medida_caba_-_broitman_itzcovich

7/21/2019 medida_caba_-_broitman_itzcovich

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El estudio de la medida

Aportes para la enseanza

ESCUELAPRIMARIA

Segundociclo

Ministerio de Educacin


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Aportes para la enseanzaESCUELA PRIMARIA


Segundociclo


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ISBN: 978-987-549-463-3 Gobierno de la Ciudad de Buenos AiresMinisterio de EducacinDireccin General de Planeamiento EducativoDireccin de Currcula y Enseanza, 2010Hecho el depsito que marca la Ley 11.723

Esmeralda 55, 8opisoC1035ABA - Buenos AiresTelfono/Fax: 4343-4412Correo electrnico: [email protected]

Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en este documento,hasta 1.000 palabras, segn Ley 11.723, art. 10, colocando el apartadoconsultado entre comillas y citando la fuente; si este excediera la extensin

mencionada, deber solicitarse autorizacin a la Direccin de Currcula y Enseanza.Distribucin gratuita. Prohibida su venta.

Broitman, ClaudiaMatemtica, El estudio de la medida / Claudia Broitman y Horacio Itzcovich.1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educacin - Gobierno de la Ciudad deBuenos Aires, 2010.

72 p. ; 30x21 cm. - (Aportes para la enseanza. Segundo ciclo)ISBN 978-987-549-463-3

1. Matemtica. 2. Enseanza Primaria. I. Itzcovich, Horacio II. TtuloCDD 372.7


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Jefe de Gobierno

Mauricio Macri

Ministro de Educacin

Esteban Bullrich

Subsecretaria de Inclusin Escolar y Coordinacin Pedaggica

Ana Mara Ravaglia

Directora de Planeamiento Educativo

Mara de las Mercedes Miguel



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EDICINACARGODELADIRECCINDECURRCULAYENSEANZA

Coordinacin editorial: Paula GaldeanoEdicin:Gabriela Beraj, Mara Laura Cianciolo, Marta Lacour, Virginia Piera

y Sebastin VargasCoordinacin de arte:Alejandra MosconiDiseo grfico: Patricia Leguizamn y Patricia Peralta

Apoyo administrativo:Andrea Loffi, Olga Loste, Jorge Louit y Miguel ngel RuizDistribucin y logstica: Marianela Giovannini

Matemtica. El estudio de la medidaAPORTESPARALAENSEANZA. ESCUELAPRIMARIA

DIRECCINDECURRCULAYENSEANZAGabriela Polikowski

Coordinacin de Educacin Primaria

Susana WolmanAdriana Casamajor

ELABORACINDELMATERIAL

Especialistas

Claudia BroitmanHoracio Itzcovitch

Agradecimientos

Se agradecen la lectura y los comentarios de Hctor Ponce.


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5Aportes para la enseanza Esuel Prmr / MatEMtica. El estudio de la medida. Segundo lo

PRESENTACIN

El Ministerio de Educacin de la CABA presenta a la comunidad educativa este nuevodocumento curricular de la serie Aportes para la enseanza destinado al trabajo sobrela medida en el segundo ciclo.

El estudio de la medida. Segundo ciclofue concebido fundamentalmente porque comose afirma en el Diseo Curricular constituye un objetivo del ciclo que los nios seenfrenten con problemas reales de medicin y que lleguen a construir una represen-tacin interna que permita dar cuenta del significado de cada una de las magnitudes

que se estudian, as como tambin que puedan elaborar una apreciacin de los di-ferentes rdenes de cada magnitud. Adems, como se afirma en el documento, supublicacin constituye una respuesta a las demandas de docentes por recursos quecolaboren en la planificacin de un tema tan complejo como es este.

Este documento constituye un importante insumo para el trabajo didctico porque,sin agotar todos los contenidos que se encuentran bajo el ttulo de medida, contienepropuestas didcticas para el abordaje escolar de la longitud, el peso y la capacidad.Se propone, adems, el tratamiento de otras unidades de medida, cuyo abordaje noha sido tan usual histricamente en la escuela, pero que habilitan a pensar relacionesaritmticas diferentes de las que subyacen a las medidas ya conocidas. Tal es el casode, por ejemplo, las unidades para medir la cantidad de informacin y una explora-cin de otros sistemas.

En cada uno de los apartados de este documento se incluyen problemas para serresueltos y a continuacin de cada uno de ellos una serie de Comentarios sobre elproblema. Se busca que los problemas consistentemente con el enfoque del reaexpresado en el Diseo Curricular presenten desafos a los alumnos otorgndoles laoportunidad y la responsabilidad de tomar decisiones, de desplegar procedimientos ymaneras de representar los propios. Es decir, no se espera que los problemas sean re-sueltos directamente de manera correcta; por el contrario, se intenta generar a partirde la diversidad de respuestas y procedimientos espacios colectivos de discusin ydifusin de ideas que enriquezcan el trabajo de todos.

En los apartados de Comentarios al problema se brinda una amplia y valiosa gamade informacin didctica, dado que se explicita aquello que se espera que promuevael problema o los problemas, se profundiza en el anlisis de las dificultades, se pre-sentan algunas respuestas posibles de los alumnos, se advierte acerca de la aperturade nuevas cuestiones o problemas, as como tambin en algunos casos se incluyen

alternativas de intervencin docente.


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G.c.B.a. Mnsero de Edun Dren Generl de Plnemeno Eduvo Dren de currul y Ensenz6

Por otro lado, se pretende contribuir desde este documento a un propsito de la en-seanza: que los alumnos comprendan la escritura decimal de los nmeros racionales.Para ello, el conocimiento de la estructura de los diferentes sistemas de medicin es

un soporte apropiado.

Tambin se propone que las actividades que se realicen apunten a centrarse en lossignificados con los que estn trabajando ms que ocuparse en actividades sueltas enlas que los alumnos tienden a recordar solamente el mecanismo a emplear.

Se espera entonces que este documento colabore con los docentes de la Ciudadcomo instrumento del trabajo profesional.


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NDICE

INTRODUCCIN.................................................................................................................................. 9

MEDIDASDELONGITUD, CAPACIDADYPESO..............................................................11 1. LONGITUDES ...................................................................................................................................12 2. PESOS .............................................................................................................................................17

3. CAPACIDADES ...............................................................................................................................26

4. RELACIONESENTREPESOSYCAPACIDADES ................................................................................31

5. RECAPITULACINSOBRELAMEDICIN.......................................................................................33

RELACIONESENTREMEDIDAS, SISTEMADENUMERACINYPROPORCIONALIDAD ...................................................................................................................35 1. SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAI ...........................................................................................35

2. SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAII ..........................................................................................37

3. RECONSTRUIRLAUNIDADDEMEDIDA .......................................................................................38

4. EXPLORARUNIDADESDEMEDIDAMAYORESPARALONGITUDES, CAPACIDADESYPESOS...39

5. EQUIVALENCIASENTREUNIDADESDEMEDIDAS ........................................................................39EXPLORAROTROSSISTEMASDEMEDIDA..........................................................................45 1. MEDIDASDETIEMPO .....................................................................................................................45 2. EXPLORARMEDIDASINFORMTICASYMEDIDASANGLOSAJONAS ..........................................48

ALGUNASPROPUESTASPARASISTEMATIZARYORGANIZARLOTRABAJADO.....................................................................................................................................53

A MODODECIERRE .........................................................................................................................57

ANEXOENUNCIADOSDELOSPROBLEMASINCLUIDOSENESTEDOCUMENTO ..........................59

RELACIONESENTREMEDIDAS, SISTEMADENUMERACINYPROPORCIONALIDAD...........60

1. SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAI ...........................................................................................60

2. SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAII ..........................................................................................60

3. RECONSTRUIRLAUNIDADDEMEDIDA .......................................................................................61

4. EXPLORARUNIDADESDEMEDIDAMAYORESPARALONGITUDES, CAPACIDADESYPESOS...61

5. EQUIVALENCIASENTREUNIDADESDEMEDIDAS ........................................................................61


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EXPLORAROTROSSISTEMASDEMEDIDA ......................................................................................65 1. MEDIDASDETIEMPO .....................................................................................................................65 2. EXPLORARMEDIDASINFORMTICASYMEDIDASANGLOSAJONAS ..........................................66

BIBLIOGRAFA.................................................................................................................................................... 69


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INTRODUCCIN

Este documento intenta ser un aporte a la compleja tarea del docente de pensar la en-seanza de la medidaen 4, 5 y 6 aos de la Escuela Primaria. La seleccin de este ejede trabajo se basa en la demanda concreta de algunos docentes que no encuentransuficientes recursos que les permitan planificar sus clases.

Se presentan aqu algunas propuestas didcticas para el tratamiento de la longitud, elpeso y la capacidad. Tambin se propone el abordaje de otras unidades de medida, notan usuales histricamente en la escuela, pero que habilitan a pensar nuevas relaciones

aritmticas diferentes de las que subyacen a las medidas ya conocidas, por ejemplo, lasunidades para medir la cantidad de informacin y una exploracin de otros sistemas.

Este documento est organizado en tres partes. La primera se ocupa principalmente delproblema de medir. Es decir: qu es posible de ser medido en un objeto determinado?(su longitud, su peso, su capacidad); qu particularidades y dificultades acarrea la me-dicin de alguno de estos atributos? (seleccionar una unidad de medida, iterarla tantasveces como el objeto a medir lo permita, subdividir la unidad de medida seleccionada,considerar la aproximacin y los errores, la necesidad de apelar a intervalos, etctera) y,finalmente, cmo aparecen los nmeros en las situaciones de medicin? (escritura de la

medida de un objeto, identificacin de la unidad de medida seleccionada, equivalenciasentre escrituras diferentes, etctera).

Las actividades que se proponen y analizan incluyen a su vez el problema del cambiode unidad de medida y las consideraciones que se deben tener en cuenta, as como laposibilidad de subdivisiones de ciertas unidades de medida para avanzar en el estudiosistemtico del SIMELA.

En esta parte se ha intentado considerar la complejidad que presentan a los alumnos eluso y la seleccin de instrumentos y unidades de medida, as como la importancia de

aprender a estimar como parte del proceso de medir.

Todos estos aspectos son considerados para el trabajo en 4 y 5 aos. Obviamente,un docente de 6 ao que evaluara que sus alumnos no han tenido la oportunidad deenfrentarse con este tipo de problemas podr seleccionar algunos de ellos para su trata-miento.

En la segunda parte se profundiza el estudio del Sistema Mtrico Legal, estableciendorelaciones entre este, las caractersticas del sistema de numeracin y las relaciones deproporcionalidad directa que comandan el pasaje de una cierta unidad de medida a

otra. Se trata de hacer explcitas algunas particularidades aritmticas que caracterizan elfuncionamiento de medida.


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Los problemas propuestos en la segunda parte se asocian a los contenidos del DiseoCurricular propuestos para 5 y 6 aos.

En la tercera parte se incluyen otros sistemas de medida que permitirn comparar con losya conocidos, estableciendo similitudes y diferencias, aspecto que permite comprenderde manera ms profunda la idea de sistemas de medicin. Estos temas podran ser abor-dados en 6 ao.

En las tres partes se presenta una coleccin de problemas para ser tratados con los alum-nos, acompaados de algunos anlisis que intentan anticipar lo que sera deseable quepromuevan, as como la presentacin de algunas particularidades de una posible gestinen el aula bajo el ttuloComentarios sobre los problemas.

Cada equipo docente podr tomar decisiones sobre qu problemas seleccionar de cadaparte. Para estas decisiones se espera que se contemplen tanto las trayectorias de losdiferentes grupos escolares, como el recorrido que se est pensando transitar con losalumnos.

Finalmente, es necesario reconocer que el trabajo con la medida en el segundo ciclono se agota con lo que se despliega en este material. Se han dejado fuera otros aspec-tos que hacen a la medida, por ejemplo, los conocimientos relacionados con los atri-butos medibles de las figuras: ngulos, permetro y rea.


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MEDIDASDELONGITUD, CAPACIDADYPESO

Se proponen aqu problemas en los que se ponen en juego diferentes aspectos vin-culados con el concepto de medida. Se ha optado por organizarlos en funcin de losatributos a medir: longitudes, pesos y capacidades. Pero esta separacin no impide re-conocer que el acto de medir involucra algunos aspectos comunes, ms all del objeto

y del atributo. De all que en las secciones en las cuales se han agrupado los problemas

hay marcas comunes tales como:

problemas en los cuales se trata de determinar una medida y donde hay que cons-truir o usar unidades de medida o bien recurrir a instrumentos pertinentes;

problemas de comparacin de cantidades; problemas que involucran decidir acerca de las unidades de medida y comenzar a

establecer primeras equivalencias; problemas que abordan la idea de medida aproximada y el error como hecho inhe-

rente al acto de medir; problemas que demandan la identificacin o el reconocimiento de algunas medi-

das convencionales de uso social; problemas que demandan anticipar una medida, antes de efectuar algn tipo demedicin;

problemas que implican establecer estimaciones; problemas que involucran relaciones entre pesos y capacidades.

Todos estos aspectos forman parte del complejo proceso de construir una idea acercadel significado de medir, ms all de los atributos que se traten.


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1. LONGITUDES

LONGITUDESProblema 1

Medir longitudes con tiras de papel

Se entrega a cada grupo de nios cuatro tiras de papel o cartn delas siguientes medidas: 30 cm, 12 cm, 6 cm y 3 cm sin informarles suslongitudes. El problema consiste en determinar la medida de la tira de 30cm usando como unidades de medida las tiras ms pequeas: 12 cm (lagrande), 6 cm (la mediana) y 3 cm (la chica).

Comentarios sobre el problema 1

Este problema tiene la intencin de ser una oportunidad para que los alumnosrealicen una medicin efectiva. Una de las cuestiones a resolver ser cmo reali-zar el control de dnde apoyar la unidad de medida, es decir garantizar que laiteracin de la misma sea lo ms precisa posible y que las unidades seleccionadasno se superpongan ni se deje espacio entre ellas. Los nios podrn hacer marcas opliegues en la tira a medir (o en la tira que es la unidad de medida) para ejercer uncontrol durante el proceso de medicin.

Si combinan las unidades de medida podrn obtener diferentes soluciones, porejemplo: 2 tiras largas y 1 mediana; 2 largas y 2 chicas; 1 larga y 3 medianas; 1larga, 2 medianas y 2 chicas; 1 larga y 6 chicas; etctera. Si no combinan las uni-dades de medida hay tres soluciones posibles: 2 tiras largas y media; 5 medianas o10 chicas. Podra ocurrir tambin que algunos alumnos midan las tiras con la regla,transformen los resultados a cm y realicen la equivalencia con las tiras dadas.

Luego de que los alumnos han resuelto el problema, el docente podr organizarun espacio colectivo de difusin y anlisis de dos cuestiones. Por una parte, las

maneras utilizadas para medir; y por la otra, los resultados obtenidos. Respectode la primera cuestin, el docente podr enfatizar la necesidad de realizar marcaspara poder medir. En relacin con la diversidad de resultados obtenidos, el docentepodr promover la reflexin acerca de que el mismo objeto a medir arroja resulta-dos diferentes. Se espera que los alumnos puedan empezar a validar las medidasobtenidas sin hacer nuevas mediciones efectivas, y solo a partir de analizar las equi-valencias entre las tres unidades de medida.


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Aportes para la enseanza Esuel Prmr / MatEMtica. El estudio de la medida. Segundo lo13


Medir el escritorio u otra longitud con las mismas tiras de papel

Se les solicita a los alumnos que averigen cuntas tiras mide el escrito-rio (o dos escritorios unidos) apelando a las mismas tiras (de 3 cm, 6 cm y12 cm) que se usaron en el problema anterior como unidades de medida.Los alumnos debern escribir las medidas obtenidas.


Este problema propone una cuestin similar al anterior: medir efectivamente utilizandounidades de medida determinadas. Se espera que los alumnos se enfrenten a desafos

de la misma naturaleza que en el problema anterior. Pero al tratarse de medir un objetocomo el escritorio sobre el que no podemos controlar que las unidades de medida en-tren una cantidad entera de veces aparece una nueva problemtica: la aproximacin.Si las tiras no entran justo en el largo, ser necesario plegarlas de diferentes maneras ocombinarlas. De all que las escrituras que elaboren los alumnos pueden dar cuenta de unaaproximacin, por ejemplo: el largo del escritorio es 3 tiras largas y casi 2 tiras medianas.Se trata de poner en evidencia que el acto de medir adquiere un carcter aproximado,debiendo resignar, de alguna manera, la bsqueda de la exactitud.

El establecimiento de equivalencias entre medidas podra sistematizarse en una tabla

como la siguiente:

Posiblemente los alumnos hayan notado durante el proceso de medicin que hayuna relacin particular1entre las unidades de medida y comiencen a deducir que siel resultado es 4 tiras largas, entonces dar 8 medianas y 16 cortas. Se espera que

los alumnos puedan analizar cmo, al variar la unidad de medida, vara el resultadoobtenido, por ejemplo: como la tira ms pequea es la cuarta parte de la mayor, elnmero que corresponde a la medida obtenida es el cudruple.

Tambin para este problema es posible que algunos alumnos midan las tiras con laregla y usen centmetros como unidad de medida, y recin luego realicen la equiva-lencia con las tiras dadas. En dicho caso ser interesante proponer la comparacinde estrategias y recursos utilizados para que los alumnos que usaron la regla puedanidentificar que el problema puede tambin resolverse sin su uso.

1 El docente podr identificar que hay una relacin de proporcionalidad inversa entre la longitud de las tirasy la cantidad de tiras que miden un mismo objeto. No se espera que sea formulada en estos trminos paralos alumnos, ya que ellos podrn poner en juego una idea intuitiva e informal de esta relacin.

Objeto a medir Tiras cortas Tiras medianas Tiras largas


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Medir longitudes usando centmetros y milmetros

Se les presenta a los alumnos tres segmentos dibujados en una hojasin informarles su medida. Los segmentos podrn estar identificados conletras. Por ejemplo:

Segmento A (7 cm); Segmento B (7,4 cm);

Segmento C (una medida entre 32,5 cm y 32,6 cm).Los alumnos debern determinar la medida de cada segmento usando

la regla.


Para el primer segmento es esperable que la mayor parte de los nios diga 7 cm. Tal vezsea necesario, con algunos alumnos, identificar cmo usar la regla: por ejemplo hacercoincidir el 0 con el inicio del segmento.

Luego se repite la actividad, y el segmento a medir es el B que tiene 7,4 cm. Se buscapresentar una nueva complejidad asociada a la determinacin de los milmetros. Hay va-rios aspectos a considerar en este problema. Por un lado, esta medida puede provocar uncierto margen de duda ya que algunos podrn considerar que mide 7,3 cm o 7,5 cm. Elmaestro podr aceptar las diferentes medidas posibles. Otro aspecto ser nombrar comomilmetros a las 4 rayitas; y por otro lado, cmo escribir dicha medida. Posiblementealgunos alumnos escriban 7 cm y 4 rayitas, o 7 cm y 4 mm, o bien 7,4 cm. Elmaestro, a partir de generar un debate en torno a estas cuestiones, podr mostrar escri-turas convencionales, informar el trmino milmetros y las equivalencias entre cm y mm oentre metros, cm y mm. Ser interesante retomar la idea del problema 2, acerca de queen el acto de medir se trabaja con medidas aproximadas y hay un cierto margen de errorinevitable.

Por ltimo, se repite la actividad con el segmento C, cuya longitud est entre 32,5cm y 32,6 cm. Este segmento trae dos nuevos problemas. Por un lado, la necesidadde iterar la regla ya que la longitud del segmento probablemente sea mayor queella. Para resolver esta cuestin los alumnos podrn hacer marcas en el segmento yseguir midiendo para luego sumar las dos partes medidas. Esta tcnica puede au-mentar los mrgenes de error. La segunda cuestin que trae aparejada este tercersegmento es que se requieren las dcimas de milmetro. Es esperable que algunosalumnos propongan como medida 32,5 y medio milmetro ms o expresionessimilares. El maestro puede, a partir de este problema, mostrar que determinar unintervalo es un recurso vlido para medir. Por ejemplo: No sabemos cunto mide

pero s podemos afirmar que est entre 32,5 cm y 32,6 cm.


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Medir el largo del patio de la escuela2

a)El docente plantea a los alumnos que debern estimar la longitud delpatio. Los alumnos debern estar ubicados en un extremo del patio yno podrn desplazarse.

b)Luego de haber hecho la estimacin, debern determinar su medidautilizando diferentes instrumentos (cintas mtricas de costura, metrosde carpintera, sogas, etctera).

Comentarios sobre el problema4

En el punto a) se busca que los alumnos imaginen una unidad de medida, posible-mente el metro, para calcular a ojo cul es la longitud del patio.

Algunos alumnos se representarn el metro e intentarn determinar cuntas iteracio-nes sucesivas son necesarias para cubrir el largo del patio con ese metro imaginario.Otros, en cambio, arriesgarn algn nmero en funcin de alguna medida ya conoci-da y otros alumnos dirn un nmero al azar.

Estos valores debern ser registrados. En la puesta en comn se compararn tanto lasestrategias de estimacin utilizadas como los valores obtenidos.

En el punto b) se trata de realizar la medicin efectiva de tal manera de poder luegocontrastar con los resultados obtenidos en la estimacin. Esta nueva situacin intro-duce algunas cuestiones. Por un lado, los instrumentos de medida. Posiblementesean insuficientes las reglas y escuadras de los alumnos. Podrn utilizarse metrosde carpintero o costura, hilos, instrumentos de geometra de pizarrn, etctera. Enel caso de que los alumnos utilizaran hilos o sogas, podran contar la cantidad deveces que las iteran y medir con regla el largo del hilo o soga. O bien podran me-dirlo antes e ir calculando simultneamente a la medicin efectiva. Evidentemente,segn cul sea, la longitud de los hilos o sogas podr facilitar o complejizar el cl-culo. Si la soga midiera, por ejemplo, 2 m o 1,5 m, sera ms fcil el clculo que simidiera 1,62 m. Esta cuestin puede discutirse con los alumnos antes o despus derealizar la medicin.

Otro problema tcnico que aparece es el siguiente: cmo controlar que el instrumentode medida se apoye sobre una lnea recta y a la vez sea perpendicular a los lmites delpatio? Una posibilidad es medir por el borde del patio, pero si se midiera por el centro,

2 Si el docente tuviera indicios de que la longitud que representa un metro no estuviera disponible, podrproponer alguna actividad para su presentacin y uso. Por ejemplo, que cada equipo seleccione, entre ungrupo de tiras que est en alguna parte del aula (lejos de donde estn los chicos), las que crea que van acoincidir con el metro, y luego verificarlo.


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sera necesario garantizar la perpendicularidad siguiendo una lnea imaginaria o traza-da con tiza en el piso, o bien seguir la lnea de las baldosas, si las hay.

Por otra parte, trabajar con medidas mayores sin duda aumenta el margen de erroral tener que realizar ms iteraciones y marcas.

Tambin es posible que algunos nios, en lugar de usar una unidad de medida ex-terna e iterarla para medir, usen las baldosas del patio. En dicho caso podrn medirsu longitud, contar la cantidad de baldosas y determinar la longitud del patio a par-tir de un clculo. Podra ocurrir que el clculo obtenido por medio de este recursovare respecto del resultado obtenido por medio de la medicin efectiva. Ser intere-sante discutir al respecto y retomar la idea de error inevitable en la medida y cmo,segn los instrumentos, magnitudes y unidades de medida involucradas, puede o

no aumentar el margen de error. Por ejemplo, si los alumnos midieran el patio conuna regla de 20 30 cm, deberan iterarla tal cantidad de veces que es probable queaumente el margen de error. Los centmetros, en este problema, no constituyen launidad de medida ms conveniente, a pesar de que haya que recurrir a los mismospara la medida final del patio (por ejemplo 17 m y 34 cm, o 18,35 m).

En la puesta en comn sobre este problema se podrn discutir tanto estas cuestionescomo la diferencia resultante entre la estimacin y la medicin efectiva.


Medir el contorno del patio de la escuela

El docente plantea a cada grupo de alumnos que es necesario averiguarcuntos metros de zcalo hay que comprar si se quiere colocar en todo elborde del patio (menos en las aberturas de las puertas).

Comentarios sobre el problema 5Esta situacin permite retomar el problema de los instrumentos de medida y uni-dades mayores. Permite tambin analizar la posibilidad de calcular midiendo ycontando baldosas en lugar de iterar cualquier unidad de medida (si hay baldosasen el patio). Y pone en juego cmo aumenta el margen de error posible al tratarsede grandes dimensiones. Tambin aporta una nueva complejidad: la necesidad desaltear algunos espacios. Es mejor ir descontando cada vez, midiendo por partes ysumar o calcular todo y finalmente restar puertas y espacios abiertos? Estos aspectospodrn ser tratados en una fase colectiva al finalizar el problema.


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Retomar el trabajo sobre longitudesLos alumnos, en grupos, debern identificar las dificultades enfrentadas y

aquello nuevo que han aprendido a partir de haber abordado los problemas1 a 5.

Se espera poder elaborar junto con los alumnos una lista de cuestionesque sera interesante retener, como por ejemplo: el nmero que corresponde a la medida vara al cambiar de unidad de

medida; siempre hay un margen de error al medir, y a veces aumenta al tratarse

de grandes longitudes;

a veces es til determinar un intervalo en lugar de un nmero;los instrumentos necesarios varan segn el objeto a medir;es necesario al medir controlar la lnea recta;puede ocurrir que la medida obtenida usando instrumentos de medi-cin sea diferente que la que se obtiene por medio de clculos;al estimar medidas hay una diferencia en los resultados de la medicinefectiva;se puede aprender a mejorar la estimacin de una medida;al medir un objeto hay que elegir una unidad de medida convenientesegn la longitud del objeto a medir.

2. PESOS

PESOSProblema 1

Medirse el peso con una balanza

Se solicita a los alumnos que registren cunto creen que pesan o si co-

nocen su peso. Luego el docente ofrece una balanza para pesar personas ypropone a los nios que se pesen y registren su peso por escrito.3

Comentarios sobre el problema 1Este primer problema permitir a los alumnos enfrentarse con la dificultad de re-gistrar numricamente sus pesos. Seguramente algunos alumnos utilizarn expre-siones con kg y g (34 kg y 500 g), otros usarn expresiones fraccionarias (34 kg ymedio o 34 1

2kg), expresiones decimales (34,5 34,500 kg) y algunos redondea-

rn (casi 35 kg).

3 Si no hubiera balanza se podr solicitar a los alumnos que se pesen en una farmacia.


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El docente podr hacer circular estas diferentes escrituras informando de su equivalen-cia y establecer que 1 kilogramo = 1.000 g.

PESOSProblema 2

Determinar la veracidad de la informacin enunciada en un envase

El docente presenta a los alumnos una balanza de cocina y productospara determinar si la informacin dada en cada uno de ellos con relacina su peso es verdadera. Este problema se llevar a cabo en dos partes, enfuncin de ciertas caractersticas de los objetos que se entregarn y que ha-bilitarn la discusin sobre aspectos especficos relativos a cada parte.

PRIMERAPARTESe presentan productos envasados desde la fabricacin y que infor-

man su peso. Por ejemplo:Un paquete de un kilogramo de azcar.

Un paquete de 500 g 12

kilogramo de yerba. Un paquete de 250 g de caf u otro producto.

Los alumnos debern corroborar por medio de la balanza si la infor-macin es correcta o incorrecta.

Comentarios sobre el problema 2. Primera parteEsta parte propicia una nueva oportunidad para realizar mediciones efectivas e in-teractuar con el uso de la balanza, as como con diferentes unidades de medida. Sepodr reutilizar la informacin ya provista o evocada respecto de la equivalencia en-tre kg y g incluyendo, si fuera necesario, el uso de expresiones fraccionarias ( 1

4 kg,

12

kg, 34

kg) o decimales (0,500 kg; 0,250 kg) y las equivalencias entre ambas.

SEGUNDAPARTESe presentan productos cuyos envases informan su peso, pero esta

vez pesos menores a 50 g. Por ejemplo:Saquitos de t (en general informan 2 g).

Barras de cereal (ms o menos 50 g). Sobrecitos de azcar o edulcorante (5 6 g). Golosinas (25 35 g).

Los alumnos debern corroborar por medio de la balanza si la infor-macin es correcta o incorrecta.

Comentarios sobre el problema 2. Segunda parte

Esta parte permite instalar una nueva cuestin: algunas balanzas no permiten pesarmagnitudes tan pequeas. Una posible solucin a este problema sera pesar varios


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objetos iguales simultneamente y dividir por la cantidad de objetos para determi-nar la validez de la informacin provista por el envase. Ser interesante retomar conlos alumnos los pesos mximos y mnimos posibles de ser pesados en las balanzas

utilizadas en problemas anteriores o en balanzas de cocina, uso comercial o mdico(farmacias, consultorios, almacenes, venta callejera, etctera) y establecer estrate-gias posibles para pesar pesos menores a los que pesa cada balanza.

PESOSProblema 3

Determinar el peso del recipiente4

Este problema apunta a dos cuestiones:Identificar que al pesar algunos objetos se requiere de un recipienteque lo contenga y que tiene su propio peso (esta cuestin no es evi-dente de entrada para todos los alumnos).Poner de manifiesto una diferencia entre las previsiones calculadasde una medida y el resultado efectivo de la medicin. Para muchosalumnos esta diferencia implicar tal vez cuestionar su propia tcnicautilizada para determinar la medida a travs de los clculos.

Materiales:

Un vaso vaco.

Un recipiente vaco en el que se pueda introducir el contenido de tresvasos. Una jarra llena de agua. Una balanza (preferentemente no digital para aumentar el margen

de error).

PRIMERAPARTESe llena un vaso con agua y se vuelca este contenido en el recipiente.

Se propone a los alumnos que anoten en una hoja el peso que creen seobtendr al poner el recipiente con agua en la balanza.

A continuacin se pesa efectivamente el recipiente con agua en labalanza. Se anotan en el pizarrn las anticipaciones realizadas por losalumnos y la medida obtenida.

Comentarios sobre el problema 3. Primera partePosiblemente muchos nios digan nmeros al azar, y en esta primera parte la diver-sidad de previsiones ser muy amplia. Se trata simplemente de un momento quepermite comprender la dinmica del problema y abordar la estimacin.

4 Esta actividad est inspirada en Brousseau y Brousseau, 1991-92.


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SEGUNDAPARTESe llena nuevamente el vaso con agua y se vuelca este contenido en el

recipiente que conserva an el agua del vaso anterior. Se propone a los

alumnos anticipar el peso del recipiente lleno con los dos vasos de agua yanotarlo en una hoja.

Posteriormente, se pesa en la balanza el recipiente (que contiene elagua de dos vasos) y se comparan las anticipaciones realizadas por losalumnos con el valor que arroja la balanza. Se anotan en el pizarrn lasanticipaciones hechas por los alumnos y el peso obtenido.

Comentarios sobre el problema 3. Segunda parteLos alumnos podrn recurrir para esta segunda previsin al dato obtenido en la

primera. Muchos alumnos realizarn una previsin de un nmero mayor, elegidoal azar. Otros alumnos, en lugar de recurrir al azar o a la estimacin global, es po-sible que realicen un clculo a partir de considerar que se trata del doble del pesoanterior. Por ejemplo, si el recipiente lleno ha arrojado en la medicin efectiva dela primera parte 600 g, anticiparn entonces una medida de 1,200 kg producto deno considerar el peso del recipiente.

Al realizarse la medicin efectiva los alumnos que han anticipado el doble de pesose vern sorprendidos porque la medida es menor a lo calculado y no entenderntal vez el origen de esta diferencia, especialmente aquellos que no han recurrido ala estimacin o al azar, sino al clculo. Por ejemplo, podra obtenerse en la balanza1,100 kg suponiendo que el recipiente pesara 100 g.

Algunos nios conjeturarn que esa diferencia de 100 g se origina en errores es-perables en la medida como producto de la poca precisin de la balanza, o de lalectura. Otros alumnos se quedarn con la duda respecto del origen de la diferenciaentre la medida obtenida mediante el clculo y la medida obtenida mediante labalanza. Se sugiere que el maestro no de pistas a los alumnos de esta cuestin yaque se dirime en actividades siguientes.

TERCERAPARTESe vuelve a llenar el vaso con agua y se vuelca este contenido en el re-

cipiente que conserva an el agua de los dos vasos anteriores. Se proponea los alumnos anticipar el peso del recipiente lleno con el contenido de lostres vasos de agua y anotarlo en una hoja.

Posteriormente, se pesa en la balanza el recipiente (que contiene ahorael agua de tres vasos) y se comparan las anticipaciones realizadas por losalumnos con el valor que arroja la balanza. Se anotan en el pizarrn lasanticipaciones hechas por los alumnos y el peso obtenido.


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Comentarios sobre el problema 3. Tercera parteEs probable que algunos alumnos continen estableciendo una relacin de propor-cionalidad entre la cantidad de vasos y el peso, desconociendo una vez ms el pesodel recipiente vaco. Para ellos, un posible clculo ser dividir por dos el valor obteni-do anteriormente en la medicin realizada, y sumar esta cantidad al peso de los dosvasos (por ejemplo, realizar 1,100 kg : 2 = 550 g y 1,100 kg + 550 g = 1,650 kg).Otros alumnos podrn multiplicar por 3 el primer valor obtenido con el agua de unvaso (por ejemplo 600 g x 3 = 1,800 kg).

Algunos alumnos que hayan empezado a identificar que hay un peso del recipientetal vez disminuyan un poco a ojo el valor obtenido, estableciendo un hipotticopeso para restar, por ejemplo: si el peso obtenido para el recipiente con el agua deun vaso era 600 g, ahora para tres vasos pensarn que es algo menos que 1,800kg, por ejemplo 1,700 kg o 1,600 kg. Otros alumnos identificarn la diferencia entreel primer valor obtenido (del recipiente con el agua de un vaso) y el segundo (del re-cipiente con el agua de dos vasos), y reconocern que esa diferencia informa el pesodel agua de un vaso sin el recipiente (calcularn 1,100 kg - 600 g = 500 g). Sumarnentonces dicho valor al obtenido para los dos vasos (por ejemplo 1,100 kg + 500 g =1,600 kg). Estos alumnos pondrn en juego la idea implcita de que no es una rela-cin proporcional y considerarn el peso del recipiente.

Tanto unos como otros debern confrontar sus anticipaciones obtenidas a travs delos clculos con el resultado obtenido mediante la balanza. En todos, independiente-mente de la estrategia utilizada, habr necesariamente un margen de diferencia, peropodr ser menor en aquellos que han considerado el peso del recipiente. Posiblemen-te tambin la sorpresa sea mayor para aquellos que han considerado las diferentesvariables y creen haber controlado el peso del recipiente y el peso del agua de cadavaso.

CUARTAPARTEEsta vez se vaca el recipiente que contena los tres vasos de agua y

se solicita a los alumnos que anticipen cunto pesar el recipiente vaco.Se anotan en el pizarrn dichas anticipaciones sin que el docente orga-nice un debate en torno a la validez de las estrategias utilizadas ni de losresultados obtenidos. Posteriormente se pesa en la balanza el recipientevaco.

En una instancia colectiva se comparan las diferentes anticipacionesrealizadas por los alumnos con el valor que arroja la balanza analizandotanto las estrategias utilizadas como los resultados obtenidos.

Comentarios sobre el problema 3. Cuarta parteNuevamente habr muchas maneras de resolver este problema. Para aquellos alum-nos que hasta aqu no han identificado peso alguno para el recipiente, el pedido


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explcito de calcularlo los obligar a volver sobre los datos obtenidos en las diferentesanticipaciones y mediciones. Algunos, tal vez realicen restas que les permitan averiguarla diferencia entre sus anticipaciones y los datos que ofrece la balanza, obteniendo, en

lugar del peso del recipiente, el desvo entre anticipacin y medicin efectiva.

Otros alumnos retomarn sus clculos en los que haban considerado el peso delrecipiente, y podrn identificar aquellos que creen que permiten atrapar el peso delmismo. Para ello pueden considerar la diferencia entre el primero y el segundo pesadoefectivo, lo cual dar el peso del agua de un vaso; ese valor puede restarse dos vecesa la segunda pesada y obtener as un posible peso del recipiente. O bien, a la tercerapesada restarle tres veces el peso del agua de un vaso (surgido de la diferencia entrepesadas). Ahora bien, es bastante posible que el valor del peso del agua de un vasoarroje diferentes valores segn se considere la diferencia entre primera y segunda pe-

sada, o entre segunda y tercera, o entre tercera y primera dividiendo por 2. Esos tresposibles modos de obtener el peso del agua de un vaso incidirn en el supuesto pesodel recipiente.

Una vez que los alumnos hayan determinado cul podra ser el peso del recipientese anotarn en el pizarrn los diferentes resultados obtenidos. Luego se pesar el re-cipiente vaco. Y nuevamente va a ser una fuente de sorpresas la diferencia entre lasanticipaciones realizadas y el peso obtenido.Ser necesario, ahora s, retomar de manera colectiva varias cuestiones:

socializar los mtodos utilizados por los alumnos para anticipar el peso del recipiente;

analizar la validez de dichos mtodos ms all de la proximidad o la lejana de losresultados anticipados respecto del resultado que surge de la medicin con la ba-lanza;analizar las diferencias asociadas a la cuestin del error como un fenmeno inherentee inevitable a todo proceso de medicin efectiva, as como a la lectura de la misma;

identificar que no todas las diferencias entre anticipacin y medicin pueden jus-tificarse por errores de medida, ya que algunas se originan en dificultades en elmtodo o estrategia usada.

El docente podr explicitar aqu que se ha elegido intencionalmente una balanza no

digital para aumentar el margen de dicho error. Si fuera posible, se realizarn las medi-ciones con una balanza digital para analizar si disminuye o no este margen y recuperarrelaciones y clculos puestos en juego en cada parte de este problema.

La complejidad de este problema requerir que en otra clase se retomen de maneracolectiva las cuatro partes del mismo, de manera que aquellos alumnos que recin ha-

yan comprendido cmo determinar el peso del recipiente vaco y que no se trata deuna relacin de proporcionalidad, tengan otra oportunidad para volver sobre estascuestiones. Ser interesante que el docente registre en el pizarrn y los alumnos en suscarpetas conclusiones y diferentes estrategias vlidas para este problema.


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PESOSProblema 4

Estimacin de pesos I

El docente propone a los alumnos que completen, organizados en gru-pos de cuatro o cinco, un cuadro similar al siguiente, en el que debendeterminar qu objetos ubicaran en cada caso segn el peso indicado.

Comentarios sobre el problema 4Las medidas elegidas intencionalmente no son continuas para favorecer la estimacina grandes rasgos. Se espera que los alumnos puedan, por ejemplo, identificar queen la primera columna podran ser golosinas, un pan, alguna fruta o verdura; y quetambin puedan identificar en la ltima columna el peso de un auto, de un camin,de una ballena, etc.

Una cuestin ser cmo establecer luego la validez o proximidad de las anticipacionesrealizadas. Se tratar de generar discusiones en las cuales los alumnos puedan apelara las informaciones disponibles y, cuando no sea posible, recurrir al uso de la balanza,buscar informacin de libros, revistas, informantes especializados, Internet, etc.

Finalmente, se intentar instalar cmo la prctica de la estimacin involucra usar cier-tas informaciones para construir relaciones nuevas, por ejemplo: si en un kilo de limo-nes entran 8 9 limones, entonces cada uno es probable que pese menos de 200 g","si un chico pesa 30 35 kg, un adulto puede pesar el doble o el triple. La bsquedade datos en diferentes portadores permitir construir un repertorio de informaciones

que ayudar a disponer de ms recursos para estimar.

PESOSProblema 5

Estimacin de pesos II

El docente presenta dibujos o fotografas de objetos y seres vivos (algunoscon la indicacin del peso y otros sin la indicacin del peso). Los datos delpeso de algunos objetos o seres vivos podrn servir de punto de apoyo para

estimar el peso de otros. En cada caso, se trata de estimar los pesos que faltan.

Menos de

200 g

Entre

500 g y 3 kg

Entre

10 y 50 kg

Entre

100 y 500 kg

Ms de

1.000 kg


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Luego de que los nios hayan estimado el peso de las personas, animalesu objetos que no tenan indicado su peso, se organizar un momento co-lectivo de intercambio en torno a estrategias y resultados.

95 kg 22 kg

1355 kg 1 kg

1 kg


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Se espera que los alumnos puedan utilizar como puntos de apoyo las informacionesprovistas en el problema, sus conocimientos o experiencias extraescolares y apelar arelaciones de proporcionalidad, aunque de manera intuitiva, para establecer los posi-bles pesos no informados.

En la fase colectiva se promover un intercambio para que circulen y se analicen las re-laciones utilizadas por los nios, quienes debern explicar cmo hicieron para estimarcada peso apuntando a poner en juego relaciones de proporcionalidad (es ms queel doble, entra como veinte veces, es el triple de alto pero como cuatro veces msancho, etctera). Si fuera necesario, el docente promover la consulta de informacinen fuentes confiables para contrastar con las anticipaciones realizadas.

Si bien los problemas 4 y 5 exigen realizar estimaciones, en el primero de ellos se tratade ubicar en un rango dado. Estimar implica en esta actividad ponderar de maneraaproximada una unidad de medida (gramos o kilos en este caso) y para ello cada niopodr apoyarse en referentes, intuiciones o interiorizaciones sobre las unidades de me-dida. En la segunda actividad, en cambio, se estima a partir de tener como referenciaun elemento de la misma clase pero de diferente tamao.

PESOS

Problema 6

Retomar el trabajo sobre pesos

Los alumnos podrn identificar las dificultades enfrentadas y aquellonuevo que han aprendido a partir de haber abordado los problemas selec-cionados por el docente.

Se espera que, de manera conjunta, el docente y los alumnos puedanelaborar una lista de cuestiones interesantes a retener, tales como: el nmero que corresponde a la medida vara al cambiar la unidad; es necesario elegir una balanza acorde a aquello que se va a pesar;

siempre hay un margen de error al pesar y, segn las balanzas, al leer elpeso en la balanza;puede ocurrir que la medida obtenida, apelando a balanzas, difiera dela obtenida mediante el clculo;

no hay que confundir el peso del contenido con el peso del recipiente; al doble de contenido no corresponde siempre el doble de peso porque

el recipiente "se cuenta solo una vez";se puede aprender a mejorar la estimacin de una medida;

las relaciones de proporcionalidad pueden ayudar a estimar el peso deun objeto.


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3. CAPACIDADES

CAPACIDADES

Problema 1

Medir una cantidad de aguaSe les presenta a los alumnos una jarra con agua llena hasta aproxima-

damente 23

de su capacidad y una botella vaca, que admita la mismacantidad de agua que hay en la jarra. Tambin pueden ser dos botellonesdiferentes o dos jarras bien diferentes, una llena hasta 2

3 y la otra vaca. Se

organiza la clase en grupos de tres o cuatro alumnos y se les propone queinventen una manera de poner en la botella la misma cantidad de agua

que hay en la jarra, pero sin traspasar la que hay en la jarra directamentea la botella. El agua de la jarra tendr que quedar finalmente en la jarra yel agua de la botella tiene que ser nueva. Al presentar el problema nose ofrece ningn objeto que pueda dar idea de unidad de medida comovasos, botellas, jarras graduadas, etc.

Cada grupo deber escribir los pasos que seguira para resolver elproblema.

Comentarios sobre el problema 1El objetivo del problema es poner en evidencia la dificultad de establecer la medidade un objeto que se presenta situado dentro de un recipiente y adquiere la formade dicho recipiente.

Este problema est presentado sin solicitar a los alumnos que realicen la accin demanera emprica, sino que se les pide que anticipen cmo la realizaran.

La restriccin de no poder traspasar el contenido de la jarra directamente a la botellaintenta promover la bsqueda de alguna unidad de medida que funcione como inter-mediaria y permita decidir qu cantidad de agua hay, en funcin de dicha unidad.

Los alumnos podrn identificar diversas maneras de resolver: Pasar el agua a diversos vasos o recipientes, volver a colocar el agua en la jarra y

luego llenar la botella con la misma cantidad y variedad de vasos o recipientes.Aqu el resultado sera por ejemplo: 1 vaso chico, 1 vaso grande, 1 botellita deyogur, entre otros. Es decir que no hay una nica unidad de medida.Emplear un solo vaso o recipiente y llenarlo repetidamente volcando el agua enun tercer recipiente para luego volver a colocarla en la jarra. Aqu el resultadosera por ejemplo: 4 vasos y medio o 6 vasos.Usar una botella igual a la que hay que llenar. Marcar hasta dnde se llena cuan-

do se traspasa el agua. Vaciarla en la jarra nuevamente y luego llenar la botellahasta la marca y volcarla en la botella original. Aqu el resultado estara dado por


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la marca de la botella, usada como unidad de medida y con resultado menor que1 ya que la botella sera una unidad de medida mayor que la de la jarra.Usar una jarra igual a la que est llena. Medir y marcar la altura a la que llega elagua. Llenar la nueva jarra hasta la marca y volcar el contenido en la jarra origi-nal. En este caso la unidad de medida es la jarra misma y tambin el resultado esmenor que 1.

Colocar jarra y botella una al lado de la otra. Marcar la altura del agua en la jarra yluego en la botella. A continuacin, llenar la botella hasta la marca. Obviamente,este procedimiento es errneo pues no se estara evaluando la capacidad sino lalongitud. Si apareciera este error, ser interesante que el docente promueva unadiscusin en torno a por qu es insuficiente considerar la altura. Tambin podraplantear a sus alumnos en qu caso s sera posible solo comparar la altura. Setrata del procedimiento anterior en donde los dos recipientes eran iguales.

Si alguno de estos procedimientos no apareciera, el docente igual podra someterlosa anlisis colectivo.

En la puesta en comn se podr generar un debate en torno a la necesidad de selec-cionar una unidad de medida para poder constituir una cantidad de agua equivalen-te a otra y debatir acerca de los diferentes recursos para lograrlo.

CAPACIDADES

Problema 2

Medir una cantidad de agua usando diferentes vasoso botellitas

El docente entrega a cada grupo de alumnos algunos recipientes (bo-tellas, jarras, baldes, etctera) y envases ms pequeos que puedan serusados como unidades de medida (vasos, tazas, botellitas, etctera). Setrata de determinar cul es la capacidad de cada recipiente usando losdiferentes envases como unidades de medida.

Comentarios sobre el problema 2Este problema busca que los alumnos identifiquen que una misma capacidad puedeser expresada con diferentes medidas segn la unidad de medida usada (por ejem-plo: 1 botella = 4 vasos; 1 botella = 5 tazas; 1 botella = 8 vasitos de yogur).

Por otra parte, se busca iniciar a los alumnos en el establecimiento de algunas equi-valencias. Posiblemente identifiquen que 1 vaso de los grandes es equivalente a 2vasitos de yogur, por ejemplo. Este conocimiento les permitir averiguar su medidausando como informacin la equivalencia obtenida en lugar de realizar las medicio-nes efectivamente.


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Podr retomarse la idea de que la variacin de la unidad de medida provoca unavariacin en el nmero de la medicin que se obtiene, por ejemplo, si la unidad demedida se reduce a la mitad, el resultado obtenido ser el doble en trminos num-

ricos, idea que posiblemente ya se haya tratado en relacin con las longitudes y pesos.Se trata de una primera aproximacin de manera muy intuitiva a la idea de relacionesentre magnitudes inversamente proporcionales.

CAPACIDADESProblema 3

Conocer y usar unidades de medida convencionalesEl docente entrega a cada grupo de alumnos un conjunto de envases

comerciales en cuyas etiquetas se informa su capacidad. Los alumnos de-bern encontrar un modo de determinar la validez de la informacin delas etiquetas.

Se precisarn envases cuya informacin est dada en litros o mililitros (porejemplo, gaseosas de 1 litro, 1 litro y medio, 2 litros y

14 , 2 litros y

12

, cham-p, detergente, jabn lquido o jarabes de 500 ml, 350 ml, 250 ml, etc.).

Comentarios sobre el problema 3Para resolver el problema, los alumnos tendrn que usar jarras o vasos medidores.Si las jarras o vasos tuvieran la informacin en cc (o cm3), el docente podr informaracerca de la equivalencia entre mililitros y centmetros cbicos: 1ml = 1 cc (o cm3), oentre litros y centmetros cbicos: 1 litro = 1.000 cc (o cm3), aclarando que es vlidapara los lquidos.5

Una cuestin a determinar ser identificar si la informacin corresponde al envase lle-no o a un envase en el que se considera una parte sin llenar.

Podr instalarse un debate en torno a los lmites de mirar la altura exclusivamentepara determinar la capacidad de un envase. Tal vez para algunos alumnos an no seaevidente que un envase puede ser ms alto que otro y sin embargo tener menos ca-pacidad que uno ms ancho y de menor altura.

5 En este punto, el docente podr optar por definir el centmetro cbico como un cubo de 1 cm de arista ylos 1000 cm3 como un cubo de 10 cm de arista. A partir de all, establecer que la cantidad de l quido queentra en un cubo de 10 cm de arista es un litro, por ello, 1 litro=1000 cm3. Tambin es posible dejar estacuestin para otro ao.


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Menos de 200 ml Entre 500 ml y 3 l Entre 10 y 50 l Ms de 100 l


Estimar capacidades IEl docente propone a los alumnos que completen en grupos de cuatro

o cinco un cuadro similar al siguiente, en el que debern determinar quobjetos ubicaran en cada caso segn la capacidad indicada.

Comentarios sobre el problema 4Las medidas elegidas intencionalmente no son contiguas para favorecer la estimacina grandes rasgos. Se espera que los alumnos puedan, por ejemplo, identificar que enla primera columna podran ser cucharas, vasos de remedios, etctera, en tanto queen la ltima puedan reconocer piletas, baaderas, lagos, etc.

Una cuestin ser cmo establecer luego la validez o proximidad de las anticipacionesrealizadas. Se tratar de generar discusiones en las cuales los alumnos puedan, enprimer lugar, apelar a las informaciones dadas en los envases analizados en el proble-ma anterior. En segundo lugar, podrn recurrir a buscar informacin en Internet, enpublicidades, en libros o por medio de informantes expertos (vendedores, fabricantes,tcnicos, etc.).

Finalmente, se intentar instalar la idea de cmo la prctica de la estimacin involucrala utilizacin de ciertas informaciones para construir relaciones nuevas, por ejemplo:si en un balde entran cerca de 10 litros, en una baadera entrarn aproximadamente100 litros, o si en una botellita de gaseosa entran 350 ml, en un vaso entran ms omenos 200 ml. En este sentido, la bsqueda de informacin en diferentes portadores

permitir construir un repertorio de informaciones y datos que contribuirn a afinarla puntera en la estimacin.


Estimar capacidades IIEl docente presenta folletos con publicidades de diferentes objetos en

los cuales se deber ocultar la informacin sobre la capacidad de cadauno. Por ejemplo, folletos que contengan dibujos o fotografas de diferen-tes tamaos de termotanques, piletas de lona, latas de pintura, etc.


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Los alumnos debern estimar la medida de la capacidad de cada unode ellos y luego de una puesta en comn el docente informar los datosocultos.

Comentarios sobre el problema 5Se espera que los alumnos puedan utilizar como puntos de apoyo tanto las informa-ciones analizadas en el problema anterior como sus conocimientos extraescolares.

Luego de que los alumnos hayan establecido la estimacin en cada caso, el docentepodr organizar un espacio colectivo de intercambio para que circulen y se analicenlas relaciones utilizadas.

A continuacin de este debate el docente podr ofrecer la informacin que estabaoculta para corroborar las anticipaciones. Es esperable que en algunos casos hayauna distancia importante entre la estimacin y la medida informada, especialmenteen aquellos objetos que implican grandes magnitudes (por ejemplo para la pileta de1.500 litros posiblemente los alumnos dirn 500 litros o 1.000 litros).


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Retomar el trabajo sobre capacidades

Los alumnos podrn identificar las dificultades enfrentadas y aquello nue-vo que han aprendido a partir de haber abordado los problemas 1 a 5.

Se espera que el docente y los alumnos, de manera conjunta, puedanelaborar una lista de aspectos a retener. Por ejemplo: es necesario seleccionar un recipiente que funcione como unidad de

medida para obtener una cantidad de agua equivalente a otra; una misma capacidad puede ser expresada con diferentes nmeros se-

gn la unidad de medida usada; es necesario elegir una unidad de medida acorde a aquello que se va a

medir; siempre hay un margen de error al medir capacidades; se puede aprender a mejorar la estimacin de una capacidad; las relaciones de proporcionalidad pueden ayudar a estimar la capaci-

dad de un recipiente.

4. RELACIONESENTREPESOSYCAPACIDADES

Estos problemas buscan que los alumnos identifiquen algunas relaciones entre pesos y

capacidades, aportando a la discusin en torno a los litros y los kilos en funcin de losobjetos y materiales que se traten.

RELACIONESENTREPESOSYCAPACIDADESProblema 1

Analizar relaciones entre kilos y litrosPrimera parte

Se presentan una balanza y un envase de cartn o botella de plstico deun litro de leche, vaco. Se pesa delante de los alumnos y se escribe su peso.Luego el docente llena el envase con agua y solicita a los alumnos que anti-cipen su peso. A continuacin se pesa efectivamente.

Comentarios sobre el problema 1. Primera ParteEsta parte apunta a establecer una primera relacin entre 1 litro de agua y 1kilo de agua. Esta idea posiblemente sea generalizada por los alumnos a cual-quier contenido y ser puesta en cuestionamiento en la segunda parte.


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Segunda parteEl docente recuerda a los alumnos cunto pesa el envase vaco (de la parte ante-

rior) y cunto pesa el mismo envase lleno de agua.

Los alumnos debern anticipar en cada caso cul ser el peso del envase llenocon:a) arena o piedritas muy pequeas,b) bolitas de telgopor, plumas o goma espuma.

Luego de la anticipacin se proceder a verificar pesando el envase con cadacontenido.

Comentarios sobre el problema 1. Segunda parteLuego de que los alumnos han realizado la anticipacin y verificado empricamenteel peso en cada caso, se intentar que elaboren algunas primeras explicaciones que

permitan dar cuenta de por qu pasa lo que pasa, en este caso por qu pesa ms elrecipiente con arena o piedras que con telgopor o plumas.

Los materiales seleccionados intentan poner en evidencia que el peso del contenido de unmismo envase vara segn la clase de material que se vierte en l. No se trata de poner endiscusin cuestiones vinculadas a la densidad de los materiales, aunque esta idea se jueguede manera intuitiva (lo mismo de arena pesa ms que lo mismo de telgopor). El docen-te podr compartir con sus alumnos la clsica pregunta: Qu pesa ms: un kilogramode plumas o un kilogramo de plomo?". Tambin podr proponerles investigar si 1 kilo dehelado (comprado en heladera) es equivalente a 1 litro de helado (tal como figuran en las

etiquetas del helado industrial envasado). Se busca con estas actividades identificar queel peso y el tamao no son proporcionales cuando se trata de materiales diferentes. Seapuntar a dejar explcito que 1 litro de agua pesa 1 kilo (sin necesidad de aclarar a estaaltura cuestiones relativas a la presin o a la temperatura), pero que esta relacin no severifica para cualquier contenido o sustancia.

Si el docente considera oportuno, se podr recuperar la equivalencia entre 1 litro =1.000 cm3incluyendo 1 kilo = 1 litro = 1.000 cm3aclarando que es una equivalenciapara el agua y en ciertas condiciones especficas.

RELACIONESENTREPESOSYCAPACIDADESProblema 2

Explorar ms relaciones entre pesos y capacidadesSe propone a los alumnos discutir la verdad o falsedad de las siguientes

afirmaciones:a) 1 litro de agua pesa 1 kg.b) 1 litro de helado es menos que 1 kg de helado.c) 1 kg de azcar y 1 kg de yerba ocupan el mismo espacio.d) 1 kg de plomo es ms pequeo que 1 kg de plumas.

e) 1 litro de aceite y 1 litro de agua pesan lo mismo.f) Si en un frasco entra justo 1 kg de azcar, no entra 1 kg de copos de cereal.


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Comentarios sobre el problema 2Luego de las anticipaciones se propondr un momento de discusin entre los alum-nos. Se podr en algunos casos recurrir a que prueben o averigen con fuentes deinformacin (etiquetas de los envases, consultar libros o sitios de Internet, usar labalanza, preguntar a vendedores, etc.).

Esta actividad permite recuperar aspectos de las relaciones entre capacidades y pesosanalizadas a partir del problema 1.

5. RECAPITULACINSOBRELAMEDICIN

El docente propondr ir recordando de manera conjunta todos los problemas abor-

dados en torno al estudio de la longitud, la capacidad, el peso y sus relaciones paraanalizar qu aspectos tienen en comn y cules son diferentes, y explicitar las ideasque conviene tener en cuenta en futuros problemas de medicin.

Se espera que la discusin permita identificar cuestiones tales como: que a veces se pueden realizar comparaciones directas y en otros casos es necesario

apelar a mediciones con una unidad de medida;la variedad de instrumentos de medida, convencionales y no convencionales;la variedad de unidades de medida, convencionales y no convencionales;el inevitable margen de error al medir;

la posibilidad de establecer intervalos de medida cuando no es posible dar unamedida ms ajustada;cmo es posible mejorar en las tcnicas de estimacin usando informacin de algu-nas medidas como punto de apoyo.


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RELACIONESENTREMEDIDAS, SISTEMADENUMERACINYPROPORCIONALIDAD

En este captulo se propone una coleccin de problemas que tienen por finalidadponer en evidencia las relaciones entre las unidades de medidas del sistema mtricodecimal y algunas caractersticas del sistema de numeracin, en particular aquellasvinculadas a la multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros. Este vnculoentre sistema de medidas y sistema de numeracin est atravesado por las propieda-des de las relaciones de proporcionalidad, que comandan el trabajo con las equiva-lencias entre unidades de medida.

1. SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAI

Los siguientes problemas buscan recuperar aquellas unidades de medida que pudie-ron haber sido ya abordadas y poner el nfasis en la conveniencia de disponer deunidades de medida menores a las de mayor uso social (metro, kilogramo, litro, etc-tera). Por otro lado introducen la necesidad de disponer de escrituras numricas queinvolucren fracciones y decimales para dar cuenta de las medidas obtenidas.

SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAIProblema 1

Una tira de 2 metros se quiere cortar en 10 partes iguales.a) Cul ser la longitud de cada parte?b) Y si la tira fuera de 10 metros?c) Y si fuera de 1 metro?


Un paquete de yerba pesa 1 kilo y medio. Se reparte todo su contenidoen paquetes ms pequeos. En cada uno de ellos entra 1

4kilo. Cuntos

paquetes se podrn llenar?


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Una jarra contiene un litro de agua. Se reparte en 10 vasos iguales y noqueda nada en la jarra.a) Cunta agua habr en cada vaso?b) Y si la jarra contuviera 2 litros?c) Y si fuera de 3 litros y medio?

Comentarios sobre los problemas 1, 2 y 3Estos problemas promueven la elaboracin de estrategias que permitan subdividirciertas unidades de medida en partes iguales, constituyendo de esta manera nuevasunidades. Es esperable que algunas de ellas sean reconocidas por los alumnos en tan-to que otras sean tratadas de manera ms intuitiva. Por ejemplo, si se trata de partiruna tira de 2 metros en 10 partes iguales, como propone el problema 1, es probableque algunos alumnos apelen a los centmetros como unidades pertinentes para deter-minar las nuevas longitudes. En cambio, si se trata de repartir un litro de agua, comose plantea en el problema 3, es posible que algunos alumnos recurran a las fraccionese intenten partir en 10 el litro, sospechando que podra ser la dcima parte del litro( 110

de litro), o apelen a expresiones decimales (0,1 litros), o bien inventen expresio-nes con las cuales intenten dar cuenta de ese litro subdividido en 10 partes iguales. Si

algunos alumnos recordaran la equivalencia entre litros y mililitros, podrn responder100 ml. El docente podr evaluar si es pertinente informar a los alumnos que otramanera de nombrar esa cantidad es el decilitro.

En el segundo problema, al colocar 14 de kilo en cada paquete, podrn apelar acontar o sumar1

4, 1

4, hasta completar el kilo y medio que propone el problema,

arribando a que se llenarn 6 paquetes. Tambin es posible que algunos alumnosidentifiquen que 1

4kilo equivale a 250 g. Otros alumnos podrn tener disponible la

informacin acerca de que cuatro paquetes de 14

equivalen a 1 kg y 2 paquetes amedio, sumando luego 4 + 2 = 6 paquetes. El docente podr proponer aquellos pro-

cedimientos que no hayan surgido para que los alumnos analicen su validez.

La equivalencia entre 14 kg y 250 g podr ser retomada desde distintos tipos de ar-gumentos, por ejemplo:

1 kg = 1.000 g y 1.000: 4 = 250 g 250 g = 250/ 1.000 de kg = 1

4kg

El docente podr promover la resolucin de otros problemas que motoricen la sub-divisin en partes iguales de unidades de medida para identificar la conveniencia dedisponer de unidades de medida ms pequeas que las que habitualmente conocen

los nios (litro, kilo y metro).


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2. SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAII

SUBDIVIDIR

UNIDADES

DE

MEDIDA

IIProblema 1

Cmo haran para cortar una tira de 10 cm en 7 partes iguales? Cun-to medira cada parte?

SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAIIProblema 2

Cmo haran para dividir la capacidad de una botella de 1 litro en 3partes iguales? Cunto habra en cada parte?

SUBDIVIDIRUNIDADESDEMEDIDAIIProblema 3

Cmo haran para dividir 12

kg de azcar en 6 partes iguales? Cun-to pesara cada parte?

Comentarios sobre los problemas 1, 2 y 3Estos tres problemas tienen una misma finalidad: que los alumnos se enfrenten a ladificultad de partir equitativamente cantidades que no admiten resultados muy pre-cisos. Por ejemplo, si se trata de dividir en 7 partes iguales la tira de 10 cm., podrnbuscar por ensayo y error asignando a cada parte un valor aproximado de manera talque, al juntarlos, el resultado sea cercano a 10 cm (probar con 1 cm y medio, con 1cm y 4 mm, etctera). Tambin podrn apoyarse en algunos clculos e incluso recurrira la calculadora con la finalidad de determinar el resultado de hacer 10 : 7. Al tratarsean de situaciones que admiten en este momento un tratamiento ms emprico, losnmeros que se presentan como posibles respuestas permiten establecer que se tratauna vez ms de aproximaciones, que bien podran registrarse mediante intervalos:cada parte de la tira mide entre 1,4 y 1,5 cm.

Los nmeros seleccionados en los tres problemas motorizan este tipo de respuesta.A su vez podra ocurrir que algunos alumnos sugieran como resultado, por ejemplo,333 mililitros (en el caso del problema 2) o bien 83 g en el caso del problema 3. Serinteresante poner en evidencia que esas aproximaciones no son precisas ya que, alvolver a juntar las partes, no se obtiene el valor original.

No se espera an que los alumnos apelen a fracciones para expresar los resultados,aunque las mismas podran dar cuenta de un valor exacto del reparto. Por ejemplo, la


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expresin107

sera exacta, pero es poco probable que algn alumno la sugiera como res-puesta al problema 1. El docente podr evaluar la posibilidad de introducir la escritura10

7

como solucin al problema y entonces propiciar una discusin en torno a un tema

de gran complejidad: la diferencia entre un valor exacto (ideal, por ejemplo 107 ) y unacantidad posible (emprica, por ejemplo entre 1,4 cm y 1,5 cm).6Es decir, si se debeefectivamente cortar la tira, se deber apelar al valor aproximado. En cambio, si solo sepiensa tericamente en la situacin, el resultado ser entonces el valor ideal: 10

7.

3. RECONSTRUIRLAUNIDADDEMEDIDA

RECONSTRUIRUNIDADESDEMEDIDAProblema 1

a) Esta tira fue medida con una unidad de medida y dio 34

. Dibuj launidad de medida que se utiliz.

b) Es posible inventar una unidad de medida de manera tal que la lon-gitud de la tira del punto a) sea 0,5? Qu longitud debera tener estaunidad?

Comentarios sobre el problema 1Este problema intenta poner en juego dos cuestiones centrales. Por un lado, recu-perar las actividades de medicin efectiva del captulo anterior ante la necesidad dedeterminar una unidad de medida. Por otro lado, establecer que la unidad de medidapodra ser mayor que el objeto a medir. Frecuentemente los alumnos sospechan que launidad de medida debe ser menor que el objeto que se mide, probablemente a causade sus experiencias personales vinculadas con el acto de medir.7Se trata de analizarcon los alumnos, una vez ms, que quien mide debe tomar decisiones en cuanto a las

unidades de medida que resulta conveniente usar y para ello hay que identificar quela unidad de medida surge a partir de una eleccin entre otras posibles.

Se sugiere que la medida de la tira sea de 12 cm (informacin que no se ofrece a losalumnos, aunque ellos usen la regla para establecerlo si lo deciden) ya que es un nmeroque resulta sencillo fraccionar. Como la tira es 3

4de la unidad de medida, si se la divide

en tres partes iguales, resulta que cada una de ellas es un cuarto de la unidad de medida.Por lo tanto, con otro cuarto ms se obtendr la unidad de medida que se us.

6 Este debate permitir retomar un aspecto posiblemente abordado en el estudio de las equivalencias entreexpresiones fraccionarias y decimales y los usos ms pertinentes de una u otra expresin segn problemas

o contextos.7 El docente podr recordar en torno a esta cuestin el problema de la primera parte de este documento(Medidas de longitud, capacidad y pesos), en el que era una estrategia posible medir el agua de la botellacon otra botella. En dicho caso tambin la unidad de medida era mayor que el objeto a medir.


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La pregunta b) persigue el mismo propsito, es decir, si la tira midiera 0,5 de unacierta unidad, esta deber ser el doble de largo que la tira que se est midiendo. Nue-vamente el objeto a medir es menor que la unidad de medida y de all su escrituradecimal menor que 1.

4. EXPLORARUNIDADESDEMEDIDAMAYORESPARALONGITUDES,CAPACIDADESYPESOS

El docente propiciar la aparicin en el aula de unidades de medida mayores que lasabordadas hasta aqu, por ejemplo hectolitro, kilolitro, kilmetro, tonelada, etctera. Po-dr solicitar a los alumnos que busquen en diferentes fuentes de informacin lo necesario

para responder preguntas como las siguientes (agrupadas por tipo de magnitud a medir):

a) Qu distancia hay entre Buenos Aires y Mar del Plata? Cunto mide el ro mslargo del mundo?

b) Qu cantidad de vino entra en un tonel? Cunto vino produce por ao la reginde Cuyo? Cunto petrleo se produce por pozo en un ao? Cunto petrleoexporta la Argentina por ao?

c) Cunto pesa una ballena franca? Cul es el peso que puede transportar un ca-min con acoplado?

Los alumnos podrn apelar a fuentes de informacin ofrecidas por el docente o bienrecurrir a libros, personas especializadas, mapas, diarios, sitios de Internet, entre otros.Esta exploracin no apunta an a tratar el conjunto de equivalencias entre diferentesunidades de medida y sus mltiplos, sino a tener una primera aproximacin al usosocial de unidades de medida mayores.

5. EQUIVALENCIASENTREUNIDADESDEMEDIDA

Los siguientes problemas proponen estudiar las equivalencias entre unidades de medi-

da, apelando para ello a la multiplicacin y a la divisin por la unidad seguida de cerosy a las propiedades de las relaciones de proporcionalidad.

EQUIVALENCIASENTREUNIDADESDEMEDIDAProblema 1

El docente propone algunas afirmaciones que involucran relaciones deequivalencia para que los alumnos decidan si son verdaderas o falsas ypuedan justificar sus respuestas. Por ejemplo:


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a) Con 100 cm se obtiene 1 m.b) Si se parte 1 m en 10 partes iguales, se obtiene 1 cm.

c) Si se juntan 4 paquetes de 250 g, se obtiene 1 kg.d) Si 1 l de agua se divide en 1.000 partes iguales, se obtiene 1 ml.e) Si se juntan 500 ml de agua se obtiene 1

4 litro de agua.

f) 1 tonel que tiene 10.000 l tiene 100 hl.g) 100 cuadras (de 100 m cada una) son equivalentes a 10 km.h)

18 kilo es equivalente a 125 g.

i) 1 hm es la dcima parte de 1 km.j) 1.000.000 de mg equivalen a 1 kg.k) 10 dm es la dcima parte de 1 km.

Comentarios sobre el problema 1Se trata en este problema de propiciar un primer nivel de explicitacin entre algunasequivalencias, apelando a los conocimientos que los alumnos pudieran tener disponi-bles. No se busca que los alumnos ya conozcan estas relaciones, sino que las mismasse constituyan en objeto de debate. Se espera que los alumnos comiencen a identificarescrituras decimales y fraccionarias para expresar medidas, conozcan nuevas unida-des de medida y analicen unas primeras relaciones que se profundizarn en sucesivosproblemas.


En las siguientes tablas se informan las equivalencias que hay entre al-gunas unidades de medida: el metro (m) y el centmetro (cm); el litro (l) yel mililitro (ml), y el kilo (kg) y el gramo (g). Completen las tablas y luegoexpliquen qu tuvieron en cuenta para completarlas.

m 1 2 0,01

cm 100 1.000 50 10

l 1 5 0,001

ml 1.000 10.000 500 100

g 1.000 2.000 500

kg 1 5 0,1 0,01


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Comentarios sobre el problema 2Estas tablas intentan poner en evidencia dos cuestiones que caracterizan a los sistemasde medida presentados. Por un lado, que es posible apelar a las relaciones de propor-cionalidad directa para completar las tablas. Es decir, si se conoce que 1 m equivalea 100 cm, para calcular la cantidad de centmetros que hay en 2 m ser suficienteduplicar la cantidad de centmetros. De la misma manera es posible tratar todas lasrelaciones que se intenta establecer mediante las tablas. Por ejemplo, si 1 m son 100cm, 0,01 m es el resultado de dividir por 100 el metro, y se tratar entonces de 1 cm(los 100 cm divididos por 100). Por otro lado, se plantea la necesidad de apelar a mul-tiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros. Es decir, conocido que 1.000g equivalen a 1 kilogramo, es posible establecer que se multiplica por "tantos miles"como indica la cantidad de kg (por ejemplo, 5 kg son 5 veces 1.000 g). Y, a su vez,instala un nuevo debate: 0,1 kg es el resultado de dividir por 10 cada kilogramo, de

all que resulten 100 g el valor que corresponde a 0,1 kg. Esta relacin tambin puedeser considerada a partir de la interpretacin de las escrituras numricas que apelan alas expresiones decimales: 0,1 kg es la dcima parte del kilogramo, luego correspondea la dcima parte de los 1.000 g, es decir, 100 g. La multiplicacin y la divisin por launidad seguida de ceros invita tambin a tratar con expresiones decimales.

Un aspecto que se podr sistematizar con los alumnos a la luz de estas tablas es unacaracterstica comn a las unidades de medidas de longitud, capacidad y peso: el signi-ficado de las expresiones "kilo", "mili" y "centi" en cuanto a la informacin que ofrecen("todos los kilo involucran miles, los centi involucran centsimos en tanto que los

mili implican milsimos").


La siguiente tabla informa nuevas equivalencias entre unidades de me-dida de longitud:

a) A partir de la informacin que brinda la tabla, indiquen si las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas. El docente podr agregar otrasafirmaciones verdaderas o falsas. La dcima parte del metro es el decmetro. El milmetro es 1.000 veces el metro. 1 hm equivale a 100 m. Si una tira mide 1 dm, entonces con 1.000

de esas tiras es posible formar un 1 km.

b) Enuncien tres afirmaciones que resulten verdaderas y que puedan iden-

tificar a partir de la informacin de la tabla y tres afirmaciones que estnseguros de que son falsas.

Unidad

kilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro

1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m


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Estas tablas son similares a la del problema 3, pero informan sobre equi-valencias entre unidades de medidas de peso o equivalencias entre medi-das de capacidad. Compltenlas y expliquen qu tuvieron en cuenta parahacerlo.

Comentarios sobre los problemas 3 y 4Estos problemas buscan informar a los alumnos las equivalencias ms usuales entre uni-dades de medida. Pero a su vez invitan a reconocer y usar las relaciones de proporciona-lidad que comandan su confeccin, as como a apelar a la multiplicacin y a la divisinpor la unidad seguida de ceros. Otro asunto de anlisis en estos problemas ser el de lasexpresiones fraccionarias y decimales en trminos de dcimos, centsimos y milsimos,

necesarias para dar cuenta de la relacin entre las distintas unidades de medida.

Ser necesario que el docente instale, luego del anlisis de las tablas, la posibilidad deidentificar la similitud de las reglas que subyacen al sistema de numeracin decimal y alsistema de medidas decimal. Entre las caractersticas comunes se encuentra el recurso ala multiplicacin y a la divisin por la unidad seguida de ceros para establecer relacionesentre unidades de rdenes diferentes de la misma magnitud (por ejemplo, entre milme-tros y centmetros, del mismo modo que entre centsimos y milsimos), as como el usode las relaciones de proporcionalidad directa.

El docente podr mostrar la potencia para resolver problemas y anticipar resultados quesurge de usar dos sistemas de medidas que tengan la misma base, cuestin que no ocurri-ra si se usara otro sistema de medidas como el anglosajn (yardas, leguas, galn, millas,etctera) o un sistema de numeracin no decimal (nmeros romanos, egipcios, etc.).

Por ejemplo, al mirar el nmero 45,67 se puede identificar sin hacer clculos cuntasunidades hay, o el resultado de multiplicar dicho nmero por 10, 100 o 1.000 o cmo secomportar el nmero al sumarle o restarle 1, 10, 100 1.000; o bien 0,1; 0,01; 0,001,etctera. Del mismo modo, frente a la medida 45,67 kg es posible anticipar, sin hacerclculos, cuntos gramos equivalen a dicha medida, cul ser el resultado de sumar

10 kg o 1 kg, 0,1 kg, 100 g; o bien cunto pesarn juntos 10, 100 1.000 paquetesde dicho peso.

Unidad

kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo

........... g 100 g ........... g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Unidad

kilolitro hectolitro decmetro litro decilitro centilitro mililitro

1.000 l ........... l 10 l 1 l ...........l 0,01 l 0,001 l


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En sntesis, no se trata solamente de que los alumnos puedan usar fluidamente lasequivalencias para resolver problemas, sino que se apunta simultneamente a promo-ver un espacio de reflexin sobre las ventajas y utilidades de nuestros sistemas.8


a) Completen las siguientes tablas.

b) Estas son algunas equivalencias entre medidas. Expliquen por qu sonverdaderas.

1 hl = 10 dal 5 dal = 500 cl 2 dam = 20.000 mm 3 hm = 30 dam 0,5 kg = 500 dg 25 dg = 0,0025 kg


Marquen o resalten, en cada caso, las expresiones que indican la misma

cantidad.

a) 2 m 50 cm 250 cm 205 cm 2.500 mm 2.050 mmb) 3 kg 400 g 3.400 g 3.400 kg 304 cg 3.040 mgc) 5l 400 ml 540 ml 5.400 ml 5.040 ml 540 cl

hl 1 5dal 1 5cl 1 5

hm 1 3dam 2 20mm 500 5.000

kg 1 0,5dg 1 25cg 300 3.000

8 En 1585, Stevin, un matemtico e ingeniero de los Pases Bajos, preocupado por problemas prcticos,escribe el libro llamado La Dcima. Stevin no fue el inventor de las fracciones decimales, ni el primero en

utilizarlas, pero formula contundentemente una peticin para que se use la base 10 mostrando la practici-dad y economa de los agrupamientos decimales para la numeracin, para las fracciones, para los sistemasde medidas y el clculo.


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a) Si se dividen 50 litros en 10 partes iguales y a cada una de esas partes sela vuelve a dividir en 10 partes iguales, cul o cules de las siguientesexpresiones indican la medida de cada una de estas ltimas partes?

5 l 50/100 l 0,05 l 5 dl 510

l 5 cl

b) Si se unen 1.000 tiras de 2 cm cada una, cul o cules de las siguientesexpresiones indican la longitud de todas las tiras juntas?

200 m 20 m 2.000 m 0,2 km 2 dam

Comentarios sobre los problemas 5, 6 y 7En estos problemas se apunta a que los alumnos puedan analizar las relaciones en-tre unidades de medida tanto en trminos de multiplicacin y divisin por 10, 100,1.000, etctera o por 0,1; 0,01; 0,001 como de las relaciones de proporcionalidadinvolucradas. Por ejemplo, se espera que puedan justificar de diferentes maneras que1 hl = 10 dal: Si 1 decalitro son 10 litros y 1 hectolitro son 100 litros, el decalitro es ladcima parte del hectolitro, y entonces 10 decalitros son 1 hectolitro o bien: Siem-pre en dos unidades contiguas la mayor es diez veces la menor.

Para el problema 6 los alumnos podrn identificar que 3 kg y 400 g son equivalentesa 3.400 g, porque 1 kg equivale a 1.000 g, entonces 3 kg son 3.000 g y 400 g msforman los 3.400 g. O bien: si 1 cg equivale a 10 mg, entonces 304 cg sern 304 x 10mg, es decir, 3.040 mg.

Para el problema 7, los alumnos podrn reconocer que si se divide 50 litros en 10partes iguales y a cada una de esas partes se la vuelve a dividir en 10 partes iguales,

se est obteniendo la centsima parte de 50 litros, por lo cual la expresin 50/100 lrepresenta la medida de cada una de estas ltimas partes. Otro razonamiento puedeser pensar que la dcima parte de 50 litros son 5 litros y luego al dividirlo en 10 seobtiene 5/10 l o 5 dl.

En estos problemas se espera que los alumnos apelen a explicitar relaciones entreunidades. El uso de algunas reglas mecnicas (como encolumnar y llenar con ceros,poner el ltimo entero debajo de la unidad, contar los lugares y correr comas) permitesin duda encontrar las respuestas correctas, pero no pone en juego la necesidad decomprender los motivos por los que son vlidas.


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EXPLORAROTROSSISTEMASDEMEDIDAS

En esta parte se incluyen problemas que permiten poner en evidencia que no todoslos sistemas de medida responden a una organizacin decimal. Se propicia el estudiode las medidas de tiempo, as como medidas anglosajonas ya que en ambos casos susestructuras no son decimales. Se busca que los alumnos puedan comprender su fun-cionamiento y compararlo con las unidades de medida que respetan la organizacindecimal, estableciendo ventajas y desventajas.

1. MEDIDASDETIEMPO

El trabajo propuesto hasta aqu permite establecer relaciones entre estos sistemas demedidas que tienen una organizacin decimal y las relaciones que comandan nuestrosistema de numeracin. Incluir las medidas de tiempo favorece la incorporacin denuevos aspectos, entre otros:

Poner en evidencia la existencia de sistemas de medicin cuya estructura no es de-cimal (lo que trae aparejado algunas dificultades, en particular, en el momento derealizar clcul

medida_caba_-_broitman_itzcovich

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