Deformación angular

Ing. De minas Resistencia de materiales.

Deformaciones angulares

• El módulo de deformación angular o anamorfosis angular es la diferencia entre el ángulo formado por dos líneas en la proyección y el formado por sus homólogas en la superficie terrestre

DEFORMACIÓN

• Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno de cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman.

Deformación angular

• La deformación angular es la deformación de los ángulos de un paralelepípedo, se consideran positivas cuando impliquen un giro en sentido horario, y negativas en un sentido anti horario.

no hay cambio de volumen pero si de forma. Si originalmente la sección transversal del cuerpo tiene forma rectangular, bajo un esfuerzo cortante se convierte en un paralelogramo.

Deformación angular en vigas

• Como las tensiones cortantes (τ) son las que producen las deformaciones angulares

• Se analizan vigas estáticamente indeterminadas con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que ocurren a través de su longitud cuando se les somete a carga externa

Aplicación en mina.

• En minería underground es fundamental tener conocimiento sobre la deformación angular y lineal que se ejerce sobre los marcos de sostenimiento en el socavón ya que esto contribuirá a disminuir la cantidad de accidentes producidos por la deformación y posterior ruptura de las vigas encargadas del sostenimiento de el macizo rocoso.

Esfuerzo Cortante o de Cizalladura. Módulo de Rigidez o Módulo de Corte (G).

γ

δ

τ = F/A;

γ= δ / h, para γ pequeños.

τ = G γ, donde:

τ: Esfuerzo cortante o de cizalladura (FL-2)

γ: Deformación angular o distorsión (radianes)G: Módulo de corte o de rigidez. (FL-2)

τ = G γF/A = G δ/h

G = Fh / A δ … MODULO DE CORTE O DE RIGIDEZ.

Puesto que las deformaciones pueden variar de un punto a otro, las definiciones de deformación deben relacionarse a un elemento infinitesimal.

Si un cuerpo se deforma en dos direcciones perpendiculares, como se muestra para un caso bidimensional en la figura 3, los desplazamientos en las direcciones x y ;y son

respectivamente, y en este caso, las

deformaciones lineales unitarias en dichas

direcciones se pueden definir como

Generalizando, para un caso tridimensional, si los desplazamientos en las direcciones (x,y,z) son:

respectivamente,  entonces, las deformaciones lineales se pueden definir de la forma

Se muestra el caso para una deformación angular en el plano xy. Puesto que  es el desplazamiento en la dirección de y, a medida que se avanza en la dirección de x,

es la pendiente del lado inicialmente horizontal del elemento infinitesimal. Análogamente, el lado vertical se inclina un ángulo

.

El ángulo  inicialmente recto se reduce en la cantidad

.

Para cambios de ángulo pequeños, la definición de deformación angular, relacionada con las coordenadas xy es

Para un elemento tridimensional, se pueden definir, en forma análoga, las deformaciones angulares

También se conocen como ecuaciones de compatibilidad cinemática y relacionan deformaciones con los desplazamientos relativos.

TENSOR DEFORMACIÓN Para poder escribir a las deformaciones como un tensor es necesario hacer ciertas consideraciones.

En la figura, los elementos deformados de los esquemas (a) y (b),  se obtienen girando un ángulo

el elemento del esquema (c), como un cuerpo rígido. El elemento así mostrado es el indicado para medir o definir la componente de deformación por cortante como elemento de un tensor, es decir, en forma lineal, no angular.Como en esta definición el elemento no es girado como un cuerpo rígido se dice que la deformación es pura o irrotacional. Siguiendo este enfoque, otra definición de las deformaciones por cortante será

A partir de estas ecuaciones, el tensor deformación puede expresarse matricialmente de la siguiente forma

De acuerdo con la ecuación, el tensor deformación es simétrico, es decir, Para un estado plano de deformaciones, el tensor puede escribirse de la forma

  

Desarrollo

Ejemplo: