Circunferencia (Reparado)

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Circunferencia La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. 1.- Elementos de la circunferencia Centro de la circunferencia El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia . Radio de la circunferencia El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

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Geometria, Circunferencia.

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CircunferenciaLacircunferenciaes unalnea curva cerradacuyospuntosestn todos a lamisma distanciade un punto fijo llamadocentro.

1.- Elementos de la circunferencia

Centro de la circunferenciaElcentroes elpuntodel queequidistantodos lospuntosde lacircunferencia.Radio de la circunferenciaElradioes elsegmentoque une elcentrode lacircunferenciacon unpuntocualquiera de la misma.

CuerdaLacuerdaes unsegmentoqueune dos puntosde lacircunferencia.

DimetroEldimetroes unacuerdaque pasa por elcentrode lacircunferencia. Eldimetromide eldobledelradio.ArcoUnarcoes cada una de laspartesen que unacuerdadivide a lacircunferencia. Suele asociar a cadacuerdaelmenor arcoque delimita. Recta secanteLa recta corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangenteLa recta corta a la circunferencia en un punto.

Recta exteriorNo tiene ningn punto de corte con la circunferencia.

3.- ngulos de la circunferencia:ngulo central:es el ngulo que tiene su vrtice en el centro y sus lados lo forman dos radios.

-Si dos ngulos centrales son iguales tambin lo son los arcos correspondientes.-La medida de un arco central es la misma que la de su ngulo central correspondiente.ngulo inscrito:es aquel que tiene su vrtice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. -La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.ngulo semi-inscrito:es aquel que tiene su vrtice en un punto de lacircunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella. -La medida de un ngulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.ngulo interior:es aquel que tiene su vrtice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia. -Un ngulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.ngulo exterior:es aquel que tiene su vrtice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia. -La medida de un ngulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ngulo.

4.-Ecuacin de la circunferenciaSe llama circunferencia allugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuacin:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuacin:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relacin:

4.1.- Ecuacin reducida de la circunferenciaSi el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuacin queda reducida a:

Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Dada la circunferencia de ecuacin x2+ y2- 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).Si sustituimos x e y en la ecuacinpor las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

5.- Aplicaciones de la CircunferenciaLa Circunferencia es un elemento geomtrico de mucha importancia. Esta muy a diario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas tcnicas de gran precisin con productos como los Cds, los relojes, etc. La circunferencia es uno de los elementos de la geometra ms importantes que estn a normalmente en la vida, aunque no lo parezca. Est en todas partes.En la prehistoria (millones de aos atrs), con la invencin de la rueda se dio inicio a toda la tecnologa de hoy en da, todo gracias a la rueda aunque sea indirectamente, y nuevamente tenemos aplicaciones de la circunferencia en esta.ParbolaLa parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parbola es una curva con dos brazos abiertos cada vez ms, simtrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetra y el punto donde esta recta intercepta a la parbola se llama vrtice.

1.- Elementos de la parbolaa) Vrtice (V): Es el punto de interseccin de la parbola con el eje de simetra.b) Foco (F): Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetra a p unidades delvrtice.c) Eje de simetra (l1): Recta perpendicular a la directriz l y que pasa por elvrtice y el foco.d) Cuerda (CE): Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de laparbola.e) Directriz ( l ): Recta fija, perpendicular al eje de simetra l1.f) Cuerda focal (AB): Segmento de recta que une dos puntos de la parbola pasando por el foco.g) Lado Recto (LR): Es una cuerda focal perpendicular al eje desimetra.h) Radio Vector (PF): Segmento de recta que une el foco con un punto de la parbola.

2.- AplicacionesLa parbola tiene mltiple aplicaciones cientficas. Por ejemplo, cuando se lanza un proyectil, como una piedra o una pelota, su trayectoria es una parbola si no se consideranfactoresdemenosimportancia,comoresistenciadelaireygirosdel proyectil sobre s mismo; esta variacin puede llegar a ser apreciable en los casos en el que el proyectil inicie su movimiento con gran velocidad; por ejemplo, un obs de can. En la construccin de Algunos puentes se emplean arcos parablicos; las curvasqueformanloscablesquesostienenciertospuentessuspendidosson aproximadamente una parbola, siempre que la carga sobre el puente sea uniforme.

3.- Ecuacin de la parbolaLa ecuacin de toda parbola es AX2+BXY+CY2+DX+EY+F = 0

HiprbolaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

1.- Elementos de la hiprbola

yson los focos de la hiprbola. La recta que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. Los puntos donde la curva interseca al eje focal se llaman vrticesyde la hiprbola. El segmento de la recta que tiene como extremos los vrtices de la hiprbola se llama eje transverso. El punto mediodel eje transverso es el centro de la hiprbola. La recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hiprbola es el eje normal. La distancia entre los focosse denomina distancia focal. Los segmentos del eje normalse denomina eje conjugado;yson los extremos del eje conjugado. Las rectas diagonales del rectngulo auxiliar son las asntotas de la hiprbola. Cada uno de lo segmentos del eje transverso, cuyos extremos son el centro de la hiprbola, y cada uno de los vrtices se llama semieje transverso. Cada segmento del eje conjugado, cuyos extremos son el centro de la hiprbola y cada uno de los extremos del eje conjugado, se llama semieje conjugado.2.- Ecuacin de la hiprbola

Se llama ecuacin reducida a la ecuacin de la hiprbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hiprbola con el origen de coordenadas. Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hiprbola cumple:

Esta expresin da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que, llegamos a:

Ecuacin reducida de eje vertical de la hiprbola F'(0, c) y F(0, c) La ecuacin ser:

Ecuacin de la hiprbola

Si elcentrode la hiprbola esC(x0, y0)y el eje principal es paralelo a OX, losfocostienen de coordenadasF(x0+c, y0) y F'(x0 c, y0). Y la ecuacin de la hiprbola ser:

Ecuacin de la hiprbola de eje vertical

Si elcentrode la hiprbolaC(x0, y0)y el eje principal es paralelo a OY, losfocostienen de coordenadasF(x0, y0+c) y F'(x0, y0 c). Y la ecuacin de la hiprbola ser: 3.- Aplicaciones de la HiperbolaLa hiprbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hiprbola con sus focos, el ngulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales.Esta propiedad se utiliza en la construccin de espejos (de luz y sonido), pues la emisin, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la direccin de la recta que une el otro foco con el punto.

Aplicada en astronoma: Trayectorias de cometas.Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atrado por el sol, describir una rbita hiperblica, teniendo como un foco al sol y saldr nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.En el siguiente esquema se puede ver cmo se pueden combinar las propiedades pticas de la parbola y la hiprbola para construir un telescopio.

En mecnica se usan en el diseo de estructuras hay algunas veces que los resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hiprbola.Si usas una linterna (cuyo haz de luz es cnico) y la colocas paralela a una pared, el borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hiprbola.

Es bastante comn verla en edificios y construcciones arquitectnicas. Si tienes un edificio de seccin cuadrada o rectangular con un remate o cpula cnica (algo similar al edificio Chrysler), la unin de ambos cuerpos produce hiprbolas.ElipseFigura geomtrica que es similar a un crculo achatado. Se puede obtener una elipse cortando un cono recto con un plano que se encuentra ligeramente inclinado de la posicin paralela a la base del cono, pero antes de volverse paralelo a un elemento del cono.1.-Elementos de la Elipse

Losfocosde la elipse son dos puntos equidistantes del centro,F1yF2en el eje mayor.La recta que contiene a los focos se llama eje focal.A, B, C y D son los vrtices de la elipse.El segmento AB es el eje mayor y el segmento CD es el eje menor.El punto de interseccin de los dos ejes, O, es el centro de la elipse.2.-Ecuacion de la ElipseEn coordenadas cartesianas Forma cartesiana centrada en origenLa ecuacin de una elipse encoordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

dondea> 0 yb> 0 son los semiejes de la elipse, donde siacorresponde al eje de lasabscisasybal eje de lasordenadasla elipse es horizontal, si es al revs, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF'se llama distancia focal y vale2c = 2ea, siendoelaexcentricidadyaelsemi eje mayor. Forma cartesiana centrada fuera del origenSi el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuacin es:

En coordenadas polares Forma polar centrada en origenEncoordenadas polares, con origen en su centro, la ecuacin de la elipse es:

Una ecuacin ms elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad), es:

Para ambas ecuacionesaes el semieje mayor,bes el semieje menor de la elipse,es el ngulo polar y para laes la excentricidad.Si no se quiere pre-calcular la excentricidadconvendr utilizar la ecuacin, en caso contrario utilizar la ecuacin

Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.Encoordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuacin de la elipse es:

Para el otro foco: "Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco ms general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular, la forma polar es:}El ngulode las ecuaciones es la llamadaanomala verdaderadel punto y el numerador de las mismases el llamadosemi-latus rectumde la elipse, normalmente denotado. Elsemi-latus rectumes la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una lnea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

3.- Aplicaciones de la ElipseLas elipses estn presentes de muchas maneras en la vida real. As, una de las formas ms conocidas de elipses son los anillos planetarios alrededor de Saturno y de otros planetas. Estos anillos toman forma de elipse como tambin son elpticos los recorridos que estos planetas realizan alrededor del Sol. Luego, las elipses son formas importantes no slo de la geometra y de latrigonometra, si no tambin de la informtica y de diversos soportes computacionales en los que se las incluye en el lenguaje informticocorr0espondiente.