ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

METODOS MATEMÁTICOS PARA LA FÍSICA

Realizado por: Ricardo Morán

CAPITULO Ihttps://www.youtube.com/watch?v=6Dpwip2Dodg

TEORÍA DE GRUPOS

Matrices Def: Una matriz es un arreglo cuadrado

de numero o funciones que obedecen a ciertos tipos de leyes , esto es que A se denota la raíz, esta va a tener (m) filas y (n) columnas.

A=

A= B= C=

Estas son las matrices con sus elementos, por lo tanto podemos decir si y solamente si sus componentes son iguales =

Podemos tener la suma de dos matrices (A+B=C +=), además se puede tener que A+B=B+A (conmutatividad) y la asociatividad (A+B)+C= A+(B+C)

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

αA=α=(αA) αA=Aα donde αєR

αA= α

α= α= =

MULTIPLICACION DE MATRICES

AB=C Ejercicio

= Entonces =-

Esto nos indica que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

AB (esto indica que 0 ) LEY ASOCIATIVA (AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC

PRODUCTO DIRECTO Un segundo procedimiento para la

multiplicación de matrices se denomina producto directo o producto tensor.

A mxn , Bmxn Entonces el producto tensor viene

propuesto AxB=C

Donde C mnxmn es decir Ejemplo: AxB=

(AXB)xC=Ax(BxC) AxB BxA (Producto directo no es

conmutativo) CASOS ESPECIALES: Cuando la matriz tiene n filas y una

columna obviamente es el vector columna

Cuando la matriz tiene q fila y n columnas por notación :

Si sabemos que la matriz es Anxm entonces podemos decir A

A (nxn)(nx1) (1xn)(nxn) (nxn)(1xn) (nx1)(nxm) (nx1) (1xn) no esta definido no esta definido

MATRIZ UNITARIA

Viene propuesto por el llamado

1=

GRADIENTE

El gradiente  de un campo escalar es un campo vectorial.

El vector gradiente indica la dirección en la cual el campo  varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de  en la dirección de dicho vector gradiente.

El gradiente se representa con el operador diferencial nabla  seguido de la función.

ECUACIÓN

grad(f)=()

DERIVADA DIRECCIONAL

Representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector.

Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

ECUACIÓN

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Es el operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero

ECUACIÓN

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero

ECUACIÓN

CAMPOS CONSERVATIVOS (CAMPOS IRROTACIONALES)

Un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes:

∫𝐹 𝑑𝑅=∅𝑄−∅ 𝐵

Si el dominio D donde (f) esta definida se encuentra simplemente conectado se puede agregar una cuarta propiedad y se la puede dar cuando

xF=0

En términos de los componentes se cumple las siguientes opciones:

Rot F=0

𝜕𝐹 1𝜕 𝑦

=𝜕 𝐹 2𝜕 𝑥

POTENCIALES VECTORIALES (CAMPOS SOLENOIDALES )

Un campo vectorial F cuya divergencia valga o recibe el nombre de solenoideal.

Si F= xG se dice que G es un potencial vectorial de F, un campo vectorial F continuamente diferenciable en D es solenoideal si y solo si existe un campo vectorial G tal que F= xG en todo el Dominio.

SUPERFICIES ORIENTADAS

El comportamiento de una superficie se caracteriza en términos de los vectores normales a cada punto.

Ya conocemos que gradiente de F es normal a la superficie de F teniendo en cuenta que un arco suave posee tangente y que gira continuamente decimos que una superficie S es suave si es posible elegir un vector normal unitario en todos los puntos de S de modo que este varíe continuamente en la superficie.

En todos los puntos de una superficie suave habra dos elecciones para la normal unitaria

En todos los puntos de la superficie habar dos opciones de normales

Si seleccionamos una de ellas se tiene la orientación de la superficie.

Cuando una superficie ah sido orientada se selecciona un campo normal Unitario.

Se estudiara superficies orientadas como con la ecuacion en forma parametrica viene propuesta.

x= x(t) y=y (t) Z= z(t)

La ecuación de una superficie en forma paramétrica viene dada con : R=R(u.v)

x= x(u.v) y= y(u.v) z= z(u.v) La representación paramétrica de un

plano: R= Ro+SA+tB

ELEMENTO DE SUPERFICIE

Un elemento de superficie regular es una posicion en una superficie donde podemos decirnos que el Area de esta porcion o posicion esta dada

ds=

Al sumarle todos ellos sobre una superficie tenemos S= Area de la superficie de un elemento de Superficie regular

Sea f(x,y)= una curva suave, S la superficie suave, entonces podemos tener.

Integral de superficie:

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Es el paso de una integral de Volumen a una de Superficie

La integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial tomado a lo largo de un dominio limitado D es igual a la integral de superficie de la componente normal del campo vectorial tomado sobre la frontera .

ECUACION

Esta formula nos indica que la divergencia total dentro de este dominio D es igual al flujo neto que emerge o sale de este Dominio D.

TEOREMA DE STOCKES

La integral de Superficie de la componente del rotacional de un campo vectorial tomado sobre la superficie limitada es igual a la integral de línea de la componente tangencial del campo tomado sobre la curva cerrada que limita a la superficie

ECUACIÓN DE LA PLACE

=0 . Sus soluciones son las llamadas funciones armónicas y estas describen las llamdas potenciales electrostaticos, ademas describen los movimientos de fluidos incompresibles, distribuciones de temperatura en estado estable de formaciones de una membrana en equilibrio

También las partes reales o imaginarias de las funciones analíticas complejas satisfacen la ecuación de La Place. Cuando busques las soluciones de esta ecuación estamos donde originan a las series de Fourier a las funciones de Bessel y a un sin numero de polinomios que veremos mas tarde.

COORDENADAS ORTOGONALES GENERALIZADAS

Las generalizaciones de las coordenadas de mayor utilidad son las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas que se obtienen en base del rectángulo (x,y).

X= Y= sin Z=z

El gradiente posee la misma dirección de los planos cilíndricos (regla de la mano derecha).

= =

A lo largo de la coordenada: Z=dS= = = dS== Esto me implica que:

COORDENADAS CILINDRICAS

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala.

El elemento de volumen: dV=

COORDENADAS CILINDRICAS

Gradiente:

Divergencia:

Rotacional

Laplasiano:

COORDENADAS ESFERICAS

LÍNEAS Y SUPERFICIES COORDENADAS

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son: Líneas coordenadas r : Semirrectas

radiales partiendo del origen de coordenadas.

Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)

Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

BASE COORDENADA

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

FACTORES DE ESCALA:

Gradiente:

Divergencia:

Rotacional:

Laplaciano:

COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES

Los sistemas generales de coordenadas se llaman coordenadas curvilíneas, un punto en cierta región lo proponemos como (U1,U2,U3) los cuales son las coordenadas curvilíneas de ese punto.

X= x(U1,U2,U3) U1=U1(x,y,z) Y=y(U1,U2,U3) U2=U2(x,y,z) Z= z(U1,U2,U3 U3=U3(x,y,z)

Incluyen las ecuaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Donde estos sistemas son casos especiales

Por un punto P en el dominio en coordenadas curvilíneas poseen 3 superficies isotónicas.

U1= U1(x,y,z)= C1 U2= U2(x,y,z)= C2 U3= U3(x,y,z)= C3

U1=c1

U2=c2 U3=c3

La normal a la superficies U1= c1 en el gradiente donde el gradiente

k También tenemos la tangente a la

curva coordenada:

En general los gradientes son perpendiculares entre ellos y también el gradiente es paralelo al vector tangente

La curva coordenada e U1 es la intersección de las superficies U2 y U3 = cte. de donde el vector tangente de ser U2 y U3= cte. de donde el vector tangente de debe ser perpendicular y el perpendicular a

VARIABLE COMPLEJA

Se tiene la ley distributiva, además se puede definir la sustracción, la misma que puede venir propuesta:

Z1-Z2=(x1+iy1)-(x2-iy2) Y si: Z=Z1-Z2

Analogamente al definir el cociente esta es la única solución que cumple

Z= Entonces tendríamos: ()()=()

Para despejar x e y : X==

Y=

=

Geométricamente, los números complejos se pueden identificar con los puntos del plano haciendo corresponder al complejo z = x + i y el punto (x, y). De ahí que el conjunto C reciba el nombre de plano complejo.

Si z = x + i y ∈ C, se definen el módulo y el complejo conjugado de z respectivamente como sigue: |z| = p x2 + y 2 (distancia al origen) z = x − i y (reflexi´on respecto del eje real)

Si z = x + i y ∈ C, se definen el m´odulo y el complejo conjugado de z respectivamente como sigue: |z| = (distancia al origen) z = x − i y (reflexión respecto del eje real)

REPRESENTACION POLAR

Para valores absolutos en cambio para los argumentos tenemos:

Arg()= arg()+arg ()

= arg ()- arg ()

Para conseguir las potencias de un número complejo es :

Por lo tanto podemos extraer raíces y buscar la solución de w.

Y entonces: W=)

SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS DE FUNCIONES ARMONICAS

Es cualquier solución que cumpla con la Ecuación de La Place.

De modo que puedo proponerme que se cumple.

Esto nos indica que se pueden obtener como polinomios homogéneos de grado n en x e y desarrollando mediante el teorema del binomio y separando partes reales e imaginarias.

Estas dos funciones son las soluciones de la Ecuacionde de Lapalce bidemencional donde :

La ecuación de La Place en un circulo lo consideraremos en el circulo con los valores dados en la frontera

Si conocemos esto U(r,) es armónica (solución de la Ecuación de La Place) en (r) puede representarse en función de sus valores de contorno, esto es u().

Si definimos los números complejos : Co= ½ ao Cn= an-ibn n=1,2,3…… = Re

FUNCION EXPONENCIAL

Sea z = x + i y ∈ C; la propiedad = sugiere definir = . A su vez, procediendo formalmente se obtiene

Para todo z = x + i y ∈ C (x, y ∈ R), definimos = (cos y + i sen y).

Propiedades: Para todo z, w ∈ C se tiene:

, arg()= Imz mod 2π =1

SUCESIÓN DE CAUCHY

Una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que para cualquier distancia dada, por muy pequeña que sea, siempre se puede encontrar un término de la sucesión tal que la distancia entre dos términos cualesquiera posteriores es menor que la dada.

Conocemos que una sucesion de numeros reales tiene limite si satisface el limite de Cauchi.

Si estamos en los reales y tomamos un limite cuyo valor existe nos dice que la sucesión es de Cauchy.

R:

Análogamente para Vn. Si se satisfacen estas dos desigualdades tenemos que se

cumple que el modulo será :

Así que si sabemos que esto converge el modulo puede ser tan pequeño como se quiera eligiendo n y m suficientemente grandes.

Recíprocamente también se la cumple por lo tanto el criterio de Cauchy para sucesiones complejas viene propuesto como:

(wn)cv m

Definimos ahora que nuestra serie:

Para ver que esto ocurra apliquemos el teorema de Cauchy ya que conocemos que U() es acotado y sus coeficientes de Fourier son acotados (an, bn).

Cn=an-ibn están acotados

Con esto podemos indicar que el criterio de Cauchy se cumple.

Por el mero hecho que converja ya se sabe que se tiene el criterio de Cauchy.

Entonces la serie cv para Por lo tanto sus partes reales e Imaginarias

también convergen separadamente y u(r,)=Re nos indica que se cumple esa igualdad siendo la serie convergente de modo que si U es amónica en un cierto circulo de centro el origen puede representarse como la parte real de una serie de potencias de z que convergen dentro de ese circulo.

ECUACIONES DE CAUCHY RIEMAN

1.

2. ()

Ecuación de Laplace f= función conti

Y función u es armónica nua y la suma

nos da 0

Donde la parte real de una serie de potencias debe ser armónica y como la V(x,y) es la parte real de (-i f(z)) entonces la parte v que es la parte imaginaria también es la parte armónicason funciones armónicas

FUNCIONES ANALITICAS

Sea la serie de potencias f(z)= Que converge en el circulo .

𝑧 0

R

z

Entonces sabemos que U(x,y)= Re[f(z)] es armónica y real en este circulo. Si tenemos un Z1 entonces = R

y esto esta contenido en el circulo c R

Es decir que tambien la U(x,y) es armónica en . Esto nos indica qqque esta funcion “u” puede

representarse como la parte real de una serie de potencias de en el circulo y ya que la v(x,y) es la funcion conjugada queda determinada que a menos de una constante por las ecuaciones de Cauchy Rieman por lo que encontramos que f(z) original difiere tan solo en una constante imaginaria de las series de potencias de () por lo tanto la original puede representarse como:

ECUACIÓN

f(z)=cv () Una función compleja f(z)= (u(x,y)

+iv(x,y)) de la variable compleja z , se llama analítica u olomorfa en un dominio D si en un circulo dado en puede representarse en una serie de potencias en .

Circulo de convergencia original dentro un punto Z me trazo un nuevo circulo de convergencia y si puedo dar u obtener una serie de potencia entonces f(z) es una función analítica

Por lo tanto hemos visto que nuestra f(z) original definida por una serie de potencias es analítica en el círculo de convergencia original

Si f(z) es analítica, sus partes reales e imaginarias satisfacen las ecuaciones de Cauchy Rieman

Para la función analítica f(z)= el valor común de viene dado por la expresión de esta serie, la misma que puede obtenerse aplicando la regla de derivación normal.

DEFINICIÓN:

La derivada d f respecto a la variable compleja Z, no es mas el valor común de:

y teniendo f(z)= f(z)=

Ademas podemos también indicar que se cumple :

Y ya que la derivada de f(z)

Las reglas usuales de la derivación existen y esto se cumple:

=

Analítica = cumple condición de Cauchy Riemann= derivable.

También se puede definir las derivadas de orden superior de una función analítica

f(z)= Cv en Entonces tendríamos: Todas estas series derivadas tienen el

mismo radio de convergencia y en particular puedo decirme que al proponer la derivada K-esima obtengo.

k! dK dK= f(z)= do+ f(z)= f(z)= k! dK (de todos)

Entonces la serie puede escribirse : f(z)= f(z)= Donde esta es llamada Serie de Taylor

en Z= Y sabemos que f(z)= Con esto podemos obtener la derivada

n-ésima.

Esto nos indica que podemos obtener la derivada n- ésima y expresar todas los termino de la serie de Taylor f(z) salvo el primer termino en funcion de las variables u solamente, de esta manera se puede ver que f(z) esta determinada a menos de una constante imaginaria por la variable u y todas sus derivadas parciales en el punto ().

En particular si se tiene ф(x) en funcion real de la variable real x, la misma que coincide con la serie de Taylor en

ф(x)=) Existe entonces una sola función analítica

que viene propuesta. Donde la parte real y la parte imaginaria

satisfacen las condiciones de Cauchy Rieman y entonces podemos obtener las reglas del exponencial es decir .

= = Esto nos indica que se cumplen las propiedades

usuales de la multiplicación de exponenciales done además podemos también conocer que y podemos escribir nuestra variable z en la llamada forma polar z=r y nuevamente podemos darnos el prolongamiento analítico y decir que también se cumple la derivación formal para z en la exponencial.