Metodo ion Angular-21!12!10

Resistencia de MaterialesResistencia de Materiales Ing. Humberto Joel Ramírez RomeroIng. Humberto Joel Ramírez Romero

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJAUNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de LojaLa Universidad Católica de Loja

ASIGNATURA: Resistencia de Materiales PERÍODO: Abril – Agosto 2010CICLO: QuintoDOCENTE: Ing. Humberto Ramírez Romero

MÉTODO DE LA DEFORMACIÓNMÉTODO DE LA DEFORMACIÓN ANGULARANGULAR

PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Algunos conceptos son necesarios antes del desarrollo de la ecuación de la deformación angular.

ESTABILIDAD.- Una estructura estable soportará cualquier sistema concebible de cargas aplicadas, resistiendo estas cargas elástica e inmediatamente a su aplicación, considerando la resistencia de todos los miembros y la capacidad de todos los soportes, infinita.

Estructura estable

La estabilidad se la debe investigar para un estado general de cargas. Esto significa que:

a) La estructura debe permanecer en reposo.b) No debe moverse ninguna de sus partes con respecto a otra.c) No debe cambiar exageradamente su forma original.

Aun cuando una estructura puede ser estable para una carga o un sistema de cargas particular, a menos que sea también estable para cualquier otro sistema concebible de cargas, se clasifica como inestable. Frecuentemente, una estructura inestable será estable bajo un sistema particular de cargas aplicadas, en estas condiciones se dice que la estructura está en equilibrio inestable.

Estructura inestable Estructura en equilibrio inestable


ESTRUCTURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA.- Una estructura es estáticamente determinada cuando el número de reacciones desconocidas es igual al número de ecuaciones disponibles de la estática.

ESTRUCTURA ESTÁTICAMENTE INDETERMINADA O HIPERESTÁTICA.- Refiriéndose a una estructura en el plano, una estructura indeterminada puede definirse como aquella para la que las componentes de reacción y esfuerzos no pueden determinarse completamente por la aplicación de las tres ecuaciones de condición para equilibrio estático: Σ H = 0, Σ Y = 0 y Σ M = 0.

El grado de indeterminación o hiperestaticidad de una estructura dada es el número de incógnitas que se cuentan sobre el número de ecuaciones de condición disponibles para la solución.

Supongamos que la barra jk está sustentada sólo en un apoyo articulado en j, si se aplica una carga a la barra, es indudable que girará alrededor de la articulación j. Por tanto, una barra sustentada de esta forma es una estructura inestable. Sin embargo, por medio de un nuevo apoyo de rodillo en k, evitamos el giro alrededor de j y se convierte en estructura estable; se constata que es también una estructura estáticamente determinada.

Inestable Estable y estáticamente determinada

Estable y estáticamente indeterminada

Si añadimos otro apoyo de rodillo en un punto intermedio entre j y k, tenemos más reacciones que el mínimo necesario para el equilibrio estático y ya no será una estructura estáticamente determinada sino indeterminada.

Entre otros, los métodos que se pueden aplicar para analizar una estructura estáticamente indeterminada están:

Ecuación de la deformación angularDistribución de momentosDe los desplazamientos

DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE LA DEFORMACIÓN ANGULAR.- El método de la deformación angular fue presentado por G.A. Maney en 1915, como método general para su empleo en el estudio de las estructuras con nudos rígidos. Es útil por sí mismo y proporciona un medio excelente para introducir los métodos de

j k j k

j k


distribución de momentos (métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones). Las ecuaciones fundamentales se deducen por medio de los teoremas del área de momentos. Consideran la deformación producida por el momento flector y desprecian la deformación debida al cortante y la fuerza axial. Como el efecto de la deformación del cortante y la fuerza axial en el estudio de las tensiones de la mayoría de las vigas y pórticos indeterminados es muy pequeño, el error resultante del uso de estas ecuaciones como base del método de la deformación angular es también muy pequeño.

MOMENTO TRANSMITIDO.- Es el momento que se produce en el extremo empotrado de una viga por la acción de otro momento aplicado en el extremo opuesto, articulado.

El momento Mkj aplicado en el extremo articulado k transmite al extremo empotrado j, la mitad de su valor con signo contrario.

θk

L

RIGIDEZ DE UNA VIGA.- Es el momento que es necesario aplicar en el extremo articulado de una viga para producir un giro unitario en este extremo, permaneciendo el otro (extremo) empotrado.

Como , entonces, , de donde,

j k

Mjk Mkj

MkjMjk


Si k es igual a un radián, entonces

Según la definición, la rigidez de una barra prismática, llamada en este caso rigidez

absoluta, Ka, es: . Si el módulo elástico es

constante a lo largo de toda la barra, puede utilizarse la rigidez relativa

La ecuación fundamental de la deformación angular es una expresión del momento en el extremo de una barra en función de cuatro cantidades: El giro de la tangente en cada extremo de la elástica de la barra, el giro de la cuerda que une los extremos de la elástica y las cargas exteriores aplicadas a la barra.

CRITERIO DE SIGNOS.

a) Los momentos en los extremos de una barra son positivos si actúan en el sentido de giro las agujas del reloj.

( - ) ( + ) ( + ) ( - )

Con este criterio, el momento transmitido al extremo empotrado es del mismo signo que el aplicado en el extremo articulado.

b) Sea θ el giro de la tangente a la elástica en el extremo de una barra, respecto a la posición original de la misma. El ángulo θ es positivo cuando la tangente a la elástica ha girado en el sentido de las agujas del reloj desde su dirección original.

d) Sea Ψ (psi) el giro de la cuerda que une los extremos de la elástica, respecto a la dirección original de la barra. El ángulo Ψ es positivo cuando la cuerda ha girado en el sentido de las agujas del reloj desde su dirección original.

j' k'

j

k

j'k'


Consideremos una barra que tiene E e I constantes en toda su longitud y que es recta inicialmente. Supongamos que sobre ella actúan los momentos extremos positivos Mjk y Mkj y una carga cualquiera.

Sea jk la elástica de esta viga y j’ y k’ su posición inicial sin deformación. θj, θk y Ψjk son positivos.

Se puede considerar que el diagrama de momentos flectores de esta barra es la superposición de tres efectos separados: l) La contribución de cada una de las partes triangulares M’ y M’’, que corresponden a los momentos extremos actuando por separado y la de la carga aplicada actuando sola, suprimidos los momentos en los extremos, que viene dada por las ordenadas Mo. En otras palabras, las ordenadas Mo son las correspondientes al diagrama de momentos de la viga simple. El momento flector total en un punto cualquiera será la suma algebraica de Mo, M’ y M’’, pero es más fácil considerar, para esta demostración, las tres partes por separado.

Mjk Mkjcarga

EI

L

j k

Mo

M'M''

Mjk

Mkj

j' k'

jk

j

j

k


Calculamos Δj y Δk por el método del área de momentos:

(a)

De igual manera puede obtenerse k:

(b)

Donde (mo)j es el momento estático, respecto a un eje que pasa por j, del área bajo la parte Mo del diagrama de momentos, y (mo)k es el momento estático correspondiente, respecto a un eje por k.

Teniendo en cuenta que los ángulos y las deformaciones son en realidad pequeños, se pueden considerar iguales a sus tangentes:

( c )

Resolviendo el sistema de ecuaciones (a) y (b) y sustituyendo en las expresiones

obtenidas los valores de de las ecuaciones (c), se tiene finalmente:

( d )

( d’ )

k


Hasta ahora no se ha definido la hipótesis de carga y las ecuaciones d y d’ son válidas para cualesquiera de ellas. El último término entre corchetes es una función del tipo de carga. Supongamos que θj, θk y Ψjk, son todos iguales a cero. Los últimos términos de las ecuaciones d y d’ son, respectivamente, iguales al momento en el extremo k y en el j de la barra. Pero si θj, θk y Ψjk son iguales a cero, significa que los extremos de la barra están completamente empotrados sin posibilidad de giro ni traslación, por lo que la barra es una viga empotrada en los extremos. Por tanto, estos últimos términos de las ecuaciones d y d’ son iguales a los llamados momentos de empotramiento perfecto, Me

( e )

Sustituyendo en las ecuaciones d y d’ , obtenemos:

( f )

( f’ )

Ecuaciones que pueden resumirse en una más general, haciendo Kjk = Ijk / Ljk, donde Kjk es el factor de rigidez relativa de la barra.

La ecuación fundamental de la deformación angular se puede escribir como:

( g )

Partiendo de la ecuación f, la ecuación de la deformación angular también puede escribirse de la forma:

( h )

Donde:

es la rigidez absoluta de la barra, , y

EJEMPLOS DE ANÁLISIS


1 2 3 4 5

Ljk 6m 6m 1m Ijk 12 12Kjk 2 2Mjk -36 +36 -8 +8 -36 +36 -6

Reacc. Isostáticas +36 +36 +8 +8 +36 +36 +12

Reacc. Hiperstáticas-5,2292 5,2292 +0,5625 -0,5625 +3,8542 -3,854 0

Reacc. Totales 30,7708 41,2292 8,5625 7,4375 39,8542 32,146 12

123

VIGAS CONTINUAS

12 kN/m 12 kN/m

16 KN

4m

30,7708

-41,2292

8,5625 8,5625

-7,4375-7,4375

39,8542

-32,146

12

0

-50-40-30-20-1001020304050

Cortante

0

39,451755

-31,3752-29,1252

37,05

-60

-40-30-20-1001020304050

Momento

-14.2502


0.35

Momento de empotramiento perfecto

Tramo 1 - 2; Tramo 3 – 4

Tramo 2 - 3;

Tramo 1 - 2

12 KN/m

6 m.

12 KN/m 4 m.

12 KN/m

PL/2L/2


(1)(2)

Tramo 2 - 3

(3)(4)

Tramo 3 - 4

(5)(6)

Tramo 4 - 5

(7)

+

+

M12 M23M23M21M21M12M32 M43 M45 M45M32 M34 M34 M43

1 2 3 4


+

+

De (1) = 0 (8)(2) + (3)

(9)(10)

(11)


EJERCICIO 2: Resolver la siguiente viga continua

Ljk 1m4m

1m 2m 1m

3mIjk 12 12 12Kjk 3 3 4Mejk +2 -5.333 5.333 -1.5 1.5 -1.8 2.7RI +4 8 8 2 2 3 6RH -0.6149 0.6149 0.95 -0.95 -0.87 0.87RT +4 7.385 8.615 2.95 1.05 2.13 6.87

4 kN / m

2 kN2 kN

1 2 3 4 5


M21 = +2 Ec 1

M23 = 2E (3) (2θ2 + θ3 -ψ23) – 5.333M23 = 12Eθ2 + 6Eθ3 – 5.333 Ec 2

M32 = 2E (3) (2θ3 + θ2 -ψ23) + 5.333M32 = 6Eθ2 + 12Eθ3 + 5.333 Ec 3M34 = 2E (3) (2θ3 + θ4 –ψ34) – 1.5M34 = 12Eθ3 + 6Eθ4 – 1.5 Ec 4

M43 = 2E (3) (2θ4 + θ3 –ψ34) + 1.5M43 = 6Eθ3 + 12Eθ4 + 1.5 Ec 5

M45 = 2E (4) (2θ4 + θ5 –ψ45) – 1.8M45 = 16Eθ4 + 8Eθ5 – 1.8 Ec 6

M54 = 2E (4) (2θ5 + θ4 –ψ45) + 2.7M54 = 8Eθ4 + 16Eθ5 + 2.7 Ec 7

-4

7.385

2.950.95

1.05

2.13

6.87

-2-4.46

-1.510.39

-0.66

1.412

-3.27

V

4.817

M


∑ M2 = 0 M21 + M23 = 0 12Eθ2 + 6Eθ3 - 3.333 = 0∑ M3 = 0 M32 + M34 = 0 6Eθ2 + 24Eθ3 + 6Eθ4 + 3.833 = 0∑ M4 = 0 M43 + M45 = 0 6Eθ3 + 28Eθ4 + 8Eθ5 - 0.3 = 0

Pero θ5 = 0Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas se tiene:

Eθ2 = +0.41886051Eθ3 = - 0.28222101Eθ4 = + 0.07119022 Los momentos finales en los extremos de barra son:M21 = +2M23 = -2M32 = + 4.45951087M34 = - 4.45951087M43 = +0.66095652M45 = - 0.66095652M54 = + 3.26952174

Las abscisas de los puntos de cortante nulo en el diagrama de cortante son:

Tramo 2-3: X1 = 1.84625; X2 = 2.15325Tramo 4-5: X3 = 1.45945195; X4 = 1.54054805

Las áreas en el diagrama de cortante son:A1 = 2 A2 = 6.81728 A3 = 9.27728 A4 = 2.95 A5 = 1.90A6 = 1.05 A7 = 2.07242 A8 = 4.68242

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