UNIDAD 6: TRABAJEMOS CON MEDIDAS DE POSICION

UNIDAD 6: TRABAJEMOS CON MEDIDAS DE POSICION.

Cuartiles, deciles y percentiles.

4.1 Introduccin y clculo.

La mediana es un valor de posicin. Divide a una serie de datos ordenados en 2 partes iguales. Es decir que la mediana supera a no ms de la mitad de los datos. Al mismo tiempo es superada por no ms de la mitad de los datos.

Pero podemos dividir una serie de datos en ms de dos partes. Si se divide en 4, se obtienen los cuartiles. Los cuartiles son 3: Q1, Q2, Q3.

( Clculo de cuartiles, deciles y percentiles.

La posicin de un cuartil K es: K (n + 1)/4

La posicin de un decil K es: K (n + 1)/10

La posicin de un percentil K es: K (n + 1)/100

K tomar los valores correspondientes. Por ejemplo, si se busca el decil 7, entonces K = 7; si se busca el percentil 25, entonces K = 25.

Una vez que se tienen las posiciones respectivas, se procede a calcular el valor que ocupa tal posicin.

Si se busca el cuartil 2, entonces K = 2; y tenemos K (n + 1)/4 = 2 (n + 1)/4 = (n + 1)/2. Ahora recordemos que (n + 1)/2 es la frmula para encontrar la mediana. Queda as demostrado que el cuartil 2 equivale a la mediana.

Ejemplo. Resolver los casos siguientes.

1. Para la serie 5, 10, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 50, 52, 57, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 85, 85, 95, 100, 120, 130, 143, 150. Calcular el cuartil 3, el decil 7 y el percentil 90.

2. Para la serie aritmtica: 4, 7, 10, 13...103, 106, 109. Calcular el cuartil 1 y el decil 8.

( Solucin.( Se tienen 25 datos.

El cuartil 3 ocupa la posicin: K (n + 1)/4 = 3 (25 + 1)/4 = 3(26)/4 = 78/4 = 19.5

Tomemos las posicione 19 y 20. Estas son: 85 y 95. Como 19.5 es 19 y medio, significa que la posicin 19.5 est en el centro de 85 y 95.

La posicin 19.5 es (85 + 95)/2 = 90. El cuartil 3 es 90.

Tambin puede calcularse as: 95 85 = 10. La posicin 19.5 es 85 + 10 (0.5) = 85 + 5 = 90.

El decil 7 ocupa la posicin: K (n + 1)/10 = 7(25 + 1)/10 = 182/10 = 18.2

Tomemos las posicione 18 y 19. Estas son: 85 y 85. Por lo tanto el decil 7 es 85.

El percentil 90 ocupa la posicin: K (n + 1)/100 = 90 (25 + 1)/100 = 23.4

Tomemos las posicione 23 y 24. Estas son: 130 y 143. La resta es: 143 130 = 13. La posicin 23.4 es: 130 + 13(0.4) = 135.2.

( Para la serie 4, 7, 10, 13...103, 106, 109, el trmino general es f(n) = 3n + 1.

La posicin del ltimo trmino es: 109 = 3n + 1. Al despejar n resulta que: n = 36. Es decir que tenemos 36 datos.

El cuartil 1 ocupa la posicin: K (n + 1)/4 = 1 (36 + 1)/4 = 9.25. Para esta posicin el dato es:

f(n) = 3n + 1 = 3(9.25) + 1 = 28.75

El decil 8 ocupa la posicin: K (n + 1)/10 = 8(36 + 1)/10 = 29.6 Para esta posicin el dato es:

f(n) = 3n + 1 = 3(29.6) + 1 = 89.8

( Actividad 2.

1. Para cada serie calcular el cuartil 3, el decil 6 y el percentil 75.

a. 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 28, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 36, 41, 41, 44, 45, 47, 49, 50, 60, 65, 70. ___________________ ___________________ ___________________b. 7, 8, 10, 12, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 28, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 36, 41, 41, 44, 45, 47, 49, 50, 55, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 70, 71, 73. ___________________ ___________________ ___________________2. Para cada serie aritmtica calcular el cuartil 2, el decil 5, el decil 8, el percentil 80 y el percentil 90.

a. 7, 12, 17, 22... 212, 217. ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________b. 6, -2, 2, 6, 10... 190, 194. ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________3. Para los primeros 100 trminos de la serie f(n) = 5n 10, calcular la mediana, el cuartil 2, el decil 5, el decil 6, el decil 8, el percentil 60, el percentil 80 y el percentil 85. ___________________ ___________________

___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ( La escala percentilar.

La escala percentilar se calcula mediante la frmula: P = 50(2faa + f) Aqu, faa es la frecuencia acumulada anterior del valor en consideracin. Como antes, n es el nmero total de datos.

Ejemplo. Calcular la escala percentilar para los datos siguientes: 12, 12, 12, 14, 14, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 25, 25, 27, 30.

( Solucin.Para esta serie de datos n = 35.

Agrupemos la informacin en una tabla de frecuencias. Agreguemos la frecuencia acumulada y la frecuencia acumulada anterior

Dato121416171820212223252730

.f322356433211

fa357101521252831333435

.faa cero3571015212528313334

Para 12, tenemos faa = cero. P = 50(2faa + f)/n = 50(2x0 + 3)/35 = 4.29

Para 14, tenemos faa = 3. P = 50(2faa + f)/n = 50(2x3 + 2)/35 = 11.43

Para 16, tenemos faa = 5. P = 50(2faa + f)/n = 50(2x5 + 2)/35 = 17.14

Para 17, tenemos faa = 7. P = 50(2faa + f)/n = 50(2x7 + 3)/35 = 24.29

Para 18, tenemos faa = 10. P = 50(2faa + f)/n = 50(2x10 + 5)/35 = 35.7

Y as se contina.

Para calcular la escala decilar se divide por 10 la escala percentilar.

En la tabla siguiente se muestra la escala percentilar y la decilar.

Dato .f .fa.faaEsc. Per.Esc. Dci.

1233cero4.290.429

1425311.431.143

1627517.141.714

17310724.292.429

185151035.73.57

206211551.435.143

214252165.76.57

223282575.77.57

233312884.38.43

252333191.439.143

271343395.79.57

301353498.579.857

( Actividad 3. Calcular las escalas percentilar y decilar para los grupos de datos siguientes:

1. 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 25, 25, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29.

2. 20, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 30, 30, 30, 30, 30, 35, 35, 35, 35, 35, 35, 35, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 42, 42, 42, 42, 45, 45, 45, 50, 50, 50, 50, 52, 52, 50, 50, 50, 52, 52, 52, 52, 54, 54, 54, 54.

5. Introduccin a las medidas de dispersin.

Como su nombre lo indica, las medidas de dispersin son parmetros que nos indican qu tan dispersos estn los datos. Cuantos ms dispersos estn, mayor ser el valor de la medida.

Consideremos las series siguientes.

a. 10, 10, 10, 10.

b. 2, 5, 6, 7, 9, 13.

c. 1, 7. 8, 14, 20

En la serie a, la dispersin es cero; y la serie c es la ms dispersa. De hecho, para la serie a la desviacin tpica, que es una medida de dispersin, es CERO.

Las medidas de dispersin tienen su importancia. El caso siguiente ilustrar esta importancia.

Se tienen 2 empresas. La empresa A paga un salario promedio de $265; mientras que la empresa B paga un salario promedio de $240. A juzgar por la media aritmtica (el promedio), podra afirmarse que los empleados de la empresa A estn mejor econmicamente. Pero No es cierto que los de A estn mejor que los de B.

Analicemos los salarios de cada empleado por empresa.

Salarios de los empleados de la empresa A.

174180173190200183500220450175185550

Salarios de los empleados de la empresa B.

220210200230310250225290215235240255

Podemos observar que en la empresa A hay salarios muy bajos: el ms bajo es $173. En cambio en la empresa B, el salario ms bajo es de $210. Definitivamente que en B se tienen los mejores salarios individuales. Lo que ocurre es que en A, los salarios son ms heterogneos; es decir, estn ms dispersos. En cambio en B, los salarios son ms homogneos; es decir, menos dispersos.

En conclusin: la media aritmtica no es el parmetro adecuado para estimar el bienestar econmico de los empleados. En cambio, el grado de dispersin de los salarios s nos aproxima de mejor manera al estado econmico individual de cada empleado.

En estos casos, n es el nmero de datos.

n