Métodos NuméricosMétodos Numéricos2010 2010

UN MODELO ES UNA ABSTRACCION DE LA REALIDAD QUE UTILIZA

MECANISMOS PARA EXPRESAR TODA REALIDAD.

MODELO MENTAL: Es el primer juego de ideas que se generan a escala mental sobre el problema en cuestión.

MODELO VERBAL: Es cualitativo por naturaleza, las palabras se usan para describir las reacciones del sistema frente a un estímulo.

MODELO GRAFICO: Es el conjunto de imágenes y gráficos de sirven de apoyo y permiten ubicar las relaciones funcionales que priman en elsistema que se desea estudiar.

MODELO FISICO: Son modelos a pequeña escala de barco, que se desarrollan para investigar el comportamiento del sistema real.

MODELO MATEMATICO: Es aquel donde la relación entre las diferentes variables en un sistema se formaliza a través de relaciones matemáticas (normalmente ecuaciones).

MODELO ANALITICO: Se llevan a cabo cuando el modelo diferencial tiene solución.

MODELO NUMERICO: Es una representación teórica de un modelo, típicamente expresado en forma matemática, que permite una mejor comprensión y estudio de su comportamiento.

MODELO COMPUTACIONAL: Se refiere a un programa decomputadora que permite que los modelos analíticos o numéricos se puedan solucionar más rápidamente.

Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos, que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

Ejemplo: modelo matemático

Modelo cuantitativo: es aquel cuyos principales símbolos representan números.

Modelo cualitativo: aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas.

Modelo Probabilístico: aquellos basados en la estadística y probabilidades.

Modelo Determinístico: corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.

Modelo Descriptivo: cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos.

Modelo Optimizador: corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.

COMPONENTES DE UN MODELO MATEMÁTICO

1.Variables dependientes

2. Variables independientes

3. Parámetros

4. Funciones de fuerza

5.Operadores

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

GRADIENTE:

Sea f(x,y,z) una función en dos variables, el gradiente de f(x,y,z) se denota como y esta definido como:

Divergencia:

Sea f(x,y,z)= f(x,y,z)i + f(x,y,z)j + f(x,y,z)k la divergencia de f, denotada por div f y esta definida como:

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

Rotacional:

Operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Expresión en coordenadas cartesianas:

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

Laplaciano:

Si Ø,A , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

El Laplaciano de una función f es:

Campo escalar

Campo vectorial

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

Segunda ley de newton: Segunda ley de newton: la fuerza neta aplicada sobre la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo.proporcionalidad es la masa del cuerpo.

dv Fdv Fdt mdt m

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

Ley de calor de Fourier: Ley de calor de Fourier: La conducción de calor es un La conducción de calor es un mecanismo de trasferencia de energía térmica entre mecanismo de trasferencia de energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directo de sus dos sistemas basado en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de materia y que tiende a partículas sin flujo neto de materia y que tiende a igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas. diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas.

q=-k dt dx ( expresión matemática)

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

Ley de difusión de Fick:Ley de difusión de Fick: es una ley cuantitativa en es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick.térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick.

J=-D dc dx ( expresión matemática)

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO

Factor geométricoFactor geométricoporosidadporosidad

Velocidad de flujoVelocidad de flujofuentesfuentes

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO

La ecuación fundamental de flujo depende de:La ecuación fundamental de flujo depende de:

• Balance de masa• Conservación del momentum ( ley de Darcy)• Ecuación de estado

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO

Ley de Darcy: Describe: Ley de Darcy: Describe: Expresa el flujo de fluidos Expresa el flujo de fluidos en términos de presión y gravedad:en términos de presión y gravedad:

Limitaciones de la ley de Darcy: Limitaciones de la ley de Darcy: La constante de proporcionalidad K no es propia ni característicadel medio poroso.En algunas circunstancias la relación entre el Q y el gradiente hidráulico no es lineal.

CONSERVACIÓN DEL MOMENTUMCONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

VELOCIDAD REAL Y VELOCIDAD DE DARCY

Caudal = sección * velocidadCaudal = sección * velocidad

L3/T=L2*L/TL3/T=L2*L/T

La velocidad de Darcy es falsa puesto que el fluido no se mueve en su La velocidad de Darcy es falsa puesto que el fluido no se mueve en su totalidad por la sección transversal.totalidad por la sección transversal.La parte de la sección por la cual puede circular el fluido es la porosidad eficaz. velocidad lineal media= VDarcy/ Vefectiva no sirve para calcular la distancia entre dos puntos.

velocidad real= velocidad lineal media* coeficiente El coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso.

La tortuosidad: es una característica que representa La tortuosidad: es una característica que representa lo tortuoso de una curva, es decir, el grado de lo tortuoso de una curva, es decir, el grado de vueltas o rodeos que tiene.vueltas o rodeos que tiene.Existen varios intentos de medir este índice, Existen varios intentos de medir este índice, aplicables a distintos escenarios.aplicables a distintos escenarios.

ECUACIÓN DE ESTADO

En un En un fluido incompresiblefluido incompresible la densidad ( la densidad (ρρ) es ) es constante.constante.

En un En un fluido lentamente compresiblefluido lentamente compresible tenemos que: tenemos que:

ρρ==ρρ (1+cp). (1+cp).

Ecuación de estado de los Ecuación de estado de los fluidos compresiblesfluidos compresibles

ρρ= pM/zRT         ó          pM= = pM/zRT         ó          pM= ρρzzRT RT

APROXIMACIONES

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es

resuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediosos resuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediosos

cálculos aritméticos”).cálculos aritméticos”).

APROXIMACION NUMERICA:APROXIMACION NUMERICA:

Se entiende por aproximación numérica a una cifra que Se entiende por aproximación numérica a una cifra que representa un número cuyo valor exacto es x. En la medida en representa un número cuyo valor exacto es x. En la medida en que la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejor que la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejor aproximación de ese número.aproximación de ese número.

APROXIMACIONES

Aproximación numérica

Cifras significativas

Numero de dijitos en la mantisa

exactitud

precisión

Convergencia

Estabilidad

Selección de alternativas

APROXIMACIONES

Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no nulos, número de dígitos t, que se número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable.pueden usar, con confianza, al medir una variable.

El manejo de cifras significativas permite desarrollar El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos.obtenidos.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

EXACTITUD Y PRECISIÓN

La precisión:La precisión: se refiere al número de cifras significativas que se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad.representa una cantidad.

La exactitud:La exactitud: se refiere a la aproximación de un número o de se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor numérico que se supone representa.una medida al valor numérico que se supone representa.

                                                                              

                            

                                                                              

                            

                                                                              

                            

Exactitud bajaExactitud bajaPrecisión altaPrecisión alta

Exactitud altaExactitud altaPrecisión bajaPrecisión baja

Exactitud altaExactitud altaPrecisión altaPrecisión alta

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

CONVERGENCIA: CONVERGENCIA: Se entiende por convergencia de un método Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.vez más al verdadero valor buscado.

ESTABILIDAD:ESTABILIDAD: Se entiende por estabilidad de un método numérico el Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseadose alejan cada vez más del resultado deseado

SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS

El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se requiere elegir entre:requiere elegir entre:

1. Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema1. Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema2. Varias herramientas tecnológicas2. Varias herramientas tecnológicas

Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y otra, que depende de:otra, que depende de:

1. El nivel de participación en el modelado matemático del problema1. El nivel de participación en el modelado matemático del problemaIngenio y creatividad para enfrentarlo y resolverloIngenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo2. La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia2. La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS

Diferencias finitas

APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS

Se consideran normalmente tres formas de diferencias finitas :

1. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.2. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior

3. Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

ERRORES DE APROXIMACION

En el análisis numérico, al error que existe entre el valor real y el obtenido, se le llama error de aproximación.

TIPOS DE ERROR

Existen varios tipos de error, pero los más comunes son:

a) Error por truncamiento.b) Error por redondeo.

Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos.

En este caso, el error aparece al operar con representaciones numéricas finitas. Se puede solucionar utilizando más decimales, pero esto conlleva utilizar más memoria (recursos).

ERROR POR TUNCAMIENTO

ERROR POR REDONDEO

1. es.wikipedia.org/wiki 1. es.wikipedia.org/wiki

2. www.material_simulacion.ucv.cl/ 2. www.material_simulacion.ucv.cl/

3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script... 3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script...

4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para-4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para-extraccion-de-petroleo extraccion-de-petroleo

5. 5. SANTAFE, Elkin R. “Elementos básicos de modelamiento matemático”. Clases-Universidad Industrial de Santander Año-2009.

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