UNAM

Nombre: Luis Fernando Ramirez Pérez

Materia: Métodos Numéricos

Profesor: Lechuga Alarcón Luis Alberto

Carrera: Ing. Eléctrica Electrónica

Grupo: 2406

Desarrollo

Método iterativo

Es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial.

El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.

Ventajas y Desventajas

Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la solución.

Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para obtener la solución en forma exacta. También se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de cálculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de iteraciones es relativamente reducido

Método Iterativo General Un método iterativo consta de los siguientes pasos.

1. inicia con una solución aproximada (Semilla),

2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.

3. se repite el paso anterior, pero usando como semilla la aproximación obtenida.

Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de

millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

Aplicar un método iterativo para la resolución de un sistema S Ex=b, consiste en transformarlo en lo que se denomina un sistema de punto fijo, que sea equivalente al dado y cuya solución se aproxima paso a paso.

Para obtener el sistema de punto fijo equivalente al dado se elige una matriz M que sea fácil de invertir y escribimos la matriz A como: A = M + (A – M),   entonces el sistema Ex=b se transforma en: (M + (A – M))x = b Mx = (M – A)x + b Si designamos N = M‐A, nos queda  Mx = Nx + b  (*).

La aproximación k‐ésima de la solución, x (k), se obtiene, en la iteración k, a partir de la aproximación anterior  x (k‐1)   Mx(k) = Nx(k‐1) + b Cuando este proceso es convergente el límite de las aproximaciones x (k) cuando k es la solución del sistema de punto fijo planteado y, en consecuencia, del sistema S inicial. En cada iteración, el sistema (*) es fácil de resolver si M es diagonal o triangular.

Por otro lado, es conveniente que M no sea muy diferente de A. Las tres opciones para M que presentan mejores resultados son: M = D , donde D es la matriz diagonal cuya diagonal es la de A  (Método de Jacobi) M = L+D, donde L+D es la parte triangular inferior de A  (Método de Gauss‐Seidel) M = L+D/, donde es un número elegido para ponderación  (Método de Sobre relajación) El Método de Gauss‐Seidel es un caso particular del de Sobre relajación cuando se toma = 1. El método de Sobre relajación con 0 < 1 para acelerar la convergencia cuando Gauss‐Seidel converge.

Bibliografía

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/Metodos/Apuntes/SisECLin_Tema3.pdfhttp://www.mty.itesm.mx/dmti/materias/ma2008/lecturas/ma2008-09a.pdf