Sustitución trigonométrica
k ¿∫ dx
√(x2+3 )5
Johnny EstebanCarhuapoma
Solución:
x=√3 tan (t)
dx=√3 Sec2( t)dt
∫ dx
√ (x2+3 )5=∫ √3 Sec2( t)dt
√3 ( tan2(t)+3 )5
∫ dx
√ (x2+3 )5=∫ √3 Sec2(t )dt
√3 ( tan2(t)+1 )5
∫ dx
√ (x2+3 )5=∫ √3Sec2(t )dt
√35√Sec2(t)5
∫ dx
√ (x2+3 )5=19∫ Sec2(t)dt
Sec5(t)
∫ dx
√ (x2+3 )5=19∫cos
3(t)dtIntegral Por Parte
19∫cos
3(t)dt=19∫cos
2(t)cos (t)dt
19∫cos
3(t)dt=19∫(1−Sen¿¿2(t))cos(t )dt ¿
19∫cos3(t)dt=1
9∫cos (t)dt−1
9∫ Sen2 ( t )Cost dt
❑
19∫cos
3(t)dt=19Sen ( t )+c−1
9∫Sen2 ( t ) cos ( t )dt ……….(I )
Integral Por Parte (I)
u=Sen2( t)du=2Sen (t)cos ( t )dt
v=∫ cos(t)dtv=Sen (t)
19∫ Sen2 (t )Cost . dt=1
9Sen
2
( t )Sen ( t )−19∫2Sen (t)Sen (t)cos ( t )dt
19∫ Sen2 (t )Cost . dt=1
9Sen
3
(t )−29∫ Sen2 ( t )cos ( t )dt
√ (x2+3 )5 x
√3
x
t
19∫ Sen2 (t ) cos ( t )dt+ 2
9∫ Sen2 ( t ) cos (t )dt=1
9Sen
3
(t )
13∫ Sen2 ( t ) cos ( t )dt=1
9Sen
3
( t )
∫ Sen2 (t ) cos (t )dt=13Sen
3
( t )+c……….(II )
Reemplazando (II) en (I)
19∫cos
3(t)dt=19Sen (t )+c−1
9∫Sen2 (t ) cos ( t )dt
19∫cos3(t)dt=1
9Sen ( t )+c−1
3Sen
3
( t )+c
19∫cos3(t)dt=1
9Sen ( t )−1
3Sen
3
( t )+c
∫ dx
√ (x2+3 )5= x
9√x2+3− x3
3√ (x2+3 )3+c
Método completar cuadrados
e ¿∫ (x2−3 )x4−6 x2+3
dx
Johnny EstebanCarhuapoma
Solución:
∫ (x2−3 )x4−6x2+3
dx=∫ (x2−3 )(x2−3 )2−√62
dx
∫ (x2−3 )x4−6x2+3
dx=∫ (x2−3 )(x2−3+√6 ) (x2−3−√6 )
dx
Transformando a Fracciones Parciales
∫ (x2−3 )x4−6x2+3
dx=∫( 1
2 (x2−3+√6 )+ 1
2 ( x2−3−√6 ) )dx
∫ (x2−3 )x4−6x2+3
dx=12∫ 1
(x2−3+√6 )dx+ 1
2∫ 1
(x2−3−√6 )dx
∫ (x2−3 )x4−6x2+3
dx=12∫ dx
( x2−√3−√62 )+ 12∫ dx
( x2−√3+√62 )
∫ (x2−3 )x4−6x2+3
dx=12 ( 1
2√3−√6¿¿ln|x−√3−√6
x+√3−√6 |)+12 ( 1
2√3+√6ln|x−√3+√6x+√3+√6 |)+c
g¿∫ (3 X2+X−5 )dx2 X2(X+1)3(X+2)2
Johnny EstebanCarhuapoma
Solución:
(3 x2+x−5 )x2(x+1)3(x+2)2
= Ax2
+Bx
+ C¿¿
¿A (x+1 )3 ( x+2 )2+Bx ( x+1 )3 (x+2 )2+C x2 ( x+2 )2+D x2 ( x+1 ) ( x+2 )2+E x2 (x+1 )2 ( x+2 )2+F x2 ( x+1 )322+G x2 ( x+1 )3(x+2)
x2(x+1)3(x+2)2
3 x2+x−5=A (x5+12x 4+19x3+25 x2+16x+4 )+B (x6+7 x5+19x4+25x3+16 x2+4 x )+C (x4+4 x3+4 x2)+D (x5+5 x4+8 x3+4 x2 )+E ¿
3 x2+x−5=x6 (B+E+G )+x5 ( A+7 B+D+E6+F+5G )+x4 (12 A+19B+C+5D+13E+3F+9G )+x3 (19 A+25 B+4C+8D+12E+3 F+7G )+x2 (25+16 B+4C+4 D+4E+F+2G )+x (16 A+4 B )+4 AFormando las ecuaciones: B+E+G=0 ………….. (I)A+7 B+D+6E+F+5G=0 …………..(II)12 A+19B+C+5D+13E+3F+9G=0 …………..(III)19 A+25 B+4C+8D+12E+3 F+7G=0 …………..(IV)25+16 B+4C+4D+4E+F+2G=0 ………….. (V)
A=−54;B=21
4;C=−9 ; D=289
6; E=−337
6;F=−5
4;G=611
12Formando la Integrales:
¿−A∫ dx
x2+B∫ dx
x−C∫ dx
( x+1 )3+D∫ dx
( x+1 )2−E∫ dx
(x+1)−F∫ dx
( x−2 )2+G∫ dx
x+2
¿−54∫
dx
x2+214 ∫ dx
x−9∫ dx
( x+1 )3+ 2896 ∫ dx
( x+1 )2−3376 ∫ dx
(x+1)−54∫
dx
( x−2 )2+ 61112 ∫ dx
x+2
¿− 54 x
+ 214ln|x|+ 9
2 ( x+1 )2− 2896 (x+1 )
−3376ln|x+1|+ 5
4 (x+2)+ 61112ln|x+2|
Método completar cuadrados
j ¿∫ (2x−3 )d (x )x3(x−2)3
Johnny EstebanCarhuapoma
Solución: Formando las ecuaciones: (2 x−3 )x3(x−2)3
= A
x3+ Bx2
+Cx+ D
(x−2)3+ E
(x−2)2+ Fx−2
2 x−3=A ( x−2 )3+B(x ) (x−2 )3+C(x¿¿2)( x−2 )3+D x3+E(x−2) x3+F (x−2)2 x3 ¿
2 x−3=x5 (C+F )+x4 (B−4C+E−2F )+x3 (A−4B+8C+D−2E+4 F )+x2 (−4 A+8B−8C )+x (8 A−8B )−8 A
C+F=0……… ..(I )
B−4C+E−2 F=0……… ..(II )
A−4 B+8C+D−2E+4 F=0………(III )
−4 A+8 B−8C=0……. IV ¿
A=38;B=1
8;C=−1
16:D=−1
8:E=−1
4:F= 1
16
∫ (2x−3 )x3(x−2)3
=38∫
d ( x )x3
+ 18∫
d (x )x2
− 116∫
d ( x )x
−18∫
d ( x )(x−2 )3
− 14∫
d ( x )(x−2)2
+ 116∫
d( x)x−2
∫ (2x−3 )x3(x−2)3
=−38 ( 12x2 )−18 (
1x)−116ln|x|+ 1
8(
1
2(x−2)2)+14(1x−2
)+116ln|x−2|
∫ (2x−3 )x3(x−2)3
=116 ( 1
( x−2 )2 )− 316 ( 1x2 )− 1
8x+14 ( 1x−2 )+ 116 ln|x−2x |+c
Top Related