11upc07_El Método de Gauss

Mdulo 11Mtodos NumricosEl mtodo de Gauss

Ejemplo Mtodos Numricos

Dos tipos de mtodos Mtodos NumricosDirectos:Iterativos:Se obtiene la solucin exacta (si no se realizan redondeos) en un nmero finito de pasos.Se genera una sucesin de soluciones aproximadas que converge hacia la solucin del sistema.

Mtodos directos y su eficiencia Mtodos NumricosCramerNmero de operacionesO(n4)Invertir: O(4n3/3)O(n3/3)GaussX=A-1B

Ejemplo Mtodos Numricosm2 = 3/2 = 1,5 f2 := f2 - m2 f1m3 = 0/2 = 0 f3 := f3 - m3 f1

Ejemplo Mtodos Numricosm3 = 2/-6,5 f3 := f3 - m3 f1

El mtodo de Gauss Mtodos Numricos

Proceso directo Mtodos Numricos

Proceso inverso Mtodos Numricos

Proceso inverso Mtodos Numricosa22x2 + ... + a2nxn = b2 a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 annxn = bn

Algoritmo de Gauss Mtodos NumricosFormar la matriz ampliada CEscalonar la matriz C (Proceso directo)Hallar las incgnitas (Proceso inverso)Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n

Formar la matriz ampliada C Mtodos Numricosfor i = 1 to n for j = 1 to n ci j := ai j end ci,n+1 := biend

Escalonar la matriz C (Proceso directo)Mtodos Numricosfor k =1 to n -1 {k: fila pivote} Seleccionar la fila pivotefor i = k +1 to nm := ci k/ckkendendfor j = k +1 to n+1ci j := ci j - m ck j end

Algoritmo de Gauss Escalonar la matriz C (Proceso directo)Mtodos NumricosFormar la matriz ampliada CHallar las incgnitas (Proceso inverso)Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n

Proceso inversoMtodos Numricosdo while i 1xi := ci, n+1for j = i+1 to nxi := xi - ci j xjendxi := xi /ci ii := i - 1endi:= n

Algoritmo de Gauss Escalonar la matriz C (Proceso directo)Mtodos NumricosFormar la matriz ampliada CHallar las incgnitas (Proceso inverso)Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n

Estrategias de pivote Mtodos NumricosCmo seleccionar la fila pivote?

Estrategia elementalMtodos Numricosi := ki := i+1endif i > n then Terminarif i > k thenfor j = k to n+1prov:=ci jendenddo while ci k< and i nci j:= ck j ck j := prov

Estrategia parcial Mtodos NumricosMax:=ckkFilaDeMax := k for i = k+1 to n if ci k> Max thenMax := ci kFilaDeMax := iendif Max < then Terminarendif FilaDeMax > k then for j = k to n+1 prov := cFilaDeMax, jend: cFilaDeMax, j := ckj: ckj := provend

Cantidad de operaciones Mtodos Numricos

Ejemplo Mtodos NumricosQu tiempo tardara en resolver un sistema de 30 ecuaciones lineales una computadora que realiza 1 000 000 de productos por segundo si utiliza:

Mediante el mtodo de Cramer Mtodos Numricos31 determinantes de orden 303130 determinantes de orden 29313029 determinantes de orden 28313043 determinantes de orden 231! productos= 8.2210338,221027 segundos2,281024 horas2,611020 aos2,611014 millones de aos

Mediante el mtodo de Gauss Mtodos Numricos = 9000 productos = 0,009 segundos

Ejemplo Mtodos NumricosQu tiempo tardara en resolver un sistema de 30 ecuaciones lineales una computadora que realiza 1 000 000 de productos por segundo si utiliza:

Ejemplo Mtodos NumricosHalle las ecuaciones paramtricas de una curva que pase por P1, P2, P3 y P4 en ese orden.

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:x(1) = 1; y(1) = 1 x(2) = 4; y(2) = 3 x(3) = 1; y(3) = 3 x(4) = 4; y(4) = 1

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:x(1) = 1x(2) = 4x(3) = 1x(4) = 4

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:x(1) = 1x(2) = 4x(3) = 1x(4) = 4= a0 + a1 + a2 + a3 = 8a0 + 4a1 + 2a2 + a3 = 27a0 + 9a1 + 3a2 + a3 = 64a0 + 16a1 + 4a2 + a3

En MN 2000

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:x(t) = 2t3 - 15t2 + 34t - 20

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:x(1) = 1; y(1) = 1 x(2) = 4; y(2) = 3 x(3) = 1; y(3) = 3 x(4) = 4; y(4) = 1

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:y(1) = 1 y(2) = 3 y(3) = 3 y(4) = 1

En MN 2000

Ejemplo Mtodos NumricosCurva:x(t) = 2t3 - 15t2 + 34t - 20 y(t) = - t2 + 5t - 3

Grfica Mtodos Numricos

BibliografaMtodos NumricosSecciones 3.1 y 3.2

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