Sustitución trigonométrica

k ¿∫ dx

√(x2+3 )5

Johnny EstebanCarhuapoma

Solución:

x=√3 tan (t)

dx=√3 Sec2( t)dt

∫ dx

√ (x2+3 )5=∫ √3 Sec2( t)dt

√3 ( tan2(t)+3 )5

∫ dx

√ (x2+3 )5=∫ √3 Sec2(t )dt

√3 ( tan2(t)+1 )5

∫ dx

√ (x2+3 )5=∫ √3Sec2(t )dt

√35√Sec2(t)5

∫ dx

√ (x2+3 )5=19∫ Sec2(t)dt

Sec5(t)

∫ dx

√ (x2+3 )5=19∫cos

3(t)dtIntegral Por Parte

19∫cos

3(t)dt=19∫cos

2(t)cos (t)dt

19∫cos

3(t)dt=19∫(1−Sen¿¿2(t))cos(t )dt ¿

19∫cos3(t)dt=1

9∫cos (t)dt−1

9∫ Sen2 ( t )Cost dt

❑

19∫cos

3(t)dt=19Sen ( t )+c−1

9∫Sen2 ( t ) cos ( t )dt ……….(I )

Integral Por Parte (I)

u=Sen2( t)du=2Sen (t)cos ( t )dt

v=∫ cos(t)dtv=Sen (t)

19∫ Sen2 (t )Cost . dt=1

9Sen

2

( t )Sen ( t )−19∫2Sen (t)Sen (t)cos ( t )dt

19∫ Sen2 (t )Cost . dt=1

9Sen

3

(t )−29∫ Sen2 ( t )cos ( t )dt

√ (x2+3 )5 x

√3

x

t

19∫ Sen2 (t ) cos ( t )dt+ 2

9∫ Sen2 ( t ) cos (t )dt=1

9Sen

3

(t )

13∫ Sen2 ( t ) cos ( t )dt=1

9Sen

3

( t )

∫ Sen2 (t ) cos (t )dt=13Sen

3

( t )+c……….(II )

Reemplazando (II) en (I)

19∫cos

3(t)dt=19Sen (t )+c−1

9∫Sen2 (t ) cos ( t )dt

19∫cos3(t)dt=1

9Sen ( t )+c−1

3Sen

3

( t )+c

19∫cos3(t)dt=1

9Sen ( t )−1

3Sen

3

( t )+c

∫ dx

√ (x2+3 )5= x

9√x2+3− x3

3√ (x2+3 )3+c

Método completar cuadrados

e ¿∫ (x2−3 )x4−6 x2+3

dx

Johnny EstebanCarhuapoma

Solución:

∫ (x2−3 )x4−6x2+3

dx=∫ (x2−3 )(x2−3 )2−√62

dx

∫ (x2−3 )x4−6x2+3

dx=∫ (x2−3 )(x2−3+√6 ) (x2−3−√6 )

dx

Transformando a Fracciones Parciales

∫ (x2−3 )x4−6x2+3

dx=∫( 1

2 (x2−3+√6 )+ 1

2 ( x2−3−√6 ) )dx

∫ (x2−3 )x4−6x2+3

dx=12∫ 1

(x2−3+√6 )dx+ 1

2∫ 1

(x2−3−√6 )dx

∫ (x2−3 )x4−6x2+3

dx=12∫ dx

( x2−√3−√62 )+ 12∫ dx

( x2−√3+√62 )

∫ (x2−3 )x4−6x2+3

dx=12 ( 1

2√3−√6¿¿ln|x−√3−√6

x+√3−√6 |)+12 ( 1

2√3+√6ln|x−√3+√6x+√3+√6 |)+c

g¿∫ (3 X2+X−5 )dx2 X2(X+1)3(X+2)2

Johnny EstebanCarhuapoma

Solución:

(3 x2+x−5 )x2(x+1)3(x+2)2

= Ax2

+Bx

+ C¿¿

¿A (x+1 )3 ( x+2 )2+Bx ( x+1 )3 (x+2 )2+C x2 ( x+2 )2+D x2 ( x+1 ) ( x+2 )2+E x2 (x+1 )2 ( x+2 )2+F x2 ( x+1 )322+G x2 ( x+1 )3(x+2)

x2(x+1)3(x+2)2

3 x2+x−5=A (x5+12x 4+19x3+25 x2+16x+4 )+B (x6+7 x5+19x4+25x3+16 x2+4 x )+C (x4+4 x3+4 x2)+D (x5+5 x4+8 x3+4 x2 )+E ¿

3 x2+x−5=x6 (B+E+G )+x5 ( A+7 B+D+E6+F+5G )+x4 (12 A+19B+C+5D+13E+3F+9G )+x3 (19 A+25 B+4C+8D+12E+3 F+7G )+x2 (25+16 B+4C+4 D+4E+F+2G )+x (16 A+4 B )+4 AFormando las ecuaciones: B+E+G=0 ………….. (I)A+7 B+D+6E+F+5G=0 …………..(II)12 A+19B+C+5D+13E+3F+9G=0 …………..(III)19 A+25 B+4C+8D+12E+3 F+7G=0 …………..(IV)25+16 B+4C+4D+4E+F+2G=0 ………….. (V)

A=−54;B=21

4;C=−9 ; D=289

6; E=−337

6;F=−5

4;G=611

12Formando la Integrales:

¿−A∫ dx

x2+B∫ dx

x−C∫ dx

( x+1 )3+D∫ dx

( x+1 )2−E∫ dx

(x+1)−F∫ dx

( x−2 )2+G∫ dx

x+2

¿−54∫

dx

x2+214 ∫ dx

x−9∫ dx

( x+1 )3+ 2896 ∫ dx

( x+1 )2−3376 ∫ dx

(x+1)−54∫

dx

( x−2 )2+ 61112 ∫ dx

x+2

¿− 54 x

+ 214ln|x|+ 9

2 ( x+1 )2− 2896 (x+1 )

−3376ln|x+1|+ 5

4 (x+2)+ 61112ln|x+2|

Método completar cuadrados

j ¿∫ (2x−3 )d (x )x3(x−2)3

Johnny EstebanCarhuapoma

Solución: Formando las ecuaciones: (2 x−3 )x3(x−2)3

= A

x3+ Bx2

+Cx+ D

(x−2)3+ E

(x−2)2+ Fx−2

2 x−3=A ( x−2 )3+B(x ) (x−2 )3+C(x¿¿2)( x−2 )3+D x3+E(x−2) x3+F (x−2)2 x3 ¿

2 x−3=x5 (C+F )+x4 (B−4C+E−2F )+x3 (A−4B+8C+D−2E+4 F )+x2 (−4 A+8B−8C )+x (8 A−8B )−8 A

C+F=0……… ..(I )

B−4C+E−2 F=0……… ..(II )

A−4 B+8C+D−2E+4 F=0………(III )

−4 A+8 B−8C=0……. IV ¿

A=38;B=1

8;C=−1

16:D=−1

8:E=−1

4:F= 1

16

∫ (2x−3 )x3(x−2)3

=38∫

d ( x )x3

+ 18∫

d (x )x2

− 116∫

d ( x )x

−18∫

d ( x )(x−2 )3

− 14∫

d ( x )(x−2)2

+ 116∫

d( x)x−2

∫ (2x−3 )x3(x−2)3

=−38 ( 12x2 )−18 (

1x)−116ln|x|+ 1

8(

1

2(x−2)2)+14(1x−2

)+116ln|x−2|

∫ (2x−3 )x3(x−2)3

=116 ( 1

( x−2 )2 )− 316 ( 1x2 )− 1

8x+14 ( 1x−2 )+ 116 ln|x−2x |+c