ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGEr.IEROS DE MINAS

-.--.- . ---

,

t·

MECANICA

.. ';:;¿.i;~7:::s;:· DEL

.. -' --~- MEDIO CONTINUO

..

JOSE MUNoz RODRIGUEZ

e

'OAPITULO ~

GEf'~ERALIDADES

INTRODUCCION

'La Meoánioa del medio oontinuo, ~iene oomo finalidad

el estudio de las tensiones y deformaoiones que exis-. ten en el aeno de los medios materiales,tanto sólidos

oomo fluídos (liquidos y gases) y los flujos de los

materiales que oonstituyen los medios.

La Meoánioa del medio oontinuo tiene su origen en

GALILEO,qüe en '1638 se ooup6 por primera vez de la me

oánioa de los medios deformables.

Posteriormente,TORRICELLI en 1644 haoe públioo su

éstüdio aeLmóvimiénto de los :fluídos, y JiEWTON en.

1687 ~so de manifiesto la visoósidad de los"flu!dos,

oonsecuencia de ' la fricción. intermolecular,e.1ntrodu­

jo el modelo matemátioo para los medios visco~os~aún

utilizado actualmente.

En 1820 son NAVIER y OAUCHY los que aientan las ba­

ses de la teoría de la Elastioidad.

A principios de siglo, PRAJ"DTL crea la Mecánica de

Fluídos¡ciencia que permite el estudio de los líqui­

dos y los gases de la misma manera.

Posterio~~nte/~on el afan, de simplificar el estu­

dio de los Jl'~dios materiales, surge ' la Mecánica del.m,! . dio continur),como una ciencia que permite estudiar a

los fluidos 3 a los sólidos deformables,bajo la misma

base teórica que es la relación entre tensiones y de­

.formaciones en un medio deforDL~~le.

1

f

Además,e1 desarrollo tecnológico ha puesto en evide!!.

cia que propiedades viscosas consideradas anteriormen­

te como exclusivas de los f1uídos,coexisten simu1tane~

mente con las elásticas de los solidos,10 cual ha sido

otro ~otivo que-.ha conducido a englobar a los fluidos . , .

y a los solidos deformable s en la Mecánica del medio

continuo.

La Mecánica del medio continuo,permite por otra par­

te,considerar el efecto simultáneo no sólo de propie­

dades mecáh~cas,sino térmicas,eléctricas Y magnéticas

de los materiales.

MEDIO QONTINlTO

Como se sabe los medies materiales considerados des~

de el punto de vista microscópico, poseen una estructu­

ra m01ecular,existiendo huecos entre las moléculas.

Si se adopta el punto de vista macroscópico,los me­

dios materiales,pueden ser considerados idealmente,co­

mo medios en los que los átomos y moléculas se encuen­

tran tan próximos,que constituyen un todo,en el que la

materia se halla distribuida de forma continua en to­

do su volumen / llenando por completo el espacio que

ocupa.

La hipótesis de continuidad de los medios materiales,

que es básica en la Mecánica del medio·continuo,sirve

desde el Punto de v~sta matemático/para que las magni­

tudes que caracterizan a los medios materia1es:mecáni­

cas , térmicas , e1éctricas y magnéticss/puedan expresarse

.como funciones continuas de punto y del tiempo con de-

2

" '

t

rivadascóntinuas.

El estudi"o de los medios materiales,se hace conside­

rando elementos infinitesimales de volumen que sean s~

ficientemente grandes con respecto a las dimensiones

moleculares,para que sea cierta la hipótesis de conti­

nuidad.Este procedimiento,de suficiente exactitud en . . ~a práctic~,es la base ·para estudiar de un modo seme-

jante el comportamiento de sólidos, líquidos y gases.

HOMOGENEIDAD E ISOTROPIA

Se dice'que Un medio material es homogéneo, sí sus

propiedades no vartan de un punto a otro • • Se dice que un medio material es isotropo con respec-

to a una propiedad,CU~ldo ésta varía de i~al manera en

todas las direcciones.No existen por lo tanto,direccio­

nes preferenciales para dicha propiedad.En el caso de

que existan direcciones preferenciales en algún punto

del ~edio,éste se denomina anisótropo.

Como puede deducirse de las.definiciones de homoge­

neidad e isotrop:!a,un medio material pUede no ser hom.2,

géneo ~or variar eus propiedades de un punto a otro,p~

ro si isótropo por ser tales variaciones independien­

tes de la direcci6n,es decir,las mismas variaciones

en todas las direcciones.

Tambien se deduce de las definiciones citadas~que un

medio anisótropo con respecto a alguna o varias de sus

propiedades , puede ser homogéneo,si en todos BUS puntos

les propiedades direccionales poseen el mismo valor en

~odos los·puntos del· medio.

3

En el estudio presente,se consideraran medios homogé

neos e isótropos,caracterlsticas a las que se aproxi­

man de entre todos los medios materiales eX1stentes en

la naturaleza únicamente los fluIdos.

D:::NSIDAD

Si ee con~idéra un volumen AV en el aeno de-un me­

dio material y es Am la masa contenida en 41,8e defi-

ne la densidad media en el interior de AV ~or al esca-

3:ár que.resulta del cociente

Teniendo en cuenta la hipótesis de continuidad de

los medios mat eriales/Be define la densidad en un pun­

to P interior a AV por la expresi6n

f ·· l' Am • c · ·· ... m-A~O AV

f '" ~ dV

Físicament e la densidad representa la masa por uni­

·dad de volumen .

----- --_ ._- ----- -----. .

t

Si se considera el escalar que representa el peso de

un volumen del medio material, se define el peso especí

fico medio en el volumen y el peso específico en un

punto de Un medio materia1,de la misma manera que la

densidad.

La relación entre el peso específico ~y la densidad

f es

FUERZAS EN UJ! MEDIO cor-:TIrmO

Las· fuerzas que actúan en un medio continuo son de .'

dos ti'pos:fuerzas de volumen o másicas y fuerzas su­

perficiales .

Las fuerzas de volumen o másicas,acWan en el inte:..:'

rior de los elementos de volumen de un medio continuo.

Si ·se representa mediante _ F _a este .. tipo de fuerzas por

unidad de masa,la fuerza que actúa en un elemehto de

volumen dV es

siendo f la densidad del medio continuo. Como puede

observarse ·es un infinitésimo de tercer orden.

Son eje~plos de fuerzas de volumen:las gravitatorias}

las de inEIcia y las electromagnéticas. - .

Las fuelzas superficiales actuan en los elementos de

superficie de un medio continuo,pudiendo dichos elemen

tos estar situados bien en la superficie limite del me

5

"dio o en cualquier superficie interior arbitraria.Si •

se representa mediante f a este tipo de fuerzas por

unidad de área~la fuerza que actúa en un elemento de

superficie de á rea ds es

fds

Como puede observarse estas fuerzas son infinitési­

mas de segundo orden .

Son ejemplo s de fuerzas de superficie,las fuerzas de

contacto entre sÓlidos,y la f uerza que se debe a la

presión de un fluido sobre un sólido impermeable , por

ejemplo una compuerta .

6

t

es decir que

a cero en P.

t:. 'i d' lim -~ = ~-B lIB"O As a.

tiende a cuando !J. B tiende

Fig 2

El vector obtenido,que ee denomina vector tensión en

\ un punto P,tiene dimeneión de fUerza por unidad de

área. :! c'irecci6!'l cete!'~incd2 ro!' 12 del vector t:.F, !'eprese~t~r.~oee nor T

- dI' T = --de

Puesto que el vector tensión está referido a una de­

terminada. euperficie,no se pueden sumar vectorialmen­

te vectores tensi6n que no esten referidos a la misma

superficie. Por lo tanto su comportamiento difiere del

de una fUerza.

COMPONE}'TES II\TRINSECAS DEL VECTOR TENSICIN

Considerando el vector: tensión T, correspomiiente a

un punto P de un elemento de superficie de,lI~ puede

descomponer el vector tensión en dos direcc~ones ; una~

la de la normal a da en P, dada por el yector unitario

8

n)y otra) contenida en el plano tangente a ds en p.

teniéndose

o bien

2 ~.

ya que las direcciones de ¡;. y 'E son perpendiculares.

La componente 'ü se denomina tensión normal y la com­

ponente ~tensión tangencial,Ambas, se denominan compo­

nentes intrínsecas del vector tensión T.

NOTACIOt1ES y CONVENIO DE SIGNOS PARA LA TENSION

~araestablecer el criterio de signos de las tensio­

nes,se considera un paralelepípedo de aristas paralelas

a los ejes coordenados,en cuyas caras actúan los co­

rrespondientes vectores tensión.

En la f'ig 3 ,se represen.tan los vectores tensión en

las caras vistas, junto con los vectores uni tario.~' nor- .

males correspondientes, que son ñl

= 1 , ñ2

= j , D)= k X¡

Fig 3

9

f ·

, Las expresiones de los vectores tensi6n seran

T2= ~21 1 ~ ~22 j ~ ~23 k

T3= ~31 1 ~ ~32 j ~ ~33 k

siendo t: ij , la

tor tensión,que

xi'

, componente segun el eje xj,del vec-

actua en la superficie normal al eje

10

Sobre las caras no vistas actuar{an los correspond1en-

ten vectores tensión,que no han sido dibujados.

El convenio de signos que se adopta/considera como

posi ti vas, las componentes -c: ijque actuando en una

vista, tienen los sentidos positivos de los ejes,Y /

ne~ativos,cuando actúan en una cara no vista.

cara

los

En la fig 4 ,se muestran las componentes del vector

tensi6n en todas las caras.Las componentes representa­

das,son todas e l las positivas,de acuerdo con el conve­

nio de signos adoptado,

'fu r,~ I t,;' ... _-(~'J

-f . I e,Z .... " . --Go,,' ~f, "." "t,Z· -r

" I

"lO

Fig 4

1

¡

, Las componentes 1: 11' 't22' t:33 ,que actuan en

direcciones normales a las caras"se denominan tensio-"

nes normales. Las componentes 1: 12' 1:"21' "1: 13 , "31' "L23'

~32,que actúan en direcciones contenidas en las caras,

se denominan componentes tangenciales cortantes o· de

cizallamiento .

ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO. TENSOR TE1'~SION

Mediante el principio de tensión de CAUCHY,se aso­

cia en un punto P de un medio continuo,un vector ten­

sión a cada vector unitario normal,a todas las posi­

bles superficies infinitesimales ds que contengan al ,

punto P.Como consecuencia de ello,se tendran dos con-

juntos;uno el de vectores unitarios normales,Y otro

el de vectores tensión, ambos en P,los cuales definen

el estado de tensión en el citado punto.

Se demuestra a continuación,que para tener determi­

nado el estado de tensión en un punto, basta conocer

los vectores tensión correspondientes a· tres planos

perpendiculares entre s! , que se corten en el punto,

es decir , asociados con las tres direcciones normales

a dichos planos .

Para demos t rarlo , se considera un tetraedro elemen-

tal del medio ~ontinuo . representado en la figura

5 , de vértice el punto :P, coincidente con el origen

de coordenadas , Y tres de cuyas caras estan situadas

en· los planos coordenados . Las áreas de dichas caras

son

11

ds = r.da = ads 1

ds = J.da == bds 2

ds == k.de == cds 3

siendo ds el área de la cara ABC,cuyo vector represen­

tativo es

da == n ds

y a.b.c los cosenos .directores de la direcci6n del vec­

tor ñ.·

e

Fig 5

Para estudiar el movimiento del tetraedro, dadas sus

pequeñas dimensiones 1 se aplica el segundo axioma de

NEWTON .En dicho estUdio, se han de conside:~;lr las fUer-,

zas másicas y de superficie,que actuan so~re el tetrae-

dro .

Puesto que las fUerzas másicas o de volumen y 1a,ma_

~a del tetraedro , son infinitesimos de tercer orden se

12

.'

t

tiene

= O

'23bds - t:33 ods = O

para cada uno de los ejes coorde~ados.

Las ecuaciones que se obtienen son

que en notación indicia1 Bon

Puee 1.0 qUB el vector tension T ye1 vector ñ • no tie­

nen er' general la -misma dirección, 'tij no puede repre­

sentar a una magnitud esca1ar,sino que ha de ser una

magnitud tensorial/denominada tensor tensión.Este ten­

sor,cuyo conocimiento proporciona el estado tensional

13

en el nunto P,e s un tensor cartesiano de segundo orden.

como se demuestra anlicando la ley del cocienteCcrite­

rio general de tensorialidad).

El conocimiento del tensor tensión ,es decir,el cono­

cer sus componentes en un sistema de referencia,propor­

ciona el conocimiento del estado tensional en cualquie­

ra de los puntos d e un medio continuo.

La expresi6n obtenida,denominada formula de CAUCHY,

proporciona el vector tensión en un punto de una su­

perficie,en el que la dirección normal está dada por

el vector unitario nJsi se conoce en dicho punto el

tensor tensión ~¡.i'

La f6rmula de CAUCHY puede tambien escribirse como el

producto contraido

T = t ·ñ

o bien matricialmente

TI 1: L2l ""(31 a 11

T2 = 1: 12 "C 22 '1:32

b

T3 'l:13 '1:23 '1:33

c

ECUACIONES DE EQUILIBRIO.SIMETRIA DEL TENSOR TENSION

El estudio del equilibrio de un elemento de volumen ,

localizado en el seno de un medio continuo,requiere que

la fUerza resultante Y, el momento resultante que actúan

sobre ~l,sean nulos.

14

, le ,

Si bien las condiciones de equilibrio pueden ser ob­

tenidas de forma ~ntr{nseca,mediante la consideración

de un elemento de volumen cualquiera, su obtención sin

perder generalidad, se va a efectuar considerando co~o

elemento de volumen,un paralelepipedo de aristas dxl ,

dx2

,dx3

paralelas a los ejes coordenados.

eLe3

J----~- )(2

, "'C33 Fig 6

• En la figura 6, se muestran las tensiones que actuan

en las caras del paral elepipedo.La!!- tene~ónes""en .1as:: ·' ­

caras v::j.stas , s e' 'obtienen a partir de los valores de

las tensiones en las caras no vistas,suponiendo la .

continuidad de l as tensiones .

Expresando l a anulación de la resultante de fnarzas

de superficie y de volumen , se tiene segÚn el eje x

15

- - - ---------- ---

Efectuando las operaciones indicadas y dividiendo

por dxl dx2dx

3 ee tiene

De l mismo modo,se obti enen las ecuaciones segÚn los

los ejes x2

y x3

•que" son

Las ecuaciones obtenidas escritas en notación indi­

cial son

l a s cual es expre"san _ la primera condición de equili­

brio,en la que Fi representa a las comp onentes de la

16

fuerza por unidad de masa. -__ .

La segunda condición de equilibrio, se obtiene al anu­

lar el momento resultante de todas las fuerzas que ac­

túan sobre ·el paralelepipedo con respecto a un punto

cualquiera. Efectuado esto con respecto al centro de ma-,

sas, se obtiene segun el eje. xl

= O

resultando

"1: 23 = "t: 32

Del mismo mOdo,segttn los ejes x2

y x3

se obtiene

t 12 = T 21

El resultado obtenido en notacion indicial es

Lij = L. ji

y muestra que el tensor tensión es simétrico.Este re­

sultado,ha sido obtenido suponiendo,como es muy co­

rriente,que no hay momentos másicos . Si tales momen­

tos existieran , el tensor tensión no seria simétrico .

17

\.

CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA

Si se consideran dos sistemas de referencia X(xl~x2'

x3 ) y X' (xí ,x2, x3) ,las componentes del vector tensión

en ambos sistemas están relacionadas mediante la ex­

presión

o bien matricialmente

siendo

la matriz

(T') ~ CA) (T)

a n a 12 a13

(A) ~ a 21 a22

a23

, de los cosenos de los angulos 1 qu.e forman los

ejes de ambos sistemas de referencia . El origen de los

sistemas se cosidera común.

Puesto que el tensor tensión es de segundo orden,las

componentes en los dos sistemas cartesianos considera­

dos están relacionadas por la expresión

o bien matricialmente

siendo (A)t la matriz traspuesta de 1.8. matriz (A).

TE~TSI(\NES y DIRECCIONES PRINCIPALES

Como se ha visto, el vector tensión que corresponde

a una direcci ón definida por el vector unitario ñ,se

obtiene median te la expresión

. -T = ·'t·n

no coincidiendo, en_general,las direcciones de T Y' n .

En el caso de que ambas direcciones coincidan,se de­

nomina a la di"rección común, dirección principal de

tensión .

Si se tienen en cuenta las componentes lntrínsecas

del vector tenSión, se deduce que en los planos per­

pendi culares a l as direcciones principales , los vec­

tor es te~si6n t ienen únicamente componente normal ,

carec i endo de la t angencial.

En las dir ecciones principales se tendrá

- \ -n T - A

luego podrá" e s cribirse

(:r ':' ,Ar ) .ñ = O

matricialmente se t iene

19

(T-}I)(n)=O

Esta expresión o la anterior,da lugar a un sistema ho"'"'

mogéneo de tres ecuaciones con tres inco'gni tas nl ,n2 ,

n3'cuy~ .obte·nción resuelve el problema.

El problema de obtención .de tensiones y direcciones

principales,como se ve,se reduce al problema matemáti­

co de la determinación de valores propios y vectores

propios.

Si se considera un sistema de referencia,constitui­

do por las direcciones principales en un punto,Y cr l'

~2' 0-3

son los valores principales de la tensión en

dicho punto}la expresión del tensor tensión después

de efectuar el cambio de sistema de referencia sería

1: = (JI

O

O

o •

INVARIAJ"TES DE TENSION

o O

cr 3

Puesto que los valores principales de tensión,carac­

terizan el estado físico de tensión en un punto,dichos

valores no dependen del sistEma de referencia.Debido

a esto,los coeficfentes de In ecuación característica

que da los valorespropios,ell decir,los valores prin­

cipales de tensión en un pun-':",han de ser invariantes

en una transformacion de coordenadas .

Por lo tanto los invariantes de tensión son

20

._-'-' -_. ,' - - - . -_ .~~~'.==='~~' ,'~~~-_ • . ~,-,-

\

11= 1:"11 + 'l22 + "1:"33

. 222 1 2= 1:111:22 +t22 t:33 "'~3"S.1 -tÚ ·- 'r23 -"t¡3

. . 2 2 2 2 13= L n't:22 l)3 - t:11 S2 - t:Ú 'r13 - r 33 \2 + r12 '23 L13

y se denominan invariante lineal o tensión cúbica,in­

variante cuadrático e invariante cúbico respectivamen­

te.

En el caso particular,del sistema de referencia cu­

yas direcciones sean ~aralelas a las principales,los

invariantes son

. 1 = '(1" + (J" .¡. (J" 1 1 2 3

ELIPSOIDE DE TENSIOJl'ES DE LAME

. Es el lugar geométrico .de los extremos de los vecto­

res tensión,que corresponden a todos los planos que ~

pasan por un punto.

La determinación, se efectúa considerando un sistema

de referencia} cuyas direcciones coinciden con las

princinales en el punto.

Si se considera una dirección cuyos cosenos directo­

res son a,b ,c) y a la que corresponde un vector ten-

>

21

sión cuyo extremo tiene por coordenadas x,y,z,se tiene

a partir de

y como

se obtiene

- ,.. -T = . t;'n

x = u1

a

y = 6""2 b

z = ir C 3

2 2 x

.,.~ .¡. .¡. Z =1 -~

1

ecuación que representa un elipsoide~llamado de ten-

siones de LAME y da idea

dlil módulo del vectorT en

de la distribución espacial

un punto,pero no lo~detérmina

de forma un!voca,ni tampoco se puede conocer el plano

al que corresponde el vector tensión.

Para resolver la situación,es necesario recurrir a

la cuadrica indicatriz de tensiones Q cuadrica de

CAUCHY o bien a' la cuadrica directriz de tensiones ,las , d ' cuales no seran estu iadas aqui,resolviendose el pro-

blema mediante la.representación gráfica de MOHR.

22

•

REPRESENTACION GRAFICA DE MOHR

Mediante esta representaci6n/es posible estudiar el

estado tensional en un punto. Para ellO,se consideran

las componentes intrínsecas del vector tensi6n.

Puesto que el vector tensión en un punto,asociado a

una dirección.de cosenos directores a,b,c,respecto de

las direcciones principales en un punto es

siendo cr 1 1 6""2 1 6""3 las tensiones principales en el

punto . ta!!.ee que 0'"1 > G'"2 > 1r3 ,se tiene

T2 = ~ 2 2 cr 2b2 ~ 2 2

1 a + 2 + 3 c

Teniendo en cuenta las componentes intrinsecas de

2 2 2 2 2 2 Ü. 2 2 (1) CT + ! = CTl a + CT2

b r 3 c

Además

CT= T.ñ luego

(J"= 0'"1a2+ 2 2 CT"2b r 0""3c (2)

También a.e sabe que

2 b2 + 2

1 (3) a + c =

A partir de las ecuaciones (1)(2)(3) se tiene

T

23

\

_ _ ._0 _ ". _ ; .. -

(6)

Como

tiene

, , re l acion que en un ¡¡rafico (<:r, t:) re presenta puntos

, de. tensi6n. situados en el exterior de la ciréunfe~ -

rencia Cl

o·en ella y cuya ecuación eé

Como de (5 )71!e

tiene

relación que en un gráfic' (cr, 1:) representa puntosl .de. ten~i6n si.tuados en el ~.nterior de lacircunferen­

cisC2

o en elle: y cuya eCT).6ci6n es

24

Como c2~O y C"3 -(jl<O, CT"3 - C"2<'O de (6) se

tiene

relación que en un gráfico (D'", t: ), representa puntos

de tensión situados en ele.;l:terior de- la circunfe~

rencia C3

o en_ella y cuya ecuación es

Fig 7

Por tantollos extremoe de -los vectores tensi-ón que

corresponden a las infinitas direcciones que pueden

considerarse en un punto han de estar ·situados en la - -

zona sombreada del gráfico llamado de MOHR, Figura 7.

Sise considera la expresión (6) en la que c tome un de­

terminado valor n.o nulo se tiene entonces

25

. ,

• ecuación que representa una circunferencia concentri-

ca conO) y de radio mayor,en un punto de la cual esta­

rá situado el vector tensión,correspondiente a una di-o , •

reccion que forma un angulo con la direccion principal

j.cuyo coseno es c.

Para la determinaci6n de esta circunferencia)basta

conocer un punto de ellaJPor ejemplo el M,de inter~

sección con la circunferencia el' Figura 8 .

f /1.""" .-"

Fig 8

. Aplicando el teorema de l coseno al triangulo OAM se

tiene.

OM2 = OA2 -4- AM2_ 20A AM cos(rr/2 Pt)

2 . 2 2 OM = OA -4- AM .J. 20A AM sen &)

y puesto que

26

l

OA = 0'"3

ee tiene

o bien

De (1) con a=O ee tiene

o bien

Luego

e = coe 9 3

qued2~do demostrado que el punto M pertene~e a la cir­

cunferencia en la que se halla ei tuado el, (,:r.:tremo del

vector tensión citado .

Tambiert_se puede demostrar que

27

,

a = cos el

b = cos 92

'.

Luego el vector tensión, correspondiente a una di" ·,

recci6n dada por BUS cosenos directores a,b,c}respecto

a las direcciones principales en un. puntoJtiene el ex­

tremo en el punto P,de intersecci6n de las circunfe-. .

rencias punteadas concéntricas con las Cl y C3

,Además,

dicho extremo ha de estar también en la circunferen­

cia punteada concéntrica con la C2•

Por tanto,se tiene resuelto gráfica~ente el proble­

ma de conocer el vector tensi6n en un punto,que corres­

ponde a una dirección dada por el vector unitario ñ y

viceversa,dado ñ en un punto,hallar el vector tensión

T que le corresponde. ,

Como puede observarse,la aplicacion del procedimiento

gráf~co de obtenci6n del vector tensión,precisa tener

referidos el tensor tensión ~ el vector ñ a las di­

reccionesprincipales en el punto,los cuales están re­

lacionados mediante la formula de CAUCHY

T = ~·ñ

obtenida anteriormente .

Una construcci6n que .ofrece interás es,1'a obtenida

alconeiderár los vectores tensi6n/que corresponden

a los planos que pasando ror un punto de un medio con­

.tinuo,son paralelos a una direcci6n~pr1ncipal .

Si la direcci6n principal considerada es la 3, uno de

28

los planos paralelos a ella es el de la figura 9.

Fig 9

El vector tensi6n que corresponde al plano represen­

tado es

T = = -. t:.n

Las componentes intrinsecas son

siendo

IT = T.ñ "C= T.t

n = cos El u1

.¡. senS u2 t = sene u

1 ... cose U2

los vectores unitarios normal al plano considerado y

paralelo a á1 respectivamente,estando t contenido en

el plano definido por T y ñ. Las componentes intrínsecas del vector tensi6n que

resultan son

u= ~lcos29. + ~2sen2e 1: = CJ,cos9 sene -" Cl"_sen,Q COSA

29

las cuales toman la forma

cos 29

1: = sen 2 & (8)

La eliminaci6n del ángulo B,entre las ecuaciones (7)

y (8), conduce a la ecuaci6n

que representa el lugar geométrico del extremo del

vector tensi6n T , ~que como puede verse coincIde con··

la ecuaci6n de la circunferencia C3

de la representa­

ci6n gráfica de Mohr. Este lugar es .la figura 10.

Fig 10

Las coordenadas del punto P vienen dadas por las ex-.

presiones (7) y (8).

30

TEl'~ SORESTEl'~SION ESFERICO y DESVIADOR

El tensor tensi6n esférico está definido por

o bien matricialmente

o

e :) p = . ~ -p

o -p

siendo p la presión,definida como la tensi6n normal

media en un punto,dáda por la expresión

p = l( 1: ~ 1:) '3 11-+ 22~ 33

o en forma indicial

1 p= __ "t 3 ii

La' ~resión se considera positiva si es de compresi6n.

Como puede verse¡la traza del tensor tensión será por

tanto

'Z: 11 = -3p

por lo que el primer invariante de tensilín valdrá en

fUnción de la presión

El tensor tensi6n desviador está dado por

31

.' " .,

· .. --------- ---------~-------

Sij = ~ij + P ~ij

o matricialmente

-S= T2NP

~2

~23

L.33+p

Las direcciones principales del tensor desviador

coinctiden con las del tensor tensi6n,y sus valores

propios están relacionados con los del tensor tensi6n

mediante la expresi6n

T !::~SIOJ;ES OCTAEDRICAS

Se denominan tensiones octaédricas,a las tensiones I

normal y tangencial, que actuan en planos que forman __ ,

angulos iguales con los ejes del sistema de referencia

que ee haya tomado. Como estos planos definen un cctae­

dro,las tensiones citadas reciben el nombre de octaé­

dricas. -

En el caso de que el sitema de referencia tenga ejes

de direcciones paralelE;f; a las principales, se tendran

como cosenos directore~' de las nomales a los planos

citados

a = b = c - + 1//3

32

El vector tensi6n en un punto perteneciente a uno

de los citados planos y situado en el primer octant~

aplicando la formula de CAUCHY es

La tensión normal octaédrica será

(J'" - = T.ñ oci

<í l .¡. 17 2 .¡. (J'"3 -• -----3---~-

Fig 11

La tensión tangencial octaédrica vale

luego

Si el sistema de referencia es uno cartesiano cual-

33

".

quiera la tensión octaédrica normal es la misma ya que

el valor obtenido antes

o- = oct

es decir invariante.

es

La tensión octaédrica tangencial sería en este caso

ESTADO DE TD~SION PLANO

Se define como estado de tensión plano,en un medio

continuo,~quel en el que una de las tensiones princi-:o,

pales es nula .

El estado de tensi6n plano o casi plano, se da en

placas delgadas de espesor constante , sobre las que ac­

tl1an en su con torno,fuerzas paralelas al plano de las

placas . En la' figura 12,se muestra tal si tuaci6n .

Fig 12

34

•

t

Si se considera que la tensión principal nula es ~3' .

el tensor tensión referido a las direcciones principa­

les es

Si el tensor tensión está referido a direcciones no

principales , su expresión es

_(\1 E - 't 12

~12) 22

(9)

Sea una placa plana delgada,de espesor constante,si­

tuada en el plano XY de un sistema cartesiano ortogo­

nal ·OXYZ,la cual se hella sometida al estado de ten­

sión plano que se muestra en la figura 1:> Este estado

~e.tensión,referido a dos direcciones no principales

como las de los ejes X e Y7queda definido mediante el

tensor (9) .

y

x Fig 13

35

La representaci6n plana del estado de tensi6n plano

dado en la figura 13es la de la figura 14

"tu 1:-/2 ,(:

1:~2 T~l

't;{~

t:~z

"t"/~ Fig 14 "tzz

El vector tensi6n que corresponde a un plano parale­

lo al eje Z(direcci6n principal de tensi6n nula) cuyo

ve.ctor uni tario normal es

ñ = cosS 1 .¡. senS j

se obtiene mediante la expresi6n

T =-t.ñ.

luego

Las componentes intrínsecas de T Bon

() = T.ñ

L:=!.t

siendo t el vector unitario tangente al plano citado y

que tiene por expresi6n

)6

--- ------_._- ~ ~ - - - _:.-.-_.-- ~~-~- -~--«~--~--~~=. __ ._-~-------------~~-~-~~~--

t = sen 9 1 - cose j

Efectuando las operaciones se tiene

o bien

(10)

-¡;= (11)

Los valores extremos eH! la tensión <T vi-enen dados

a partir de la expresión

2t12

tg 29 = ---==--1:11- "C22

(12)

~e_-'la que se obt ienen dos valores 91 y 62

= 91

.J. 17'/2.

Estos valores de S,son _tales que el ...-ector_tensión que

correspondE! a las direcciones dadas por ellos , sÓlo tie­

ne componente normal, por 10 que se denominan direccio­

nes principales,y a las tensiones cor-respondientes ten­

siones principales .

La expresión (12) puede obtenerse tambien haciendo

37

..

I

"l: = O en (1 J).

Los valores extremos de la tensión "l: vienen dados

a partir de la expresión

I tg 26 =

de la que se obtienen dos valores e~ y a; = e~ + ~/2. Estos valores de e', son tales que el vector tensi6n/ que

, corresponde a las direcciones dadas por e110s,so10 tie-

ne componente tangencia1.E1 valor que se obtiene para

~ es el mismo para lés dos valores del ángulo e' y es

máximo.

Puesto que

, tg 2S.tg 29 = -1

los ángulos 29 y 2S' difieren en ~/2,Y sus mitades en

11'/4, luego

9 = S' + '11'/4

10 cual. indica que las tensiones tangenciales máximas

en un estado de terlE'ión plano I están asociadas a planos

cuyas normales forlJ'm ángulos de 11/4 radianes con las

direcciones princi~a1es,es decir,bisectrices de los án­

gulos que determinrn estas.

Las tensiones principales se obtienen de la ecuación

caracteristice.

38

resul tando.

Si los ejes X e Y del sistema cartesiano de referen­

cia antes menc ionado/se toman coincidiendo con las di­

recciones ~rincipales.el estado ~e-tensi6n plano es el

que se muestra en la figura l5,Y viene dado pomo se sa­

be por el tensor

x Fig 15

39

La representación plana del estado de tensi6n de la

fi¡ru.ra 15 es la de la figura 16.

Fig 16

11'2

El vector tensión que corresponde a un plano parale­

lo al eje Z(direcci6n principal de tension nula) cuyo

vector unitario normal es

es

T=f.n

siendo ul

YU2

vectores unitarios según las direccio­

nes pl'incipales .

. Las componentes intrínsecas de T son

CT = T.ñ

1:= T.t

s.iendo t el vector unitario tangente al plano ei tado y

que tiene por expresi6n

40

"

----- -----~~

resultando

1: =

C1 - CT 1 2 2

cos 2E1

een 28

(13)

(14)

Como ee observa,este resultado es el mismo que el ob­

tenido en un estado de tensi6n no plano,cuando se ha­

llan las tensiones normal y tangencial correspondien­

tes a planos paralelos a una direcci6n principal.

REFRESB'TACION GRAFICA DE MOER DEL ESTADO DE TENSION

PLANO

En el estado tensional plano,sigue siendo válida la

zona rayada del gráfico de Mohr obtenido para un esta­

do de tensi6n no plano,pero en el caso presente,como

se considera nula la tensi6n principal ~3,la circunfe­

rencia G2 es tangente al eje 1: en el origen.

" Si se consideran las expresiones (]i y (IÚ,que dan

las c"omponentes del vector tensi6n,en el caso en que

el" tensor del e~tado de tensi6n plano está referido a

direcciones no ~:)("incipales ,Y ee elimina el ángulo g ee

tiene

{c ~ 11"'"t:22)2 2 ("1:- -: t: )2 () _ "'" t: = 1.1 22 "

? "?"

¡ 2 , "t: "

'T 1? (15)

41

"

La ecuación obtenida, define la representaci6n gráfi­

ca de Mohr del estado de tensi6n plano"" es el

lugar geométrico del extremo de los vectores tensión,

que corresponden a los planos que pasando por un punto,

son tales que las normales a ellos,son paralelas al

plano en el que se halla definido el estado tensional .

Para 'obtener la representación gráfica de Mohr de un

estado tensional plano,se adopta el siguiente criterio

de signos:

- El ángulo e que forma la normal a un plano, con el

eje X,se considera positivo si se mide en sentido

an ti'horario.

- Las tensione s normales,se consideran positivas si

son de'traéción.

- Las tensiones tangenciales,se consideran positi­

vas,si su momento con respecto a un punto interior

al elemento que representa al estado de teneión

plano objeto de estudio , produce un giro de sentido

horario.

El criterio adoptado queda reflejado en el elemento

de la figura 17

+

y

+

• x Fi

42

Este criterio de signos,difiere con el' establecido

con anterioridad, en que la tensi6n tangencial para­

lela al eje Y en la cara vista,era positiva en el sen­

tido positivo de dicho eje, mientras que ahora es nega­

tiva.

Teniendo en cuenta que el estado tensiona1 viene de­

finido por el elemento de la figura 18,la ap1icaci6n

Fig 18

del criterio de signos adoptado a las caras 1 y 2 del

elemento proporciona los puntos A y B en el gr~fico . .

(cr,'t) de la figura 19.

. ~ ¡ r' I .-,\ J, • t \. ....... I

~ t'.\ I

~~~5--_""-~'-\~\~\:4: 0 1

/' el I l' I I I

I I I

I .;.,, ____ "tu ____ -+_ ...... _--I ., .. ----t:.,f -------,1-

Fig 19

43

Si se traza una circunferencia que tenga al segmento·

AB como uno de sus diametros,se obtiene la representa­

cion gráfica de Mohr del estado de tensión plano.La.

ecuaciÓn de dicha circunferencia es la (15).

Para obtener a partir de este gráfico las componen­

tes intrinsecas del vector tensión,oorrespondiente a

un plano cuya normal forma un ángulo e- con el eje X,

medido en sentido horario e antihorario,se lleva un

ángulo 26 en el centro ce la circunferencia a partir

del radio CA y en el mismo sentido en el que se ha me­

dido el ángulo 6 a partir del eje X. En la figura lB,Q

se ha medido en seritido antihorario,Y por ello en el

gráfico de tensiones, figura 19,se medirá un ángulo 29

a partir del radio CA y en el mismo sentido que el S.

Como resultad o de esto,se obtiene el punto S,cuyas

coordenadas vienen dadas por las ecuaciones (~ y (LQ. Las direcciones principales vendran dadas en el grá­

fico de Mohr por los ángulos 2 ~ Y 241'+ n, que fOI'1:lan los

radios CM y CN con el radio CA respectivamente,ya que

los puntos M y N son representativos de planos en los I .

que solo existe la componente normal del vector ten-

sión,es decir , que las normales a ellos son direcciones

principales .Los valores de las tensiones principales

son por lo tar.to ~l = OM Y ~2 = ON si se supone que

0"1)~2·

Las direccic·nes principales en el elemento, se .!len

·por los ángulc '.1 'f y f-l- Ir /2 con respecto a la direcci6n

del eje X y en el mismo sentido en el que se han medi­

do los ángulos que forman los radios CM y eN con el r a

44

_. - ----- _ .. _-- -_ .. _==-=====:=-:-:~:-=:-=-:-::-:-;~--:-:----~ .____ •• o '· _ _ _ • __ _ • • • _.' - ,. .

dio CA.El resultado de esto,se muestra en la figura2~

y-

"'4.

\

"C:f1 ./ . .,.

t"Clt "Cf2.

\ '" .... --;;¡;:¡::::\~ '.

1:.f1 \

T.2L

Fig 20

Otra forma de proceder está basada en el punto P de-

nominado polo, que como puede comprobarse varía con el

sistema de referencia.Es.te punto,posee la propiedad _ s~

gún la cual, la-' paralela tI'azada · por ál a un plano,

corta a la circunferencia del gráfico de Mohr en un

punto/cuyas coordenadas son las'tensiones normal y tan

gencial que corresponden a ese plano.

La obtenci6n del polo P,se logra hallando la inter­

secci6n con la circunferencia de las rectas trazadas

por los puntos A o B,que son paralelas a las caras del

elemento en las que actúan las tensiones tangenciales

~ll y ~22 respectiv~ente.

Si por el polo P.se traza una recta paralela a un

plano .que forma un ~gulo Ocon el eje Y,es decir,que

la normal a' dicho plano forma un ángulo e con el eje X

y se halla la intersecci6n con la circunferencia de

Mohr se obtiene el punto S figura 19.Las coordenadas

del punto S- representan las componentes intrínsecas .' ~

del vector tensión que corresponden al plano en cues­

tión ,y anal {tic amente vienen dadas por las ecuaciones

(JO) y (lJ) .

45

--- - - ------------

Puesto que los puntos M y N corresponden a las ten­

siones principales ~l y .~2 respectivamente,las direc­

ciones principales son perpendiculares a las rectas

que trazadas por el polo P,pasan por dichos puntos,ya

que estas últimas rectas son paralelas a los planos de

las tensiones principales.

Si el estado tensional viene definido mediante valo­

res principales,es decir,por el elemento de la figura

2l.1a eliminació~ del ángulo e entre las ecuaciones CIJ)

y (M) proporciona la ecuaci6n

y

Fig 21 x.

"2-Siguiendo el mismo procedimiento que el empleado an-

teriormente , ee obtiene el gráfico de Mohr.Para ello,

se consideran lae caras A y B del elemento,que dan loe

puntoe M y ~,los cuales determinan uno de los diámetros

de la circunferencia, figura 22.

Las componentes intrfneecas del vector tensi6n,que

corresponden a un plano cuya normal forma un ángulo 6,

medido en sentido antihorario,con el. eje 1(direcci6n

principal l) , se obtienen llevando un ángulo 26 en el

centro de la circunferencia a partir del radio CM,Y en

46

(

sentido antihorario.El punto S obtenido determina las

citadas componentes intrínsecas de tensión,cuyos valo- "

res vienen dados por las ecuaciones (13) y U4).

"Fig 22

Si se utiliza la construcción basada en el polo(que

en este caso es el punto )I~ el punto S,se obtiene ha­

llando la intersección con la circunferencia de la re~

ta que trazada por el polo M,es paralelá al plano en

cuestión,es decir,el de normal formando un ángulo e con

el eje l,figura,22.

Esta última repre~entación.coincide con la que se

eftctúa en un estado de tensión no plano I cuando se con­

sidera el estado tensional que corresponde a planos

paralelos a una dirección principal.

ELIPSE DE TENSIONES

'La elipse de tensiones,es el lugar geom~trico de los

extremos de los vectores tensión, correspondiimt'l3 a to­

das las direcciones que se pueden considerar en un pun-

47

to y paralelas al plano del estado de tensi6n.

La determinaci6n ana1itica,se efectúa a partir del

vector tensi6n correspondiente a una direccion que fo~

ma un ·ángu10 9 con~a dirección principal 1. Se tiene

= ,;.n .

Si x e y son las coordenadas del extremo del vector

tensi6n,se tiene

x = a"lcos e y = a"2sen 9

y eliminando & se obtiene la ecuaci6n

2 ....!.... .¡. (j2

1

2 -L - l (j" 2 -2

que representa una elipse de semiejes ~l y a2

•

El conocimiento de la elipse de tensiones,proporcio­

na la representaci6n del estado tensional en un punto.

En efecto,si se quiere obtener el vector tensión,ello

es posible a partir de la elipse de tensiones.Para

" ello se coz:¡sidera la figura 23.en la. que ademas de la

elipse se hnn trazado las circunferencias de radios 0'1

y (T .... ,siendo 0-, > CT ....

48

, Si se considera una dirección que forma un angulo e

con la direcci6n del eje principal l,medido en sentido

antihorario,cuyo unitario es ñ,el extremo del vector

tensión correspondiente es el punto 1 de la elipse de

tensiones.La obtención de este punto,se efectúa hall~

do la intersecci6n con la elipse de paralelas a los e­

jes principales 1 o 2 , trazadas por los puntos A y B,

de intersección de la recta que pasa por el centro de

la elipse y tiene la dirección de ñ. 2

:i'ig 23

~ el 'PuntO '-l,O"¡>o. ~·>o·; es decir que las tensiones

~l y ~2' son de tracción.En el caso ~1<0'~2~0 se obtie­

ne el punto 2,en el caso'~1<0,u2<0,ss obtiene el punto

3 y si u 1>0,0-2<0 se obtiene el punto 4.Todos ellos co­

rresponden a la misma direcci6n dada por el vector uni

tario ñ .

En esta r epresentaci6n gráfica , el vector tensión se

halla situado en su posición real cosa que no ocurre

49

en la representaci6n gráfica de Mohr.

La poeici6n real del vector T,en el elemento que da

e'l estado tensiona1 mediante valores principales, se o:!!

tiene a partir de la elipse de tensiones trazando el

vector equipolente en dicho elemento tal como se ob-,

serva en ¡a figura 24.Además,si ee efectuan las pro-

yecciones de T s egdn las direcciones de ñ y t,se ob­

tienen las componentes intrinsecas,que corresponden al

plano cuya normal forma un ángulo e, medido en sentido

antihorario ,con e l eje principal 1 .

t---t ... ~

. Fig 24

"2 Si se cons i dera la representaci6n gráfica de Mohr,

figura . 25,y en e lla el vector tensi6n T, cuyo extremo-o

o

Fig 25

50

• __ • _ _____________ •• _. __ .~- - _ ._. _-- - _ _ o

S'na sido'obtenido--~t- la intersecci6n con la circ~

ferencia,de la recta paralela al plano en cuesti6n tr!

zada por el polo M,la proyecci6n del vector T sobre el

eje-D','que es la componente intrÍnéecanormal,ha de ser

la m!sma que la proyección del vector T sobre ñ en la

figura 24.Esto,muestra que el vector tensi6n aparece . . l' '. •

en el grafico de Mohr en una situaci6n simétrica con

respecto al eje Ir a la que tiene en la elipse de ten­

siones (que es l a real) si el eje Ir se hace coincidir

con n.

51

. ¡. '.

,

tAPITULO 3

ANALISIS DE DEFOR!l~ACIONES

DEFOR!l!ACION EN UN MEDIO CONTINUO

.- .. ---.., Se considera ~ medio continu? que en un instante_

cualquiera/tiene-un volumen y una superficie que lo

limita,el cual ocupa una cierta región del espacio •

Se denomina deformación de un medio continuo,a la

variación de configuración del medio entre una ini­

cial no deformada y una nosterior deformada.no consi­

derandose las configuraciones intermedias entre ellas.

Esta deformaci6n,es producida por las fuerzas que ac­

túan sobre el medio continuo.

Para determinar la posici6n de cualquier punto del

medio continuo y con ello su configuraci6n en un ins­

tante determinado,se considera un sistema de re~eren­

cia.En el estudio presente,se adopta un sistema car­

tesiano rectangular.

En la fig 1 se muestran las configuraciones de un

Fig 1

52

a diferencia del que se hace de los sistemas rígidos,

no se considera el intervalo de tiempo que transcurre

. entre las configuraciones inicial y final.

En el estudi o presenterse consideraran únicamente

las deformaciones muy pequeñas.Esto,se traduce en el

requisi to de que los gradientes d.e desplazamiento,han

de ser ·muy pequeños comparados con la unidad.Matemá­

ticamente s e escribe

U i , j <.< 1

Además , serán despreciables los productos de las com-

ponentes de los gradientes de desplazamiento.

ESTUDIO DE LA DEFORN.ACION EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

Sea A.un puntD perteneciente a un medio continuo y B

un punto del en t orno de A, cuyas posiciones después de

la deformaci6n s on A' y B' respectivamente . Si se re­

fie·ren l as posiciones de A. B, A' ,B' al sistema carte­

siano rectangular de la fig 2 ., la expresi6n del vector

AB es

)'i::::::=...---- )ez Fig 2

54

y la de loe desplazamientos de A y B

Ü, = ulI +.U2J + U3k

u + dü = (ul+dul)I+(u2+dU2)J+(u3+dU3)k

Como

ee tiene

d'r = dr + dü

, Graficamente ee tiene

s"

8 _ ___ ~~~.7! / ;( ¿~ (r ., ¡

-r <ir\ i \ /

.'--_....!u!!..-__ ..i'., A A'

Fig 3

eiendo dü ei vector'desplazamiento relativo del punto

B con respecto al punto A,después de la deformación.

Teniendo en cuenta la continuidad de los desplaza­

mientos , y queéstos,son muy pequeños,el de.Elplazamien­

to relativo de un punto respecto de otro pUllde expre­

sarse como

dü {)ii 'O ü Uü

= ---dx + ---dx + ---dx ox, 1 OX~ 2 "',;,x't 3 (1)

55

7 en forma desarrollada

Las expresiones (1)0 (2)se pueden poner en la forma

de producto contraído

dü e grad ü·dr

oü - - ')ü .; u son las componentes del gra-ya que --- , --- , oXl "",-,X

2 'Ox

3 diente del vector desplazamiento - tensor. u,que es un

En forma abreviada se escribe

dU1 e Ui,j dXj

Matricialmente se tendría

'3u . '()ul 'Oul i

dU1 1 dX1 'O xl

--~X3 -ox' 2

dU2" '?)u

2 oU

2 'Ou2

:::J e

~XI i"i; OX2

du) ~~J ()U3

OU3

DXl ~; 'di"" 1

56

. -. ' === . ::= .- . -=--

Teniendo en cuenta que un tensor puede descomponerse

en la suma de dos tensores,uno simétrico y otro bemi­

simétrico,se. tiene en forma indicia1

siendo

U t: 1::

i J

c.J 1(", ) ij = 2 Ui'j - uj'i

Matricialmente en forma desarrollada se tiene

O . 1 "'uI 'VIli? 1 ~ul . 'llu3 -(--- - 1"--) 2 Coi; - 'Zi~) 2 '()x2 Xl

.. 1 vU2 (}u

1 11u2 llu

3 ¡¡) = 2~i~ ---) O -(--- ---) x 2

2 í)x3

oX2

?lu 1>u . lou2 ')u

l 1 3 1, 2i-i;: - i"i;' -(--- - --) O 2 ')x

1 oX2 "

...., 1 IU3 -C----2 ;x.,

57

=- "- ... :.-,........%. .• - "'-~ . .. _- ---------_._-----------~~

Por lo tanto

, Como puede observarse,el vector que da la posicion

del punto Bcon resp~cto al punto A,drJse ha conver­

tido después de la deformación en el vector d'r.Es te

vector,puede ser obtenido a partir de dr,mediante las

(É. di")

v (~ di') B ~--!:!---;B;";.t---+--L.~ 8"

ü

Fig 4

~ransformaciones siguientes:

a)Una traslación,definida por el vector desplazamien­

to ü del punto A.En esta transformación,el vector

dr no sufre variación alguna,ya que permanece para­

lelo a sI mismo y conserva su m6dulo •

. b)Una rotación/definida por el tensor c:: • . c)Una deformación,definida por el tensor ~ •

En la fig.· 4;se detallan cada una de las transforma­

ciones.

TENSOR ROTACION

Se va a demostrar que el efecto nroducido en el vec-

58

tor dr por el tensor W es el mismo que producir{a u-'"' na rotaci6n.Por ello al tensor w se le denomina ten-

sor rotaci6n.

En efeoto,como puede comprobarse,se verifioa que el

veotor que resulta del produoto contraído (~dr ) es

idéntico .al vector que se obtiene en el produoto veo­

torial .fi xdr , siendo -

- 1 -.5l- = '2 rot u

es decir,la mitad del rotacional del . veotor desplaza­

miento.

El veotor Ji se denomina veotor dual del tensor he­

mieimétrico w y se expresa en fUnci6n de él en la for-

ma

de modo que

Jl.1

=ul )2-

.J2 2 = ¡,J13

.513 = c.il21

. . . Puesto que en la Meoanica del sólido rígido el ter-

mino .i2 xdr representaba una rote.oi6n, B8 conoluye que

la segunda transformaci6n menOiOlH1d·a anteriormente es

efectivamente una rotaoi6n alredH-1odor del punto A de

la figura y cuyo vector es ji .Mediante ella,el punto B

pasa a la posici6n B" , no habi~ndo variado el módulo

del vector dr.

· -=:?C . • _

59

,"

~Er'SOR DEFORMACION

En la expresi6n que da el transformado d'r del vector

..:~ _. + t·dr

los dos primeros términos son comUnes a lc's que se ,ob­

tienen en el movimiento del sólido r{gido~por lo que

el tercer término de esta expresi6n será el que de la

deformaci6n del medio continuo.

El tensor E se denomina tensor deformaci6n y su co­

nocimiento determina el estado de deformaci6n de un

medio continuo .

A continuaci6n se analiza el significado de las com­

ponentes del tensor deformaci6n.

Sea el vector

CA = dxt

su transformado será

ds ! E', ~2 é13 \

dx 1 11

dS2!= E: 2l ~2 ~3 :) ds I E3l E32 E33 3 •

que dará la posici6n del punto A' respecto del punto A

después de la deformaci6n . Fig 5.

La componente del transformado sobre OX será

60

· -r. -- .

dSl e de.1

dSl

= éll dx

. .. _. - . = ._._ - _ .. == -

La deformación unitaria segun OX será

E 11

A resultados equivalentes se llega para los otros dos

ejes.

Por lo tanto los. terminas de la diagonal principal

del tensor de deformaci6n representan las 'deformacio­

nes longitudinales unitarias en las direcciones de los

ejes coordenados.Se llaman tambien deformaciones norma­

les.

F1g 5

La componente del transformado del ve=tor CA sobre

Oy será

61

"

luego

, como los angu10s son muy oequeffos

luego

Sea el vector :

su transformado será

dS2

tg (cioc)= di""

oB = dy j

, y. 1e'componente segun el eje OX será

ds' 1 = de'.1

ds' 1 = E12 dy

luego

Al ser las deformaciones pequeñas se tiene

d~ = tg(dP) = C.12

I " Puesto que la deformaci6n de+ an~10 , ,recto XOY es .

dd.. + JI3 se tiene puesto que el tensor deformación es

62

simétrico

Por 10 tanto/las componentes no situadas en la diago­

nal principal del tensor de deformación~representan las

distorsiones angulares .Se denominan deformaciones

tangenciales o cortantes. Cada una de ellas,representa

la mitad de la disminución de los ángulos rectos que

tienen sus lados paralelos a los ejes coordenados.

El signo de las deformaciones es positivo si disminu­

ye el ángulo recto que forman los sentidos positivos de

los ejes coordenados.

De igual modo se pOdría analizar el significado de

las componentes del tensor rotaci6n.En el caso del an­

gulo XOY se tiene que

1 = -(do<- d(3) 2 .

que representa el angulo girado por la bisectriz del , angulo XOY,deformado con respecto a la bisectriz de

dicho ángulo ~tes de la deformación que era rect~.

VEC~OR DEFORMACION U~ITARIA.COMPONENTES INTRINSECAS

La deformación de un vector dr viene dada por el pro­

ducto contraído del tensor de deformación 'por dicho

vector

Como resultado se obtiene otro vector que en general

63

no tiene la direcci6n de dr.

En la figura 6 se considera el plano normal a dr

por su extremo.

Fig 6

Se define como vector deformaci6n unitaria en la di­

recci6n determinada por dr en A al vector e dado por

la expresi6n

e =

siendo n el vector unitario segun dr.

Las componentes intrínsecas del vector deformaci6n

unitaria se obtienen efectuando las proyecciones so­

bre la normal al plano. rr y sobre él. Por lo tanto la

componente normal del vector deformaci6n unitaria lla­

~ada deformaci6n longitudinal unitaria es

e = s.n n

La componente tangencial o cortante unitaria también

64 .

llamada deformacion transversal unitaria viene dada

por la expresi6n

Jt 2 2 = e e

n

ya que se verifica

... e = e + e t n

El convenio de signos que se sigue para e es el n mismo que para ola tensión normal~esto esJPositivo

en alargamientos y~negativo en acortamientos.

CAMBIO DE SIST~A DE REFERENCIA

DEFORMACIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

ELIPSOIDE DE DEFOR.1IfACIO~'ES

REPRESENTACION GRAFICA DE MOHR

DEFORJ'JlACIONES OCTAEDRI CAS

ESTADO PLANO DE DEFORI,jACION

Estos epigrafes son ana1ogos~en su desarrollo~a lo

visto en el análisis de tensiones.

"

65

'.

I~~ARIANTES DE DEFORMACION

Al igual que para las tensiones existen tres inva­

riantes de deformaci6n~es decirJinvariante lineal o

dilataci6n cJbica , invariante cuadrático e invariante

c~bico.Formalmente Bon análogos a los de tensi6n y es

interesante analizar el invariante'lineal •.

Se va a demostrar que dicho invariante representa

la variaci6n unitaria de volumen~que experimenta el

entorno de un punto a causa de la deformación.

Sea un paraleiep~pedo ae_~ristasdxl,dx2.dX3 parale­

las a los ejes coordenados cuyo volumen antes de la

es por tanto

Despú¡s de l a deformaci~~ las aristas son dxí,dX2 ,

dx} dadas 'por l as-expresiones

dx' 1 = (l. en )dXl

dX~ = (l. EÚ )dx2

dx' 3 = (1-4- (33) dx 3

. El volumen del paralele pipe do despues de la defor­

mR.ci 6n es

dV' = dx ' dx' dx' 1 23

dV' = (1-+ En) (1+ E22

) (1+ E33

) dX~ dX;dx;

, La variaci on unitaria de volumen es

66

dV'- dV 9 = --iiv---

, , despues de haber despreciado los productos de unas

deformaciones por otras.

Tambie~ se escribe

e = Eif

e = ui'i

En notación vectorial

e = div Ü

Por 10 tanto si

div Ü = O

es deci~ si ,el campo de desplazamientos es solenoidal,

no habrá cambio de volumen en la deformaci6n.

TENSORES DEFORMACIOJll ESFERICO y DESVIADOR

, Al igual que en el analisis de tensiones,es conve~

niente descomponer ' el tensor deform'acion en la forma

en-ella el primer término representa el tensor esféri-

67

co,también llamado isotropo o hidrostático de carácter­

volum~trico)dado en !Uncion de la dilatacion cubica u­

nitaria e }y el segundo término representa al tensor

desviador dado por la expresion

Puesto que el tensor deformación desviador tiene el

invariante líne.al nulo.dicho tensor da lugar a cam­

bios de. forma pero no de volumen.

COMPATIBILIDAD DE LAS DEFOR~ACIONES

Si se conoce la expresi¿n del desplazamiento u de

los puntos de un medio continuo,en un sistema de re­

ferencia cartesiano,dado como funci¿n continua de las

coordenadas, De determinan mediante derivaci6n las com­

poner.tes del tensor de deformaci6n,de acuerdo con las

expresiones que los relacionan.

·Sin embargo si se parte del conocimiento de las

componentes del tensor deformación/las tres compo­

nentes del vector desplazamiento han de verificar las

ecuaciones

(1)

(2)

68

(6)

lo que exige que el sistema que forman sea compatible.

Mediante derivaciones e"fectuadas en (1) (2K y (lLee.

J.lega a . elE. 22 + ----

" 2 ·x 1

(7)

y de manera análoga otras dos ecuaciones formalmente

iguales a la anterior

0\.1 ot.

E33 a~

E13 ::a-2 + ---- = 2 -----O 2 ()XOx x3 Xl l 3

(8)

1Jl (22 ?lE]3 '7fé23 ~:--2

... ---- = 2 -----O 2 L)XOx 'X x 2 j 2 3

(9)

De (1) ee tiene

y·como

. 69

"

Ir luego

(iO)

enalogamente se tendr!a

(11)

(12)

Las ecuaciones (7) a'(12) se denominan condiciones

r,e compatibilidad de las componentes del tensor de­

farmaci6n.

70

CAPITULO 4 ECUACImlES Cm:STITUTIVAS. ELASTICIDAD

Il'TRODUCCION

El analisia de tensiones . se ·.ha· efectuado en su · tota­

lidad independientemente del análisis de deformacio­

nes.Ademas tampoco se ha considerado el material que

constituye el medio continuo Siendo por tanto aplica­

ble el estudio a todo tipo de materiales.

En la pr~ctica se sabe que como consecuencia de la

anlicaci6n de fuerzas de naturaleza mecánica o térmi­

ca a ios medios continuos/estos se deforman . Este hecho

muestra que existen relaciones entre las diversas va~

riables estáti~as cine~~ticas y térmicas que intervie­

nen.Estas relaciones expresan 10 que se denomina el

comportamiento constitutivo del medio continuo,es de­

cir su comportamiento macroscopico~consecuencia de su

constitucion internaJy las ecuaciones que se obtienen

son las ecuaciones constitutivas .

El comportami ento de los diversos medios continuos

reales al ser sometidos a l a acción de fuerzas es muy

complejo . Por ello las e cuaciones constitutivas no in­

tentan abarcar t odos los comportamientos)sino mas

bien definir cier t os modelos ideales . Estos modelos

son muy ú ti les ya que r eflejan con bastante fidelidad

a los medios continuos reales dentro de un r ango de

fuerzas y t emperaturas definido . Entre estos modelos

se hallan e l s ól ido elástico ideal y el fluido visco­

so ideal.

71

, , . Si no existe i nteraccion entre los procesos mecan~-

cos y térmicos,el análisis que se

teorfa no acopl ada de los medios

efectúa se denomina , continuos . En esta

teor!a~el campo de temperaturas habitualmente se con­

side::a cono.ci do JO bien el problema de conduccion de

calor se resuelve independientemente del problema me­

canico .

Las ecuaciones constitutivas en la teoría no aco­

plada s on seis)y se denominan relaciones tensión de­

formaci on.Di chas ecuaciones relacionan variables está­

ticas como s on l as tensiones con variables cinemáti-

caa tales como velocidades,desplazamientos y deforma­

ciones .

-B"SAYO DE TRACcTOr SU:HE

En Elastici dad las relaciones entre tensiones y de­

formaciones para cualquier material se obtienen en el

laboratori o mediante ensayos ~fectuados con ál .

El ensayo más ampliamente utilizado es el de t racci6n

simple o también de compresi6n de una pieza recta de

·dimensiones normalizadas) denominada probeta y que t ie­

ne l a forma de la f i gura 1

Fig 1

La probeta posee dos marcas situadas a la distancia

a , siendo su secc i 6n re cta circular y de area A en la

72

~.

zona entre.marcas.

En el ae·tracci6n se aplica a la probeta una' fuerza F

dirigida segÚn su propio eje. Como consecuencia de °ello

se . produce el alargamiento de la probetal

el cual

es medido en la zona entre marcas mediante un extensó­

metro.

La fuerza P, que en el ensayo se aumenta gradualmen­

te hasta la rotura de la probeta,produce un estado

tensional en su seno,que es uniforme en cualquiera de

las secciones rectas,en virtud del principio de Saint

Venant.

Si

JI'

A

es la tensión normal y

E. = t1a a

el alargamiento unitario,y se representan los valores

de tT en o:rdenadas y ¡ .en abscisas se obtiene el gr~

fico tensi6n-deformaci6n,que en el' oaso del aoero es el de la Fi'gura 2.

zolJR PLAST/CA

Fig 2

73

En el gráfico se tienen como puntos notables los si..!

guientes:

P: L{mi te de .pr.oporcionalidad

E:L!mite de elasticidad

F :L!mite su~erior de fluencia s

F i :.L{mi te inferior de fluencia

M:Punto de t ensión máxima o de rotura

R:Punto de rotura real de la probeta

En 18. figura 2 se distinguen dos zonas:la elastica o

de deformaciones no perm~~entes y la plastica o de de­

formaciones permanentes . En la primera la probeta recu­

pera las dimensiones iniciales al cesar l~ aplicaci6n

de la fuerza mientras que en la sel!Ul1da no.

:SI AT!'ICTD/. D LP"EA.L. 1::Y DE RCOKE

En la zona de elasticidad proporcional ol{neal se

verifica la ecuación

c onocida como ley de HOOKE en la que E es una cons­

tante que depende del material y que se denomina m6-

dulo de elasticidad o m6dulo de YOU}TG .

DEFORMACIorES TRANSVERSALES

En el ensayo de traccidh

miento de l a probeta en la

, simple) ademas del alarga-

direccion de la :f\i.erza a-

plicada) se produce el acortamiento de las dimensiones

transversales .

74

_._--------------'------------------_ .• . _-_.

Para estudiar el acortamiento de las dimensiones

transversales se considera un prisma rectangular de di-

mensiones a,b y c sobre el que se

en la dirección de la dimension a

. . ejerce una traccion

que se toma como eje

1 Y ~jes 2 ! 3 los paralelos a las direcciones en las

que se miden las dimensiones b y e respectivamente~

En la figura 3 se observan los efectos que produce ,

en el prisma la aplicacion de la fUerza F

t r , e : '-i'n---t ... y , , ~ L.._J .

...... 64-

Fig 3

Las deformacione s unitarias de las dimensiones trans­

versales b y c

Ac -c

que son acortamientos,son iguales en el caso de mate- .

riales isotropos,y su relacioh con el alargamiento

longitudinal unitario

es constante dentro de la zona e lástica de cada mate~

rial)como determinó experimentalmente POISSON . Dicha re­

lación es

75

;.

•

siendo ~ el coeficiente de POISSON,e1.cua1 es constan­

te para cada materia¡.

" Puesto que El es un alargamiento y E2

' E3 son a­

aortamientos se tiene

E = -;:,~ 2 E

E = -~~ .3 E

Como la dilatación cúbica unitaria es

se tiene

observándose que g = ° si v =0,5

" El coeficiente de POISSON para materi"a1es isotropos

es aproximadamente igual a 0,25. , .

Si en vez de una "traccion se considera una comp:~(~sion

se produciría un acortamiento de la dimensión longitu­

dinal a y un a1arpamiento de las dimensiones tran3ver­

salee b y c.

76

,-

t

LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS

Para generalizar la ley de HOOKE se consideran me­

dios isotropos)y se tiene en cuenta el principio de

sup~rposición válido en elasticidad 1{nea1.

En los medios isotropos las direcciones principales

de tension y deformaci6n coinciciden.

Si se considera un pistema de referepcia ouyós.ejes

eón paralelos a. las direcciones princinales,en ellos

los tensores tensión y deformaci6n son diagonales.Las

relaciones que se obtienen entre sus componente~a1

considerar un paralelepinedo de aristas naralelas a

las direcciones principales.) son las llamañe.!! leyes de

HOOKE,.,generalizadas en el sistema de refere:'icic ci.ta­

do.

Las expresiones de dichas leyes son

El = i r cr 1 v (cr2

.¡. (f3)]

t 2 - i [cr2 - ~(crl'¡' <r 3 )1

E3 = ~ [ 0'3 - H<rl .¡. CT 2)]

,i se considera un sistema de ~eferencia)cuyos ejes

tienen direcciones no coinciden~ds con las principales.)

las leyes de HOOKE generalizadas desnués de efectuar

una transformacion de coordenadas tienen la forma

77

siendo

t. 12 t '" ~ 12 21.7

E G = 2TIP'J'

el mÓdulo de elasticidad transversal o módulo de rigi­

dez el cual-depende del material que constituya el me­

dio.

-Como puede observarse/las anteriores ecuaciones dan

las comuonentes del tensor deformación en un puntoJen

funci~n de las del tensortensi~n en el mismo punto.

78

ECUACIONES DE LAME

Si a partir de las leyes de HOOKE generalizadas se # obtienen las componentes del tensor tension en fUn~

ción de las del tensor deformacio~ se tiene

1:. JE E En l.l = u:nrn=2ryg .¡. y¡~

~E .¡. .E" E:' 22 t:22 = "TIHJT¡::2J} g In

"C 12 = 2G E.12

t" 13 := 2G 1;.13

~ haciendo

ae obtiene un con junto de seia ecuaciones que se do­

minan ecuaciones de LAME y Q ~ Y G coeficientes do LAME o

79

80

--

, En notae10D 1nd1c1al •• •• cr1ben •

. . . , -Si .e determina la pr •• i6n,pueeto que •• ta ••

-p--

1:11

.

T .-

t

c:

• -CO~~'por ~efinic1on .1 m6dulo 4e elasticidad Tolumé-."

t,ieo •• "

¡: .. =E Q

.e tiene

x .. ).o!>~G

en funci6n de 108 ©oef1c1entu {le Loo: o .-,

• •• tJ ...

- -"