MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Definición El método de Gauss-Jordan es un método aplicable

únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, consiste en que a partir de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones (matriz de coeficientes y de términos independientes), se halla otra matriz equivalente a la matriz aumentada mediante operaciones elementales de fila y/o columna, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz.

La nueva matriz hallada puede ser una matriz identidad o una matriz escalonada reducida por filas.

La matriz de coeficientes no necesariamente debe ser una matriz cuadrada, puede ser de cualquier tipo.

Con este procedimiento logramos las soluciones de cada incógnita sin emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución de las mismas. En el método de Gauss, a partir de la última ecuación, se sustituye su solución en la anterior, realizando este proceso con todas las ecuaciones, y se encuentra las soluciones. El método de Gauss-Jordan permite encontrar las soluciones directamente.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones

Su matriz aumentada correspondiente es:

Y las soluciones que obtendremos al aplicar el método son:

x= 1 y=-1 z= 2

Procedimiento

1. Escribimos la matriz aumentada correspondiente al sistema de ecuaciones.

2. Ir a la columna no cero extrema izquierda. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarla con otra que no lo tenga, también se puede intercambiar por otra columna.

3. Realizamos operaciones de fila o columna, según sea el caso, para obtener el 1 en la primera fila:* Multiplicar una fila o columna por un escalar no nulo.

* Intercambiar de posición dos filas entre si o dos columnas entre si. * Sumar a una fila o columna un múltiplo de otra.

Nota: las operaciones se realizan entre filas o entre columnas, no entre filas y columnas, por ejemplo no se puede hacer esto: a la fila 1 sumar la columna dos.

4. Obtener ceros debajo de este primer elemento delantero (el 1 conseguido en el paso anterior), mediante las operaciones anteriores.

5. Se aplican los mismos pasos para obtener el 1 en las siguientes filas, procurando que este mismo 1 sea el primer elemento no nulo de cada fila (1 principal), este debe estar más a la derecha que

el 1 principal de la fila anterior. Debajo de cada 1 principal deben constar ceros.

En resumen: cada fila debe comenzar con un 1, teniendo ceros a su izquierda y debajo, se realiza así para que el proceso sea más fácil.

6. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de este aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo. Luego de realizar este paso con todas las filas se obtendrá una matriz escalonada reducida por filas o una matriz identidad.

7. Cada coeficiente correspondiente a cada uno de los 1 de la matriz hallada se iguala con su respec-

tiva solución que se encuentra en la matriz de términos independientes, obteniendo así las soluciones al sistema de ecuaciones.

Observaciones

• El método de Gauss-Jordan es una variación del método de Gauss. La principal diferencia consiste en que el método de Gauss-Jordan, cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad o una matriz escalonada reducida por filas.

Aplicaciones

Este método sirve para:• Hallar una matriz escalonada reducida por

filas o una matriz identidad.• Hallar la matriz inversa.• Analizar los sistemas de ecuaciones lineales

que involucran 1 o más constantes cuyos valores para el cual el sistema tiene única solución, tiene infinitas soluciones o no tiene solución.