MECÁNICA - Apuntes 2º IM

••., I

.E, T, S, de ~ngenierosde Minas

MECAN'CA

Félix Mayoral GonzálezAlfonso Moraño Rodríguez

J osé Muñoz Rodríguez

LECCIÓN 1

1.1 Cinemática del sólido rígido. Traslación y rotación

Los sistemas de puntos, sean materiales o no, según sea la distribución de sus puntos

pueden ser discontinuos, si la distribución no es continua y continuos si lo es.

Los sistemas de puntos, tanto discontinuos como continuos, teniendo en cuenta la

posición relativa entre ellos pueden ser rígidos, si no varía la posición relativa entre

ellos y deformables si varía.

La posición de un sistema de puntos respecto de un sistema de referencia, queda

definida por medio del vector de posición de cada uno de sus puntos. Si el sistema de

puntos es rígido, la posición de cualquier punto del mismo, queda determinada

conociendo la posición de tres de sus puntos no situados en línea recta. Cualquier otro

punto forma con los tres anteriores un tetraedro invariable respecto del sistema de

puntos, lo que permite determinar de manera inequívoca la posición de dicho punto

respecto de los tres primeros.

A los sistemas de puntos materiales continuos y rígidos, se les denomina sólidos rígidos

o sólidos ideales, por considerarlos entes de razón que sustituyen a los sólidos naturales

con mayor o menor aproximación

La determinación de cualquier movimiento del sólido rígido, como se demostrará más

adelante, se reduce a la determinación de dos movimientos fundamentales, un

movimiento de traslación y un movimiento de rotación.

El movimiento de traslación, se caracteriza porque las velocidades de todos los puntos

del sólido rígido son vectores iguales, quedando determinado por la velocidad de uno de

ellos, que se denomina vector traslación.

1-1

Si Pi, P2, ... ,Pn son puntos del sólido rígido enuna posición, figura 1.1, y P'l, P'2, ... .P",

los mismos puntos en otra posición, las trayectorias descritas por todos ellos son iguales

Fig. 1.1

El movimiento de rotación, se caracteriza porque permanecen fijos dos puntos del

sólido rígido y con ellos los de la recta que los une. En efecto, sean A y B los dos

puntos fijos y C un tercero situado sobre la recta AB. Por hipótesis, en la rotación A y B

no cambian de posición. Si C pasase a C', fuera de la recta AB, resultaría que

AC' + C'B sería mayor que AC + CB en contra de la hipótesis de indeformabilidad.

Fig. 1.2

Los puntos del sólido rígido, figura 1.2, describen en su movimiento circunferencias

contenidas en un plano perpendicular al eje y con el centro B situado sobre el mismo ya

1-2

que, ABP es en todo momento un ángulo recto por la indeformabilidad del sistema y

por la misma razón BP es constante.

La rotación alrededor del eje está determinada por medio del vector deslizante

velocidad angular ro o vector rotación, cuyos elementos son:

Módulo, I ro I = de / d t , donde e (t) es el ángulo que describen los puntos del sólido

rígido durante la rotación, medidos en el plano de su movimiento.

Dirección, la del eje de rotación.

Sentido, el de avance de un tomillo dextrógiro al girar en el sentido del movimiento.

La velocidad del punto P, según se observa en la figura 1.2, es

vp = ro x rp

puesto que los vectores v, y ro x rp tiene iguales módulos, direcciones y sentidos ya

que roR es igual a ro rpsen <p.

Teniendo en cuenta que

-Vp = OJ x AP

o bien

vp=PAxOJ

se concluye que la velocidad de un punto coincide con el momento estático de OJ

respecto del punto

1-3

1.2 Movimiento general los sistemas rígidos

En la teoría de los sistemas de vectores deslizantes, se demuestra la propiedad

característica de un campo de momentos así como su recíproco. A continuación, se va a

utilizar esta propiedad para desarrollar la cinemática del sólido rígido.

Sea A YB dos puntos de un sólido rígido cuyos vectores de posición son DA y DB Y- -

sus velocidades VA y VB _ Dado que el sólido es rígido, es invariable la distancia entre

los puntos A y B, por lo cual será nula la derivada con respecto al tiempo del cuadrado

de la distancia entre A y B, es decir,

Derivando respecto del tiempo se obtiene

Pero

AB = OB - OA

luego

- dAB - d (OB - OA)AB - -- = AB - ---..::_-_..:...dt dt

- dAB - dOB - dOAAB--=AB--- AB---

dt dt dt

Por tanto

- -VB' AB = VA' AB

y teniendo en cuenta el vector unitario u según AB

1-4

VB' u = VA' U

Por tanto, la proyección de la velocidad de todos los puntos de una recta, sobre dicha

recta es constante. De acuerdo con el recíproco de la propiedad característica del campo

de momentos, se concluye que el campo instantáneo de velocidades del sólido rígido

es un campo de momentos.

Todo campo de momentos es creado, según se sabe, por un sistema de vectores

deslizantes. En particular, el campo 'instantáneo de velocidades del sólido rígido, es

creado por un sistema de vectores deslizantes, que en un punto cualquiera A se reduce a

una resultante general que se representará por el vector rotación ai y a un momento

resultante, que será el vector de campo en dicho punto, y que se representará por el

vector velocidad instantánea vA, puesto que en este caso, el campo de momentos es el

campo instantáneo de velocidades del sólido rígido. Según se vio al estudiar los

sistemas de vectores deslizantes, la resultante general ea es un vector equipolente

cualquiera que sea el centro de reducción. A continuación se analiza la significación de

esta resultante general.

En otro punto cualquiera B, el momento resultante será su velocidad instantánea. Por la

teoría de vectores deslizantes se sabe que:

V B = V A + to x AB

la velocidad instantánea de B se obtiene sumando a la de A el producto vectorial

ID x AB.

Para cualquier otro punto e, se obtendría

VC=VA+IDXAC

1-5

Por tanto, el movimiento instantáneo del sólido rígido se determina en el punto A, por

medio de un movimiento de traslación de vector v A, Ypor un movimiento de rotación

de vector O) alrededor de un eje que pasa por A. El movimiento de traslación de vector

vA es el mismo para todos los puntos y el movimiento de rotación se efectúa alrededor

del eje citado, dando en cada punto P un vector O) x AP , es decir, para B

-VB = VA + m x AB

coincidente con el resultado anterior.

Cuando se dice que el movimiento instantáneo del sólido rígido está determinado en A

por el vector traslación v A y el vector rotación ro, es porque el mismo movimiento

puede determinarse de infinitas maneras. Así, si la reducción del sistema de vectores

deslizantes se hace en B, se tendrá un vector rotación O) equipo lente y el vector

traslación o vector de campo en B, que es VB. El vector campo en el punto P, o

velocidad de P, es el momento resultante del sistema de vectores deslizantes, es decir

v p = V B + O) x BP

Por tanto, ahora se describe el movimiento instantáneo del sólido rígido en B, por el

movimiento de traslación defmido por el vector traslación vB, el mismo para todo

punto, y por el movimiento de rotación definido por el vector rotación O) alrededor de

un eje que pasa por B.

Se ha demostrado el teorema de Chasles: " El movimiento general del sólido rígido

puede descomponerse en dos movimientos elementales, el primero de traslación y el

segundo de rotación". El movimiento de traslación, está defmido por el vector traslación

y el movimiento de rotación por el vector rotación O) deslizante, equipo lente, que en

cada caso pasa por el punto que se ha utilizado para defmir el movimiento de traslación.

Si el sólido rígido tiene un punto fijo 0, el movimiento en dicho punto se reduce a un

movimiento de rotación defmido por un vector rotación cuya recta soporte pasa por 0,

1-6

ya que la velocidad del punto 0, al ser fijo, es nula. Con ello queda demostrado el

teorema de Euler: " El movimiento de un sólido rígido en el que se mantiene fijo uno

de sus puntos, es un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por dicho

punto".

Puesto que los vectores rotación instantánea en diferentes puntos son equipolentes, el

módulo del vector rotación instantánea es un invariante.


V B = V A + (j) x AB

se obtiene

VB • ú) =v A • ú)

y en general

v· oi+Cte

Luego el producto escalar de v por to , es un invariante, denominado invariante

escalar.

El cociente de los invariantes anteriores

v-o:v =--m(j)

es también un invariante, denominado velocidad mínima.

Los puntos en los que la reducción instantánea da como resultado que v sea colineal

con co , defmen una recta denominada eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

También, es denominado eje helicoidal instantáneo, al ser además de eje de la rotación

instantánea, la dirección de la traslación instantánea.

En la cinemática del sólido rígido se tienen los siguientes tipos de movimientos:

1-7

- si' m;t 0,m· v;t 0, en cualquier punto se tendrá el correspondiente vector traslación v, y

el vector rotación "CO equipolente. En el eje instantáneo de rotación y deslizamiento los

vectores v es paralelo a o .Es el movimiento más general.

- Si m;t 0,m· v = 0, en cualquier punto se tendrá el correspondiente vector traslación v,

y el vector rotación "CO equipolente perpendiculares entre si. En el eje instantár.eo de

rotación, se tendrá solamente el vector "CO. El movimiento en los puntos del eje

. instántaneo es una rotación.

- Si ffi=o, ~;tO, en cualquier punto se tiene solamente v. El movimiento es una

traslación.

- Si ffi=o, v=O, no existe movimiento.

El conjunto de los sucesivos ejes instantáneos de rotación y deslizamiento, defmen, con

respecto a un sistema de referencia fijo en el espacio, una superficie. reglada

denominada axoide fijo, y con respecto al sólido rígido, otra superficie reglada

denominada axoide móvil.

En cada instante, los dos axoides tienen una generatriz común, que es el eje helicoidal

instantáneo. El axoide móvil tiene un movimiento de traslación instantánea según la

generatriz común y un movimiento de rotación instantánea alrededor de la misma

generatriz. Como el axoide móvil y el sólido rígido están solidariamente unidos, el

movimiento del primero defme el del segundo.

Si el sólido rígido tiene un punto fijo, el eje instantáneo de rotación pasa por él, no

existiendo el movimiento de traslación instantánea. Los dos axoides serán dos

superficies cónicas de vértice el punto fijo y el axoide móvil tiene un movimiento de

rotación instantánea alrededor de la generatriz común, que pasa siempre por el punto

fijo.

Puesto que

1-8

- --vr =VA +ro xAP

al derivar con respecto al tiempo, se obtiene

- - dro - - dAPap = a , +-xAP +rox--

dt d t

y de ahí

- - dro----ap = a., +-xAP +ro x (roxAP). dt

(1)

La ecuación (1) muestra la relación que existe entre las aceleraciones de dos puntos de

un sólido rígido, siendo dro la aceleración angular instantánea del movimiento.dt

1.3 Centro de aceleraciones

Para ver si existen, en un instante, puntos de aceleración nula, se considera un sistema

de referencia cartesiano ligado al sólido rígido, de origen en uno de sus puntos, el A,

figura 1.3 .

La aceleración de un punto cualquiera P del sólido rígido es

--dro----ap =a , +-xAP+ro x( ro x AP)

dt(2)

zp

arodt

A yx

Fig. 1.3

1-9

Refiriendo las componentes de la ecuación (2) al sistema cartesiano citado, con la

particularidad de tomar el eje z coincidente con m, resulta:

m=OJk

OJ = !l+mj+nk

-OP=xi+yj+zk

Sustituyendo en la expresión de la aceleración, e igualando a cero las tres componentes

resulta:

A+mz-ny-w2 x = O}J..i+nx-l z=to' y = °u+/y-mx = °

donde el determinante

_m2 -n m~= n _m2 -1

-m O

que es, en general, distinto de cero. En consecuencia, generalmente, hay en cada

instante un punto, y sólo uno, en el cual se verifica que su aceleración es nula. Dicho

punto es el centro de aceleraciones.

1.4 Sólido en contacto con una superficie

Sea un sólido rígido S, móvil sobre una superficie S l' fija, figura 1.4, con la que

mantiene un punto de contacto P que varía con el tiempo.

1-10

Fig. 1.4

El movimiento del sólido rígido en el punto de contacto P está determinado por el

vector traslación instantánea Vp y por el vector rotación instantánea oi,

-La velocidad instantánea v p del punto de contacto P, ha de estar contenida en el plano

tangente n , para que no exista penetración entre las superficies en contacto, en contra-

de la hipótesis de rigidez del sólido S y de la superficie SI. La velocidad instantánea Vp

del punto de contacto se denomina velocidad de deslizamiento.

La velocidad angular instantánea úJ puede descomponerse según ~l plano 7t y la normal

úJ = úJr + {j)p

A úJp se la denomina componente de pivotamiento y a aJr componente de rodadura.

Si el sólido rígido desliza, el vector traslación Vp no es nulo y el punto de contacto no

pertenece al eje instantáneo de rotación, salvo que Vp sea colineal con úJ (movimiento

helicoidal) para lo cual es preciso que no exista pivotamiento.

1-11

Si el sólido rígido no desliza, el vector traslación Vp es nulo, y el punto de contacto

pertenece al eje instantáneo de rotación. El movimiento instantáneo es de rotación

alrededor de un eje que pasa por P y, en el caso de no existir el pivotamiento, es de

rodadura pura o rodadura sin deslizamiento.

1-12

LECCIÓN 2

2.1 Movimiento Plano

Se caracteriza porque los puntos del sólido rígido se. mueven permaneciendo sobre

planos fijos paralelos entre sí. Por la indeformabilidad del sólido rígido, el movimiento

plano está determinado con sólo conocer el de tres puntos, no situados en línea recta, de

uno de los planos del haz y que se denomina plano director.

Sean A, B Y e tres puntos del sólido rígido en movimiento plano, pertenecientes al

plano director y no situados en línea recta. Se tendrá

V B = V A + OJx AB

Ve =VA +OJxAC

-Por la defmición del producto vectorial, ro es perpendicular a VB- VA Y a ve - VA.

Pero al estar los vectores VA, VBy Ve contenidos en el plano director, el vector ro será

perpendicular a dos rectas situadas en plano director, luego lo será al propio plano

director.

Puede llegarse a la misma conclusión con sólo tener en cuenta que cuando un plano gira

alrededor de un eje que no es perpendicular al plano, la posición final de este no

coincide con la inicial, en contra de la hipótesis del movimiento plano.

Puesto que el vector OJ es perpendicular al plano director, la velocidad mínima Vro, es

nula, y el movimiento instantáneo se reduce en el eje instantáneo de rotación a un

movimiento rotación pura, sin traslación, alrededor de un eje perpendicular al plano

director.

La velocidad y la aceleración instantáneas de un punto cualquiera se obtienen a partir

de las de otro punto A mediante las ecuaciones

2-1

v p = V A + ea x AP

- - dOJ - -ap =a , +-xAP+OJ2 PA

dt

El punto de intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director, se

denomina centro instantáneo de rotación y es el único punto que en cada instante

tiene velocidad nula.

Si 1 es el centro instantáneo de rotación, la velocidad de un punto cualquiera es

-VP =OJxIP

Al ser vp perpendicular a IP , se deduce que la normal a la trayectoria de P pasa por el

centro instantáneo de rotación. Debido a ello, es posible determinar su posición a partir

de las tangentes a las trayectorias de dos puntos, como intersección de las normales a

dichas trayectorias.

Los lugares geométrico s del centro instantáneo de rotación con respecto a un sistema de

referencia fijo en el espacio y con respecto al sólido rígido, se denominan curva polar

fija o base y curva polar móvil o ruleta, respectivamente. Estas curvas son las

intersecciones de los axoides fijo y móvil, que en este caso son superficies cilíndricas,

con el plano director.

Teniendo en cuenta las curvas polares, el movin.iento puede considerarse como un

movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, al estar la ruleta ligada al sólido

rígido.

2.2 Movimiento del centro instantáneo de rotación

Sean B y R la base y la ruleta del movimiento, ambas en el mismo lado de la tangente

común, y cuyo centro instantáneo de rotación es 1 en el instante t, figura 2.1.

2-2

o

T

Fig. 2. 1

Transcurrido el tiempo M, los puntos en contacto de By R serán II en la base e h en la

ruleta, de modo que los arcos 1 II e 1 Iz son iguales ya que se pasa de I a 11 e h por

medio de rotaciones elementales instantáneas continuas sin deslizamiento. Por tanto, el

centro instantáneo de rotación recorre la base y la ruleta con la misma velocidad w,

denominada velocidad propia del centro instantáneo de rotación o también velocidad

de sucesión del centro instantáneo de rotación, la cual está defmida por

- 11w = Lim __ 1!;.Ho tl/

Esta velocidad cuya dirección es la de la tangente común a B y R en el centro

instantáneo de rotación, no es la del centro instantáneo de rotación, que es nula en cada

instante, sino la de un punto ficticio que recorre base.

Puesto que

dividiendo por tlt se obtiene

tlrp _ tl0\ _ tl0M tl/ tl/

Al ser iguales los arcos 11 I e 11 2 , se tiene

/).s = R, tl0\

/).s = R, tl0

2-3

siendo R¡¡y R, los radios de curvatura de la base y de la ruleta respectivamente.

Por tanto

. I1cp . l1s 1 1Lim - = Llm- (- --)11/-+0 I1t 11t-+o I1t R, Rb

De donde se deduce que

1 1co = w (- --)s, s,

es decir,

s, s,W=ú)-~-

R, - R,

Sila base y la ruleta se encuentran a distinto lado de la tangente común, se obtiene

2.3 Aceleración del centro instantáneo de rotación

Sean B Y R la base y ruleta del movimiento, figura 2.2.

R

,,,,," 1",,

1 "

- -'---

Fig.2.2

2-4

En el instante t, el centro instantáneo de rotación es 1, punto de tangencia de base y

ruleta en dicho instante y la velocidad angular es 0).

El punto 1 tiene velocidad nula en el instante t por ser el centro instantáneo de rotación,

pero su aceleración es distinta de cero ya que en el instante t + ~t, ha pasado a la

posición lit, siendo en dicho instante el centro instantáneo de rotación el punto l' y su

velocidad no es nula.

Por tanto,

-v¡=O

-v {"=0)' x I' 1"

donde 00' es la velocidad de rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por I' y

es normal al plano del movimiento.

Por definición:

- . v¡"-v¡ar=Lim+r+-r-:M~o ~t

OJ'x1' 1"= Lim---

I1Ho ~t

. ro'x(I'1+11If)=Lnn----'-----.:-I1Ho ~t

Hallando los límites, se obtiene

( -J (-J- 1'I - 1'1 - - --Lim ro' x - = 00 x Lim - = 00 x (-w) = w x roI1t~o ~t l1t~o ~t

donde w es la velocidad propia del centro instantáneo de rotación

2-5

( -' J (- J- / 1" - / /" - -Lim 0)' x -- = O) x Lim -- = O) x v = O61->0 M D.t->o ¡}.t

Por tanto, la aceleración de centro instantáneo de rotación esta dada por

a,=w x ro

Su módulo es wro, tiene como dirección la normal común a la base y a la ruleta, y

sentido hacia la ruleta.

2.3 Circunferencias de inversiones e inflexiones

Sean B Y R la base y ruleta del movimiento y un sistema de coordenadas polares, de

polo el centro instantáneo de rotación 1 y eje polar la tangente común a B y R en el que

las coordenadas de un punto P son r y e, figura 2.3.

y

t",-/

J/_-':J.../ 1"

/ "/ \'/ \ \I "I ~~,,~~~~ __~ __-. __~T~\\,-," ./---",-

x

B

Fig.2.3

La aceleración de un punto cualquiera P, teniendo en cuenta el centro instantáneo de

rotación 1es

- - dco - -a p = al + - x IP + O)2 PI

dt

2-6

Proyectando ap sobre la tangente y la normal a la trayectoria de P, cuyos vectores- - -

unitarios respectivos son t y n, el sentido de t está obligado por el de w, y teniendo en

cuenta que

al = w x ea

se obtienen las componentes tangencial y normal de la aceleración de P. Por tanto,

aT = (¡) r + {¡)W cos ()

an = o/ r - úJW sen ()

La circunferencia de inversiones es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil

que en un determinado instante tienen nula la componente tangencial de la aceleración.

Al ser en estos puntos

dv =0dt

el módulo de la velocidad pasa por un valor extremo.

Por tanto,

OJ r + {¡)W cos () = O

o bien

OJwr =-- cos ()

OJ

que es la ecuación de una circunferencia de diámetro mw / co.

En coordenadas cartesianas es

2 2 úJw-x +y =--x

OJ

2-7

La circunferencia de inversiones y w, se hallan en el mismo lado de la normal común a

base y ruleta en el caso de que ea y ea tengan el mismo sentido, y degenera en una

recta, la normal común, en los instantes en que se anula ai.

La circunferencia de injlexiones es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil

que en un determinado instante tienen nula la componente normal de la aceleración. Al

no ser nula la velocidad en estos puntos, el radio de curvatura en ellos es infinito, por lo

que las trayectorias de los diferentes puntos del plano móvil tienen en la circunferencia

de inflexiones un punto de inflexión.

Por tanto

oir -(OW sen (J= O

y se obtiene

Wr=-sen(J(O

que es la ecuación de una circunferencia de diámetro wk».

En coordenadas cartesianas

2 2 Wx +y =-y(O

La circunferencia de inflexiones está situada siempre en el mismo lado de la tangente T

que la ruleta.

Las circunferencias de inversiones e inflexiones se cortan en los puntos 1y J. El punto J

es el centro instantáneo de aceleraciones ya que las componentes normal y tangencial de

la aceleración son nulas. El punto 1, centro instantáneo de rotación, en cambio, tiene

aceleración distinta de cero.

2-8

2.4 Determinación gráfica y analítica de velocidades y de aceleraciones

a. Velocidades

Conocidas en un instante la velocidad de un punto A y ·la dirección de la velocidad de

otro punto B, se trata de determinar gráfica y analíticamente el estado de velocidades en

el instante considerado.

Como

V B = V A + to x AB (1)

gráficamente, se tiene, figura 2.4

Fig.2.4

De la figura 2.4 se obtienen los módulos y los sentidos de v B y co .

Una vez determinado el vector to , queda determinado el estado de velocidades en el

instante considerado, ya que para un punto cualquiera P se tiene

VP = VA + co x AP (2)

obteniéndose de (2), gráficamente, el módulo, la dirección y el sentido de vp .

2-9

A partir de la ecuación (1), analíticamente, se obtienen dos ecuaciones escalares al

multiplicar escalarmente ambos miembros de la ecuación por dos vectores unitarios

perpendiculares entre si, que permiten hallar los módulos de vB y OJ. SUS sentidos se

obtienen del gráfico de velocidades. Para un punto cualquiera P, las dos ecuaciones

escalares que proporciona la ecuación (2), dan las componentes de .vp en las

direcciones y sentidos de los vectores unitarios.

En cualquier caso, los productos escalares por los dos vectores unitarios (proyecciones

según dos direcciones perpendiculares), se obtienen de acuerdo con la respectiva

ecuación de velocidades y con el auxilio del gráfico de velocidades correspondiente.

Una determinación gráfica basada en la propiedad característica del campo instantáneo

de velocidades del sólido rígido

VA'U=VB'U

es el que se muestra en la figura 2.5, en la que se obtiene la velocidad de un punto

cualquiera P, previa determinación de la del punto B.

Fig.2.5

Otra determinación gráfica de velocidades es la se efectúa teniendo el centro instantáneo

de rotación 1 del movimiento.

Puesto que para los puntos A y B se tiene

2-10

-VA =úJxlA (3)

(4)-Ve = ea X lB

se obtiene graficamente la posición del punto 1 mediante la intersección de las normales

a las direcciones de las velocidades de A y B. Una vez hecho esto, se construye la figura

2.6. .>:VA ,,A I

\.,~

.' I\ ....---- B.,..:,..- I - •..•\.... .•. -\ I ~, ' , B

, I , ' , ., -' , "'.~·~r-' ,,"< , ...,.... ,,', " ", I , ,,'" p, ' ,,, ~'" "......... v

•• ~ p1 ----- --- _

Fig.2.6

de la que se obtiene gráficamente los módulos y sentidos de Ve y OJ, así como la

velocidad de un punto cualquiera P, ya que

-VP = ea x lP (5)

Analíticamente, de (3) y (4) Y(5), se obtienen las ecuaciones escalares

Va = ea lB

v, = OJ IP

-

a partir de las que se hallan los módulos de los vectores OJ, Ve, y V P, previa la

determinación de la posición de 1, y sus sentidos respectivos a partir de las ecuaciones

(4) Y(5).

2-11

a. Aceleraciones

Conocidas en un instante la velocidad y la aceleración de un punto A y la dirección de

la velocidad de otro punto B y, además, la dirección de la aceleración del punto B, o

bien su trayectoria, se trata de determinar gráfica y analíticamente el estado de

aceleraciones en el instante considerado.

Puesto que

- - doi - -as=aA+-xAB+o/ BA

dt(6)

en el caso de conocer la dirección de la aceleración del punto B, gráficamente, se tiene

la figura 2.7

Fig.2.7

De la figura 2.7, se obtienen los módulos de a s y ()) así como sus sentidos.

En el caso de conocer la trayectoria del punto B, y por tanto su radio de curvatura R,

teniendo ,en cuenta que

2- dvs T Vs Nas=-- +-

dt R

se tiene la figura 2.8.

2-12

Fig.2.82

1 _VB N.puesto que se conoce e vectorR

•.De la figura 2.8, se obtienen los módulos de QB y O) así como sus sentidos.

Una vez que se determina 0), queda determinado el estado de aceleraciones en el

instante considerado, ya que para un punto cualquiera P se tiene

- - dto - -ar=QA +-x AP+0)2 PA

dt(7)

obteniéndose, gráficamente, el módulo, dirección y sentido de la aceleración de P.

A partir de la ecuación (6), se obtienen analíticamente, dos ecuaciones escalares al

multiplicar escalarmente ambos miembros de la ecuación por dos vectores unitarios•

perpendiculares entre si, que dan los módulos de QB y to . Sus sentidos se obtienen del

gráfico de aceleraciones. Para un punto cualquiera P, las dos ecuaciones escalares que

proporciona la ecuación (7) dan las componentes de a» en las direcciones y sentidos de

los vectores unitarios.

En cualquier caso, los productos escalares por los dos vectores unitarios (proyecciones

según dos direcciones perpendiculares), se obtienen de acuerdo con la respectiva

ecuación de aceleraciones y con el auxilio del gráfico de aceleraciones correspondiente.

2-13

La determinación gráfica del vector o/ BA, considerado anteriormente, se efectúa de

acuerdo con la figura 2.9.

•.,,,,I

I ••••.A I,:.:~---

,I,,,----,-

ro2BA B

Fig.2.9

Puesto que

V B = V A + OJ x AB

se traza una semicircunferencia de diámetro AB, y se lleva sobre ella, a partir de B, un

segmento de longitud 1; B - ; A 1 que la corta en M. La proyección de M sobre AB defme

el extremo del vector ro2 BA cuyo origen es B.

2-14

LECCION 3

3.1 Composición de movimientos

Sea un sólido rígido móvil con respecto a dos sistemas de referencia SI, fijo, y S2,

móvil con respecto a SI, representados por los triedros cartesianos ortogonales cuyos

orígenes respectivos son O y 01, respectivamente, figura 3.1.

zz

y

Fig.3.1

El movimiento de S2 respecto de SI, se denomina movimiento arrastre, el del sólido

rígido respecto de S2 movimiento relativo y el del sólido rígido respecto de SI

movimiento absoluto.

Cada uno de los movimientos está determinado, como se ha visto anteriormente, por un

movimiento de traslación y un movimiento de rotación.

Mediante la composición de movimientos se determina el movimiento absoluto del

sólido rígido en función de los movimientos componentes, de arrastre y relativo. Una

vez hecho esto, puede determinarse el movimiento respecto de un tercer sistema de

referencia y así sucesivamente.

3-1

3.2 Velocidad en la composición de movimientos

Sea un sólido rígido móvil con respecto a dos sistemas de referencia SI, fijo, y S2,

móvil con respecto a SI, representados por los triedros cartesianos ortogonales cuyos

orígenes respectivos son O y 0[, respectivamente, figura 3.2.

Fig.3.2

De la figura 3.2, se tiene

Derivando respecto al tiempo, se tiene

- -dr dOD¡ dr,= +--dt dt dt


- -dr, - - dr,- = OJ X r¡ + (-)dt dt r

3-2

ya que la variación del vector r] en el arrastre es debida únicamente al movimiento de

rotación, se obtiene

v = Va] + ea X f¡ + v- (1)

siendo

Va = Val + to X r1

la velocidad de arrastre y V r la velocidad relativa.

La ecuación (1) da la velocidad de un punto P del sólido rígido en la composición de

movimientos.

3.3 Aceleración en la composición de movimientos

Teniendo en cuenta la ecuación de la velocidad de un punto en la composición de

movimientos

V = vo¡ + to X f] + v-

y derivando respecto del tiempo, se obtiene

- - - -dv dvo, doi - - dr, dv,-=--+-xr¡ +úJx--+--~ ~ ~ ~ ~

y puesto que

- -dr, - - dr,- = OJ X f¡ + (-)dt dt r

- -dv, - - dv,- = OJ X Vr + (--)dt dt r

se obtiene

3-3

- - doi - - - - - - -a = ao 1 + - x r¡ + O)x (O) xr, ) + 2úJx v r + a r

dt(2)

siendo

- - dio - - - -a; =ao, +-xr¡ +úJx(O)xr¡)

dt

la aceleración de arrastre,

a e = 20)xvr

la aceleración complementaria o de Coriolis, y a, la aceleración relativa.

La ecuación (2) da la aceleración de un punto P del sólido en la composición de

movimientos.

3-4

LECCION 4

4.1 Centro de masas

Sea un sistema de puntos materiales p¡, P2, P3, '" ,Pn,. de masas mi, m¿ mi, "" fin, Y- - - -

cuyos vectores de posición respecto de un punto O son r¡, r 2, r 3, "" r n .

Se defme el centro de masas C del sistema de puntos materiales como el punto respecto

del cual se verifica que

Como

se obtienen n¿ m¡r ¡ - (¿m¡) -, e = O1 1

luegon

¿m¡r¡re = --'....1 --

nr-1

(1)

La expresión (1) da el vector de posición del centro de masas de la distribución respecto

del punto O,

El centro de masas C es único,

Si se considera un triedro cartesiano ortogonal con ongen en el punto O, las

coordenadas del centro de masas son

4-1

Si la distribución es continua se tiene

re

en vez de (1) y para las coordenadas las siguientes expresiones

Xcfxdmfdm

Yc =fydmfdm

Zc =fzdmfdm

Las integrales son de línea, de superficie y de volumen si el sistema material es lineal,

superficial y volumétrico respectivamente.

Para sistemas de puntos materiales, continuos o no, que presenten simetría, según la

regla de Arquímedes, el centro de masas se halla en el elemento de simetría

correspondiente, punto, recta o plano

Para sistemas de puntos materiales, continuos o no, constituidos por diferentes partes de

las que se conocen las posiciones de sus respectivos centros de masas, según el

principio de descomposición, el centro de masas del sistema se obtiene como si fuera

un sistema de puntos materiales, cuyas masas son las de cada una de las partes situadas

en sus respectivos centros de masas.

4-2

4.2 Teoremas de Pappus y Guldin

En el caso de sistemas de puntos materiales continuos, planos y homogéneos, es posible

determinar la posición del centro de masas mediante los dos teoremas de Pappus y

Guldin, el primero se refiere a sistemas materiales lineales y el segundo a superficiales.

Teorema 1

Sea la línea plana y homogénea de la figura 4.1 y un elemento ds de ella.

t

Fig.4.1

El área engendrada por el elemento ds al girar 2n radianes alrededor de una recta t

coplanaria que no corta a la línea, es

dA = Zst r ds

El área total es

A = 21r frds

luego

4-3

Por tanto, el primer teorema muestra, que' el área engendrada por una línea plana

homogénea al girar alrededor de una recta coplanaria que no la corta, es igual al

producto de la longitud de la circunferencia que describe su centro de masas por la

longitud de la línea.

Teorema 2

Sea la superficie plana y homogénea de la figura 4.2, y un elemento de superficie da de

ella.

r

t

Fig.4.2

El volumen engendrado por el elemento da al girar 2n radianes alrededor de una recta t

cap lanaria que no corta a la superficie, es

dV = 27rrda

El va lumen total es

v = 27r f r da

luego

4-4

Por tanto, el segundo teorema muestra, que el volumen engendrado por una superficie

plana homogénea al girar alrededor de una recta coplanaria que no la corta, es igual al

producto de la longitud de la circunferencia que describe su centro de masas por el área

de la superficie.

4-5

LECCIÓN 5

5.1 Momentos de inercia

Sea un sistema de puntos materiales p •• P2, P3, ... ,Pn de masas mi, m2, m3, ... ,Illn, Y

cuyos vectores de posición respecto de un punto O son ~1,~2,~3, •••.r«.

Se denomina, en general, momento de inercia de una sistema de puntos materiales

respecto de un punto, recta o plano, a la suma de los productos de las masas de los

puntos del sistema por el cuadrado de sus distancias al punto, recta o plano. El momento

de inercia, muestra como se halla dispuesto el sistema de puntos materiales con respecto

a elementos geométricos: puntos, rectas o planos.

- Momento de inercia central

El momento de inercia central respecto al punto O es

Si se considera un triedro cartesiano ortogonal, con origen en o:n

J¿ = ¿mi (X¡2 +y¡2 +Z¡2)¡

Si el sistema de puntos materiales fuera continuo se tendría

- Momento de inercia axial:

El momento de inercia axial de un sistema de puntos materiales respecto de una recta r,

de vector unitario u es

5-1

Fig.5.1

o bien

ns, = ¿mi [ 7lx(;¡ x7l) p

I

n __

Ir = ¿mi (r. xu) 2

1

Si se considera un triedro cartesiano ortogonal con origen en un punto O de la recta, se

tiene

n

r, = ¿mi (y; + z;)I

J = ~m. (x~+ Z2)y L 1 1 1

I

Si el sistema de puntos materiales fuera continuo

Ji= Jo2 dm

Jr= f [ux(~XU)]2dm

J, = J(rxu)2dm

Ix = f(y2 + Z2) dm

5-2

n

J ="m.S2Ir :L...J I 1

i=l

Jy = J(x2 + Z2) dm

Jz = J(x2 + y2) dm

Es frecuente representar los momentos de inercia de un sistema material en la forma

M1C,siendo k, que tiene dimensiones de longitud; denominada radio de giro en el caso

de momentos axiales

- Momento de inercia planario

El momento de inercia de un sistema de puntos materiales, respecto al plano 7t, de

vector unitario normal n, es

Fig.5.2

o bien,n __

i, = ¿mi (r, -n)2I

Si se considera un triedro cartesiano ortogonal con origen en 0, punto del plano, se

tiene

5-3

En el caso de que el sistema de puntos materiales fuera continuo

J" = f82 dm

J1t

= J(i= ·ñ)2 dm

I2Jxz = Y dm

Todas las integrales pueden ser de línea, de superficie o de volumen, dependiendo de

que el sistema material continuo sea una línea, una superficie o un volumen.

De las definiciones de los momentos de inercia se deducen las siguientes relaciones

(1)

(2)

(3)

1Jo = - (J" + J, + J" )2 I 2 3

(4)

La relación (1), muestra que la suma de los momentos de respecto de una recta y de un

plano ortogonales entre si, es igual al momento de inercia respecto del punto de

intersección.

La relación (2), muestra que la suma de los momentos de inercia respecto de dos planos

ortogonales entre si, es igual al momento de inercia con respecto de la recta de

intersección. Si se considera un triedro cartesiano ortogonal, de (2) se obtiene

5-4

La relaciones (3) y (4), muestran que el momento de inercia con respecto a un punto, es

igual a la suma de los ruomentos de inercia con respecto a tres planos y a la semisuma

con respecto a tres rectas, ortogonales entre si tanto los planos en un caso como las

rectas en el otro. Si se considera un triedro cartesiano ortogonal de (3) y (4) se obtiene

5.2 Producto de inercia

Sea un sistema de puntos materiales Pr, P2, P3, ... .P, de masas mi, m2, m3, ... ,1Iln, Y

cuyos vectores de posición respecto de un punto O son rv.ri.rs, ... .r«.

El producto de inercia de un sistema de puntos materiales respecto de dos planos ni Y

o bien

Fig. 5.3

5-5

Si se considera un triedro cartesiano de origen en 0, punto de la intersección de los dos

planos, se tiene

En el caso de que el sistema material de puntos materiales sea continuo, se tiene

o bien

J)2 = Jxydm

J13 = fxzdm

Las integrales pueden ser de línea, de superficie o de volumen, dependiendo de que el

sistema material continuo sea una línea, una superficie o un volumen.

Los productos de inercia, a diferencia de los momentos de inercia, que son positivos,

pueden ser positivos, negativos o nulos.

5.3 Teorema de Steiner

Mediante este teorema, se relacionan los momentos de inercia con respecto a un punto

recta y plano, y el producto de inercia, con los momentos de inercia y producto de

inercia que tienen en cuenta el centro de masas, una recta paralela y un plano paralelo

5-6

que contienen el centro de masas, y dos planos paralelos cuya intersección contiene al

centro de masas.

Para el momento central se tiene

siendo o la distancia entre O y el centro de masas C.

Para el momento axial se tiene

siendo o la distancia entre la recta r y la recta rc paralela por el centro de masas C.

Para el momento planario se tiene

siendo o la distancia entre el plano n y el plano nc paralelo a n por el centro de masas C.

Para el producto de inercia se tiene

o bien

Jnn = Jn n + M (OC· u)(OC· v)1 2 le ic

-siendo u el vector unitario perpendicular a los planos paralelos nI Y TtIC distantes entre

si 01 y v el vector unitario perpendicular a los planos paralelos 1t2 y Tt2C distantes entre

si 02, de modo que el centro de masas e esta contenido en la intersección de TtIC Y n2C Y

el punto O en la intersección de los planos nI Yn2.

5-7

5.4 Tensor de inercia

Sea un sistema de puntos materiales P¡, P2, P3, ••• .P, de masas mi, m2, mi, ... ,ron, Y

cuyos vectores de posición respecto de un punto O son y¡, r 2, r 3, •••, r n •

El vector de inercia 1u asociado a la dirección definida en O por el vector unitario u es

- -Si se consideran los vectores de inercia 1 t , 12 e 13, asociados en O a tres vectores

unitarios ortogonales el, ez y e3' se obtiene

- - - -1u = /¡ u¡ + 12 u2 + 13 u3

siendo u}, U2 y U3, las componentes del vector u según los tres vectores unitarios

mencionados.

Las proyecciones de 1u sobre u y sobre el plano perpendicular a u en O son

-Iuu = I«: u

Teniendo en cuenta la expresión de 1u, se obtiene

1uu = ¿m, h2 - (; k • ~) 2 ]

i; = - ¿mk(;k' ~) (;k' ~)

5-8

,-----~-----_ ..•_----

Como se observa Iuu es el momento de inercia axial respecto de la recta de vector

unitario u, e Iuv, es el producto de inercia, cambiado de signo con respecto a dos

planos cuyos vectores unitarios normales son u y v .

Por tanto

siendo oij la delta de Kronecker.

Puesto que las componentes de los vectores de inercia 11, 12 e 13 en 0, tienen como

componentes las Iij, el vector de inercia 1u asociado en O a u, puede ponerse en la

forma

(1)

La expresión (1) del vector de inercia, representa un producto tensorial contraído del

vector ;¡ por el tensor 1 de segundo orden, y se expresa mediante el producto matricial

Los elementos de la matriz [Iij], que representa al tensor de inercia, se denominan

componentes escalares del tensor, y sus filas son las componentes de los vectores I¡,

12 e 13, respectivamente, denominados componentes vectoriales del tensor.

De lo anterior se desprende, que los elementos de la diagonal principal de la matriz de

inercia, son los momentos de inercia respecto a tres rectas ortogonales entre si en O, y

los restantes elementos son los productos de inercia, cambiados de signo, respecto a las

parejas de planos que definen en O las rectas mencionadas.

Al ser simétrico el tensor de inercia, (1) puede ponerse en la forma

L; ~ 1· u

5-9

Si el punto O coincide con el centro de masas del sistema material, el tensor de inercia

se denomina tensor central de inercia

5.5 Direcciones y momentos principales de inercia

Por ser simétrico el tensor de inercia, existen en cada punto tres direcciones ortogonales

entre si, denominadas principales de inercia, en las que

I; = -1. u

Por tanto, a partir de la expresión general del vector de inercia se obtiene

(1)

siendo U el tensor unidad de segundo orden.

La ecuación característica

de tercer grado en f..., da los valores de los momentos principales de inercia en O

correspondientes a las direcciones principales en dicho punto, las cuales se determinan

mediante el vector unitario u a partir de la ecuación (1).

Si las direcciones de referencia en 0, son las principales, la matriz de inercia es

diagonal, al ser nulos los productos de inercia, ya que en este caso, cada uno de los

vectores de inercia asociados a cada una de las direcciones principales, tiene nulas las

componentes según las otras dos direcciones principales, siendo los elementos de la

diagonal principal los momentos principales de inercia en o.

5-10

Los planos definidos por cada pareja de direcciones principales, se denominan planos

principales, siendo por tanto, principales, las direcciones normales a los planos

principales.

Los ejes y planos de simetría del sistema material, son direcciones y planos principales

de inercia centrales.

5.6 Momento de inercia en una dir~ción cualquiera

Como se ha visto anteriormente, el momento de inercia respecto de una dirección de

vector unitario u, es la proyección del vector de inercia asociado a dicha dirección

sobre ella, luego

Iuu = u· l· u

Por tanto, matricialmente se tiene

t; = lu;] lI; j J [u j J

Este mismo resultado, en forma desarrollada, se obtiene al considerar las expresiones

del momento de inercia axial Jr.

5.7. Elipsoide de inercia

Es el lugar geométrico de los puntos P cuya posición está dada por el vector

- 1-OP = Ir u

vJr

siendo "i:i el vector unitario en una dirección cualquiera en °y J, el momento de inercia

respecto de esa recta.

Si se considera un triedro cartesiano ortogonal de origen en 0, se tiene

5-11

1 (2)x = ¡¡;U1Jr

1 (3)Y = ¡¡;u2Jr

1 (4)z = .J7; u3Jr

y eliminando U¡, U2 y U3 entre (2), (3), (4) Y la expresión desarrollada que da el momento

de inercia J, con respecto a una recta se obtiene

cuádrica de centro 0, que es un elipso ide, por ser positivo Jr, Y que se denomina

elipsoide de inercia del sistema material respecto del punto O. En el caso de que se tome

como punto de referencia el centro de masas del sistema material, se denomina elipsoide

central de inercia.

El elipsoide de inercia, degenera en un cilindro de revolución, si el sistema material es

asimilable a una recta. Si esta recta es el eje X, al ser nulas las coordenadas y y Z , son

nulos los productos de inercia y el momento de inercia 111, luego se tiene

siendo iguales 122 e 133.

Las direcciones de los ejes del elipsoide de inercia en un punto, coinciden con las

direcciones principales de inercia en dicho punto. La ecuación del elipsoide referida a

sus ejes es

siendo A, B Ye los momentos principales de inercia en el punto.

5-12

Si el punto es el centro de masas del sistema material, el elipsoide de inercia se

denomina elipsoide central de inercia. En este elipsoide, que para cada sistema material,

es el de mayor tamaño, los ejes y los planos que definen son principales de inercia en

todos sus puntos.

5-l3

LECCION6

6.1 Momento cinético

- Sólido rígido con un punto fijo

Sea un sólido rígido con un punto 0, fijo. El momento cinético del sólido rígido

respecto al punto °es

- -siendo r , el vector de posición del punto P en el que se halla situada la masa dm, y v su

velocidad.

Puesto que el movimiento es de rotación alrededor de un eje que pasa por el punto 0,

v = m x r

se obtiene

-Si u es el vector unitario en la dirección y sentido de co , al ser el vector de inercia

asociado a u en el punto °es

se obtiene

L=I·úJ (1)

Por tanto, el momento einético respecto al punto 0, es el producto contraido del tensor-

de inercia 1 en el punto °por ea .

6-1

Si se considera un sistema de referencia cartesiano ortogonal de origen en el punto 0,

ligado al sólido rígido, (1) puede ponerse en forma matricial

[L i ] = Vi j J lm j J

Si las direcciones del sistema de referencia coinciden con las direcciones principales en

0, la matriz del tensor de inercia es diagonal.

- Sólido rígido con un eje fijo

Sea un sólido rígido con un eje fijo. El momento cinético del sólido rígido respecto a un

punto °cualquiera del eje es

L = l· m

-siendo l el tensor de inercia en O.

Se define el momento cinético Le respecto al eje de rotación, como la proyección sobre

dicho eje del momento cinético respecto a uno cualquiera de sus puntos. Por tanto

luego

siendo Iuu el momento de inercia del sólido rígido respecto al eje de rotación.

Si el eje de rotación es principal de inercia en el punto O, Le es igual al módulo del

momento cinético L, al ser este colineal con m.

6-2

Sólido rígido en movimiento plano

El movimiento se reduce en el centro de masas Ca la traslación definida por el vector

traslación Ve, contenido en el plano director, que es el que contiene a e, ya la rotación

definida por el vector rotación 0)_

Teniendo en cuenta el primer teorema de Koenig, el momento cinético respecto a un

punto fijo 0, es- -

L =rcxMvc +1-0)

siendo 1 - ea el momento cinético en e o momento cinético relativo,1 el tensor de

inercia en C y M la masa del sólido rígido. Si el eje de rotación en e es eje principal de

inercia el momento cinético en e es, úJ 1uu -

- Sólido rígido libre

Según el primer teorema de Kóenig el momento cinético respecto a un punto fijo, es

- -L=rcxMvc+1-úJ

siendo 1 -úJ el momento cinético en e o momento einétieo relativo, 1 el tensar de

inercia en e y M la masa del sólido rígido.

6.2 Energía cinética


La energía einética del sólido rígido es

6-3

---_._-------~

-siendo v la velocidad del punto P en el que se halla situada la masa dm.

Como el movimiento es de rotación alrededor de un eje que pasa por el punto fijo 0,

v=úJxr

-siendo r , el vector de posición del punto P en el que se halla situada la masa dm, se

obtiene

1 r;; - -T = "2 Jv 'úJ x r dm

y como el momento cinético respecto a O es

resulta

1 - -T=-úJ·L

2

o bien

1 - = -T=-úJ·j'O)

2(1)

siendo I el tensor de inercia en O.

Si se considera un sistema de referencia cartesiano ortogonal de origen en el punto 0,

ligado al sólido rígido, (1) puede ponerse en forma matricial

Si las direcciones del sistema de referencia son las direcciones principales en 0, la

matriz del tensor de inercia es diagonal.

6-4


El momento cinético del sólido rígido respecto a un punto O cualquiera del eje es

1 - = -T=-01·¡·OJ

2

-siendo I el tensor de inercia en O.

Si u es el vector unitario según 01, se obtiene

siendo Iuu el momento de inercia respecto al eje de rotación.

- Sólido rígido en movimiento plano

El movimiento se reduce en el centro de masas e a la traslación definida por el vector

traslación Ve, contenido en el plano director, que es el que contiene a e, y a la rotación

definida por el vector rotación OJ.

Teniendo en cuenta el segundo teorema de Koenig, la energía cinética es

1 2 1T=-Mv +-01·1·01

2 e 2

1 - = -siendo - OJ. 1· 01 la energía cinética relativa,1 el tensor de inercia en e y M la2

masa del sólido rígido. Si el eje de rotación en e es eje principal de inercia la energía

. ,. Iati 1 21cinética re atrva es, - OJ uu·2

6-5


Según el segundo teorema de Koenig la energía cinética es

T=!Mv2+! 0).].0)2 e 2

siendo .!OJ • =;. OJ la energía cinética relativa, =; el tensar de inercia en e y M la masa2

del sólido rígido.

6.3 Relación entre la energía cinética y el momento cinético

Sea un sólido rígido con un punto O fijo. A partir de la energía cinética, se tiene

OJ .] . O) = 2T (1)

Si la energía cinética.Les-constante, la ecuación (1) es la .de una .cuádrica..que es un

elipsoide, de centro.elpunto.O y que es el lugar geométricodel'extremodelvectof'O).

Este elipsoide es concéntrico y homotético con el elipsoide de inercia, cuya ecuación es

- -r·/·r=l

Si se diferencia en (1), se obtiene

dT = I . O) • d m

luego

dT = L . dai

Por tanto

L = grad T (2)

De (2) se deduce que el momento cinético L, es perpendicular al plano tangente en

cada punto al elipsoide (1), lo cual se muestra en la figura 6.1.

6-6

o

Fig.6.1

6.4 Problema de Poinsot

El problema de Poinsot es el siguiente: Estudiar el movimiento de un sólido rígido, que

tiene un punto fijo, sabiendo que el momento cinético respecto a dicho punto es

constante.

Sea O el punto fijo. Puesto que

1 - -T=-L·úJ

2

derivando respecto del tiempo y teniendo en cuenta la constancia de L y su relación con

T, se obtiene

dT do:2-=gradT·-dt dt

luego

dT = Odt

El resultado obtenido muestra que durante el movimiento permanece constante la

energía cinética. Como consecuencia de ello, el lugar geométrico del extremo del vector

to , es uno de los elipsoides de la familia que se tiene al variar T, Y que se denomina

elipsoide de Poinsot.

6-7

Al ser constantes el momento cinético L y la energía cinética T, es. constante la

proyección de to según la dirección de L. Esto, junto la constancia de L, indica que el

plano tangente al elipsoide, como se muestra en la figura 6.2, es fijo, y dista COL de O.

o

.'t~/~/~~~\\,,

",~~~

Fig. 6. 2

Como el elipsoide en O esta definido por la masa del sólido rígido, el conocimiento del

movimiento del elipsoide, implica el del movimiento del sólido rígido. El movimiento

está determinado mediante un pivotamiento y una rodadura sin deslizamiento del

elipsoide sobre el plano tangente fijo, ya que el eje instantáneo de rotación, pasa por el

punto de contacto con el plano tangente.

6.5 Angulos de Euler

Para determinar la posición de un sólido rígido, en un instante cualquiera de su

movimiento, respecto de un triedro cartesiano ortogonal OX'Y'Z', fijo, en general, se

determina la de un triedro cartesiano ortogonal XYZ unido al sólido rígido. La posición

de este triedro, está determinada si lo está la traslación de su origen, y la rotación

alrededor de un eje que pasa por dicho punto. La traslación esta determinada, mediante

las coordenadas del origen respecto del triedro fijo, y la rotación está determinada

mediante los ángulos de Euler.

Los ángulos de Euler son los ángulos de tres rotaciones que determinan el movimiento

de rotación del triedro unido al sólido rígido, del cual se detallan, a continuación, sus

fases sucesivas. En ellas, se describe como se llega a una posición cualquiera del triedro

6-8

unido al sólido rígido XYZ, a partir de una posición inicial coincidente con la del

triedro fijo, y con su mismo origen.

a. Movimiento de rotación, denominado de precesión, alrededor del eje OZ' de ángulo

de <p. En este movimiento:

-OX' pasa a la posición OA, en el plano OX'Y'.

-OY' pasa a OY!, que forma un ángulo <p con OY'.

-OZ' no se altera por ser eje de rotación.

b. Movimiento de rotación, denominado de nutación, alrededor de OA, denominada

línea de nodos, de ángulo 8. En este movimiento:

-OA no se altera por ser eje de rotación.

-OY¡ pasa a OJ, situada en el plano OXY, al ser 8 el ángulo que forman OZ con OZ'.

-OZ' pasa a OZ.

z'z

\\\\\\\\\\\\\\\

Y'

X'Fig.6.3

6-9

c. Movimiento de rotación alrededor de OZ, de ángulo \)l. En este movimiento:

-OA pasa a OX, situada en el plano OXY, formando el ángulo \)l.

-OJ, perpendicular a OA, pasa a OY, situada en el plano OXY, formando el ángulo \)l.

-OZ no se altera por ser eje de rotación.

El triedro OXYZ, ha pasado de la posición inicial de ejes coordenados paralelos a los

del triedro fijo OX'Y'Z', a la posición en un instante t, mediante tres movimientos de

rotación de ángulos rp, e y \)1: El paso a la posición en un instante t + dt, se efectúa

mediante los mismos movimientos de rotación de ángulos infinitesimalcs. Como en el

instante t el movimiento de rotación alrededor del punto O se puede defmir por el vector

rtación co , se tiene

Si en el instante t se proyecta sobre los ejes móviles. OXYZ se,obtiene '

úJ1 = rp sen e sen If/ + ecos If/

úJ2 = rpsen ecos If/ - iJ sen If/

úJ3 = rp cos e + Ij/

(1)

(2)

(3)

siendo Ú)l, Ú)2 Y Ú)3 las componentes de ú) en los ejes móviles OXYZ.

Para hallar las componentes de ro, es preciso tener en cuenta que OH proyección de <p,

se halla en el plano que forman Z y Z'.

Las relaciones (1), (2) y (3) se utilizan para determinar el movimiento de rotación del

sólido rígido por medio de los ángulos de Euler.

6-10

LECCION7

7.1. Aplicación de los teoremas generales de la dinámica al sólido rígido

A continuación se aplican los teoremas generales de la dinámica, teorema del centro de

masas y teorema del momento cinético al sólido rígido libre y ligado, para determinar su

movimiento. Para ello, se han de determinar los movimientos fundamentales de

traslación y rotación en un punto. El sólido rígido ligado, se puede considerar como si

fuera libre, sustituyendo las ligaduras por las correspondientes acciones que ejercen

sobre él.

- Sólido rígido en movimiento plano

Sea OX'Y' un sistema de referencia cartesiano ortogonal plano, fijo, y CXY un sistema

de referencia cartesiano ortogonal plano, móvil, ligado al sólido rígido en movimiento

plano, de origen el centro de masas C. La posición del sólido rígido en movimiento

plano, está determinada por las coordenadas x,' e Yc' del centro de masas C y por el

ángulo 8 de la rotación de CXY respecto de OX'Y'. Luego el sólido rígido en

movimiento plano, es un sistema material que tiene tres grados de libertad.

Según el teorema del centro de masas

-R =Mac

de donde resultan las ecuaciones escalares

(1)

(2)

siendo M la masa del sólido rígido, X, Y las componentes de la resultante de las fuerzas

exteriores R, Y x,' e Yc' las coordenadas de C respecto de OX'Y'.

Según el teorema del momento cinético respecto al centro de masas

7-1

,--~~~- -----~~~~-

- dLN=-

dt

Como

L=I'm

al proyectar sobre la dirección de m, se obtiene

N = 1 dmuu dt (3)

Mediante las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienen Xc', Yc' Y el ángulo e girado por el

sólido rígido en función de 1.


Sea OX'Y'Z' un sistema de referencia cartesiano ortogonal fijo, y CXYZ un sistema

de referencia cartesiano ortogonal,. móvil, ligado al sólido rígido en movimientolIbre,-

de origen el centro de masas C y tal que las direcciones de sus ejes, son las direcciones-

principales de inercia centrales. La posición del sólido rígido libre respecto de

OX'Y'Z', está determinada por las coordenadas x,', Yc' Y Zc' del centro de masas C y

los ángulos de Euler <p, e y \1' de la rotación de CXYZ respecto de OX'Y'Z'. Luego el

sólido rígido libre, es un sistema material de seis grados de libertad.


-R=Mac

de donde resultan las ecuaciones escalares

x = Mxc' (4)

Y=Mjic' (5)

Z=Mi' (6)e

7-2

siendo M la masa del sólido rígido, X, Y, Z las componentes de la resultante de las

fuerzas exteriores R, Y x,', Yc' Y z, las coordenadas de e respecto de OX'Y'Z'.


- dLN=-

dt

y puesto que

dI = (dI] + OJ x Ldt dt CXYZ

se tiene

N - (dI] + OJ x Ldt CXYZ

y como-

L = l· OJ

se obtienen las ecuaciones escalares

(7)

(8)

(9)

denominadas ecuaciones de Euler.

Teniendo en cuenta las relaciones que existen entre las componentes de OJ y los ángulos

de Euler, de (4), (5), (6), (7), (8) Y (9) se obtienen, por integración, si es posible, x,', Yc' ,

Zc', rp, e y \jf en función de t.

7-3


Sea OX'Y'Z' un sistema de referencia cartesiano ortogonal fijo, y OXYZ un sistema de

referencia cartesiano ortogonal, ligado al sólido rígido móvil, ambos de origen en el

punto fijo O del sólido rígido y tal que las direcciones de sus ejes, son las direcciones

principales de inercia en O. La posición del sólido rígido respecto de OX'Y'Z', está

determinada por los ángulos de Euler ep, e y \jI de la rotación de OXYZ respecto a

OX'Y'Z'. Luego el sólido rígido con un punto fijo, es un sistema material de tres grados

de libertad. Además, en este caso, es desconocida la fuerza de ligadura en O.


-R; + R; = M a: (lO)

siendo M la masa del sólido rígido, R; la resultante de las fuerzas directamente

aplicadas y R; la fuerza de ligadura en O.

Según el teorema del momento cinético respecto alpunto fijo O

- dLN=-

di

y puesto que

iL = (iLJ + ea x Ldt dt OXYZ

se tiene J

( -J- dLN= - +ro x L

dt OXYZ

y como

L=I·áJ

se obtienen las ecuaciones escalares de Euler

7-4

(11)

(12)

(13)

Teniendo en cuenta las relaciones que existen entre las componentes de ea y los ángulos

de Euler, de (11), (12) Y (13) se obtienen, por integración, si es posible, <p, e y \If en

función de t.

Puesto que

Ve = ea xOC

se obtiene a partir de (10) la fuerza de ligadura en O

- d - -. -R; = M-(Ol x OC) - Rs

dt


Sea un sólido rígido que mantiene un eje fijo definido por dos de sus puntos 01 y 020

Sea O¡X'Y'Z' un sistema de referencia cartesiano ortogonal fijo, y O¡XYZ un sistema

de referencia cartesiano ortogonal, ligado al sólido rígido móvil, tales que los ejes 01 Y',

Y01Y coinciden con el eje fijo, defmido por dos de sus puntos al y 02. La posición del

sólido rígido respecto de OIX'Y'Z', está determinada por el ángulo <p que defme el

movimiento de rotación del sólido rígido, que es el ángulo que el eje O¡X forma con el

eje OIX' en el piano X'Z'. Luego el sólido rígido con un eje fijo, es un sistema material

de un grado de libertad. Además, en este caso, son desconocidas las fuerzas de ligadura

en O¡ y020

7-5


(14)

siendo M la masa del sólido rígido, R; la resultante de las fuerzas directamente

aplicadas y R¡ Y R2 las fuerzas de ligadura en O, y O2 respectivamente.

Según el teorema del momento cinético respecto al punto O), fijo

dLN + N2 =

dt(15)

siendo N Y N 2 los momentos respecto a O" de las fuerzas directamente aplicadas y de

la fuerza de ligadura en 02, respectivamente.

De cada una de las ecuaciones (14) y (15), se obtienen tres ecuacionesescalares, seis en

total, que son insuficientes para determinar las seiscomponentesescalares de las fuerzas

de ligadura y el ángulo <p. Por tanto, en general, el problema es indeterminado.

Si se proyecta (15) sobre O) Y, se obtiene

dLyN =-

y dt

y puesto que

resulta

(16)

siendo 122el momento de inercia respecto al eje de rotación.

7-6

Integrando (16) se obtiene el ángulo <p en función de t, que resuelve el problema

cinemático.

El problema dinámico, en general, no es posible resolverlo, ya que se dispone de cinco

ecuaciones y son precisas seis para determinar las seis, componentes de las fuerzas de

ligadura en los puntos 01 y O2• La eliminación de una de las componentes de las fuerzas

de ligadura, mediante la fijación adecuada de uno de los puntos del eje, hace posible

resolver el problema dinámico.

7.2. Ejes permanentes y espontáneos de rotación

Sea un sólido rígido que mantiene un eje fijo definido por dos de sus puntos 01 Y O2• A

continuación se analizan dos casos particulares.

En el primer caso, las fuerzas directamente aplicadas equivalen a una única fuerza que

pasa por 01, y se trata de determinar las condiciones para que la fuerza de ligadura en

O2 sea nula, es decir, que el punto O2 no sea fijo.

Según el teorema del momento cinético respecto al punto fijo 01

dL =0dt

(1)

El momento cinético L, es en general un vector giratorio con el sistema móvil, pero si

según (1) no ha de variar con el tiempo, entonces ha de ser colineal con OJ, es decir, que

el eje de giro ha de ser principal de inercia en 01, y además ser constante el módulo de

OJ • A esta misma conclusión se llega teniendo en cuenta que de (1) se tiene

(dI] +úJxL=Odt OXYZ

\

Por tanto, si un sólido rígido con un punto fijo comienza un movimiento de rotación

alrededor de un eje principal de inercia en dicho punto, el movimiento de rotación

7-7

persistirá indefinidamente con velocidad angular constante: Estos ejes se denominan

ejes permanentes de rotación.

En el segundo caso, el sólido rígido no está sometido a fuerzas directamente aplicadas, y

se trata de determinar las condiciones para que las fuerzas de ligadura en OJ y O2 sean

nulas, es decir, que los puntos OJ y O2 no sean fijos.


-M a, =0

luego ha de ser constante la velocidad del centro de masas, para lo cual éste ha de estar

en el eje de rotación.

Según el teorema del momento cinético en el punto fijo OJ

dL =0dt

luego, como se ha visto en el primer caso, el eje de rotación ha de ser principal de

inercia en O\, que en este caso será principal central de inercia al contener al centro de

masas C.

Por tanto, si un sólido rígido libre comienza un movimiento de rotación alrededor de un

eje principal central de inercia, el movimiento de rotación persistirá indefinidamente

con velocidad angular constante. Estos ejes se denominan ejes espontáneos de

rotación.

7.3 Equilibrados estático y dinámico

Sea un sólido rígido en movimiento de rotación, de velocidad angular constante,

alrededor de un eje fijo defmido por los puntos 01 y O2 Ytal que su centro de masas se

halle a la distancia 8 del eje de rotación.

7-8


-R =Mac (1)

siendo R la resultante de las fuerzas exteriores, que son el peso P del sólido rígido,

considerada como fuerza directamente aplicada, las fuerzas de ligadura estáticas en 01 y

O2, Rl Y R2 respectivamente y las fuerzas de ligadura dinámicas en 01 y O2, RI' Y

R2 'respectivamente.

Teniendo en cuenta que el peso y las fuerzas de ligadura estáticas constituyen un

sistema de fuerzas nulo, para lo cual ha de ser nula la resultante y su momento

resultante, de (1) se obtiene

2

R' -R' MVc -1 + 2 = -n5

(2)

Las fuerzas R,' Y R2' son giratorias, al seda el vector n, y de gran magnitud. En el

caso de que el centro de masas diste 1 milímetro del eje de rotación y que la velocidad

angular sea de 3000 revoluciones por minuto, su orden de magnitud, resulta ser

aproximadamente diez veces el peso del sólido rígido, ejerciéndose en los puntos 01 y

02 , generalmente apoyos del eje de una máquina.


- dLN=-

dt

y puesto que OJ es constante, se tiene

N=OJxL

7-9

Si en el momento de las fuerzas exteriores se excluye el momento del peso y de las

fuerzas de ligadura estáticas, por ser un sistema nulo, además de estar excluido el de

otras fuerzas directamente aplicadas al ser constante la velocidad angular se tiene

NI = cu xL (3)

siendo NI el momento de las fuerzas de ligadura dinámicas, únicamente.

De las ecuaciones (2) y (3) se obtienen las fuerzas de ligadura dinámicas R, I Y R2 l.

Se dice que existe equilibrado estático, cuando el centro de masas se halla en el eje de

rotación, ya que abandonado a la acción de la gravedad el sólido rígido no se mueve. De

(2) se obtiene

(4)

lo cual indica que es nula la resultante de las fuerzas de ligadura dinámicas, pero cada

una de ellas no.

Se dice que existe equilibrado dinámico, cuando son nulas las fuerzas de ligadura

dinámicas, es decir, que constituyen un sistema de fuerzas nulo, para lo cual ha de ser

nula su resultante y su momento resultante NI. La anulación de la resultante implica

que el centro de masas se halle en el eje de rotación, es decir, que se cumpla (4) y la

anulación del momento resultante da

cuxL=O (5)

De la ecuación (5) se deduce que L ha de ser colineal con ai, lo cual indica que el eje

de rotación ha de ser principal central de inercia.

7-10

LECCION8

8.1. Contacto de sólidos rígidos

Sean dos sólidos rígidos A y B, de superficies rugosas, en contacto, supuesto puntual,

pero que en realidad es superficial, según una pequeña área que rodea al punto P de

contacto de la figura 8.1.

Fig.8.1

El movimiento del sólido A con respecto al sólido B, se define en el punto de contacto

P, mediante la velocidad de deslizamiento v y la velocidad angular Q. La velocidad de

deslizamiento se halla contenida en el plano tangente 1t a la superficie de los sólidos en

P y la velocidad angular tiene las componentes de rodadura y pivotamiento QT y ºN

respectivamente.

Las acciones que ejerce el sólido B sobre el A, consecuencia del contacto entre ambos,

son el resultado de acciones elementales en cada punto de la pequeña área en la que se

8-1

produce. Estas acciones elementales, reducidas en el punto de contacto P, dan una

resultante de fuerzas R y un momento resultante K de pequeña magnitud.

Teniendo en cuenta las componentes de R y K según el plano tangente 7t y la normal

se tiene

En el caso de que el contacto sea entre un punto material y un sólido rígido, el

movimiento con respecto al sólido, estaría determinado por la velocidad v y la acción

de contacto por R.

8.2. Leyes del rozamiento

Las relaciones que existen entre las componentes de la resultante R y del momento

resultante K definen las leyes del rozamiento y fueron establecidas por Coulomb.

En el rozamiento al deslizamiento, si la velocidad de deslizamiento v no es nula, la

fuerza de resistencia al deslizamiento o fuerza de rozamiento RT tiene la dirección de

v sentido opuesto y se verifica que

y si la velocidad de deslizamiento es nula la fuerza de rozamiento R T es desconocida y

se verifica que

8-2

siendo ¡..t. un coeficiente adimensional, denominado coeficiente de rozamiento al

deslizamiento, el cual depende únicamente de la naturaleza de las superficies en

contacto y es independiente de la velocidad de deslizamiento y del área de contacto.

Se denomina cono de rozamiento, al cono de revolución de eje la normal común a las

superficies de los sólidos en el punto de contacto P, vértice en él y semiángulo cónico

e = arctgu

El rozamiento se denomina cinético o dinámico cuando hay movimiento, y estático

cuando no lo hay.

Experimentalmente, se observa que la fuerza de rozamiento estática R Te es mayor que

la fuerza de rozamiento cinética RT por lo que para RN constante se tiene quee

lo cual indica que el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el coeficuiente de

rozamiento cinético. En general salvo que se haga tal distinción, ambos coeficientes se

considerarán iguales.

En el rozamiento a la rodadura si la velocidad angular de rodadura QT no es nula el

momento resistente a la rodadura KT tiene la dirección de QT' sentido opuesto y se

verifica que

y si la velocidad angular de rodadura en nula KT es desconocido y se verifica que

8-3

siendo p un coeficiente que tiene dimensiónes de longitud denominado coeficiente de

resistencia a la rodadura.

La resistencia a la rodadura, es debida a la deformación de las superficies en contacto,

de manera que los contactos teóricamente puntuales no lo son y el efecto de su

presencia se traduce en el desplazamiento de la fuerza RN una distancia p medida en el

sentido de la rodadura.

En el rozamiento al pivotamiento, si la velocidad angular de pivotamiento 0N no es

nula, el momento resistente al pivotamiento KN tiene la dirección de 0N' sentido

opuesto y se verifica que

y si la velocidad angular de rodadura es nula KN es desconocido y se verifica que

siendo a un coeficiente que tiene dimensiones de longitud denominado coeficiente de

resistencia al pivotamiento.

En general, salvo que se advierta de lo contrario, los rozamientos a la rodadura y al

pivotamiento son despreciables frente al rozamiento al deslizamiento.

8-4

LECCION9

9.1. Fenómenos impulsivos

Los fenómenos impulsivos, se caracterizan por ser fenómenos de muy corta duración,

centésimas o milésimas de segundo, oaún menos, pudiendo consideranse prácticamente

instantáneos, en los que se producen cambios bruscos, pero finitos, de velocidad, sin

que se produzcan variaciones apreciables de la posición y en los que actúan fuerzas muy

grandes.

Estas características, hacen que sean diferentes a los fenómenos de la dinámica

ordinaria, efectuándose su estudio siguiendo un camino paralelo, pero diferenciado,

llegando a resultados más sencillos, ya que se obtienen ecuaciones algebraicas.

Se define el vector percusión o simplemente percusión correspondiente a la fuerza F ,

de gran magnitud que actúa sobre un punto material, al impulso de dicha fuerza en un

intervalo de tiempo tf - tí' muy pequeño, es decir,

El vector percusión P, es un vector localizado, de origen en el punto material y sus

dimensiones son las de un impulso o de una cantidad de movimiento.

De lo anterior se desprende, que las fuerzas de magnitud ordinaria, entre las que se halla

el peso, no dan lugar a percusiones.

De acuerdo con las fuerzas que las originan las percusiones, estas se clasifican en

interiores, debidas a fuerzas interiores y exteriores debidas a fuerzas exteriores. Las

exteriores a su vez, se subdividen en directamente aplicadas y de ligadura y son debidas

a fuerzas directamente aplicadas y a fuerzas de ligadura respectivamente.

9-1

9.2. Dinámica impulsiva del punto material

Sea un punto material de masa m, sobre el que actúan las. fuerzas de gran magnitud

FI' F2 , ••• , Fn en el intervalo de tiempo tf - ti' muy pequeño.

-Teorema de la cantidad de movimiento

A partir del teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica, del punto material, se

tiene

i (~+ F2 + ...+FJdt = r dpI I

siendo P la resultante de las percusiones e ¡'j:j5 la variación de la cantidad de

movimiento.

Este resultado, expresa el teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica

impulsiva del punto material, según el cual: La variación de la cantidad de movimiento

de un punto material en fenómenos impulsivo s, es igual a la resultante de las

percusiones que actúan sobre él.

-Teorema del momento cinético

A partir del teorema del momento cinético de la dinámica del punto material, se tiene

frx(~ + F2 + ...+FJdt = r dLI

fXP = ~L

o bien

9-2

siendo K el momento resultante de las percusiones cor respecto a un punto fijo e M la

variación del momento cinético con respecto al mismo punto.

Este resultado expresa el teorema del momento cinético de la dinámica impulsiva del

punto material, según el cual: La variación del momento cinético con respecto a un

punto fijo, de un punto material, en fenómenos impulsivos, es igual al momento

resultante con respecto al punto fijo citado, de las percusiones actuante s o bien al

momento con respecto al punto de la resultante de percusiones.

9.3. Dinámica impulsiva de los sistemas de puntos materiales.

Sea un sistema de puntos materiales Al, A2, ... .A, de masas mi, m2, ... ,mn cuyos

vectores de posición respecto de un punto fijo O son rJ' r2' ... rn . Sobre cada punto actúa

la fuerza exterior F; y la resultante de fuerzas interiores ¿F;j de fuerzas interiores,j

todas ellas de gran magnitud dando lugar a las correspondientes percusiones.

-Teorema de la cantidad de movimiento

A partir del teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica impulsiva del punto

material para el punto Aj, se tiene

p + ""p. = ~-p.1 ~IJ 1

j

y para el sistema material, se tiene

9-3

Puesto que las percusiones interiores verifican la ley de acción-reacción, se tiene

o bien

si H representa la resultante de las percusiones exteriores.

Este resultado, expresa el teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica

impulsiva de los sistemas de puntos materiales, según el cual: La variación de la

cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales es igual a la resultante de

las percusiones exteriores que actúan sobre el mismo.

Puesto que la cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales se expresa por

la expresión del teorema toma la forma habitual

-Teorema del momento cinético

A partir del teorema del momento cinético con respecto a un punto fijo de la dinámica

impulsiva del punto material para el punto A¡, se tiene

r x(P + '"'P) = AL.1 1 L... 1) 1

y para el sistema

9-4

Puesto que las percusiones interiores verifican la ley acción-reacción, se tiene

o bien

K=M

si K representa el momento de las percusiones exteriores respecto al punto fijo.

Este resultado, expresa el teorema del momento cinético de la dinámica impulsiva de los

sistemas de puntos materiales con respecto a un punto fijo, según el cual: La variación

del momento cinético con respecto a un punto fijo, de un sistema de puntos materiales,

es igual al momento resultante con respecto a dicho punto fijo de las percusiones

exteriores que actúan sobre el mismo.

9.4. Dinámica impulsiva del sólido rígido

- Dinámica impulsiva del sólido rígido libre

Sea un sólido rígido libre cuyo movimiento es conocido, y sobre el que actúan en un

determinado instante las percusiones P¡ .

A partir del teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica impulsiva de los

sistemas de puntos materiales, se tiene

(1)

9-5

A partir del teorema del momento cinético de la dinámica impulsiva de los puntos

materiales con respecto al centro de masas, se tiene

Como

se tiene

(2)

siendo 1 el tensor central de inercia, invariable en el pequeño intervalo de tiempo que

dura el fenómeno impulsivo, al no variar la posición del sólido rígido.

De (1) y de (2) se obtienen seis ecuaciones escalares, que dan las variaciones I1vc y

Si el estado de velocidades inmediatamente antes del comienzo del fenómeno

impulsivo, está definido por los vectores vCa Y o , el estado de velocidades

inmediatamente después del cese del fenómeno impulsivo, estará definido por

- Dinámica impulsiva del sólido rígido con un punto fijo

Sea un sólido rígido que tiene un punto fijo 0, cuyo movimiento es conocido y sobre el

que actúan en un determinado instante las percusiones P;

9-6



(3)

siendo Po la percusión de ligadura en °A partir del teorema del momento cinético de la dinámica impulsiva de los sistemas de

puntos materiales respecto al punto fijo 0, se tiene

(4)

-siendo 1 el tensor de inercia en el punto fijo 0, invariable durante el pequeño intervalo

de tiempo que dura fenómeno impulsivo, al no variar la posición del sólido.

De (3) Y(4), se obtienen seis ecuaciones escalares que dan la variación de Aro y Po

Si el estado de velocidades inmediatamente antes del comienzo del fenómeno impulsivo

está definido por el vector roa, alrededor de un eje que pasa por 0, el estado de

velocidades inmediatamente después del fin del fenómeno impulsivo será

alrededor de un eje que pasa por 0, y la percusión de ligadura es

9-7

ya que

- Dinámica impulsiva del sólido rígido con dos puntos fijos

Sea un sólido rígido en el que dos de sus puntos O y O' son fijos, cuyo movimiento es

conocido, y sobre el que actúan las percusiones p;.



(5)

siendo Po Y Po' las percusiones de ligadura en O y O' respectivamente.

A partir del teorema del momentocinético de la dinámica impulsiva de los sistemas de

puntos materiales respecto al punto fijo O, se tiene

(6)

-

siendo 1 el tensor de inercia en O.

De (5) Y (6), se obtienen seis ecuaciones escalares para determinar /::,.0} y las

percusiones de ligadura Po Y Po" El problema es, en general, indeterminado, ya que

existen siete incógnitas escalares.

9-8

-----------------------_ .

Es posible resolver el problema cinemático, ya que si en la ecuación (6) se multiplican

escalarmente ambos miembros por el vector unitario ti según el eje de rotación, se

tiene

(7)

siendo K, el momento de las percusiones exteriores respecto al eje de rotación y J, el

momento de inercia respecto al citado eje.

De (7), se tiene

que resuelve el problema cinemático, ya que si se conoce el estado de velocidades

inmediatamente antes del fenómeno impulsivo, definido por el vector coo, el estado de

velocidades inmediatamente después del fin del fenómeno impulsivo será

9.5. Centro de percusión

Se define, en un sólido rígido con dos puntos fijos O y O', figura 9.1, como centro de

percusión, al punto, si existe, en el que aplicada una percusión P, sean nulas las

percusiones de ligadura.

A partir del teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica impulsiva del sólido

rígido, si son nulas las percusiones de ligadura, se tiene

9-9

P = MdroxOC (8)

De (8) se deduce que la percusión P ha de ser perpendicular al plano 7t definido por el

eje de rotación y el centro de masas C. Esta es la primera condición que se ha de

cumplir.

Z Z'

A'

O'

O

Fig.9.1

A partir del teorema del momento cinético de la dinámica impulsiva del sólido rígido

respecto al punto A', proyección sobre el eje 00' del punto A de intersección de la

dirección de P con el plano 1t , se tiene

AA'xP = I·dro (9)

siendo 1 el tensar de inercia en A'.

De (9) se deduce que el eje 00' es una dirección principal de inercia en A'. Esta es la

segunda condición que se ha de cumplir.

9-10

Si se considera un triedro cartesiano ortogonal OXYZ, de (8) y (9) se tiene

De (10) Y (11) se tiene

De (12), se deduce que el centro de percusión no existe, si el centro de masas e se halla

en el eje de rotación al ser la coordenada XA infinita.

La coordenada ZA ha de cumplir la segunda condición antes obtenida, y según ella

¿my'z'=O

¿mx'z'=O

Puesto que

x=x'y=y'Z=Z'+ZA

de (13) Y (14) se tiene

¿mY(Z-ZA) = O

¿mx(z -ZA) = O

de donde

9-11

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

En general, los valores que se obtienen de (15) son diferentes, no existiendo centro de

percusión.

En el caso de una placa plana, sólido rígido en el plano OXZ, al ser y e y' nulas, la

primera de las expresiones (15) se verifica para cualquier valor de ZA, obteniéndose el

valor de ZA a partir de la segunda expresión (15), teniendo que ser no nulo el

denominador, es decir, que e no esté en el eje de rotación.

9.6. Choque

Se defme el choque como el fenómeno impulsivo que ocurre al entrar en contacto dos

sólidos. Por tanto, como tal fenómeno impulsivo, posee las características ya

mencionadas.

Sean dos sólidos SI y S2, figura 9.2, que entran en contacto, en principio puntual, siendo

este punto A en SI Y B en S2. Se define la línea de choque o línea de acción, como la

normal común al plano tangente a las superficies de los sólidos en el punto de contacto.

n

LÍNEA DE CHOQUE

Fig.9.2

9-12

El choque puede ocurrir entre sólidos con deformaciones no permanentes y tiene dos

fases, la de deformación y la de restitución o entre sólidos con deformaciones

permanentes, en cuyo caso sólo existe la fase de deformación, pudiendo los sólidos

quedar adheridos.

En la fase de deformación, como consecuencia de la diferencia de velocidades en A y B

según ñ , la aproximación va más alla del contacto puntual, es superficial" según una

zona alrededor de A y B, desarrollándose fuerzas acción-reacción entre los sólidos muy

grandes, tanto más grandes cuanto mayor sea la aproximación. La fase de deformación

cesa al anularse la diferencia de velocidades mencionada.

En la fase de restitución, los sólidos recuperan su forma como consecuencia de fuerzas

elásticas internas. Se invierte la diferencia de velocidades en A y B según ñ y se

separan los sólidos, disminuyendo las fuerzas acción-reacción hasta anularse cuando se

llega al contacto puntual.

En los sólidos rígidos con deformaciones no permanentes, si bien existe deformación, al

ser esta de corta duración, puede suponerse la indeformabilidad.

- Coeficiente de restitución

Puesto que el choque es un fenómeno impulsivo, se aplican los teoremas de la cantidad

de movimiento y del momento cinético de la dinámica impulsiva del sólido a los dos

sólidos que chocan, lo cual da como consecuencia doce ecuaciones escalares que

relacionan trece incógnitas. Por tanto, existe indeterminación. En el caso de que las

superficies de los sólidos sean rugosas, existe una incógnita más, pero existe una

ecuación adicional más, análoga formalmente a la que se tiene en la dinámica ordinaria.

Experimentalmente, se observa que los resultados dependen de la naturaleza fisica de

los sólidos que entran en contacto para unas mismas condiciones en el instante en que se

produce este. Es pues indispensable, considerar una hipótesis basada en la naturaleza

fisica de los sólidos, para resolver la indeterminación del choque, aportando la ecuación

necesaria.

9-13

La hipótesis habitual es la de Newton, según la cual: La diferencia de velocidades de los

puntos de contacto según 11, puede anularse o cambiar de sentido en el choque y se

define un coeficiente denominado coeficiente de restitución.

El coeficiente de restitución e se expresa como el cociente de la diferencia de

velocidades de los puntos de contacto según 11después del choque y antes del choque,

es decir

El coeficiente de restitución depende de la naturaleza de las superficies que entran en .

contacto, de su forma y de las posiciones de los sólidos respecto a la línea de choque.

Los valores que toma son tales que

Ose s r

9.7. Clasificación de los choques

Los choques pueden c1asificarse de diversas maneras:

Según el coeficiente de restitución:

- Elásticos, c = 1

- Plásticos, c = O

- Imperfectamente elástico, O < e < 1

Según la dirección de la velocidad de los centros de masa de los sólidos en el instante de

contacto:

- Directos, velocidades de los centros de masas paralelos a la línea de choque

- Oblicuos, direcciones cualesquiera

Según la posición de los centros de masas con respecto a la línea de choque:

9-14

- Centrales, si están en la línea de choque

- Excéntricos, si no están en la línea de choque

Según el estado de las superficies de los sólidos:

- Sin rozamiento, superficies lisas

- Con rozamiento, superficies rugosas

Además, también existen los choques entre sólidos sometidos a ligaduras.

9.8. Choque central directo

Sean dos esferas SI y S2, figura 9.3, homogéneas de masas MI y M2 que se mueven en

traslación, con sus centros de masas moviéndose según la línea de choque.

n·.•••.•. ·······Lineade Choque

Fig. 9.3

A partir del teorema de la cantidad de movimiento de la dinámica impulsiva del sólido

rígido, se tiene para las esferas

p] = M] (vA' - VA) (17)

(18)

9-15

siendo v A y V B son las velocidades de los puntos de contacto inmediatamente antes

del choque y vA' Y vB' las velocidades de los mismos puntos inmediatamente después

del choque.

A partir del coeficiente de restitución, si el choque es elástico

(19)

Además las percusiones de ligadura verifican

(20)

De (17), (18), (19) Y(20) se obtienen v A" vB', P; y P2 .

En el choque elástico se conserva la energía cinética, lo cual equivale a que se verifique

(19) corno puede comprobarse fácilmente.

9-16

LECCION 10

10.1. Estática

La estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio del punto y de los

sistemas de puntos materiales.

Se dice que un punto o un sistema de puntos materiales está en equilibrio, con respecto

a un sistema de referencia, si abandonados es reposo con respecto a este, permanecen

indefinidamente en ese estado si persisten las condiciones iniciales. El sistema de

referencia se supone inercial o galileano, si no se dice lo contrario.

10.2. Ligaduras

Se denominan ligaduras a las condiciones geométricas o cinemáticas impuestas al punto

o a los sistemas de puntos materiales y que restringen sus movimientos.

Matemáticamente, estas condiciones, se expresan mediante ecuaciones que relacionan

las coordenadas o las velocidades.

Las ligaduras pueden c1asificarse de diversas maneras:

Según el número de ecuaciones que las expresan:

- Simples, una ecuación

- Dobles, dos ecuaciones

- Etc.

Según que las restricciones se refieran a la posición o al movimiento:

- Geométricas, restringen la posición

- Cinemáticas, restringen el movimiento

Según que la restricción de la posición sea en uno o dos sentidos:

10-1

- Unilaterales

- Bilaterales

Según que las ligaduras sean condiciones entre los puntos de un sistema material, o bien

que relacionen los puntos de un sistema material con los de otro:

- Interiores

- Exteriores

Según como sea la evolución respecto al tiempo:

- Esc1erónomas o estacionarias, no contienen el tiempo en forma explícita

- Reónomas, contienen el tiempo de forma explícita

Según el tipo de ecuación:

- Holónomas, expresables en términos finitos

- No holónomas, sólo expresables en términos diferenciales

Según el contacto superficial:

- Sin rozamiento, acciones de contacto normales

- Con rozamiento, acciones de contacto no normales

10.3. Estática del punto material

- Equilibrio del punto material

Para que un punto material de masa m, sometido a la acción simultánea de varias

fuerzas, esté en equilibrio, ha de ser nula su aceleración a .

Según el segundo axioma de Newton, se tiene

R=ma

10-2

siendo R la resultante de fuerzas que actúan sobre el punto material.

Luego en el equilibrio se tiene

R=O

Por tanto, para que un punto material está en equilibrio, ha de ser nula la resultante de

las fuerzas que actúan sobre él.

En el estudio del equilibrio del punto material se pueden presentar dos casos:

- Punto material libre.

- Punto material sometido a ligaduras.

Se dice que un punto material es libre, cuando no se halla sometido a ligaduras,

pudiendo ocupar cualquier posición en el espacio. Como consecuencia, la resultante de

fuerzas consta únicamente de las fuerzas directamente aplicadas.

Si la resultante de las fuerzas deriva de un potencial V

R=-gradV

verificándose en el equilibrio

(i = 1,2,3)

lo cual indica que el potencial V ha de ser extrema! (máximo o mínimo).

Se dice que un punto material está sometido a ligaduras, cuando no puede ocupar

cualquier posición en el espacio. Como consecuencia de esto, la resultante de fuerzas

consta de las fuerzas directamente aplicadas y de las fuerzas de ligadura.

10-3

- Estabilidad del equilibrio del punto material

La estabilidad del equilibrio del punto material presenta los mismos casos que el

equilibrio:

- Punto material libre

- Punto material ligado

Sea un punto material libre en equilibrio en una posición P. En tal posición, es nula la

resultante de las fuerzas. Si el punto material se somete a un desplazamiento elemental

df que lo lleva a ocupar otra posición p¡, en ella, no se hallará en equilibrio, estando

sometido por tanto a una resultante de fuerzas R no nula.

Se dice que un punto material libre se encuentra en equilibrio estable en la posición P, si

la componente según i.drde la resultante de las fuerzas que actúan sobre él, en una

posición infinitamente próxima Pr, tiene sentido opuesto a df , tendiendo a devolver al

punto material a la posición P. Se verifica que

R· df < Ü

En el caso de que R derive de un potencial V, se tiene

-grad V -dr c O

av s o

Por tanto, al pasar el punto material de la posición P a la P¡ aumenta su potencial, lo

cual indica que la posición P de equilibrio es de potencial mínimo.

Se dice que un punto material libre se encuentra en equilibrio inestable en la posición P,

si la componente según dr de la resultante de las fuerzas que actúan sobre él, en una

10-4

posición infinitamente próxima PI, tiene el mismo sentido que dr , tendiendo a no

devolver el punto material a la posición P. Se verifica que

R·dl'>O

En el caso de que R derive de un potencial V, se tiene

-grad var s o

dV <O

Por tanto, al pasar el punto material de la posición P a la P1 disminuye su potencial, lo

cual indica que la posición P de equilibrio es de potencial máximo.

La estabilidad del equilibrio del punto material sometido a ligaduras, se estudia de

manera análoga a la del punto material libre. Se somete al punto material a un

desplazamiento elemental dr , compatible con las ligaduras, hallándose sometido a las

fuerzas que actúan sobre él, es decir, directamente aplicadas y de ligadura,

determinando el signo de R· dr . En el caso de que las ligaduras sean sin rozamiento,

únicamente se considerarán las fuerzas directamente aplicadas por ser las de ligadura

perpendiculares a dr .

- Equilibrio relativo del punto material

Si R es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un punto material de masa m en

un sistema inercial SI, su aceleración a, respecto de este sistema, se obtiene a partir del

segundo axiona de Newton

R=ma

Si se considera un sistema de referencia acelerado S2, la aceleración del punto material

respecto a este sistema de referencia, ar, está relacionada con a, según

10-5

r---------------------------------------- -

siendo aa la aceleración de arrastre y á, la aceleración complementaria.

Luego

Si

R-ma -ma =R'a e

se tiene

Para que el punto material se halle en equilibrio relativo, es decir, en el sistema S2, ha de

ser nula la aceleración ar• Luego

R'=O

y por tanto

Rv-rna -ma = Oa e

lo cual permite establecer, que para que el punto material se halle en equilibrio relativo,

el cual no implica el reposo, ha de ser nula la resultante de las fuerzas absolutas, de la

fuerza de inercia de arrastre - má, y de la fuerza de inercia complementaria - mac•

- Equilibrio dinámico del punto material

10-6

Si R es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un punto material de masa m en

un sistema inercial SI, su aceleración a, respecto de este sistema, se obtiene a partir del

segundo axioma de Newton

R=ma

Si se considera un sistema de referencia acelerado S2, al cual está ligado el punto

material, entonces este estará en equilibrio relativo

a =0r

y además en reposo relativo

Luego teniendo en cuenta

en el equilibrio del punto material respecto al sistema S2, se tiene

Por tanto, para que un punto material se halle en equilibrio dinámico, lo cual supone el

equilibrio y el reposo relativos, ha de ser nula la resultante de las fuerzas absolutas R y

de la fuerza de inercia de arrastre - maa• Este resultado se conoce como el teorema del

equilibrio dinámico del punto material según el cual: El estudio del movimiento de un

punto material, respecto de un sistema de referencia inercial, es equivalente a estudiar

su equilibrio dinámico.

10-7

10.4. Estática de los sistemas de puntos materiales

- Equilibrio de los sistemas de puntos materiales

Sea un sistema material constituido por los puntos materiales Pj, P2, ... , Po.

La resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto P, es

R. =E + "E.1 1 ¿ IJ

j

siendo F; las fuerzas exteriores y Fij las fuerzas interiores.

El sistema material estará en equilibrio, si lo está cada uno de sus puntos, es decir, si

R¡ =0

La resultante R de las fuerzas que actún sobre el sistema material

ha de ser nula al serlo cada una de las resultantes R¡.

Luego

"E.+""E. = O¿ IJ ¿¿ IJ

y puesto que se anula la resultante de las fuerzas interiores, se tiene

10-8

IF: =0

Esta ecuación es la primera condición de equilibrio de los sistemas de puntos materiales

según la cual: Ha de ser nula la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el

sistema material.

El momento de la resultante de fuerzas R¡ respecto a un punto cualquiera es

f x R. = O1 1

al ser R¡ nula.

Luego

f¡ x F: + f¡ xI F:j = Oj

y para el sistema material

'" r x F + ,,'" r. x F. = OL.. 1 1 L....L.. 1 Ij

Puesto que es nulo el momento de las fuerzas interiores, se tiene

Esta es la segunda condición de equilibrio de los sistemas de puntos materiales, según la

cual: Ha de ser nulo el momento de las fuerzas exteriores con respecto a un punto

cualquiera.

Las condiciones de equilibrio obtenidas, son necesarias, pero no suficientes, en el caso

de sistemas deformables, como puede comprobarse al considerar una barra deformable a

la que se aplican en sus extremos fuerzas opuestas según su dirección. Se cumplen las

10-9

dos condiciones de equilibrio, pero la barra no se halla en equilibrio, ya que se produce

acortamiento o alargamiento de su longitud.

-Equilibrio relativo de los sistemas de puntos materiales

Se consideran al igual que para el punto material, las fuerzas absolutas constituidas por

las fuerzas directamente aplicadas y las de ligadura y las fuerzas de inercia constituidas

por la de inercia de arrastre y la complementaria. La aplicación de las dos condiciones

de equilibrio de los sistemas de puntos materiales, determina el equilibrio relativo.

-Equilibrio dinámico de los sistemas de puntos materiales

Se consideran al igual que para el punto material, las fuerzas absolutas, constituidas por

las fuerzas directamente aplicadas y las de ligadura y la fuerza de inercia de arrastre. La

aplicacion de las dos condiciones de equibrio de los sistemas de puntos materiales,

determina el equilibrio dinámico.

Teniendo en cuenta las ecuaciones de los teoremas generales de la dinámica de los

sistemas de puntos materiales, teorema del centro de masas

y teorema del momento cinético

-' dLN=-

dt

se tiene

R-Mac = O

N- dL =0dt

10-10

R+R'=O

siendo R Y N la resultante y el momento resultante y el momento resultante

respectivamente, de las fuerzas absolutas y R' Y N' las mismas magnitudes para las

fuerzas de inercia de arrastre.

Consecuencia de lo anterior es el teorema del equilibrio dinámico de los sistemas de

puntos materiales, según el cual: Todo sistema de puntos materiales en movimiento con

respecto a un sistema inercial, puede considerarse en equilibrio, si se considera que

sobre él actúan las fuerzas absolutas y las de inercia de arrastre.

10.5. Estática del sólido rígido

- Principio de traslación de las fuerzas

Sea un sólido rígido, figura 10.1, sobre el que actúa una fuerza F en el punto A. Si se

añaden en el punto B las fuerzas F; y - F; colineales con F, y de igual módulo, el

efecto de la fuerza F sobre el sólido no se altera.

--~,.....,~ .

Fig. 10.1

Puesto que las fuerzas F y - F; constituyen un sistema de fuerzas nulo, al ser rígido el

sólido, pueden ser suprimidas, quedando como única acción sobre el sólido la fuerza F]

idéntica a la fuerza F, pero aplicada en el punto B.

10-11

~-------------------------------------------

Teniendo en cuenta lo anterior, puede establecerse el principio de traslación de las

fuerzas en sólidos rígidos, según el cual: El efecto de una fuerza sobre un sólido rígido

no se altera si el punto de aplicación se desplaza a lo largo de su recta soporte.

Del principio de traslación de las fuerzas, se deduce que las fuerzas que actúan sobre un

sólido rígido, aunque realmente son vectores localizados, se pueden considerar como si

fueran vectores deslizantes, y de ahí la suficiencia de las condiciones de equilibrio

obtenidas para los sistemas de puntos materiales, en el caso de que estos sean rígidos.

- Equilibrio del sólido rígido

El estudio del equilibrio del sólido rígido se efectúa aplicando las dos condiciones de

equilibrio de los sistemas de puntos materiales, lo cual da lugar a dos ecuaciones

vectoriales o lo que es igual a seis ecuaciones escalares en las que figuran, en general,

como incógnitas, las fuerzas de ligadura y los parámetros que determinan el equilibrio.

Si el número de ecuaciones es igual al de incógnitas, el sistema material se denomina

isóstatico o estáticamente determinado, hiperestático o estáticamente indeterminado si el

número de ecuacioneses menor que el número de incógnitas e hipostático si el número

de ecuaciones es mayor que el de incógnitas.

Para el estudio de los sistemas hiperestáticos son precisas ecuaciones complementarias a

las de la estática que igualen al número de incógnitas y que provienen de la resistencia

de materiales. Los sistemas hipostáticos no pueden estar en equilibrio ya que el sistema

de ecuaciones no tiene solución. El número de ecuaciones complementarias se

denomina grado de hiperestáticidad del sistema.

En el equilibrio del sólido rígido, este puede ser libre o estar sometido a ligaduras. El

sólido libre constituye un sistema isostático al ser el número de incógnitas seis, las tres

coordenadas de su centro de masas y los tres ángulos de Euler, igual al de ecuaciones.

En el caso del sólido sometido a ligaduras, el sistema es isóstatico si tiene un punto fijo,

al ser el número de incógnitas seis, los tres ángulos de Euler y las tres componentes de

la fuerza de ligadura y es hiperestático, de grado de hiperetáticidad uno o tres, en los

casos de tener dos puntos fijos o tres, respectivamente.

10-12

LECCION 11

11.1. ESTATICA ANALITICA

- Coordenadas generalizadas

La posición o configuración de un sistema de n puntos materiales, queda determinada

por medio de 3n coordenadas cartesianas ortogonales.

Si el sistema material se halla sometido a ligaduras, dadas matemáticamente por k

ecuaciones, habrá 3n-k coordenadas libres y las k restantes se determinarán en función

de las 3n-k libres. Se dice entonces, que el sistema tiene 3n-k grados de libertad.

Las 3n-k coordenadas cartesianas ortogonales, pueden ser expresadas en función de

otras variables independientes q¡, q2, ... , q3n-k, que pueden ser longitudes, ángulos, etc.

Por tanto

A q¡, q2, ... , q3n-k,se las denomina coordenadas generalizadas, las cuales a diferencia

de las cartesianas, no son susceptibles de ser agrupadas de tres en tres para definir un

vector.

Si un sistema de puntos materiales tiene su posición o configuración definida por 3n-k

coordenadas generalizadas, esta, quedará definida por un punto en un espacio de 3n-k

dimensiones, denominado espacio de configuración, correspondiendo cada dimensión

a una coordenada generalizada.

- Desplazamiento virtual

Se denomina desplazamiento virtual (imaginado) de un punto material, a un

desplazamiento elemental, que se efectúa en un instante y es compatible, o no, con las

ligaduras.

1 1- 1

Si r es el vector de posición del punto, el desplazamiento virtual se representa por orpara distinguido del desplazamiento real d r y matemáticamente se trata de forma

análoga al real, siendo sus componentes cartesianas Sx, oy y Sz,

-Trabajo virtual

Si sobre un punto material actúa, entre otras, una fuerza F, el trabajo virtual de esta

fuerza en el desplazamiento virtual or , se define como el trabajo elemental oW dado

por el producto escalar de F por or ,es decir

JW=F·Jf

-Ligaduras perfectas

Se denominan ligaduras perfectas, ideales o sin rozamiento, a aquellas en las que la

suma de los trabajos virtuales de las fuerzas de ligadura, es nula, para los

desplazamientos virtualescompatibles con las mismas haya o no equilibrio.

11.2. Principio de los trabajos virtuales

Establece que: La condición necesaria y suficiente para que un sistema de puntos

materiales, sometido a ligaduras perfectas, se halle en equilibrio, es que sea nula la

suma de los trabajos virtuales de las fuerzas directamente aplicadas para cualquier

desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.

Para demostrar que la condición es necesaria, se considera que el sistema material está

en equilibrio, para lo cual han de estarlo todos sus puntos. Si P, es un punto genérico del

sistema y está en equilibrio, se ha de verificar que

F + F' = OI I

11-2

siendo F¡ y F¡' las resultantes de las fuerzas directamente aplicadas y de ligadura

respectivamente, que actúan sobre el punto p¡.

Si se somete el sistema material a un desplazamiento virtual compatible con las

ligaduras, el trabajo virtual de las fuerzas que actúan sobre el punto p¡ es

F·or.+F'·or.=OI I I

Para el sistema se tiene

" F· o r. + L: F' . o r. = OL... 1 1 1

Al ser el desplazamiento virtual compatible con las ligaduras y estas perfectas

L: F' . sv. = OI I

Por tanto

L:F·or. =0I

(1)

que demuestra que la condición es necesaria.

Para demostrar que la condición es suficiente se supone que se verifica (1) y que el

sistema no está en equilibrio. Se hace por reducción al absurdo.

Si verificándose (1) el sistema no estuviera en equilibrio, al abandonarlo a si mismo, en

reposo, el sistema se pondría en movimiento de manera que sus puntos tendrían una

aceleración de dirección y sentido los de la resultante de las fuerzas que actúan sobre

cada uno de ellos (directamente aplicadas y de ligadura) de modo que

L:F . d ¡= +L: F' . d ¡:. > O1 1 1

11-3

Si se considera el desplazamiento virtual 8 f¡ que coincide con el real d f¡ , se tiene

Al ser las ligaduras perfectas

y por tanto

en contradicción con la hipótesis de partida. Luego la hipótesis de partida no es cierta y

se verifica (1), es decir, que el sistema está en equilibrio, lo cual demuestra la

suficiencia de la condición.

11.3. Condiciones generales de equilibrio deducidas del principio de los trabajos

virtuales

El principio de los trabajos virtuales tiene como expresión

L:P·8r. =0I

denominándose a esta ecuación, ecuación general de la estática, dado que a partir de ella

se deducen las condiciones generales de equilibrio de los sistemas de puntos materiales.

Si

es el vector de posición de un punto genérico del sistema material, siendo q¡ las

coordenadas generalizadas que definen su posición o configuración, el desplazamiento

virtual está dado por

11-4

s:- Br¡ s:o r =-uq.J B Jqj

Si el sistema material es holónomo, los desplazamientos virtual es dados por (2), son

compatibles con las ligaduras, al corresponder 8qj al número mínimo de coordenadas

generalizadas que definen la posición o configuración del sistema material, coincidente

dicho número con el de grados de libertad del sistema. Si k es el número de grados de

libertad y n el número de puntos, de (1) Y (2) se tiene

Si

se define como la fuerza generalizada que corresponde a la coordenada ~, se tiene

k¿Qj8qj=Oj=1

(3)

Dado que el sistema material se ha supuesto que es holónomo, (3) ha de verificarse para

cualquier conjunto de 8~ arbitrarias, entonces han de ser nulas las k fuerzas

generalizadas, es decir,

(4)

A partir de (4), se obtienen k ecuaciones con k incógnitas, las k coordenadas

generalizadas ~ que dan la configuración de equilibrio.

Por tanto, puede establecerse que: Las posiciones o configuraciones de equilibrio de un

sistema de puntos materiales sometido a ligaduras perfectas se obtienen anulando las

fuerzas generalizadas.

11-5

~--------------~-----~

En el caso de que las fuerzas directamente aplicadas F¡ deriven de un potencial Vi

F = - grad V.1 1

se tiene que

~oVQ=--

J oqj

siendo V el potencial total del sistema material.

Las condiciones de equilibrio son en este caso las k condiciones

que expresan las condiciones de extremo del potencial total del sistema material.

11-6

LECCION 12

12.1. Dinámica analítica

La utilización de los teoremas generales de la dinámica para determinar el movimiento

de sistemas materiales, presenta dificultades cuando se trata de sistemas complejos,

siendo la principal, la imposibilidad de prescindir de las fuerzas de ligadura, además de

obligar al estudio particular de cada caso, por no disponer de una formulación única.

Mediante la dinámica analítica, se dispone de una formulación única, ecuaciones de

Lagrange o de Hamilton, aplicable a cualquier sistema material por complejo que sea y

de que las ligaduras y el sistema de referencia se hallen o no en movimiento, si bien su

máximo interés es el del estudio de los sistemas sometidos a ligaduras perfectas y a

ligaduras holónomas.

Los procedimientos de la dinámica analítica, se basan en el empleo de magnitudes

escalares, tales como energía cinética, energía potencial y trabajo virtual expresadas en

función de las coordenadas generalizadas elegidas para defmir la posición o

configuración del sistema material.

Así como en el segundo axioma de Newton, es preCISOdistinguir si el sistema de

referencia es inercial o acelerado, en las ecuaciones de Lagrange y de Hamilton no es

precisa tal distinción, bastando con considerar las coordenadas g~neralizadas respecto a

un sistema inercia!'

12.2. Energía cinética

La energía cinética para un sistema de n puntos materiales es.

n 1 2T=" =m.v.f-2 I I

12-1

Como el vector de posición, en el caso más general, de ligaduras dependientes del

tiempo y sistemas de referencia móviles, está dado en función de las coordenadas

generalizadas q¡ y del tiempo por

(j = 1, 2, ... , k)

la velocidad es

Luego

T ~ ~ 1 ar¡ ar;.. ~ ~ Of¡ ar¡. ~ 1 (0f¡)2= L.,¡L..- m¡ _. -q81 + L.,¡L.,¡m¡ _. -qj + L.,¡- m¡ -¡=\ j.l=l 2 8qj oql i=\ j=I 8qj at ¡=l 2 at

que puede ponerse en la forma

k k

T = ¿Aj\ qj q\ +¿Bj qj + Cj.l=l j=l

en la que las expresiones de Ajl, B¡ YC son evidentes.

Cuando las ligaduras son independientes del tiempo y no hay sistemas de referencia

móviles al no aparecer explicitamente el tiempo en la expresión del vector de posición

se anulan Bj y C.

Habitualmente, para obtener la energía cinética de un sistema material, no se utiliza la

expresión anterior, y si se utiliza el segundo teorema de Kónig sumando las energías

cinéticas de todos los sólidos que constituyen el sistema material.

12.3. Principio de D' Alembert

Sea un sistema de n puntos materiales p¡, P2, •.• ,Pn, de masas m., m¿ ... ,I11n, sometido a

ligaduras perfectas. Si ~ y F:' son la fuerza directamente aplicada y la fuerza de

12-2

,-----------------~ ..__ . -_ .. _ ... _-----_. - ._-----

ligadura que actúan sobre el punto P, respectivamente, según el segundo axioma de

Newton se tiene

o bien

F+Ft-m.a=OI I 1 1

donde - m¡a¡ es la fuerza de inercia.

Esta ecuación, que expresa el equilibrio dinámico del punto material P¡ según el cual es

nula la resultante de fuerzas que actúan sobre él, directamente aplicadas, de ligadura y

de inercia de arrastre, es conocida como principio de D' Alembert.

Si se somete al sistema material a un desplazamiento compatible con las ligaduras,

según el principio de los trabajos virtuales se tiene

n

"(F +Ft - ma.)· Df =0L,...¡ I 1 I I I

1

n

"(F - m.á.}: Df =0L,...¡ J J 1 1

1

ya que las ligaduras son perfectas.

Esta ecuación denominada ecuación general de la dinámica de los sistemas materiales,

es otra forma del principio de D' Alembert, según el cual: En un sistema material

sometido a ligaduras perfectas, es nula la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas

directamente aplicadas y de las de inercia.

12-3

12.4. Ecuaciones de Lagrange para sistemas bolónomos

Sea un sistema material holónomo, constituido por n puntos materiales PI, P2, ... , Pn,

de masas m., rn-, ... .m.,

Al ser el sistema material holónomo, las ecuaciones de ligadura están expresadas en

terminos finitos en la forma

pudiendo definir la posición o configuración del sistema material, mediante un número

mínimo de coordenadas generalizadas independientes que, coincide con el número de

grados de libertad del sistema material, ya que en este caso, es posible eliminar de las

magnitudes características un número de coordenadas generalizadas igual al número de

ecuaciones de ligadura

Si k es el número de grados de libertad, el vector de posición de un punto genérico del

sistema material, estará definido, en el caso más general de ligaduras dependientes del

tiempo o sistemas de referencia móviles, en función de la k coordenadas generalizadas

q¡ y del tiempo por

f = r (q. t), , J'

Los desplazamientos virtual es compatibles con las ligaduras están dados por

df8r =-' óq.'-:'1 Joqj

A partir de la ecuación general de la dinámica se tiene

12-4

{ [d dr (ff. dr. d (ff, ]}Q._ -(m.-I ._I)_m_1 ._(_1) <5q.=O

J dt 1 dt 8q j 1 dt dt 8q j J

{Q. -[~(m.Y' (]Vi) _ m.v.: (]Vi ]}<5q. = OJ dt 11 aqj 11 8q j J

ya que al ser la velocidad

se verifica que

(]V. éJf_1=_18e¡j 8qj

Por tanto

{ [d 8 1 2 8 1 2 ]}Q. - - --(-m.v. ) - -(-m.v.) oq. = O

J dt 8e¡j 2 11 8qj 2 11 J

{Q. _[~ 8T _ ay ]}<5q. = O

J dt aqj 8qj J

Puesto que las coordenadas generalizadas q¡ son independientes, sus valores son

arbitrarios, debiendo ser nulos todos los coeficientes, es decir,

daT aTQ=----

J dt 8e¡. 8q.J J

resultando las ecuaciones primeras de Lagrange.

12-5

Q. =_ avJ aqj

Si las fuerzas directamente aplicadas derivan de un potencial

Luego sustituyendo se tiene

d a(T - V)dt 8Qj

a(T- V) = O8qj

ya que el potencial V es sólo función de la posición.

Si

L=T-V

es la lagrangiana del sistema, se tiene

d aL 8L_o------dt 8qj 8qj

que son las ecuaciones segundas de Lagrange.

Las ecuaciones de Lagrange, en cualquiera de sus formas, son ecuaciones diferenciales

de segundo orden, que una vez integradas, dan las coordenadas generalizadas q¡ en

función del tiempo, de manera que ello permite obtener la posición o configuración del

sistema material en cualquier instante, por medio del vector de posición

f¡ =f¡(t)

12-6

12.5. Significado de las fuerzas generalizadas

La fuerza generalizada Qj que corresponde a la coordenada q¡ está definida por

y es una magnitud tal que Qjoqj representa un trabajo.

Si se fijan todas las coordenadas excepto una, por ejemplo q¡, y el tiempo, Q};qj se

transforma en Q¡oq¡ . A partir de la expresión de Q¡ , se tiene

que representa el trabajo de todas las fuerzas directamente aplicadas al sistema material,

como consecuencia de la variación de la posición o configuración del mismo, producida

al variar la coordenada generalizada q¡.

En general, si la coordenada generalizada q¡ es una longitud, Qj es la proyección de

todas las fuerzas directamente aplicadas sobre la dirección de la coordenada q¡ y si es

un ángulo, Qj es el momento áxico resultante de todas las fuerzas directamente

aplicadas respecto al eje normal al plano del ángulo en su vértice. En ambos casos, el

sentido de proyección o el del momento áxico son aquellos en los que crece la

coordenada generalizada q¡, es decir, tomando el sentido positivo para oqj' resultando

positiva o negativa la fuerza generalizada, según que coincida o no el sentido de la

proyección o el momento áxico con el del crecimiento de la respectiva cooordenada

generalizada.

12.6. Potencial dependiente de la velocidad

Es posible utilizar las ecuaciones segundas de Lagrange aún en el caso de que las

fuerzas directamente aplicadas no deriven de un potencial. Esto es posible si se cumple

12-7

siendo

el denominado potencial dependiente de la velocidad o potencial generalizado.

Por tanto a partir de las ecuaciones primeras de Lagrange se tiene

d aL aL _ o-----dt aqj aqj

siendo en este caso la lagrangiana

L=T-U

Un caso muy importante de fuerzas que derivan de un potencial dependiente de la

velocidad, es ellas fuerzas electromagnéticas que actúan sobre cargas móviles.

12.7. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holónomos. Multiplicadores de

Lagrange

Sea un sistema material no holónomo, constituido por n puntos materiales p¡, P2, ... ,

Pn,de masas m., m2, ... .m;

Al ser el sistema material no holónomo, las ecuaciones de ligadura están expresadas en

términos diferenciales mediante expresiones que no son diferencial total exacta y son,

en general, de la forma

12-8

no siendo posible, en estos sistemas materiales, expresar las magnitudes características

en función del número mínimo de coordenadas generalizadas independientes o libres

que defmen su posición o configuración, coincidente con el número de grados de

libertad del sistema material, al no ser posible, eliminar en tales magnitudes, de un

número de coordenadas generalizadas igual al número de ecuaciones de ligadura.

Los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras verifican las ecuaciones

Esta misma situación se plantea en sistemas holónomos en los que las ecuaciones de

ligadura están expresadas en términos fmitos, en la forma

pero que hacen imposible la eliminación en las magnitudes características de un

número de coordenadas generalizadas igual al número de ecuaciones de ligadura. En

este caso las ecuaciones de ligadura se ponen en forma diferencial

8f 8f_1 dq.+-ldt=O8qj J at

formalmente idénticas a las de las ecuaciones de ligadura no holónomas en las que los

coeficientes alj y al ahora son derivadas y los desplazamientos virtuales en este caso

verifican las ecuaciones

Observando las ecuaciones de ligadura y las que verifican los desplazamientos virtuales

compatibles con las ligaduras, se concluye, que los desplazamientos virtuales no

12-9

coinciden con los reales cuando las ligaduras dependen del tiempo y si coinciden

cuando no existe tal dependencia.

Por tanto, se dará a los sistemas holónomos sometidos a estas ligaduras hólonomas el

mismo tratamiento que a los sistemas no holónomos.

A partir del principio de D'Alembert se obtienen las ecuaciones

{Q._[~ a: -~]}8q. =0J dt 8qj 8qj J

siendo n el número de coordenadas generalizadas q¡ y los desplazamientos virtuales

IX¡ j están relacionados mediante las r ecuaciones de ligadura

Si se multiplica cada una dejas ecuaciones de ligadura por un parámetro A y se suma

con la ecuación anterior, se tiene

{Q +A a -[~ or - ~]}8q. = OJ 1 I¡ dt 8qj 8qj J

Los n paréntesis que corresponden a los n desplazamientos virtuales 8qj son nulos

debido a la elección de r de los parámetros y a la independencia de los n - r

desplazamientos virtuales 8qj'

Por tanto, se tiene

12-10

Estas n ecuaciones junto con las r ecuaciones de ligadura determinan las n+r incógnitas,

que son los r parámetros A.y las n coordenadas generalizadas 'lí.

Si las fuerzas directamente aplicadas derivan de un potencial,

siendo V el potencial total del sistema, se tiene

y si las fuerzas aplicadas unas derivan de un potencial y otras no, las primeras se

introducen en la lagrangiana y las otras quedan como fuerzas generalizadas,

obteniéndose

12.8. Significado físico de los multiplicado res de Lagrange

Si en un sistema material se sustituyen las ligaduras por las correspondientes fuerzas de

ligadura el sistema puede considerarse que se mueve libremente sometido a la acción de

estas fuerzas y de las directamente aplicadas.

Si Q¡' y Qj son las fuerzas generalizadas que provienen de las fuerzas de ligadura y de

las fuerzas directamente aplicadas respectivamente, las ecuaciones de Lagrange son

(1)

12-11

Teniendo en cuenta las ligaduras, las ecuaciones se tienen las ecuaciones de Lagrange

dar arQ +Aa ------j 1 lj - dt 8q j 8q j

luego

Por tanto, los multiplicadores de Lagrange son unos coeficientes que multiplicados por

los correspondientes de las ecuaciones de ligadura dan las fuerzas de ligadura

generalizadas ..

Este procedimiento basado en los multiplicadores de Lagrange permite determinar,

además del movimiento, las fuerzas de ligadura.

Sin embargo para la determinación de fuerzas de ligadura es más útil usar el concepto

de fuerza de ligadura generalizada y por tanto, utilizar las ecuaciones (1), en las que

mediante el trabajo virtual de todas las fuerzas, las directamente aplicadas y las de

ligadura,.se determinan las fuerzas de ligadura generalizadas Qj y Q/.

12-12

LECCION 13

13.1. Ecuaciones de Lagrange en dinámica impulsiva para sistemas holónomos

Sea un sistema material holónomo, de n puntos materiales Al, A2, 000' An, de masas mi,

m2, oo. ,mn, al que se aplican en un determinado instante las percusiones p¡ o

Al ser el sistema material holónomo, como ya se vió al obtener las ecuaciones de

Lagrange, es posible en este tipo de sistemas, definir la posición o configuración del

sistema material mediante un número mínimo de coordenadas generalizadas

independientes que coincide con el número de grados de libertad del sistema material,

ya que en este caso es posible eliminar, en las magnitudes características un número de

coordenadas generalizadas igual al número de ecuaciones de ligadura

A partir de las ecuaciones de Lagrange

d er orQ.=----J dt oqj oqj

Multiplicando ambos miembros por dt e integrando entre tf y ti, se tiene

Si se defme la percusión generalizada por

If

Pj = fQj dtI¡

se tiene

[orJ [orJp - - --j - oqj If oqj t¡

13-1

(2)

ya que

t

foT dt = oti Oqj

en el intervalo de tiempo tr - ti que es muy pequeño.

Las ecuaciones algebraicas (2) en numero igual al de grados de libertad del sistema

material, permiten determinar el estado de velocidades del sistema material en el

instante tf conocido el estado de velocidades en el instante ti.

En general, si la coordenada generalizada q¡ es una longitud, Pj es la proyección de

todas las percusiones directamente aplicadas sobre la dirección de la coordenada q¡ y si

es un ángulo, Pj es el momento áxico resultante de todas las percusiones directamente

aplicadas, respecto al eje normal al plano del ángulo en su vértice. En ambos casos, el

sentido de proyección o el del momento áxico son aquellos en los que crece la

coordenada generalizada q¡, es decir, tomando el sentido positivo para 8qj' resultando

positiva o negativa la percusión generalizada, según que coincida o no el sentido de la

proyección o el momento áxico con el del crecimiento de la respectiva cooordenada

generalizada

13.2. Ecuaciones de Lagrange en dinámica impulsiva para sistemas no holónomos

Si el sistema es no holónomo, como ya se vió al obtener las ecuaciones de Lagrange

para este tipo de sistemas materiales, no es posible expresar las magnitudes

características en función del número mínimo de coordenadas generalizadas

independientes o libres que defmen su posición o configuración coincidente con el

número de grados de libertad del sistema material, al no ser posible, eliminar en tales

magnitudes un número de coordenadas generalizadas igual al número de ecuaciones de

ligadura..

En estos sistemas es preCISOutilizar los multiplicadores de Lagrange, ya vistos

anteriormente, siendo posible la determinación de las percusiones de ligadura, además

13-2

del estado de velocidades en el instante tf conocido el estado de velocidades en el

instante ti.

Sin embargo para la determinación de percusiones de ligadura es más útil usar el

concepto de percusión de ligadura generalizada y por tanto utilizar las ecuaciones

correspondientes.

13-3

MECÁNICA - Apuntes 2º IM

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