Método de Gauss
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar el precio de cada artículo.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior mediante el Método de Gauss.
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
a) Traducimos al lenguaje algebraico el enunciado del problema.
Si llamamos x a la leche, y al jamón serrano y z al aceite de oliva:
24x + 6y +12z = 156
z = 3x
y = 4z + 4x
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
b) Para resolver el sistema del apartado anterior por el Método de Gauss debemos transformarlo en un sistema escalonado de la forma:
?x + ?y + ?z =?
0 + ?y + ?z = ?
0 + 0 + ?z = ?
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
Pasos:
1- Ordenamos las ecuaciones:
24x + 6y + 12z = 156
3x – z = 0
4x – y + 4z = 0
1ª
2ª
3ª
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
2- suprimimos la x de la 2ª ecuación, reduciéndola con la 3ª. Multiplicamos la 2ª por 4, la 3ª por (-3) y sumamos. Obtenemos la 2ª ecuación sin x.
12x + 0y – 4z = 0
-12x + 3y – 12z = 0
0x + 3y – 16z = 0
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
3- Suprimimos la x de la 3ª ecuación, reduciéndola con la 1ª. Multiplicamos la 3ª por (-6) y sumamos. Obtenemos la 3ª ecuación sin x.
24x + 6y + 12z = 156
-24x + 6y - 24z = 0
0x + 12y - 12z = 156
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
Escribimos el sistema obtenido:
24x + 6y + 12z = 156
0x + 3y - 16z = 0
0x + 12y - 12z = 156
1ª
2ª
3ª
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
4- Suprimimos la y de la 3ª ecuación, reduciéndola con la 2ª. Multiplicamos la 2ª por (-4) y sumamos.Obtenemos la 3ª ecuación sin y.
-12y + 64z = 0
12y - 12z = 156
0y + 52z = 156
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
5- Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones:
24x + 6y + 12z = 156
3y – 16z = 0
52z = 156
1ª
2ª
3ª
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Resolución de problemas mediante el Método de Gauss
Calculamos z en la 3ª ecuación:
52z = 156
Sustituimos z en la 2ª y calculamos y:
3y – 16 ∙ 3 = 0
Sustituimos z e y en la 1ª y calculamos x:
24x + 6∙16 + 12∙3 = 156
z = 3
3y = 48 y =16
24x = 156 – 96 -36
24x = 24 x = 1