MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.ppt

MEDIDAS ESTADISTICA MEDIDAS ESTADISTICA DESCRIPTIVASDESCRIPTIVAS

Ing. Greiza LucenaIng. Greiza Lucena

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTALUNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL“LISANDRO ALVARADO” “LISANDRO ALVARADO”

DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍASDECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍASDEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESDEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Las medidas estadísticas descriptivas pueden son:

MEDIDAS ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVASMEDIDAS ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS

Medidas de Tendencia Central o de Medidas de Tendencia Central o de posiciónposición

X

Los datos organizados en una distribución de frecuencias destacan sus características más esenciales, sin embargo los indicadores que describen a los datos en forma más precisa, deben calcularse. Estos indicadores resumen los datos en medidas descriptivas que se refieren a la centralización o posición, a la dispersión o variación, a la asimetría, y a la curtosis de los datos.

1. Media aritmética:

Denominada simplemente media, es la suma de los valores observados de la variable, dividido por el número de observaciones. Se denota:

a) Media aritmética para datos no tabulados:

n

X

X

n

ii

1

b) Media aritmética de datos tabulados:

Si n valores de una variable discreta X se clasifica en k valores

distintos x1,x2,…,xk con frecuencias absolutas respectivas f1,f2,…,fk,

entonces, su media aritmética es:

c) Media aritmética para datos por intervalos:

Si n valores de alguna variable X están tabulados en una

distribución de frecuencias de k intervalos, donde: Xm1, Xm2,…, Xmk son las

marcas de clase y f1,f2,…,fk son las frecuencias absolutas respectivas,

entonces:


n

xf

X

n

iii

1

n

xfX

k

imii

1

Propiedades de la Media aritmética:

1. para n datos no tabulados.

para n datos tabulados

2. Si cada uno de los n valores xi es transformado en: yi= axi + b, siendo a y b constantes, entonces, la media de los n valores yi es:


XnXn

ii

1

Xnxfk

iii

1

bxay

4. La suma de los cuadrados de las desviaciones de n datos respecto a

su media es mínima.

3. Para datos no

tabulados y

tabulados.


k

iii

n

ii xxfyxx

1100

xcsimínimacxn

ii

,

1

2

0, 2

1

2

1

2

cxnqueyaxxcxn

ii

n

ii


2. Media aritmética ponderada:

Es aquella que es afectada por los pesos w1,w2,…,wk y se calcula:

EJEMPLO 1:

Si un alumno del semestre anterior ha obtenido 11 en el Curso A de 5créditos, 13 en el curso B de 4 créditos y 16 en el curso C de 3 créditos,

Entonces, su promedio es:

92.12X

k

i

k

iii

iw

xw

X

1

1

3. Mediana

Es el valor mediano de una serie de datos, es el número que separa

a la serie de datos ordenados en forma creciente o decreciente en dos partes

de igual número de datos.

Es una medida promedio que depende del número de datos

ordenados

y no de los valores de estos datos. Se denota con Me.

a) Mediana de datos tabulados:

1. Se ordenan los datos en forma creciente.

2. Se ubica el valor central Me. Si n es impar, la mediana es el dato

ordenado del centro. Si n es par, la mediana es la semisuma de los dos

valores ordenados centrales.

EJEMPLO:Calcular la mediana para los siguientes datos:

120, 3, 14, 1, 99, 7, 30, 2000, 16. 30, 77, 3, 300, 36, 11, 1000, 29.


parn

XX

imparnX

Menn

n

;2

;

)12(

2

2

1


b) Mediana de datos por intervalos de clases:• Si los valores de una variable discreta se tabulan en una distribución de

frecuencias de la forma “dato-frecuencia”, el cálculo de la mediana se hace

siguiendo el procedimiento anterior.

- Se localiza el intervalo que contenga el valor medio (n/2)de los datos y se

calcula:

Li = es el límite inferior verdadero del intervalo que contiene a la mediana.Faa = es la frecuencia absoluta acumulada ascendente del intervalo anterior al

que contiene la mediana.fi = es la frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana.a = es la amplitud del intervalo de clase.

2 aa

ii

nF

Me L af

Propiedades de la Mediana:

1. Sólo depende del número de datos ordenados y no de la magnitud de los

datos. No es afectada por algún valor grande o pequeño.

2. La mediana siempre se puede calcular para distribuciones de frecuencia con

intervalos de diferente amplitud, siempre que se pueda Determinar el límite

inferior del intervalo de la mediana.

3. Puede ser calculada para variables con valores en escala ordinal.

4.


i

n

ii xlosdemedianalaescsimínimocx ,

1

4. Moda:

La moda de una serie de datos es el valor Mo, que se define como el dato

que más se repite. La moda no siempre existe y si existe, no siempre es

única. En matemática, la moda es el valor de la variable en el que existe un

máximo absoluto.

La moda es el promedio menos importante debido a su

ambigüedad.

Ejemplo 5.

Encontrar la moda en los siguientes conjuntos de datos: a) 7, 9, 7, 8, 7, 4, 7, 13, 7 b) 5, 3, 4, 5, 7, 3, 5, 6, 3 c) 31, 11, 12, 19


a) Moda de datos por intervalos de clases:

Se debe primero determinar el intervalo que contiene a la moda,

esto es, el intervalo que tiene la mayor frecuencia (intervalo modal).

Después se aplica la siguiente fórmula:

Li es el límite inferior del intervalo modal.

d1= fi – fi-1 es igual a la frecuencia absoluta simple del intervalo modal menos la frecuencia simple del intervalo inmediatamente anterior.

d2= fi – fi+1 es igual a la frecuencia absoluta simple del intervalo modal menos la frecuencia simple del intervalo inmediatamente posterior.

a= es la amplitud del intervalo modal.


Add

dLMo i

21

1


5. Relación entre media, mediana y moda• Si la distribución de frecuencias es simétrica, entonces, la media, la

mediana y la moda tienen el mismo valor.

2. Si la distribución es asimétrica de cola a la derecha, entonces, la moda es

menor que la mediana y esta a su vez es menor que la media.


3. Si la distribución es asimétrica de cola a la izquierda, entonces, la media es

menor que la mediana y esta a su vez es menor que la moda.

4. Para distribuciones unimodales y asimétricas, se tiene la siguiente relación

empírica:

5. Los tres promedios pueden calcularse para distribuciones de frecuencias

con intervalos de diferente longitud, siempre que puedan determinarse las

marcas de clase.

)(3 MeXMoX

Ejemplo 3.

Los ingresos quincenales en dólares (variable X) de 45 personas son:

63 89 36 49 56 64 59 35 78

64 53 70 57 62 43 68 62 26

64 72 52 51 62 60 71 61 55

65 60 67 57 67 61 67 51 81

66 64 76 44 73 56 62 63 60

a) Construir la distribución de frecuencias (Límites declarados, Límites

exactos, marcas de clase, frecuencias relativas y frecuencias acumuladas).

b) Calcular la media aritmética para datos no tabulados y tabulados.

c) Calcular la mediana para datos no tabulados y tabulados.

d) Calcular la moda para datos no tabulados y tabulados.

e) Interprete estas medidas, qué puede decir.


La inversión anual, en miles de bolívares, de una muestra de 40

pequeñas empresas fueron:

31 17 27 20 28 10 34 25 4 24

32 39 18 30 41 26 12 46 18 23

36 19 29 37 33 27 27 24 26 31

37 28 33 28 22 23 31 29 35 21

a) Construir la distribución de frecuencias considerando 8 clases (Límites declarados, Límites exactos, marcas de clase, frecuencias relativas y frecuencias acumuladas).

b) Calcular la media aritmética para datos no tabulados y tabulados.c) Calcular la mediana para datos no tabulados y tabulados.d) Calcular la moda para datos no tabulados y tabulados.e) Interprete estas medidas, qué puede decir.

Medidas de Tendencia Central o de Medidas de Tendencia Central o de posiciónposiciónEjemplo 4.

Las medidas de posición, son aquellas que localizan la posición de algún dato en relación a otros. Entre estas medidas están: Percentiles, Deciles y Cuartiles.

Estas medidas son conocidas como Cuantiles, ya que dividen al conjunto de datos en 2, 4, 10 ó 100 partes iguales.

Definición 1.

Percentil:

Se obtienen al dividir la serie o distribución de datos en 100 partes iguales. Esta división se hace a partir de los porcentajes acumulados. Un Percentil es un punto por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de casos.

Medidas de PosiciónMedidas de Posición

Deciles:

Se obtiene al dividir la distribución o serie de datos en 10 partes iguales. Los deciles son nueve: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8 y D9.

Definición 2.

Cuartiles:

Se obtiene al dividir la distribución o serie de datos en 4 partes iguales. Los cuartiles son tres: Q1, Q2 y Q3.

Definición 3.

Q1

Relación entre los Percentiles, Deciles y Cuartiles.

P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90P25 P75

D1…........ D2…..... D3….... D4….... D5….... D6….... D7….... D8….... D9

Q2 Q3


Del gráfico anterior se deduce que tanto los deciles como los cuartiles se calculan a partir de los percentiles.a partir de los percentiles.

Cálculo de los Percentiles:

1. Cálculo de los Percentiles para datos tabulados:

posx XP

Donde,

Pos : posición del percentil buscado.

100

* nxPos ; x = percentil buscado y n = cantidad de

datos


2. Cálculo de los Percentiles para datos por intervalos de clases:

1

*i

x i

Pos FP L a

f

Donde, ; posición donde esta el percentil buscado.

iL : Límite inferior real de la clase donde se encuentra el percentil.

100

* nxPos

if :frecuencia absoluta simple de la clase donde se encuentra el percentil.

aaF: frecuencia acumulada ascendente de la clase anterior a la clase donde se encuentra el percentil.

a : amplitud del intervalo.


Para calcular Deciles y Cuartiles la formula es la misma, solo que:

A

f

FPosLP

i

ix *1

10

* nxPos ; si es Decil.

Donde:

4

* nxPos ; si es Cuartil.


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