SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: ALGUNOS DETALLES Ejercicio 1 seminario 7 Un sistema de ecuaciones se puede representar a través de su forma ecuacional , su forma matricial y su forma vectorial. Además a los efectos de resolverlo, se trabaja con la matriz ampliada. Aquí se presentan algunos ejemplos: a) x - 3 y = 0 2x - 1 = 5 y Se ordena el sistema x - 3 y = 0 2x - 5 y =1 Forma matricial Forma vectorial Matriz ampliada

1 3 02 5 1

xy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

01

1 32 5

x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 32 5

01

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

b) - 2 z + 4 w = -2 3 z - 6 w = 3 Forma matricial Forma vectorial Matriz ampliada

2 4 23 6 3

zw

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎦

23

2 4

3 6z w⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 4 2

3 6 3

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

c) x – z = y y + z = – x x – y – z = 1 Ordenamos el sistema: x – y – z = 0 x + y + z =0 x – y – z = 1 Forma matricial Forma vectorial Matriz ampliada

1 1 1 01 1 1 01 1 1 1

xyz

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

001

1 1 11 1 11 1 1

x y z⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ + = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 1 01 1 1 01 1 1 1

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

2) Resolver por Gauss-Jordan realizando el correspondiente análisis de rango. a) 2 x + 4 y -2 z = 0 x + z = 0 3 x + 2 y = - z

2 4 2 01 0 1 03 2 1 0

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Intercambiando filas 1 y 2

1 0 1 02 4 2 03 2 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Eliminamos el 2, multiplicando la fila pivote por -2 y sumándosela a la fila 2 Eliminamos el 3, multiplicando la fila pivote por -3 y sumándosela a la fila 3

1 0 1 00 4 4 00 2 2 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Multiplicamos la fila 2 por ¼

1 0 1 00 1 1 00 2 2 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Multiplicamos la fila pivote (fila 2) por -2 y se la sumamos a la fila 3

1 0 1 00 1 1 00 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Hemos llegado a la matriz reducida, si realizamos el análisis de rango observamos que r(A)=2, r(A/B)=2 <3 =número de incógnitas, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado Para obtener la estructura de las infinitas soluciones se pasa este último esquema matricial a forma de ecuaciones. x + z = 0 y - z= 0 Ahora se despeja las incógnitas asociadas a los unos pivotes. x=-z, y=z con z cualquiera. Finalmente la solución será (-z, z , z) con z∈ R

OBSERVACIONES: El método de Gauss-Jordan no hace diferencias entre sistemas rectangulares ó sistemas cuadrados, sino que partir de la matriz ampliada del sistema (es decir la matriz de coeficientes a la cual se le agrega el vector de términos independientes) y luego se efectúan operaciones elementales por filas con el objetivo de pasar a un sistema mucho más simple que el que teníamos, un sistema reducido. En términos más específicos se intenta obtener lo que se denomina la matriz escalonada y reducida de A. (Una matriz se dice reducida escalonada por filas cuando: • el primer elemento no nulo de cada fila es 1, • todos los que están por encima y por debajo de dicho 1 son ceros. • Cada fila tiene más ceros a izquierda que la anterior • Si existen filas nulas estas son las últimas-) Una vez reducida A se aplica el teorema de Rouché Frobenius. De acuerdo con esto pueden presentarse 3 casos: CASO 1: Por ejemplo que se llegue a una matriz como la siguiente:

1 0 0 ╎ 50 Forma reducida A╎B = 0 1 0 ╎-10 0 0 1 ╎ -20 0 0 0 ╎ 0 Aquí rango de A = 3 = rango de la ampliada = número de incógnitas. Entonces el sistema es compatible determinado con una única solución, ¿cómo obtener la solución? volviendo a la forma de ecuaciones pero de la matriz reducida La primera fila se puede expresar como: 1x +0y +0z = 50 x=50 La segunda fila 0x + 1 y + 0z = -10 y = -10 La tercera fila 0x +0y +1 z = -20 z = -20 La cuarta fila es una identidad no aporta condición sobre las incógnitas. CASO 2: Por ejemplo que se llegue a una matriz como la siguiente:

1 0 3 ╎ 50 Forma reducida A╎B = 0 1 6 ╎-10 0 0 0 ╎ 0 0 0 0 ╎ 0 Aquí rango de A = 2 = rango de la ampliada < 3 ( número de incógnitas). Entonces el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones, ¿cómo obtener la solución? volviendo a la forma de ecuaciones pero de la matriz reducida La primera fila se puede expresar como: 1x +0y +3z = 50 x=50 –3z (siempre se despejan las que están asociadas a los 1 de la matriz reducida) La segunda fila 0x + 1 y + 6z = -10 y = -10-6z La tercera fila es una identidad no aporta condición sobre las incógnitas. La cuarta fila es una identidad no aporta condición sobre las incógnitas. Es decir x está condicionada, ............................ x=50 –3z y también está condicionada ........................... y = -10-6z pero sobre z no hay ninguna condición z es cualquier número real Por eso se expresa la solución general como X = CASO 3: Por ejemplo que se llegue a una matriz como la siguiente:

1 0 0 ╎ 50 Forma reducida A╎B = 0 1 0 ╎-10 0 0 0 ╎ -20 0 0 0 ╎ 0

Rzε;z

6z103z5

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

Aquí rango de A = 2 < 3 = rango de la ampliada . Entonces el sistema es incompatible. Aquí no hay solución ó el conjunto solución es vacío.