MÉTODO DE MUTO Está en los resultados de la deformación por flexión en las barras son más exactos, incluso pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación El análisis sísmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de métodos que permiten resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo o viento). Entre este método encontramos el método de muto que se utiliza principalmente para resolver pórticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales. Es uno de los métodos que se usa para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida por el viento o los sismos. La diferencia que contempla a este método de otros (método del portal o del voladizo) axial son despreciables. RIGIDEZ LATERAL Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral Por equilibrio:

Siendo:

Entonces:

Multiplicando:

Resulta:

Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante V

capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene:

Rigidez lateral absoluta =

( )

h

V

V

Donde D0 es la denominada rigidez lateral estándar (en unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton/cm) calculada como:

Rigidez lateral estándar =

La rigidez lateral estándar depende de la altura de cada columna, pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor D0

Por otro lado se define a la Rigidez lateral relativa

(Adimensional) al valor:

Rigidez lateral =

El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la

columna en sus extremos, para el caso que la columna este biempotrada

(vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio si la columna esta biarticulada

a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento

lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en

su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un 1/4

(

)

(

)

( )

Pese a que la columna este articulada en su

h2

h1

h

V

V

base, el método de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a la flexión

El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la máxima rigidez lateral (K)

se obtiene cuando la columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce en 75 % y si luego se articulase en su extremo superior, k se degrada en 100% convirtiéndose en un mecanismo inestable.

tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendría que ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante, sin embargo , muto concluye que en los pórticos compuestos por vigas y columnas , la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K.

CALCULO DEL COEFICIENTE “ a” ( MUTO RECOMIENDA)

1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL PRIMERO

a.- si b.-el método es válido solo cuando K ≥ 0.2, de lo contrario, la formula es

imprecisa. El valor K es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una placa.

Kv=00 Kv=00 Kv=00

Kk

4K=0a=1 a= a=0

1

4

Kc

Kv1 Kv2

Kv4Kv3

L1 L2

Kv1 Kv2

Kv4Kv3

Kc

∑

∑

∑

2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO

a.- base semiempotrada: aparte de existir vigas de cimentación (vc), la

rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentación (K) se contempla:

cuando la base de la columna esta semiempotrada, el valor que se obtenga

de a deberá ser inferior al caso en que la base este empotrada (sub-caso b)

b.- base empotrada c.- base articulada

Kv1 Kv2

Kv4Kv3

Kz

Kc

∑

∑

Kv2Kv1

Kc

A =0.5 + K

2 +K

K =KV1 + KV2

KC

Kv4Kv3

Kc =1

hk0

A =0.5 + K

1 +2K

K =KV 1 + KV 2

KC

2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO

La condición para que un conjunto de columnas estas dispuestos en

paralelos es que su desplazamiento relativo ( ) sea único. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rígidos (aligeradas losas macizas) denominados “diafragmas rígidos” donde al existir monolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, también serán rígidas axialmente.

Estudiando un entrepiso cualquiera del pórtico mostrado y llamando Q al

cortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratara de reducir el conjunto de columnas a un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman ese entrepiso.

Como entonces: Q= V1 +V2+V3=K1. +K2. +K3. = ∑

∑

La fuerza cortante en cada columna:

(

∑ )

Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. Por otro, lado se observa que el desplazamiento del entrepiso (A) puede obtenerse si se modela al pórtico como un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea ∑Ki.

K 2 K 3K 1

F 3

F 2v1 v2 v3

Q =v1 v2 v3+ + = F2 +F3

F 3

F 2

F 1

K 1

F 3

F 2

F 1

M

3.- PÓRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas en serie

La condición para que dos o más columnas (ubicadas una sobre otra), estén dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea única, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la siguiente manera.

1º PASO

2º PASO

Entonces:

V2 =V

K 2

K 1

V2=V

V1=V

0 1

2

h 2

h 1

1

1 2+

V

V

∑(

)

(

)

Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con mezzanine, donde la altura del mezzanine la masa es pequeña, así como la aceleración sísmica con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es despreciable con relación a los que existen en los niveles superiores.

También puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el

entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequeña, la fuerza de inercia será nula en ese nivel.

4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unas tablas que permiten ubicar la posición del punto de reflexión (Di). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado se determinan los esfuerzos.

a.- Graficar el DMF en las columnas. b.- calcular los momentos en las vigas,

repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporción a las rigideces de las vigas (Kr); y gráfica su DMF.

C.- determinar la fuerza cortante en las

vigas. D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.

K 1

F 3

F 2

F 1

0 0

0

0

PÓRTICO CON MEZZANINE PÓRTICO CON VIGA EN EL ENTREPISO

A

B

PIV

MB = V(yh)

MA = V(1-y)h

h

(1-y)h

yh

UBICACIÓN DEL PUNTO DE INFLEXIÓN (PI) EN LAS COLUMNAS

Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a “Yh”, el valor “y” el valor Y se determina como Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3;

Donde ”y0”, es la altura estándar del PI, “Y1

“es una corrección por variación de rigidez de las vigas, mientras que “Y2 “ e “Y3 “ Corresponden a conecciones por diferencias de altura entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son típicos, solo se calcula “ Y0 ”.

a.- altura estándar del PI (Y0h)

Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, así como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribución de las fuerzas laterales era triangular. El cálculo de” Y0 “ se efectúa en cada eje vertical de las columnas. Es necesario saber cuántos niveles tiene el eje de la columna en análisis, en que entrepiso está ubicada y el valor de K.

b.- corrección “y1”

Esta corrección se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexión que las inferiores (B).

Para calcular” Y1 “es necesario determinar el parámetro de “ 1 “ y k.

- Si 1 1 Y1 0

(A)

(B)

PIh

y0.h

y1.h

y2.h

y3.h

y0.h

k

eje de 2

niveles

eje de

1º nivel

- Para el 10 piso “Y1 0”, salvo que la base este semiempotrada

- Si 1 1, se ingresa a la tabla con la inversa de 1 y se cambia de signo al valor “Y1”, es decir, el PI se corre hacia abajo.

c.- Correcciones “Y2”,” Y3”

Estas correcciones se efectúan cuando la columna superior o inferior a la que está en estudio, tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcular

los parámetros 2 , 3, K. Observaciones:

- Si 21 Y2 0

- Si 31 Y3 0

- Para columnas del 10 piso Y3 0

- Para columnas del 20 piso Y2 0

K v 3 K v4

K v2K v1

K

(B)

(A)

hi

h

hs

KCOLUMNA EN

ANALISIS

MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS

El método asigna a cada columna un valor característico “D” que viene a ser la relación entre el corte que toma la columna y la deformación que la produce. Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relación entre las sumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna. El corte que forma cada columna “j” del entrepiso, esta dado por:

: Corte que toma la columna j

: Corte debido a la constante de entrepiso Q

: Corte debido a la torsión

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS Los pasos a seguir son:

1) Calculo de los valores de D 2) distribución de la cortante de entrepiso Q entre las columnas

proporcionalmente a sus valores D.

∑

Dj: constante relativa de la columna j ∑Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado

3) determinación de los puntos de inflexión de las columnas y cálculo de los momentos flectores.

4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas. 5) Corrección de torsión.

VALORES D EN LAS COLUMNAS a) Para columnas de altura uniforme

A : constante que depende de K

Kc : rigidez de la columna considerada

CASO Nº 01

K v 3 K v4

K v2K v1

Kc

Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2 , o a la inversa ; el valor de A

no debe ser mayor que el que resultaría de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente:

CASO Nº 02: extremo empotrado (primer piso) CASO Nº 03: extremo articulado

K v2K v1

Kc

K v2K v1

Kc

b) caso en que las columnas son de altura no uniforme. CASO Nº 04: Una columna de altura “h” que difiere de la altura estándar “h”

CASO Nº 05: Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 las cuales sumadas dan la altura estándar h

CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MÉTODO DE MUTO

Para el cálculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. ya que las limitaciones del método están dadas por el valor de K En cuento K se haga más pequeño el error se incrementara, debido a que una hipótesis base es que las vigas son suficientemente rígidas; un pequeño valor de K indicara que esta condición no se cumple satisfactoriamente.

Posteriormente hallamos las rigideces

para vigas y columnas tanto en la

dirección X como Y. Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.

h

h'

D1 D2

D

(

)

h D

h1.D1

h2.D2

(

)

(

)

CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES.

Según la fórmula del Dr. Muto

Se debe cumplir Dirección x:

K v2K v1

Kc

K v 3 K v4

K v2K v1

Kc

(

)

(

)

2.13

0.53

2.13

0.53

2.13

DIRECCIÓN Y:

=0.384

0.9

0.533

0.9

0.533

0.9

Ejemplo nº 01 Resolver el pórtico mostrado en la figura suponer: E =210 ton/cm2

Vigas: 30x60 cm2

Columnas: 30x45 cm2 K0 =1000 cm3

Solución:

coeficiente de rigidez a flexión

PARA VIGAS: PARA COLUMNAS:

Para h= 200 cm

Para h=300 cm Para h=600 cm

10 Tn

5 Tn

3m

3m

2m

6m 6m

Calculo del coeficiente a

I. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero

II. base empotrada

III. base articulada PARA EL EJEMPLO Rigidez lateral absoluta:

Para h=200 cm; D0=63 ton/cm Para h=300 cm; D0=28 ton/cm Para h = 600 cm; D0 = 7 ton/ cm

∑

∑

∑

KV=0.9 KV=0.9

KC=0.76

KV=0.9 KV=0.9

( )

( )

Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.

CALCULO DE : TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

Kv=0.9

Kc=0.76

K=2(0.9)/(2 x 0.76)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(0.76)=0.28

K=0.28(28)=7.84

Kv=0.9

Kv=0.9

Kv=0.9

Kc=0.76

K=4(0.9)/(2 x 0.76)=2.37

A=2.37/(2+2.37)=0.54

D=0.54(0.76)=0.41

K=0.41(28)=11.48

Kc=0.76

K=(3x0.9)/(2 x0.76)=1.78

A=1.78/(2+1.78)=0.47

D=0.47(0.76)=0.36

K=0.36(28)=10.08

Kv=0.9

Kc=0.76

K=2(0.9)/(2 x 0.76)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(0.76)=0.28

K=0.28(28)=7.84

Kc=0.76

K=2(0.9)/(2 x 0.76)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(0.76)=0.28

K=0.28(28)=7.84

Kc=0.38

K=0.9/0.38=2.37

A=(0.5+2.37)/(2+2.37)=0.66

D=0.66(0.38)=0.25

K=0.25(7)=1.75Kc=1.14

K=0.9/1.14=0.79

A=0.5(0.79)/(1+2(0.79))=0.15

D=0.15(1.14)=0.17

K=0.17(63)=10.71

Kc=0.76

K=0.9/0.76=1.18

A=(0.5+1.18)/(2+1.18)=0.53

D=0.53(0.76)=0.4

K=0.4(28)=11.2

10 Tn

K=7.84+11.48+7.84

5 Tn

K=1.75

K=10.08+7.84

K=11.2+10.71

10 Tn

K=27.16

5 Tn

K=1.75 K=1

1

17.92

1

21.91+

= 9.86

10 Tn

5 Tn

15(1.75)

(1.75+9.86)

15(9.86)

(1.75+9.86)

=12.74

10 Tn

5 Tn

2.25 Tn

12.74 Tn

10 Tn

=2.2612.74 Tn

2

3

1

∑

∑

∑

Ejemplo nº 01 con K0 =760 cm3 Resolver el pórtico mostrado en la figura suponer: E =210 ton/cm2

Vigas: 30x60 cm2

Columnas: 30x45 cm2 K0 =760 cm3

Solución:

coeficiente de rigidez a flexión

PARA VIGAS: PARA COLUMNAS:

Para h= 200 cm

Para h=300 cm Para h=600 cm

10 Tn

5 Tn

3m

3m

2m

6m 6m

Calculo del coeficiente a

IV. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero

V. base empotrada

VI. base articulada PARA EL EJEMPLO Rigidez lateral absoluta:

Para h=200 cm; D0=47.88 ton/cm Para h=300 cm; D0=21.28 ton/cm Para h = 600 cm; D0 = 5.32 ton/ cm

∑

∑

∑

( )

( )

KV =1.18 KV =1.18

KC =1

KV =1.18 KV =1.18

Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.

CALCULO DE : TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

∑

∑

∑

10 Tn

K=7.87+11.49+7.87

5 Tn

K=1.75

K=10 +7.87

K=11.27+11.01

10 Tn

K=27.23

5 Tn

K=1.75 K=1

1

17.87

1

22.28+

= 9.92

10 Tn

5 Tn

15(1.75)

(1.75+9.92)

15(9.92)

(1.75+9.92)

=12.75 ton

10 Tn

5 Tn

2.25 Tn

12.75 Tn

10 Tn

=2.25 ton12.75 Tn

2

3

1

Kv=1.18

Kc=1

K=2(1.18)/(2 x 1)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(1)=0.37

K=0.37(21.28)=7.87

Kv=1.18

Kv=1.18

Kv=1.18

K=4(1.18)/(2 x 1)=2.36

A=2.36/(2+2.36)=0.54

D=0.54(1)=0.54

K=0.54(21.28)=11.49

K=(3 x 1.18)/(2 x1)=1.77

A=1.77 /(2+1.77)=0.47

D=0.47(1)=0.47

K=0.47(21.28)=10

Kv=1.18

Kc=0.5

K=1.18/0.5=2.36

A=(0.5+2.36)/(2+2.36)=0.65

D=0.65(0.5)=0.33

K=0.33(5.32)=1.75Kc=1.5

K=1.18/1.5=0.79

A=0.5(0.79)/(1+2(0.79))=0.15

D=0.15(1.5)=0.23

K=0.23(47.88)=11.01

Kc=1

K=1.18/1=1.18

A=(0.5+1.18)/(2+1.18)=0.53

D=0.53(1)=0.53

K=0.53(21.28)=11.27

Kc=1

Kc=1

Kc=1

K=2(1.18)/(2 x 1)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(1)=0.37

K=0.37(21.28)=7.87

Kc=1

K=2(1.18)/(2 x 1)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(1)=0.37

K=0.37(21.28)=7.87

EJEMPLO Nº2: Aplicando el método de muto, analizar el pórtico ASUMIR:

Vigas : 0.3x 0.5 m2

Columna: 0.3 x 0.4 m2 K0=0.0004 m3

E=2000000 Ton/m2

Solución Coeficiente de rigidez a flexión Vigas: Para h= 5m , Kv=1.56 Para h= 6m , KV=1.30 COLUMNAS: Para h = 3m, KC=1.33 Para h = 4m, KC=1 RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA Para h=3m, D0=1067 ton/m Para h=4m, D0=600 ton/m Luego de hallar los valores de ,D ,K de cada columna se tiene:

15 Tn

8 Tn3m

4m

5m 6m

Kv=0.9 Kv=0.9

Kv=0.9 Kv=0.9

Kc=1.33

k=1.17

a=0.37

D=0.49

K=523 ton/m

Kc=1.33

k=1.56

a=0.58

D=0.58

K=348 ton/m

Kc=1

k=2.86

a=0.69

D=0.69

K=414 ton/m

Kc=1.33

k=2.15

a=0.52

D=0.69

K=736 ton/m

Kc=1

k=1.3

a=0.55

D=0.55

K=330 ton/m

Kc=1.33

k=0.98

a=0.33

D=0.44

K= 469 ton/m

Calculo de APLICACIÓN POR EL MÉTODO DE MUTO Aplicamos el método a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2) Analizamos el primer nivel Hallamos la rigidez para las vigas y columnas

E=15100*√ E=15100*√ E=2.1882*106 ton/m2

VIGA: 0.25x0.50 m Columna: 0.25x0.50 m Kv=I/hK0

Consideramos como rigidez estándar de la estructura K0=0.001 m3

Coef. De rigidez a flexión:

K= 348 + 414 + 330 =1092 tn/m

K= 523+736 + 469 =1728 ton/m

15 tn

8 tn

15 tn

8 tn

15 tn

23 tn

1

2

∑

∑

C1 C3 C8 C11

3,5

5,425 5,425 5,425

Para c1: Se debe cumplir que K>0.2

PÓRTICO X1: PARA LAS RIGIDECES LATERALES 3º PISO: 2900.8290 ton/m 2º PISO: 2900.8290 ton/m 1º PISO: 3116.5695 ton/m

(

)

( )

K=0.553

a=0.217

Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

0.480 0.480 0.480

0.7

44

0.8

68

0.8

68

K=0.553

a=0.217

Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

K=0.645

a=0.433

Dx=0.322

K=690.4735 ton/m

K=1.106

a=0.356

Dx=0.309

K=901.829 ton/m

0.480 0.480 0.480

0.480 0.480 0.480

0.7

44

0.8

68

0.8

68

0.7

44

0.8

68

0.8

68

0.7

44

0.8

68

0.8

68

K=1.106

a=0.356

Dx=0.309

K=901.829 ton/m

K=1.106

a=0.356

Dx=0.309

K=901.829 ton/m

K=1.106

a=0.356

Dx=0.309

K=901.829 ton/m

K=1.29

a=0.544

Dx=0.405

K= 867.8113 ton/m

K=1.29

a=0.544

Dx=0.405

K= 867.8113 ton/m

K=0.553

a=0.217

Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

K=0.553

a=0.217

Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

K=0.645

a=0.433

Dx=0.322

K=690.4735 ton/m

A B C D

BIBLIOGRAFÍA:

“ANÁLISIS DE EDIFICIOS”. Ángel San Bartolomé; 2da edición 1999; universidad católica del Perú.

“DISEÑO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS DE CONCRETO ARMADO” Genaro Delgado Contreras; EDICIVIL; 2003.