazamientos y cargas. obtenemos

Si desarrollamos, para determinar los desplazamientos,

Despejamos y resulta

Con estos resultados, se determina las reacciones a partir de la ecuacin (1) como sigue:

Las cargas internas en el nodo 2 pueden determinarse aplicando la ecuacin 15-7 al miembro 1. Aqu, k est definida por la ecuacin 15-1 y T1 por la ecuacin 15-3. As,

Note el arreglo apropiado de los elementos en las matrices como se indica por los nmeros de cdigo a lo largo de las columnas y renglones. Al despejar, se obtiene

Resp. Los resultados anteriores se muestran en la figura 15-11c. Las direcciones de esos vectores estn de acuerdo con las direcciones positivas definidas en la figura 15-3. Adems, el origen de los ejes locales x, y, z est en el extremo cercano del miembro 2 se muestra en la figura 15-11d.

(15-11c, 15-11d)

ANLISIS DE ARMADURAS CON EL USO DEL MTODO DE LA RIGIDEZ Un mtodo de fuerza se basa en especificar primero las fuerzas redundantes externas o internas y luego determinar esas fuerzas mediante condiciones de compatibilidad de desplazamientos junto con relaciones de carga-desplazamiento. Una vez se determinan las fuerzas en la estructura, los desplazamientos pueden calcularse con ayuda de alguno de los mtodos de deflexiones. El mtodo de la rigidez mediante el anlisis matricial, es un mtodo de anlisis de desplazamientos tambin puede usarse como un mtodo para el anlisis de fuerzas para el anlisis estructural. El mtodo de la rigideces en el que las ecuaciones de equilibrio en los nudos se escriben en trminos de sus desplazamientos desconocidos. El mtodo de rigideces elimina la necesidad de seleccionar redundantes y una estructura fundamental. El mtodo de la rigidez puede usarse para analizar estructuras tanto determinadas como indeterminadas. El mtodo de la rigidez requiere subdividir la estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos externos como nodos. Para el anlisis de las armaduras, los elementos finitos se representan por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan los nudos. Se determinan las propiedades de fuerza desplazamientos de cada elemento y luego se relacionan entre si mediante las ecuaciones de equilibrio planteadas en los nodos. Esas relaciones de todos los miembros de la estructura se agrupan luego en lo que se llama matriz de rigidez. Una vez realizada la matriz se pueden determinar los desplazamientos desconocidos de los nodos pueden determinarse para cualquier carga en la estructura. Cuando se conocen esos desplazamientos, las fuerzas externas e internas en la estructura pueden calcularse mediante las relaciones fuerza desplazamiento para cada miembro.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE ARMADURA Para estos casos se establece la matriz de rigidez para un miembro de armadura usando el plano X, Y. esta matriz representa la relacin carga-desplazamiento entre los extremos del miembro cuando esta sometido a sus varios desplazamientos y cargas. Un miembro de armadura solo puede desplazarse a lo largo de su eje X, puesto que las cargas estn aplicadas en este eje. Entonces son posibles dos desplazamientos independientes. En el siguiente caso se muestra un miembro que es sometido a fuerzas de desplazamiento positivo, dN sobre el extremo cercano del miembro mientras el extremo alejado se mantiene articulado. Las fuerzas desarrolladas en los extremos del miembro son

qF es negativa ya que por equilibrio acta en sentido X negativo. Igualmente, un desplazamiento positivo dF del extremo alejado, manteniendo el extremo cano articulad, en la segunda figura conduce a las fuerzas de miembro.

Por superposicin, en la tercera figura, el efecto resultante de dN y dF es

Estas ecuaciones de carga desplazamiento se pueden escribir en forma matricial, de la siguiente manera:

(q = kd) Donde:

Esta matriz k se llama matriz de rigidez de miembro y es de la misma forma para cada miembro de la armadura. Los cuatro miembros que la componen se denominan coeficientes de influencia de rigidez del miembro representa la fuerza en el nudo i cuando se impone un desplazamiento unitario solo en el nudo j. MATRICES DE TRANSFORMACIN DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS Una armadura esta constituida por una gran cantidad de elementos, se desarrollo un mtodo para transformar las fuerzas (q) de miembro y los desplazamientos (d) de miembro definidos en coordenadas locales a un sistema de coordenadas X,Y globales o de la estructura, para toda la armadura. Los ngulos ms pequeos entre los ejes X, Y y el eje local X se representan por: x y y. Los cosenos de estos ngulos se usan en el anlisis matricial. Esto se identifica con x = cos x ; y = cos y. Los valores numricos para x y y se definen de la siguiente manera.

Matriz De Transformacin De Desplazamientos En coordenadas globales, cada extremo del miembro puede tener dos grados de libertad o desplazamientos independientes; o sea, el nudo N tiene en las primeras dos figuras y el nudo F tiene y y como se muestra en las otras dos figuras.

Considerando por separado estos desplazamientos globales, para determinar cada componente de desplazamiento a lo largo del miembro. Cuando el extremo alejado se mantiene articulado y al extremo cercano se le da un desplazamiento global primera figura. El desplazamiento correspondiente a lo largo de la barra es la misma manera, un desplazamiento global tanto. en la de

ocasionara que la barra se desplace

a lo largo del eje X. El efecto de los dos desplazamientos globales es por

De manera similar, los desplazamientos positivos

y

aplicados sucesivamente en

el extremo alejado F mientras el extremo cercano se mantiene articulado, como se muestra en las figuras 3 y 4, ocasionaran que el miembro se desplace.

Si

y

representa los cosenos directores del miembro, se obtiene:

Y esto se escribe de forma matricial de la siguiente manera

d = TD donde:

En la derivacin anterior, T transforma los cuatro desplazamientos globales x, y D en los dos desplazamientos (d) locales X. Por ello, a T se le llama matriz de transformacin de desplazamientos.

Matriz De Transformacin De Fuerzas Considere ahora la aplicacin de la fuerza al extremo cercano del miembro, manteniendo el extremo alejado articulado, en estos casos los componentes globales de la fuerza en los nudos llamados N y F son:

Con los cosenos directores: en la ecuacin quedando de la siguiente manera:

estas expresiones se remplazan

Y se expresan en forma matricial as:

Donde:

En este caso transforma las dos fuerzas (q) locales que actan en los extremos de los miembros en las cuatro componentes (Q). Esta matriz de transformacin de fuerzas es la transpuesta de la matriz de transformacin de desplazamientos.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN MIEMBRO Se toman los resultados de las secciones precedentes y se determina la matriz de rigidez para un miembro que relaciona las componentes globales de fuerza (Q) del miembro con sus desplazamientos globales D. se remplaza en las ecuaciones en , podemos determinar las fuerzas (q) del miembro en trminos de los desplazamientos globales D en sus puntos extremos. teniendo . Se obtiene Y a su vez se sustituye q en , donde , T y k

La matriz k es la matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales como son conocidas, tenemos

La localizacin de cada elemento en esta matriz simtrica de 4*4 esta relacionada con cada grado de libertad global asociado con el extremo cercano N, seguido del extremo alejado F. esto se indica por la notacin de nmeros codificados a lo largo de renglones y columnas esto es . Igual que k, k representa aqu las relaciones fuerza desplazamiento para el miembro cuando las componentes de fuerza y desplazamiento en los extremos del miembro estn dadas en las direcciones globales o direcciones X, Y. cada uno de los trminos de la matriz es por lo tanto un coeficiente de influencia de rigidez , que denota la componente de fuerzas en (x) o en (y) en (i) necesaria para generar en (j) una componente de desplazamiento unitario en (x) o en (y).en consecuencia, cada columna identificada de la matriz representa las cuatro componentes de fuerza desarrolladas en los extremos del miembro cuando el extremo identificado sufre un desplazamiento unitario relaciones con su columna en la matriz. Por ejemplo, un

desplazamiento unitario generara las cuatro componentes de fuerza sobre el miembro mostradas en la primera columna de la matriz.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Con todas las matrices de rigidez de miembro son expresadas en coordenadas globales, el siguiente paso es organizarlos en el orden correcto para formular la matriz (K) de rigidez de la estructura para la armadura entera. Este proceso de combinar las matrices de miembro depende de la identificacin de los elementos de cada matriz. Esto se hace designando los renglones y columnas de la matriz con los cuatro nmeros de cdigo usados para identificar los dos grados de libertad que pueden representarse en cada extremo del miembro

La matriz de rigidez de la estructura tendr entonces un orden que ser igual al nmero de cdigo ms alto asignado a la estructura, por que este representa el nmero de grados de libertad de toda la estructura. Cuando se ensamblan las matrices (k), cada elemento de (k) se escribe en su misma designacin de rengln y columna en la matriz de rigidez de la estructura (K). Cuando sucede esto, los elementos asignados a la posicin comn deben sumarse entre si algebraicamente. Y esto es debido a que cada elemento (k) representa la resistencia del miembro a una fuerza aplicada en su extremo. De este modo, al sumar esas resistencias en la direccin x y al tiempo que se forma la matriz (K) es un simbolismo de la determinacin de la resistencia total de cada nudo a un desplazamiento unitario en la direccin x y. APLICACIN DEL MTODO DE LA RIGIDEZ AL ANLISIS DE ARMADURAS Este mtodo sirve para determinar los desplazamientos y reacciones desconocidas en una armadura usando el mtodo matricial de la rigidez. Este mtodo es apropiado para cualquier tipo de armadura.

Ya formada la matriz de la rigidez de la estructura, podemos determinar los desplazamientos de los nudos, las reacciones externas y las fuerzas internas en los miembros. Se asignan nmeros de cdigo menores para identificar los grados de libertad no restringidos, esto nos permitir subdividir de la siguiente forma a

Donde: : Son las cargas y desplazamientos externos conocidos; (los desplazamientos generalmente se toman iguales a cero) : son las cargas y desplazamientos desconocidos; (los desplazamientos son en los nudos donde no hay restriccin alguna) K: matriz de rigidez de la estructura.

Regularmente

por que sus soportes no se desplazan, quedando;

Como los elementos de la matriz subdividida representan la resistencia total en el nudo de una armadura a un desplazamiento unitario en la direccin x y, la anterior ecuacin simboliza representa el conjunto de todas las ecuaciones de equilibrio de fuerzas aplicadas a los nudos donde las cargas externas son cero o tienen un valor conocido . Despejando

Con esta ecuacin se puede obtener la solucin directa para todos los desplazamientos desconocidos de nudo. De la misma manera con:

Se puede determinar las reacciones desconocidas en los soportes y las fuerzas en los miembros pueden hallarse con:

Obteniendo:

Como por equilibrio, determina

, solo una de las fuerzas tiene que encontrarse. Aqu se

, aquella que ejerce tensin en el miembro.

Si el resultado calculado con la ecuacin es negativo, el miembro estar a compresin.

CONLUSIONES

La reaccin mxima debida a una simple carga concentrada, ocurre cuando la carga est en el apoyo y es igual al valor de dicha carga. La reaccin mxima debida a una carga uniformemente repartida, ocurre cuando la viga est totalmente cargada y es igual al producto del rea de la lnea de influencia de dicha reaccin por el valor de la carga repartida. La fuerza de corte mxima en una seccin C, debida a una simple carga concentrada, ocurre cuando la carga esta justo a la derecha o a la izquierda de la seccin, sobre el mayor de los segmentos en que queda dividida la viga. Su valor es el de la ordenada correspondiente, multiplicada por el valor de la carga. El algebra matricial es una herramienta muy importante para el anlisis estructural y es necesario que los ingenieros estn familiarizados con este tipo de operaciones matemticas para as poder tener un mayor manejo a la hora de realizar cualquier ejercicio estructural

BIBLIOGRAFIA

Anlisis estructural. R.C. Hibbeler. Prentice Hall. Pag. 635 651 Anlisis estructural. Jairo Uribe Escamilla. Anlisis estructural. McCormac Elling. http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdf