UNIDAD_01 Sistemas de Ecuaciones Método de Gauss

8/6/2019 UNIDAD_01 Sistemas de Ecuaciones Mtodo de Gauss

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Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incgnitas

1. Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos datos distintos? Noes cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?

Represntalas grficamente y obser-va que se trata de la misma recta.

Se trata de la misma recta.

Pon otro sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas en el que la segundaecuacin sea, en esencia, igual que la primera. Interprtalo grficamente.

Grficamente son la misma recta:

x+ y= 1

3x+ 3y= 3

2x+ y= 54x+ 2y= 10

1Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Mtodo de Gauss

SISTEMASDE ECUACIONES.MTODO DE GAUSS

UNIDAD 1

x+y= 1

3x+ 3y= 3

1

1

4x+ 2y= 10

2x+y= 5

1

1


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2. Observa las ecuaciones siguientes:

Represntalas y observa que las dosprimeras rectas determinan un pun-to (con esos dos datos se responde alas dos preguntas: x= 2,y= 1) y quela tercera recta tambin pasa por esepunto.

Da otra ecuacin que tambin seaconsecuencia de las dos primeras(por ejemplo: 2 1- + 3 2-), repre-sntala y observa que tambin pasapor x= 2,y= 1.

2 1- + 3 2- 7xy= 13

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3. Observa que lo que dice la segunda ecuacin es contradictorio con lo que dicela primera:

Represntalas y observa que se tratade dos rectas paralelas, es decir, notienen solucin comn, pues las rec-tas no se cortan en ningn punto.

2x+y= 52x+y= 7

2x+ y= 5x y= 1x+ 2y= 4


x+ 2y= 4xy= 1

2x+y= 5

1 2

(2, 1)1

7xy= 13

x+ 2y= 4xy= 1

2x+y= 5

1 2

(2, 1)1

2x+y= 7

2x+y= 5

1 2

1


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Modifica el trmino independiente de la segunda ecuacin del sistema queinventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.

Observa que lo que dicen ambasecuaciones es ahora contradictorio yque se representan mediante rectasparalelas.

Rectas paralelas:

4. Fjate ahora en este sistema formado por tres ecuaciones:

Representa las tres rectas y observaque la tercera no pasa por el puntoen el que se cortan las otras dos.

Modifica el trmino independiente

de la recta que inventaste en el ejer-cicio 2. Observa que lo que dice des-pus del cambio es contradictoriocon las dos primeras ecuaciones yque, al representarla, no pasa por elpunto de corte de ellas.

2x+ y= 5x y= 17x y= 0

2x+ y= 5x y= 1x+ 2y= 0

x+ y= 13x+ 3y= 0


x+y= 1

3x+ 3y= 0

1

1

x+ 2y= 0

xy= 1

2x+y= 5

1 2

1 (2, 1)

xy= 12x+y= 5

1 2

1 (2, 1)

7xy= 0


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Pgina 331. Sin resolverlos, son equivalentes estos sistemas?

a) b) c) d)

a) Hemos sustituido la segunda ecuacin por el resultado de sumar las dos que tena-mos.

b) Hemos sustituido la primera ecuacin por el resultado de restarle a la segundaecuacin la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuacin se obtiene sumando las dos primeras. Elresto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuacin por el resultado de restarle a la segundaecuacin la primera.

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1. Resuelve e interpreta geomtricamente los siguientes sistemas:

a) b) c) d)

a)12x= 3x x=2, y= 3(2) = 5

Veamos si cumple la 2- ecuacin: 3 (2) + 2 5 =6 + 10 = 4

Solucin: x=2, y= 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (2, 5).

b)

Solucin: x= 52, y= 1 + , z= . Son tres planos que se cortan en una recta.

c) Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.El sistema es incompatible.Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

x+ y+ z= 6x+ y+ z= 0x z= 0

x= 6zy= 6z1z= 52z

y= 1 + z

x+y= 6z

y= 1 + z

La 3- ecuacin se obtiene sumando las dos primeras;podemos prescindir de ella.

x+ y+ z= 6yz= 1

x+ 2y = 7

y= 12x

y= 3 x

2x+ y= 13x+ 2y= 4x+ y= 3

x+y+ z= 6yz= 1

z= 1

x+y+ z= 6x+y+ z= 0x z= 0

x+ y+ z= 6yz= 1

x+ 2y = 7

2x+ y= 13x+ 2y= 4

x+ y= 3

x+yz= 11y = 4

z= 2x+ y = 7

z= 2x+y = 7

x+y= 53x = 12

x+ yz= 11x+ 2yz= 7

x+ yz= 5x+ y = 7

2x+ 2yz= 12

x+yz= 5x+y = 7

x+y= 52xy= 7


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d)

Solucin: x= 3, y= 2, z= 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).

2. a) Resuelve el sistema:

b) Aade una tercera ecuacin de modo que siga siendo compatible.

c) Aade una tercera ecuacin de modo que sea incompatible.

d) Interpreta geomtricamente lo que has hecho en cada caso.

a)

Solucin: x= , y=

b) Por ejemplo: 2x+y= 7 (suma de las dos anteriores).

c) Por ejemplo: 2x+y= 9

d) En a) Son dos rectas que se cortan en ( , ).

En b) La nueva recta tambin pasa por ( , ).

En c) La nueva recta no pasa por ( , ). No existe ningn punto comn alas tres rectas. Se cortan dos a dos.

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1. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resulvelos:

a) b)

c) d)

a)Solucin: x= , y=

43

73

7x=

3x5 4

y== 2 3

3x = 7x2y= 5

2x + 3z= 0x+ 3y z= 7

4x = 4

2x 2t= 6x+y+ 3z = 7

5x z+ t = 4

2x = 6x+y+ 3z= 75x z= 4

3x = 7x 2y= 5

13

113

13

113

1

3

11

3

13

113

132y= 4 +y 1 = 3y y=

31 11

x= 4 +y= 4= 3 3

x= 32yx= 4 + y

x+ 2y= 3x y= 4

x+ 2y= 3x y= 4

z= 1y= 1 + z= 2x= 6yz= 621 = 3

x+y+ z= 6yz= 1

z= 1



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b)

Solucin: x= 3, y=29, z= 11

c)

Soluciones: x= 3 + , y=2919, z= 11 + 6, t=

d)

Solucin: x= 1, y= , z=

2. Son escalonados estos sistemas? Resulvelos:

a) b)

c) d)

a)

Solucin: x= 2, y= 5, z= 1, t= 2

b)

Soluciones: x= 2 + , y= 53, z= 2

c)

Soluciones: x= 2 + , y= , z= 12, t=

x= 2 +y

z= 3yt2y= 12yt

x = 2 +y

x+ z= 3yt

x+y+ z+ t= 3

xy = 2

zx= 2 +

23z

y= 7zx= 52

2x = 4 + z

x+y= 7z

x+y+ z= 7

2x z= 4

z= 1t= 3z= 2

y= 43z+ 2t= 5x= 5 + z2t= 2

2z = 2z+ t= 3

y+ 3z2t= 4x z+ 2t= 5

z+ t= 3y+ 3z2t= 4

2z = 2x z+ 2t= 5

2y+ z= 12y = 1

x+ 2y+ 2z= 1

x+y+ z+ t= 3xy = 2

x+y+ z= 7

2x z= 4

z+ t= 3y+ 3z 2t= 4

2z = 2x z+ 2t= 5

23

169

x= 12x 2

z== 3 3

7x+ z 16y==

3 9

4x = 4

2x + 3z= 0

x+ 3y z= 7

2x + 3z= 0x+3y z= 74x = 4

x= 3 + t

z= 5x4 + t= 11 + 6t

y= 7x3z=2919t

2x = 6 + 2t

5x z= 4t

x+y+ 3z= 7

2x 2t= 6x+y+ 3z = 75x z+ t = 4

x= 3z= 5x4 = 11y= 7x3z= 7333 =29

2x = 65x z= 4x+y+ 3z= 7

2x = 6x+y+ 3z= 75x z= 4



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d)

Solucin: x= 0, y= , z= 0

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3.Transforma en escalonados y resuelve:

a) b)

a)

Solucin: x= 1, y= 2, z=1

b)

(Podemos prescindir de la 3-, pues es igual que la 2-)

Soluciones: x= 1, y= 5, z=

4.Transforma en escalonado y resuelve:

xy+ 3z = 0y14z+ 7w=323y 4z+ 3w= 18

2y 2z+ 2w=26

1-

2-3 1-

3-1-

4-1-

x y+ 3z = 03x2y5z+ 7w=32x+ 2y z+ 3w= 18x3y+ z+ 2w=26

x y + 3z = 03x 2y 5z+ 7w = 32

x+ 2y z+ 3w = 18x 3y + z+ 2w = 26

x= 6zy= 6z5 + z= 1y= 5z

x+y= 6zy= 5z

x+y+ z= 6y+ z= 5

1-

2- : (2)

x+ y+ z= 62y2z=102y2z=10

1-

2-1-

3-3 1--

x+y+ z= 6xyz=43x+y+ z= 8

z=1y= 3 + z= 2x=4 +y3z= 1

xy+ 3z=4y z= 3

z= 1

1-

2-

3-3 2--

x y + 3z=4y z= 33y4z= 10

1-

2- : 2

3-

x y+ 3z=42y2z= 63y4z= 10

1-

2-1-

3-1--

x y+ 3z=4x+ y+ z= 2x+ 2y z= 6

x+y+ z= 6xyz= 43x+y+ z= 8

x y+ 3z= 4x+ y+ z= 2x+ 2y z= 6

12

1y=2

z= 12y= 0

x= 12y z = 0

2y = 12y+ z= 1

x+ 2y+ z= 1

2y+ z= 12y = 1

x+ 2y+ 2z= 1



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Solucin: x= 1, y= 10, z= 3, w= 0

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1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el mtodo de Gauss:

a) b) c)

a)

( )

( )

( )

Solucin: x= 1, y=2, z= 3

b)

( ) ( )Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

c)

( ) ( )

( ) Soluciones: x=3 + 2, y= , z=2 +

x=3 + 2yz=2 + y

x2y =3y+ z=2

1 2 0 30 1 1 20 0 0 0

1-

2-

3- + 5 2-

1 2 0 30 1 1 20 5 5 10

1-

2- + 2 1-

3-2 1--

1 2 0 32 3 1 42 1 5 4

x2y =32x+ 3y+ z= 4

2x+ y5z= 4

7 2 0 97 2 0 35 1 1 5

1-2 3-

2-3-

3-

3 4 2 12 3 1 25 1 1 5

3x4y+ 2z= 12x3y+ z= 2

5x y+ z= 5

z= 324z

y==25

x= 2yz= 1

x+ y+ z= 25y+ 4z= 2

2z= 24

1 1 1 20 5 4 20 0 8 24

1-

2- (1)

3- 5 + 2- 3

1 1 1 20 5 4 2

0 3 4 6

1-

2-3 1-

3-

+ 21--

1 1 1 23 2 1 4

2 1 2 2

x+ y+ z= 23x2y z= 4

2x+ y+ 2z= 2

x 2y = 32x+ 3y+ z= 4

2x+ y 5z= 4

3x 4y+ 2z= 12x 3y+ z= 2

5x y+ z= 5

x+ y+ z= 23x 2y z= 4

2x+ y+ 2z= 2

w= 057 + 9w

z== 319

y=32 + 14z7w= 10x=y3z= 1

xy+ 3z = 0y14z+ 7w=32

19z 9w= 5734w= 0

1-2-

3- : 2

15 3- + 19 4-

xy+ 3z = 0y14z+ 7w=3238z18w= 114

30z+ 16w=90

1-2-

3-3 2-

4- + 2 2-



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2. Resuelve mediante el mtodo de Gauss:

a) b) c)

a)

( ) ( )

x= 22z+ =

Soluciones: x= 7, y= 3, z= 2

b)

( )

( ) ( )

Solucin: x= 0, y= 0, z= 0, w= 0

c)

( )

( ) ( ) 2 1 0 1 91 2 1 0 114 0 0 0 31 0 1 0 18

1-

2-

3- + 4

4-

2 1 0 1 91 2 1 0 113 0 1 0 151 0 1 0 18

1-

2-

3-1-

4-2 1-

2 1 0 1 91 2 1 0 115 1 1 1 245 2 1 2 0

2x y + w= 9x2y+ z = 115x y+ z+ w= 245x2yz+ 2w= 0

x= 0z= 0y= 0w= 0

2x y + w= 0x2y+ z = 04x = 0x z = 0

2 1 0 1 01 2 1 0 04 0 0 0 01 0 1 0 0

1-

2-

3- + 4

4-

2 1 0 1 01 2 1 0 03 0 1 0 01 0 1 0 0

1-

2-

3-1-

4-

21-

2 1 0 1 01 2 1 0 05 1 1 1 0

5 2 1 2 0

2x y + w= 0x2y+ z = 05x y+ z+ w= 0

5x2yz+ 2w= 0

52

92

7z2

92

3z2

52

x= 22z+y

53z 5 3zy== 1 =2 2 2

xy= 22z2y= 53z

xy+ 2z= 22y+ 3z= 5

1 1 2 20 2 3 50 2 3 5

1-

2- + 1-

3-1--

1 1 2 21 3 1 31 1 5 7

x y+ 2z= 2x+ 3y+ z= 3x+ y+ 5z= 7

2x y + w = 9x 2y+ z = 11

5x y+ z+ w = 245x 2yz+ 2w = 0

2x y + w = 0x 2y+ z = 0

5x y+ z+ w = 05x 2yz+ 2w = 0

x y+ 2z= 2x+ 3y+ z= 3

x+ y+ 5z= 7



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x= z=x+ 18 = y= = w= 92x+y=

Solucin: x= , y= , z= , w=

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1. Discute, en funcin del parmetro k, estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

a)

( ) ( )

( ) Si k= 3, queda:

( )

x= =

z=x2 +y= 2 +y= = +

Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x= , y= 2, z= +

Si k 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x+ yz= 24x+ 2y = k

(k3)x = (3k)

54

34

y

254

5 + 2y4

32y4

y

234

32y4

xz= 2y4x = 32y

x+ yz= 24x+ 2y = 3

4 2 0 k1 1 1 20 0 0 0

4 2 0 k

1 1 1 2k3 0 0 3k

1-

2-3-1-

4 2 0 k1 1 1 2

k+ 1 2 0 3

1-

2-

3- + 2--

4 2 0 k1 1 1 2k 1 1 1

4x + 2y = kx + yz= 2kx + y+ z= 1

4x+ 2y = kx+ yz= 2

kx+ y+ z= 0

4x+ 2y = kx+ yz= 2

kx+ y+ z= 1

534

694

114

34

534

114

x+ z112

694

34

2x y + w= 9x2y+ z = 114x = 3x z =18



11/41

x= =1

y= = = 2 +

z=x+y2 =1 + 2 + 2 =1 +

Solucin: x=1, y= 2 + , z=1 +

b)

( ) ( )

( ) Si k= 3, queda:

( ) El sistema es incompatible. Si k 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x=

y= =

z=x+y2 = + 2 =

Solucin: x= , y= , z=

2. Discute estos sistemas de ecuaciones en funcin del parmetro k:

a) b)

a)

( ) ( ) k1 0 2 8

1 1 1 02 0 1 k

1-2--

2-

3-

k 1 1 81 1 1 02 0 1 k

kx+yz= 8x+y+ z= 02x + z= k

x+ y+ z= 1y+ kz= 1

x+ 2y = k

kx+yz= 8x+y+ z= 0

2x + z= k

k25k+ 82k6

k2 + k82k6

2kk3

k25k+ 82k6

k2 + k82(k3)

2kk3

k2 + k82k6

k4x2

2kk3

x+ yz= 24x+ 2y = k

(k3)x = (2k)

4 2 0 31 1 1 20 0 0 1

4 2 0 k1 1 1 2

k3 0 0 2k

1-

2-

3-1-

4 2 0 k1 1 1 2

k+ 1 2 0 2

1-

2-

3- + 2--

4 2 0 k1 1 1 2k 1 1 0

4x + 2y = kx + yz= 2

kx + y+ z= 0

k

2k

2

k

2k

2

k

2k+ 4

2k4x

2

3kk3



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( ) Si k=3, queda:

( ) Sistema incompatible. Si k 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x=

z= k2x=

y=xz=


b)

( ) ( )

( ) Si k=1, queda:

( )Sistema incompatible.

Si k 1, es compatible determinado. Lo resolvemos:

z= =

y+ k( ) = 1 y= 1 = = 1k+ k2

1 + k1 + k2k+ k2

1 + k2kk2

1 + k

2k1 + k

2k1 + k

k21k

x+y + z= 1y + kz= 1

(1k)z= k2

1 1 1 1

0 11 10 0 0 3

1 1 1 10 1 k 10 0 1k k2

1-

2-

3-2-

1 1 1 10 1 k 10 1 1 k1

1-

2-

3-1--

1 1 1 10 1 k 11 2 0 k

x+ y+ z= 1y+ kz= 1

x+ 2y = k

k2k16k+ 3

k2k+ 8(k+ 3)

8 + 2kk+ 3

k2k+ 8(k+ 3)

k2k16k+ 3

8 + 2kk+ 3

(k+ 3)x = 8 + 2k

x+y+ z= 02x + z= k

0 0 0 21 1 1 02 0 1 3

k+ 3 0 0 8 + 2k1 1 1 02 0 1 k

1- + 2 3-2-

3-



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x= 1yz= 1 = =

=


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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

1 Halla, si existe, la solucin de los siguientes sistemas e interprtalos grfica-mente:

a) b)

Los resolvemos por el mtodo de Gauss:

a)

( )

( )Podemos prescindir de las dos ltimas filas, pues coinciden con la primera. Que-dara:

4y=1 y=

xy= 1 x= 1 +y= 1 =

Solucin: ( , )

El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( , ).

b)

( ) ( )De la 2- ecuacin, obtenemos y= ; de la 3- ecuacin, obtenemos y= .

Luego, el sistema es incompatible.

El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ning npunto comn a las tres.

13

15

1 2 10 5 10 9 3

1-

2-2 1-

3-5 1--

1 2 12 1 35 1 8

14

34

14

34

34

14

14

0 4 1

1 1 10 4 10 4 1

1-3 2-

2-3-5 2-

4-2 2-

3 1 2

1 1 15 1 42 2 1

x+ 2y= 12x y= 35x+ y= 8

3x+ y= 2x y= 1

5x y= 42x+ 2y= 1

2k1 + k

1k+ k2

1 + k2 + 3kk2

1 + k

2 + 3kk2

1 + k

1 + k

1 + kk

22 + k1 + k

2k1 + k1

k+ k

2

1 + k



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2 Comprueba que este sistema es incompatible y razona cul es la posicin re-lativa de las tres rectas que representa:

Si dividimos la 3- ecuacin entre 2, obtenemos: x+ 2y = 0. La 1- ecuacin esx+ 2y= 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.

La 1- y la 3- ecuacin representan dos rectas paralelas; la 2- las corta.

3 Resuelve e interpreta geomtricamente el sistema:

( ) ( ) ( )

Solucin: ( , )

Geomtricamente, son tres rectas que se cortan en el punto ( , ).

4 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-nados:

a) b)

c) d)

a)

Solucin: ( , )6911411

69y=

117 +y 4

x== 2 11

2x y= 711y=69

2x 3y+ z= 03x y = 0

2y = 1

x+yt = 2y + z= 4y+ tz= 1

y+ z= 19z= 2

3xy+ z= 3

2x y= 711y= 69

15

25

15

25

2x= 2y=

51

y= 5

x+ 2y= 05y=1

1 2 00 5 10 0 0

1-

2-

3- + 1-

1 2 00 5 11 2 0

1-

2- + 2 1-

(2/3) 3-

1 2 02 1 1

3/2 3 0

x+ 2y= 02x+ y= 1

(3/2)x 3y= 0

x+ 2y= 53x y= 12x+ 4y= 0



15/41

b)z= y= z1 = x= =

Solucin: ( , , )

c)

Soluciones: (5 + 3, 4, , 3 + 2)

d)y= x= = z=2x+ 3y=

Solucin: ( , , )

5 Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales:

a) b)

a)

( ) ( )

( ) ( )

Solucin: (2, 4, 6)

b)

( ) ( )

( ) ( ) 1 1 1 00 2 2 30 0 2 1

1-

2-

2 3- + 2-

1 1 1 00 2 2 30 1 2 1

1-

2-5 1-

3-3 1-

1 1 1 05 3 3 33 2 1 1

3-

2-

1-

3 2 1 15 3 3 31 1 1 0

3x+ 2y+ z= 15x+ 3y+ 3z= 3x+ y+ z= 0

x=2

y= 2

x= 4z= 4x= 6

3x = 6

x+y = 2x + z= 4

3 0 0 61 1 0 21 0 1 4

1-5 2-

2-

3-

2 5 0 161 1 0 21 0 1 4

1-

2- : 3

3-

2 5 0 163 3 0 61 0 1 4

1-

2- + 2 3-

3-

2 5 0 161 3 2 21 0 1 4

2x+ 5y = 16x+ 3y2z=2x + z= 4

3x+ 2y+ z= 15x+ 3y+ 3z= 3x+ y+ z= 0

2x+ 5y = 16x+ 3y 2z= 2x + z= 4

76

12

16

76

16

y

312

2x3y+ z= 03x y = 0

2y = 1

z= y= 4zt = 1 y + z = 1(4z) + z=3 + 2z

x= 2y+ t= 2(4z)3 + 2z=5 + 3z

x+yt = 2y + z= 4y+ tz= 1

29

79

23

23

3 +yz3

79

29

y+ z= 19z= 2

3xy+ z= 3


S


16/41

z= y= =2 x=yz=

Solucin: ( , 2, )

6 Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

a) ( ) ( )

x= y= 2x7 =

Solucin: ( , )

b)

( )

( )

( ) ( )

z= y= z1 = x= 2 + 2y+ z=

Solucin: ( , , )

7 Resuelve:

a) b)

a)

( ) ( ) 1 1 1 10 1 4 20 2 8 4

1-

2-3 1-

3-5 1-

1 1 1 13 2 1 15 3 3 1

x+ y z= 13x+ 2y+ z= 15x+ 3y+ 3z= 1

3x+ 4y z= 36x 6y+ 2z= 16x y+ 2z= 6

x+ y z= 13x+ 2y+ z= 15x+ 3y+ 3z= 1

29

79

23

23

79

29

x2yz= 2y+ z= 1

9z= 2

1 2 1 20 1 1 10 0 9 2

1-

2-

3- + 5 2-

1 2 1 20 1 1 10 5 4 3

1-

2-

3-3 1-

1 2 1 20 1 1 13 1 1 3

2-

1-

3-

0 1 1 11 2 1 23 1 1 3

y+ z= 1x2yz= 23x y+ z= 3

6911

411

6911

411

2xy= 711x = 4

2 1 711 0 4

1-

2- + 3 1-

2 1 75 3 17

2x y= 75x+ 3y=17

y+ z= 1x 2yz= 2

3x y+ z= 3

2x y= 75x+ 3y= 17

12

32

32

3 + 2z2

12

x+ y+ z= 02y2z= 3

2z= 1


S


17/41

( )

Soluciones: (13, 2 + 4, )

b)

( ) ( )

( ) ( )

Solucin: (1, 1,2)

8 Razona si estos sistemas tienen solucin e interprtalos geomtricamente:

a) b)

a)Si dividimos la 2- ecuacin entre 2, obtenemos :

x+ 2yz= , que contradice la 1-.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

b)Si multiplicamos por la 1- ecuacin, obtenemos:

x2y4z=2, que contradice la 2- ecuacin.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

9 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

a) b) x+ 2y+ z= 3

2x y+ z= 1

x+ 2y+ z= 9x yz= 10

2x y+ z= 5

23

23

x+ 3y+ 6z= 3(2/3)x2y4z= 2

12

x+ 2y z= 32x+ 4y2z= 1

x+ 3y+ 6z= 32/3x 2y 4z= 2

x+ 2y z= 32x+ 4y 2z= 1

y= 3 + z= 32 = 1x=6 +y2z=6 + 1 + 4 =1

xy+ 2z=6z=2

y z= 3

1 1 2 60 0 1 20 1 1 3

1-

2- : (5)

3- : 7

1 1 2 60 0 5 100 7 7 21

1-

2-3 1-

3-3 1-

1 1 2 63 3 1 8

3 41 3

3-

2- : 2

1-

3 4 1 36 6 2 16

11 2

6

3x+ 4y z= 36x6y+ 2z=16

x y+ 2z= 6

y= 4z+ 2x= 1y+ z= 1(4z+ 2) + z=13zz=

x+y z= 1y+ 4z=2

1 1 1 10 1 4 20 0 0 0

1-2-

3-2 2-


S


18/41

c) d)

a)

( ) ( )

( )

y= 1 z = = 8 x= 92yz=1

Solucin: (1, 1, 8)

b) ( ) ( )

Si hacemos z= 5, las soluciones son: ( 3, , 5)

c)

( ) ( )

( ) ( )La segunda ecuacin es imposible: 0x+ 0y+ 0z= 5

El sistema es incompatible.

d)

( ) ( )

( ) 2x3y+ z= 03x y = 02 3 1 03 1 0 00 0 0 0

1-

2-

3-2 2-

2 3 1 03 1 0 06 2 0 0

1-

2-

3- + 1-

2 3 1 03 1 0 04 1 1 0

2x3y+ z= 03x y = 04x+ yz= 0

1 1 1 20 0 0 50 3 0 3

1-

2- + 2 3-

3-

1 1 1 20 6 0 10 3 0 3

1-

2-2 1-

3- + 1-

1 1 1 22 4 2 3

1 2 1 1

3-

2-

1-

1 2 1 12 4 2 31 1 1 2

x+ 2y z= 12x4y+ 2z= 3x+ y+ z= 2

75

15

7 zy=

5 514 2z 1 3z

x= 3z2y= 3z+ = 5 5 5 5

x+ 2y= 3z5y= 7z

1 2 1 30 5 1 7

1-

2- + 2 1-

1 2 1 32 1 1 1

x+ 2y+ z= 32x y+ z=1

193y2

x+ 2y+ z= 93y+ 2z= 19

7y =7

1 2 1 90 3 2 190 7 0 7

1-

2-

2- + 2 3-

1 2 1 90 3 2 190 5 1 13

1-

2- + 1-

3-2 1-

1 2 1 91 1 1 102 1 1 5

x+ 2y+ z= 9x yz=102x y+ z= 5

2x 3y+ z= 03x y = 04x+ yz= 0

x+ 2y z= 12x 4y+ 2z= 3

x+ y+ z= 2



19/41

Soluciones: (, 3, 7)

10 Resuelve por el mtodo de Gauss:

a) b)

c) d)

a)

( ) ( )

( )

( )

Solucin: (3, 6, 7)

b)

( )

( )

t= z= 1t= 1 + = y= = 1 x= 1yz t=1

Solucin: (1, 1, , )1232

2t12

32

12

12

x+ y+ z+ t= 12y 2t=1

z+ t= 12t= 1

1 1 1 1 10 2 0 2 10 0 2 2 2

0 0 0 2 1

1-

2-1-

3-1-

4-1

1 1 1 1 11 1 1 1 01 1 1 1 1

1 1 1 1 2

x+y+ z+ t= 1xy+ zt= 0x+y zt=1

x+y+ zt= 2

y=8 + 2z=8 + 14 = 6x= 112z= 1114 =3

x + 2z= 11y2z=8

z= 7

1 0 2 110 1 2 8

0 0 0 00 0 1 7

1-

2-

3-3 44-

1 0 2 110 1 2 8

0 0 3 210 0 1 7

1-

2-

3-24-2

1 0 2 110 1 2 80 1 1 130 1 1 1

1-

2-1-

3-

4-1

1 0 2 111 1 0 30 1 1 131 1 1 10

x + 2z= 11x+y = 3

y+ z= 13x+y+ z= 10

x 3y z= 1

x+ 5y+ 3z= 3x+ y+ z= 1

3x+ 7y+ 5z= 5

2x+ y+ 3z= 04x+ 2y z= 06x+ 3y+ 2z= 0

x+y+ z+ t= 1xy+ zt= 0x+yzt= 1x+y+ zt= 2

x + 2z= 11x+y = 3

y+ z= 13x+y+ z= 10

y= 3xz=2x+ 3y=2x+ 9x= 7x

x=


S


20/41

c)

( ) ( )

Soluciones: (,2, 0)

d)

( ) ( )

( ) ( )

Soluciones: ( , , 12 )

11 Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:

a) b)

a)Compatible indeterminado.

b)

( ) ( ) Compatible determinado.

PARA RESOLVER

12 Estudia los siguientes sistemas y resulvelos por el mtodo de Gauss:

a) b)2x 3y+ z= 0x+ 2yz= 0

4x+ yz= 0

x+ y+ z= 22x+ 3y+ 5z= 11x 5y+ 6z= 29

1 1 1 3

0 3 1 40 2 0 2

1-

2-2 1-3-1-

1 1 1 3

2 1 1 21 1 1 1

x+y+ z= 3

2xy+ z= 2xy+ z= 1

x+y= 3x+y= 3

z= 0

x+y+ z= 3x+yz= 3

z= 0

x+y+ z= 32xy+ z= 2xy+ z= 1

x+y+ z= 3x+yz= 3

z= 0

z= 12yx= 1yz= 1y1 + 2y=yy=

x+ y+ z= 12y+ z= 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

1-

2- : 2

3- + 2

4-2

1 1 1 10 4 2 20 4 2 20 4 2 2

1-

2-1

3-1

4-3 1

1 1 1 11 5 3 31 3 1 13 7 5 5

3-

2-

1-

4-

1 3 1 11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x3y z=1x+ 5y+ 3z= 3x+ y+ z= 1

3x+ 7y+ 5z= 5

z= 0y=2xx=

2x+y+ 3z= 07z= 0

2 1 3 00 0 7 00 0 7 0

1-2-2 1-

3-3 1-

2 1 3 04 2 1 06 3 2 0

2x+ y+ 3z= 04x+ 2y z= 06x+ 3y+ 2z= 0


S


21/41

a)

( ) ( )

( ) El sistema es compatible determinado, con solucin (1,2, 3).

b)

( ) ( )

( ) Sistema compatible indeterminado.

Lo resolvemos:

Soluciones: ( , 3, 7)

Pgina 47

13 Estudia y resuelve estos sistemas por el mtodo de Gauss:

a) b)

c) d)

a)

( )

( )

( ) Sistema compatible determinado.

Lo resolvemos: y= x=y+ 3z+ 2 =

Solucin: ( , , 0)1232

32

12

x+y+ 3z=26y+ 11z=3

z= 0

1 1 3 20 6 11 30 0 12 0

1-

2-

3-2-

1 1 3 20 6 11 30 6 1 3

1-

2- + 4 1-

3- + 2 1-

1 1 3 24 2 1 52 4 7 1

x+ y+ 3z=24x+ 2y z= 52x+ 4y7z= 1

xy+ 3z 14t= 02x 2y+ 3z+ t= 03x 3y+ 5z+ 6t= 0

5x+ 2y+ 3z= 42x+ 2y+ z= 3x 2y+ 2z= 3

y+ z = 1x y = 1x+ 2y+ 3z= 2

x+ y+ 3z= 24x+ 2y z= 52x+ 4y 7z= 1

y= 3xz=2x+ 3y=2x+ 9x= 7x

x=

2x3y+ z= 03x y = 0

2 3 1 03 1 0 00 0 0 0

1-

2-

3-2 2-

2 3 1 03 1 0 06 2 0 0

1-

2- + 1-

3- + 1-

2 3 1 01 2 1 04 1 1 0

2x3y+ z= 0x+ 2yz= 04x+ yz= 0

z= 3y= 73z=2x= 2yz= 1

x+y+ z= 2y+ 3z= 7

23z= 69

1 1 1 20 1 3 70 0 23 69

1-

2-

3- + 6 2-

1 1 1 20 1 3 70 6 5 27

1-2-2 1-

3-1-

1 1 1 22 3 5 111 5 6 29

x+ y+ z= 22x+ 3y+ 5z= 11x5y+ 6z= 29


S


22/41

b)

( ) ( )

( ) ( )Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

Soluciones: ( 1 + , ,1)

c)

( ) ( )

( ) ( )Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

Solucin: (1, 1,1)

d)

( ) ( )

( )Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Soluciones: (, , 0, 0)

t= 0z= 0

x=yy=

xy+ 3z14t= 03z+ 29t= 0

28t= 0

1 1 3 14 00 0 3 29 00 0 0 28 0

1-

2-

4 2- + 3 3-

1 1 3 14 00 0 3 29 00 0 4 48 0

1-

2-2 1-

3-3 1-

1 1 3 14 02 2 3 1 03 3 5 6 0

x y+ 3z14t= 02x2y+ 3z+ t= 03x3y+ 5z+ 6t= 0

z=1y= 1x=3 + 2y2z= 1

x2y+ 2z=32y z= 3

z= 1

1 2 2 30 2 1 30 0 1 1

1-

2- : 3

3-2 2-

1 2 2 30 6 3 90 12 7 19

1-

2-2 1-

3-5 1-

1 2 2 32 2 1 35 2 3 4

3-

2-

1-

5 2 3 42 2 1 31 2 2 3

5x+ 2y+ 3z= 42x+ 2y+ z= 3x2y+ 2z=3

x= 1 +yz=1y

y=

xy = 1y+ z=1

1 1 0 10 1 1 10 0 0 0

1-

2-

3-3 2-

1 1 0 10 1 1 10 3 3 3

1-

2-

3-1-

1 1 0 10 1 1 11 2 3 2

2-1-

3-

0 1 1 11 1 0 11 2 3 2

y+ z=1x y = 1x+ 2y+ 3z=2



23/41

14 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

a)

( ) ( )Sistema compatible determinado para todo k.

b)

( ) ( )

( ) ( ) Si a = 10 Sistema compatible indeterminado

Si a 10 Sistema compatible determinado

c)

( ) ( )

( )Compatible determinado para todo m.

d)

( ) ( )

( ) ( )22a = 0 a = 1

Si a = 1 Sistema incompatible

Si a 1 Sistema compatible determinado

1 1 1 10 2 8 30 0 22a 1

1-

2-

2 3- + 2-

1 1 1 10 2 8 30 1 a + 3 2

1-

2-5 1-

3-3 1-

1 1 1 15 3 3 23 2 a 1

32-

1-

3 2 a 15 3 3 21 1 1 1

3x+ 2y+ az= 15x+ 3y+ 3z= 2x+ y z= 1

1 2 1 15 0 0 1

m + 1 1 0 2

1-

2- + 2 1-

3- + 1-

1 2 1 13 4 2 3m 1 1 1

1-

3-

2-

1 2 1 1m 1 1 13 4 2 3

x2y+ z= 1mx+ y z= 13x+ 4y2z=3

1 1 1 00 1 1 00 a 10 0 0

1-

2-

3-7 2-

1 1 1 00 1 1 00 a 3 7 0

1-

2- : 2

3-

1 1 1 00 2 2 00 a 3 7 0

1-

2-1-

3-3 1-

1 1 1 01 3 1 03 a 4 0

x+ y z= 0x+ 3y+ z= 03x+ ay+ 4z= 0

1 1 1 k0 0 3 1k0 3 k+ 2 2k

1-

2-1-

3-2 1-

1 1 1 k1 1 2 12 1 k 0

xy z= kxy+ 2z= 12x+y+ kz= 0

3x+ 2y+ az= 15x+ 3y+ 3z= 2

x+ y z= 1

x 2y+ z= 1mx+ y z= 13x+ 4y 2z= 3

x+ y z= 0x+ 3y+ z= 0

3x+ ay+4z= 0

xy z= kxy+ 2z= 1

2x+y+ kz= 0


S


24/41

15 Discute los siguientes sistemas y resulvelos cuando sea posible:

a) b)

a)

( ) ( ) Si k= Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

2xy= 4

Soluciones: (, 24)

Si k Sistema compatible determinado.

Solucin: (2, 0)

b)

( ) ( )

( ) ( ) Si m = 10 Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Haciendo z= 5.

Soluciones: (1 + ,1 + 3, 5)

Si m 10 Incompatible

16 Resuelve por el mtodo de Gauss el siguiente sistema e interprtalo geom-tricamente:

x 3y z= 1x+ 5y+ 3z= 3x+ y+ z= 1

3x+ 7y+ 5z= 5

5 + 3z 3zy= =1 +

5 56z z

x= 3 + 2yz= 32 + z= 1 + 5 5

x2y+ z= 35y3z=5

1 2 1 30 5 3 50 0 0 m 10

1-

2-

3-2-

1 2 1 30 5 3 50 5 3 m 15

1-

2-2 1-

3-5 1-

1 2 1 3

2 1 1 15 5 2 m

2

1-3-

2 1 1 1

1 2 1 35 5 2 m

2x+ y z= 1

x2y+ z= 35x5y+ 2z= m

y= 0x= 2

2x y= 4(2k+ 1)y= 0

12

y= 2x4x=

12

2 1 40 0 00 2k+ 1 0

1

2 2- + 1-

2 3-1-

2 1 41 1/2 21 k 2

2xy = 4x+y/2 =2x+ ky = 2

2x+ y z= 1x 2y+ z= 3

5x 5y+ 2z= m

2xy = 4x+y/2 = 2

x+ ky = 2


S

S


25/41

( ) ( )

( ) ( )

Soluciones: ( , , 12 ). Son cuatro planos con una recta en comn.

17 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo ha-cen compatible:

a) b)

a)

( ) ( )

( ) Si m = 7 Sistema compatible determinado

x= 32y= 1

Solucin: (1, 1)

Si m 7 Sistema incompatible

b)

( ) ( )

( )1 1 2 20 3 7 30 0 0 00 0 0 m + 1

1-

2-

3-2-

4-2-

1 1 2 20 3 7 30 3 7 30 3 7 m 2

1-

2-2 1-

3-3 1-

4--1-

1 1 2 22 1 3 13 0 1 31 2 5 m

x y2z= 22x+ y+ 3z= 13x + z= 3x+ 2y+ 5z= m

x+ 2y= 3y= 1

1 2 30 1 10 0 m 7

1-

2- : (5)

3-2-

1 2 3

0 5 50 5 m 12

1-

2-2 1-3-4 1-

1 2 3

2 1 14 3 m

x+ 2y= 3

2x y= 14x+ 3y= m

x y 2z= 22x+ y+ 3z= 13x + z= 3x+ 2y+ 5z= m

x+ 2y= 32x y= 14x+ 3y= m

z= 12yx= 1yz=y

y=

x+ y+ z= 12y+ z= 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

1-

2- : 2

3- + 2

4-2

1 1 1 10 4 2 20 4 2 20 4 2 2

1-

2-1

3-1

4-3 1

1 1 1 11 5 3 31 3 1 13 7 5 5

3-

2-

1-

4-

1 3 1 11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x3y z=1x+ 5y+ 3z= 3x+ y+ z= 13x+ 7y+ 5z= 5


S


26/41

Si m =1 Sistema compatible indeterminado.

Haciendo z= 3:

Soluciones: (1,17, 3)

Si m 1 Sistema incompatible

18 Discute y resuelve en funcin del parmetro:

a) b)

a)

( ) ( )

( )

( ) Si m = 1 Sistema compatible indeterminado

Soluciones: (23, 44, )

Si m 1 Sistema compatible determinado

Solucin: (1, 0, 1)

b)

( ) ( )

( ) ( ) Si a = 2 Sistema incompatible

1 1 1 00 1 1 30 0 a 2 2

1-

2-

3-2-

1 1 1 00 1 1 30 1 a 3 5

1-

2-2 1-

3-3 1-

1 1 1 02 1 1 33 2 a 5

1

3-

2-

1 1 1 03 2 a 52 1 1 3

x+ y+ z= 03x+ 2y+ az= 52x+ y+ z= 3

y= 0z= 1

x= 23z=1

x + 3z= 2y+ 4z= 4

(m 1)y = 0

x= 23zy= 44zz=

x + 3z= 2y+ 4z= 4

1 0 3 20 1 4 4

0 m 1 0 0

1-

2-

3- + 2-

1 0 3 20 1 4 4

0 m 4 4

1-

2-2 1-

3- + 1-

1 0 3 22 1 2 0

1 m 1 2

3-

2-

1-

1 m 1 22 1 2 0

1 0 3 2

x+ my+ z= 22x y+ 2z= 0

x 3z=2

x+ y+ z= 03x+ 2y+ az= 52x+ y+ z= 3

x+ my+ z= 22x y+ 2z= 0x 3z= 2

37z 7zy= =1

3 37z z

x= 2 +y+ 2z= 21+ 2z= 13 3

xy2z= 23y+ 7z=3


S


27/41

Si a 2 Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

z=

y=3z=3 =

x=yz= =

Solucin: ( , , )

19 Discute los siguientes sistemas segn los valores de e interprtalos geo-mtricamente:

a) b)

a) ( ) ( )

0 Si 1, queda:

( ) Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.

Si =1, queda:

( ) Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.

Si 1 y 1 Sistema compatible determinado. Son dos rectas se-cantes.

b)

( ) ( )

( ) Si 0 Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan

en un punto.

Si = 0 Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero nohay ningn punto comn a los tres.

1 1 0 10 5 5 180 5 0 13

1-

2-

5 3-2-

1 1 0 10 5 5 180 + 1 1 1

1-2-2 1-

3-1-

1 1 0 12 3 5 161 1 0

x y = 12x+ 3y5z=16x+ y z= 0

1 1 10 0 2

1 1 10 0 0

1 10 12 22 1

1-

2- 1- 1 11 2 1

x y= 1xy= 2 1

x y = 12x+ 3y 5z= 16x+ y z= 0

x y= 1xy= 2 1

2a 2

43aa 2

3a 6a 2

3a 6a 2

2a 2

4 + 3aa 2

43aa 2

2a 2

2a 2

x+y+ z= 0y+ z=3

(a 2)z= 2


S


28/41

20 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.

b) Discute si existe algn valor del parmetro a para el cual el sistema seacompatible determinado.

c) Resuelve el sistema para a= 0.

( )

( )

( )a) a = 2

b) No existe ningn valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.

c) Si a = 0, queda:

Soluciones: (23, , )

21 Considera el sistema de ecuaciones:

a) Existe una solucin en la que y sea igual a 0?b) Resuelve el sistema.

c) Interprtalo geomtricamente.

( ) ( )

( ) ( ) x z= 12yz=21 0 1 10 2 1 20 0 0 0

1-

2-

3- + 2-

1 0 1 10 2 1 20 2 1 2

1-

2-1-

3-2 1-

1 0 1 11 2 2 12 2 1 4

3-

2-

1-

2 2 1 41 2 2 11 0 1 1

2x2y z= 4x+ 2y2z=1x z= 1

2x 2y z= 4x+ 2y 2z= 1x z= 1

12

y=1/2

x1 + 3z= 1 x= 23zz=

x+ 2y+ 3z= 12y = 1

1 2 3 10 a 2 0 10 0 0 0

1-

2-

3-2-

1 2 3 10 a 2 0 10 a 2 0 1

1-

2-1-

3-2 1-

1 2 3 11 a 3 22 (2 + a) 6 3

x+ 2y+ 3z= 1x+ ay+ 3z= 22x+ (2 + a)y+ 6z= 3

x+ 2y+ 3z= 1x+ ay+ 3z= 2

2x+ (2 + a)y+ 6z= 3


S

S


29/41

a)y= 0

Solucin: (3, 0, 2)

b)

Soluciones: (3 + 2, , 2+ 2)

c) Son tres planos que se cortan en una recta.

22 Halla un nmero de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que, si del n-mero dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la dife-rencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmtica de las otrasdos.

Llamamos x a la cifra de las unidades, y a la de las decenas y z a la cifra de lascentenas.

z y x n- =x+ 10y+ 100z

Tenemos que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Solucin: El n- es el 432.

23 Dos amigos invierten 20000 cada uno. El primero coloca una cantidad A al4% de inters, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. El otro invierte la mis-ma cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al 4%.

Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos in-tereses de 1 050 y el segundo de 950 .

z= 4y= 112z= 118 = 3x= z2 = 2

x + z= 2y+ 2z= 11

3z= 12

1 0 1 20 1 2 110 0 3 12

1-

2-

3- + 2-

1 0 1 20 1 2 110 1 1 1

1-

2-

3- : 2

1 0 1 20 1 2 110 2 2 2

1-

2- + 1-

3- + 1-

1 0 1 21 1 1 91 2 1 0

2-

1-

3-

1 1 1 91 0 1 21 2 1 0

x+ y+ z= 9x + z= 2x2y+ z= 0

x+y+ z= 9

99x+ 99z= 1982y=x+ z

x+y+ z= 9

x+ 10y+ 100z(z+ 10y+ 100x) = 198

x+ zy=

2

x= 1 + z= 1 + 2y+ 2 = 3 + 2yz= 2y+ 2

y=

z= 2x= 1 + z= 3

xz= 1z=2


S


30/41

( ) ( )

( ) Solucin: A = 5000 ; B= 5000 ; C= 10000

Pgina 48

24 Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de6384 . El precio original era de 12 , pero tambin ha vendido copias de-fectuosas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el nmero de co-pias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula acuntas copias se le aplic el 30% de descuento.

Llamamos x al n- de copias vendidas al precio original, 12 ; y al n- de copias

vendidas con un 30% de descuento, 0,712 = 8,4

; y z al n-

de copias vendidascon un 40% de descuento, 0,6 12 = 7,2 .

As:

( ) ( )

( ) ( )

Solucin: El 30% de descuento se le aplic a 120 copias.

z= 80y= 120x= 400

x+y+ z= 600y+ z= 200

1,2z= 96

1 1 1 6000 1 1 2000 0 1,2 96

1-

3-

2-3,6 3-

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 1 1 200

1-

2-

3- : 3

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 3 3 600

1-

2- + 12 1-

3- + 1-

1 1 1 60012 8,4 7,2 6 3841 2 2 0

x+y+ z= 60012x+ 8,4y+ 7,2z= 6384x2y2z= 0

x+y+ z= 600

12x+ 8,4y+ 7,2z= 6384

xy+ z=

2

C= 10 000B= 5000A = 5000

A +B+ C= 20000B+ 2C= 25000

3C= 30000

1 1 1 20 0000 1 2 25 0000 0 3 30 000

1-

2-

3- + 2-

1 1 1 200000 1 2 250000 1 1 5000

1-

2-4 1-

3-5 1-

1 1 1 200004 5 6 1050005 6 4 95000

A + B+ C= 200004A + 5B+ 6C= 105 0005A + 6B+ 4C= 95 000

A + B+ C= 200000,04A + 0,05B+ 0,06C= 10500,05A + 0,06B+ 0,04C= 950


S


31/41

25 Un cajero automtico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 y un total de2000 . Si el nmero de billetes de 10 es el doble que el nmero de billetesde 20 , averigua cuntos billetes hay de cada tipo.

Llamamos x al n- de billetes de 10 ; y al n- de billetes de 20 ; y z al n- de bi-lletes de 50 . Tenemos que:

z= 953y

4y+ 5(953y) = 200 4y+ 47515y= 200 275 = 11y

y= 25 z= 20 x= 50

Solucin: Hay 50 billetes de 10 , 25 billetes de 20 y 20 billetes de 50 .

26 Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en totalhay 36 euros. El nmero de monedas de A excede en 2 a la suma de las mo-nedas de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A,esta tendr el doble de monedas que B. Averigua cuntas monedas haba encada caja.

Llamamos x al n- de monedas que hay en la caja A, y al n- de monedas que hayen la caja B, y zal n- de monedas que hay en la caja C. Tenemos que:

Sumando las dos primeras ecuaciones: 2x= 38 x= 19

De la 3- ecuacin y= = 11

z= 36yx= 6

Solucin: Haba 19 monedas en la caja A, 11 en la B y 6 en la C.

27 Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones deeuros. Vendindolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50%y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sera de 600000 .Pero consigue ms, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de euros.Cunto le cost cada objeto?

Llamamos x a lo que le cost el 1er objeto (en millones de euros), y a lo que lecost el 2- objeto y z a lo que le cost el 3er objeto. Tenemos que:

( ) 1 1 1 22 5 2,5 68 9 8,5 17

x+ y+ z= 22x+ 5y+ 2,5z= 68x+ 9y+ 8,5z= 17

x+ y+ z= 20,2x+ 0,5y+ 0,25z= 0,60,8x+ 0,9y+ 0,85z= 1,7

x+ 32

x+ y+ z= 36x yz= 2x2y =3

x+y+ z= 36xyz= 2x+ 1 = 2y2

x+y+ z= 36x=y+ z+ 2x+ 1 = 2(y1)

3x + z= 954y+ 5z= 200

x = 2y

x+ y+ z= 95x+ 2y+ 5z= 200x = 2y

x+ y+ z= 9510x+ 20y+ 50z= 2000

x = 2y


S


32/41

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Mtodo de Gauss

( ) ( )y= 0,5 z= = 1 x= 2yz= 0,5

Solucin: El 1er objeto le cost 0,5 millones de euros (500000 ), el 2- le cost 0,5millones de euros (500000 ) y el 3- le cost 1 milln de euros (1 000000 ).

28 Una empresa dispone de 27200 para actividades de formacin de sus cien em-pleados. Despus de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decididoorganizar tres cursos: A, B y C. La subvencin por persona para el curso A es de400, para el curso B es de 160 , y de 200 para el C. Si la cantidad que se de-dica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, cuntos em-pleados siguen cada curso?

Llamamos x al n- de empleados que siguen el curso A; y al n- de empleados quesiguen el curso B, y z al n- de empleados que siguen el curso C. Tenemos que:

24y+ 50015y= 680 9y= 180 y= 20 z= 40; x= 40

Solucin: 40 empleados siguen el curso A, 20 empleados siguen el curso B y 40 si-guen el curso C.

29 Un automvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano mar-cha a 80 km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de Ba A, 2 horas y 45 minutos. Cul es la longitud de camino llano entre A y B sisabemos que la distancia entre A y B es de 192 km?

Llamamos x a la longitud de camino llano entre A y B, y a la longitud de cuesta

arriba yendo de A a B y z a la longitud de cuesta abajo yendo de A a B. Tenemosque:

( ) ( ) 1-

2-

3- 3 + 2- 13

1 1 1 1920 13 3 2160 3 13 756

1-

2-27 1-

3-27 1-

1 1 1 19227 40 24 540027 24 40 5940

x+ y+ z= 19227x+ 40y+ 24z= 540027x+ 24y+ 40z= 5940

x+y+ z= 192 km

x y z + + = 2,5 horas80 54 90

x y z + + = 2,75 horas80 90 54

z= 1003y

24y+ 5(1003y) = 680

3y+ z= 100

24y+ 5z= 680

x+ y+ z= 10010x+ 4y+ 5z= 680

x = 2y

x+ y+ z= 10010x+ 4y+ 5z= 680

400x = 800y

x+ y+ z= 100400x+ 160y+ 200z= 27200400x = 5 160y

1y0,5

x+y+ z= 22y = 1y+ 0,5z= 1

1 1 1 20 2 0 10 1 0,5 1

1-2-3-

3-

1 1 1 20 3 0,5 20 1 0,5 1

1-2-2 1-

3-8 1-

32


33/41

( )Solucin: La longitud de camino llano entre A y B es de 94,8 Km.

30 Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando unopierda, entregar a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cadauno posea en ese momento. Cada uno perdi una partida, y al final cada unotena 24 . Cunto tena cada jugador al comenzar?

Hacemos una tabla que resuma la situacin:

( )

( ) ( ) ( )

Solucin: El jugador que perdi primero tena 39 euros, el que perdi en 2- lugartena 21 y el que perdi en 3er lugar tena 12 .

31 La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mien-tras que hace unos aos (exactamente la diferencia de las edades actuales de

los hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiem-po de sus hijos. Cuando pasen tantos aos como la suma de las edades ac-tuales de los hijos, entre los tres sumarn 150 aos. Qu edad tena el padrecuando nacieron sus hijos?

Hacemos una tabla:

z= 12y= 9 + z= 21x= 6 +y+ z= 39

xy z= 6y z= 9

2z= 24

1 1 1 6

0 1 1 90 0 2 24

1-

2-3- + 2-

1 1 1 6

0 1 1 90 1 3 15

1-

2- : 23- : 2

1 1 1 6

0 2 2 180 2 6 30

1-

2- + 1-

3- + 1-

1 1 1 61 3 1 121 1 7 24

x y z= 6x+ 3y z= 12x y+ 7z= 24

4x4y4z= 242x+ 6y2z= 24x y+ 7z= 24

y= 31,725 kmz= 65,475 km

x= 94,800 km

x+ y+ z= 19213y3z= 216

160y = 5076

1 1 1 1920 13 3 2160 160 0 5076


COMIENZO 1-PARTIDA 2-PARTIDA 3-PARTIDA

1-QUE PIERDE x xyz 2x2y2z 4x4y4z

2-QUE PIERDE y 2y x+ 3yz 2x+ 6y2z

3-QUE PIERDE z 2z 4z xy+ 7z

EDAD ACTUAL HACE yzAOS DENTRO DE y+ zAOS

PADRE x xy+ z x+y+ z

1er HIJO y yy+ z= z 2y+x

2-HIJO z zy+ z=y+ 2z y+ 2z

S

S


34/41

Tenemos que:

( )

( ) ( ) ( )

Actualmente tienen estas edades.

Solucin: Cuando naci el 1er hijo, el padre tena 35 aos; cuando naci el 2- hijo,tena 40 aos.

32 Un fabricante produce 42 electrodomsticos. La fbrica abastece a 3 tiendas,que demandan toda la produccin. En una cierta semana, la primera tienda so-licit tantas unidades como la segunda y tercera juntas, mientras que la se-

gunda pidi un 20% ms que la suma de la mitad de lo pedido por la primerams la tercera parte de lo pedido por la tercera. Qu cantidad solicit cadauna?

Llamamos x a la cantidad que solicit la 1- tienda, y a la que solicit la 2- tienday z a la que solicit la 3- tienda. Tenemos que:

x+y+ z= 42 x+y+ z= 42 xyz= 0 xyz= 0

x=y+ z xyz= 0 x+y+ z= 42 x+y+ z= 42

y= 1,2 ( + ) 6y= 3,6x+ 2,4z 60y= 36x+ 24z 5y= 3x+ 2z

( ) ( )

( )Solucin: La 1- tienda solicit 21 electrodomsticos; la 2-, 15; y la 3-, 6.

z= 6y= 21z= 15x=y+ z= 21

xy z= 0y+ z= 21

7z= 42

1 1 1 00 1 1 210 0 7 42

1-

2- : 2

3- + 2-

1 1 1 00 2 2 420 2 5 0

1-

2-1-

3-3 1-

1 1 1 01 1 1 423 5 2 0

x y z= 0x+ y+ z= 423x5y+ 2z= 0

z

3x

2

z= 10y= 25z= 15x= 2y+ 2z= 50

x2y2z= 05z=50

y+ z= 25

1 2 2 00 0 5 500 1 1 25

1-

2-2 3-

3-

1 2 2 00 2 3 00 1 1 25

1-

2- : 2

3- : 6

1 2 2 00 4 6 00 6 6 150

1-

2-1-

3-1-

1 2 2 01 2 8 01 4 4 150

x2y2z= 0x+ 2y8z= 0x+ 4y+ 4z= 150

x= 2y+ 2zxy+ z=3y+ 9zx+ 4y+ 4z= 150

x= 2(y+ z)xy+ z= 3(y+ 3z)x+y+ z+ 2y+ z+y+ 2z= 150


S


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CUESTIONES TERICAS33 Para qu valores de ay b ser compatible este sistema?

Ser determinado?

El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b. (Luego, noes determinado para ningn valor de a y b).

34 Prueba que, si en un sistema de ecuaciones Ssumamos a una ecuacin otra mul-tiplicada por un nmero, el sistema resultante, S', es equivalente al primero.

Cualquier solucin del primero tambin lo es del segundo, y al revs.

35 Si tenemos un sistema compatible indeterminado de 2 ecuaciones linealescon 2 incgnitas, se puede conseguir un sistema incompatible aadiendouna tercera ecuacin?

S. Por ejemplo:

Incompatible

36 Si a un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas incompatible le agregamosotra ecuacin, podramos lograr que fuera compatible indeterminado? Y

determinado? Justifica las respuestas.

No. Si el sistema es incompatible, las dos ecuaciones iniciales son contradictorias.Aadiendo otra ecuacin, no podemos cambiar este hecho; el sistema seguirsiendo incompatible.

Pgina 49

37 Es posible convertir este sistema en compatible indeterminado cambiandoun signo?

S. Si cambiamos la 2- ecuacin por x+y+ z= 1, o bien, si cambiamos la 3-ecuacin por x+y+ z= 1, el sistema resultante ser compatible indeterminado.

38 Dadas las ecuaciones:

a) Aade una ecuacin para que el sistema sea incompatible.

b) Aade una ecuacin para que el sistema sea compatible determinado.

Justifica en cada caso el procedimiento seguido.

3x 2y+ z= 52x 3y+ z= 4

x+y+ z= 1xy+ z= 1x+yz= 1

Compatible indeterminado

x+ 2y= 32x+ 4y= 6x+ 2y= 1

x+y+ z= axyz= b


S

S


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a) Para que sea incompatible, la ecuacin que aadamos ha de ser de la forma:

a(3x2y+ z) + b(2x3y+ z) = k con k 5a 4b.

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b= 0, k= 1, queda:

3x2y+ z= 1

Aadiendo esta ecuacin, el sistema sera incompatible.

b) Por ejemplo, aadiendo y= 0, queda:

Compatible determinado

39 Define cundo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Justificasi son equivalentes o no los siguientes sistemas:

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las solucionesdel 1er sistema lo son tambin del 2-, y al revs.

Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el 1- es compatible inde-terminado (tiene infinitas soluciones) y el 2- es determinado (solo tiene una solu-

cin).

40 Encuentra razonadamente dos valores del parmetro a para los cuales el si-guiente sistema sea incompatible:

( )

( )

( ) Si a = 1 o a = 6, el sistema es incompatible.41 Sean Sy S' dos sistemas equivalentes con solucin nica que tienen igua-

les los trminos independientes. Podemos asegurar que tienen iguales loscoeficientes de las incgnitas?

1 1 2 0a 1 0 0 1

1 0 3 20 0 a 6 1

1-

2-

3-

4-2 3-

1 1 2 0a 1 0 0 1

1 0 3 22 0 a 3

1-

2-1-

3-4-

1 1 2 0a 1 2 1

1 0 3 22 0 a 3

x+y+ 2z= 0ax+y+ 2z= 1

x + 3z= 22x + az= 3

x+y+ 2z= 0ax+y+ 2z= 1

x + 3z= 22x + az= 3

x= 2y= 1z= 1

x+y+ z= 2x+yz= 4

x= 9y= 0z=22

3x + z= 52x + z=4

y = 0

3x2y+ z= 52x3y+ z=4

y = 0


S

S

S


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No. Por ejemplo, los sistemas:

S: S':

son equivalentes, con solucin nica (2, 1), tienen iguales los trminos indepen-dientes, pero no los coeficientes de las incgnitas.

PARA PROFUNDIZAR

42 Discute los siguientes sistemas en funcin del parmetro ay resulvelos enel caso en que sean compatibles indeterminados:

a) b)

a)

( )

( ) Si a = 1, queda:

( ) Sistema incompatible Si a = 2, queda:

( ) ( ) Sistema compatible indeterminado

Lo resolvemos en este caso:

Soluciones: (1, 0, )

Si a 1 y a 2 Sistema compatible determinado

x+ z= 1 x= 1zy = 0

z=

x+y+ z= 1y = 0

1 1 1 10 0 0 00 1 0 0

1-

2- + 3-

3-

1 1 1 10 1 0 00 1 0 0

1 1 1 00 1 1 10 0 0 1

1 1 1 a 10 1 a 2 a + 20 a 1 0 2a

1-

2-2 1-

3-1-

1 1 1 a 12 1 a a1 a 1 1

x+ y+ z= a 12x+ y+ az= ax+ ay+ z= 1

ax+ yz= 02x+ ay = 2x + z= 1

x+ y+ z= a 12x+ y+ az= ax+ ay+ z= 1

2x y= 32x3y= 1

x+y= 3xy= 1


S


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b)

( ) ( )

( ) ( )a 0

a2 + a + 2 = 0 a = =

Si a =1, queda:

( ) Sistema incompatible Si a = 2, queda:

( ) ( )Sistema compatible indeterminado

Soluciones: (, 1, 1 + )

Si a 1 y a 2 Sistema compatible determinado

43 Discute el siguiente sistema segn los valores del parmetro a. Interprtalogeomtricamente:

( )

( ) ( ) Si a = 1, queda:

( ) Sistema incompatibleLos dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

1 1 1 10 0 0 50 2 0 2

1 1 1 1a 1 0 0 5

0 a 1 0 2

1-

2-1-

3-1-

1 1 1 1a 1 1 41 a 1 1

2-

1-

3-

a 1 1 41 1 1 1

1 a 1 1

ax+ y+ z= 4x+ y+ z=1

xay+ z= 1

ax+ y+ z4 = 0x+ y+ z+ 1 = 0

xay+ z1 = 0

ax+ y+ z 4 = 0x+ y+ z+ 1 = 0xay+ z 1 = 0

z= 1 +xy= 1xx=

x + z= 1x+y = 1

1 0 1 11 1 0 10 0 0 0

1-

2- : 2

3-

1 0 1 12 2 0 20 0 0 0

1 0 1 12 1 0 20 0 0 3

a =1a = 2

1 32

1 1 + 82

1 0 1 12 a 0 2

a2 + a + 2 0 0 2a

1-

2-

a 3- + 2-

1 0 1 12 a 0 2

a 1 1 0 1

1-2-

3- + 1-

1 0 1 12 a 0 2a 1 1 0

3-2-

1-

a 1 1 02 a 0 2

1 0 1 1

ax+ yz= 02x+ ay = 2

x + z= 1


S


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Si a =1, queda:

( ) Sistema incompatibleLos dos ltimos planos son paralelos y el primero los corta.

Si a 1 y a 1 Sistema compatible determinado. Son tres planos quese cortan en un punto.

PARA PENSAR UN POCO MS

44 Resuelve el siguiente sistema:

Si sumas las cinco igualdades, obtendrs otra con la que se te pueden simplificar

mucho los clculos.

Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x+ 4y+ 4z+ 4t+ 4w= 76, es decir:

4(x+y+ z+ t+ w) = 76, o bien:

x+y+ z+ t+ w= 19

Por tanto: (x+y+ z+ t) + w= 17 + w= 19 w= 2

(x+y+ z+ w) + t= 16 + t = 19 t= 3

(x+y+ t+ w) + z= 15 + z= 19 z= 4

(x+ z+ t+ w) +y= 14 +y= 19 y= 5

(y+ z+ t+ w) +x= 14 +x= 19 x= 5

45 Nos dicen que x,y, z, t, w son nmeros enteros y que kvale 36 38. Deciderazonadamente cul de los dos es su valor y resuelve el sistema:

x+y+ z+ t = 35x+y+ z + w = 36x+y + t+ w = 38x + z+ t+ w = 39

y+ z+ t+ w = k

x+y+ z+ t = 17x+y+ z + w= 16x+y + t+ w= 15

x + z+ t+ w= 14y+ z+ t+ w= 14

x+y+ z+ t = 17x+y+ z + w = 16x+y + t+ w = 15x + z+ t+ w = 14

y+ z+ t+ w = 14

1 1 1 12 0 0 50 0 0 2



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Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x+ 4y+ 4z+ 4t+ 4w= 148 + k, es decir:

4(x+y+ z+ t+ w) = 148 + k, o bien:

x+y+ z+ t+ w= 37 +

Si x, y, z, t, w son nmeros enteros, su suma tambin lo ser; luego, k debeser mltiplo de 4. Como nos dicen que vale 36 38, tenemos que ha de ser k= 36(pues 38 no es mltiplo de 4).

Resolvemos el sistema, ahora que sabemos que k= 36:

La suma de las cinco igualdades dar lugar a:

x+y+z+ t+ w= 37 + = 37 + 9 = 46

Por tanto: (x+y+ z+ t) + w= 35 + w= 46 w= 11

(x+y+ z+ w) + t= 36 + t = 46 t= 10(x+y+ t+ w) + z= 38 + z= 46 z= 8

(x+ z+ t+ w) +y= 39 +y= 46 y= 7

(y+ z+ t+ w) +x= 36 +x= 46 x= 10

46 Una cuadrilla de 5 obreros se compromete a podar los 222 rboles de unaplantacin. Trabajan de lunes a sbado. Cada da, cuatro de ellos podan y elquinto los atiende (repone herramientas, les da agua, recoge los troncos quecaen). Cada obrero poda el mismo nmero de rboles cada da, es decir, siAlberto poda 8 rboles un da, podar 8 rboles cada da que intervenga. Losresultados son:

Lunes: 35 rboles podados.

Martes: 36 rboles podados.

Mircoles: 36 rboles podados.

Jueves: 38 rboles podados.

Viernes: 38 rboles podados.

Sbado: 39 rboles podados.

Calcula cuntos rboles diarios poda cada uno de los cinco obreros sabiendoque ninguno de ellos poda los seis das.

364

k

4

x+y+ z+ t = 35x+y+ z + w= 36x+y + t+ w= 38x + z+ t+ w= 39

y+ z+ t+ w= k



41/41

Llamamos:

w= n- de rboles diarios que poda el obrero que descansa el lunes.

t = n- de rboles diarios que poda el obrero que descansa el martes.

(Es otro el que descansa, pues la suma es diferente).

z= n- de rboles diarios que poda el que descansa el jueves.

(Es otro distinto, pues la suma es diferente).

y= n- de rboles diarios que poda el que descansa el sbado.

(Es otro, pues la suma es distinta a las anteriores).

x= n- de rboles diarios que poda el obrero que falta.

(Descansar el mircoles o el viernes; coincidir con t o con z).

As, el n- de rboles que se podan cada da ser:

x+y+ z+ t = 35

x+y+ z+ w= 36

x+y + t+ w= 38x, y, z, t, w son enteros

x + z+ t+ w= 39

y+ z+ t+ w= k

k puede ser 36 38

Se trata de resolver este sistema.

Por el ejercicio anterior, sabemos que k= 36; y que:

x= 10, y= 7, z= 8, t= 10, w= 11

Por tanto, el que poda 11 rboles descansa el lunes, uno de los que podan 10 r-boles descansa el martes, el que poda 8 rboles descansa el jueves y el viernes, elque poda 7 rboles descansa el sbado y el otro que poda 10 rboles, descansa elmircoles.

UNIDAD_01 Sistemas de Ecuaciones Método de Gauss

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