Mecánica Medio Continuo

7/26/2019 Mecnica Medio Continuo

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Facultad de Ingeniera de la UNACH M.I. Moiss Nazar Beutelspacher

UNIVERSIDAD AUTNOMA DECHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERIA

APUNTES DEMECNICA DEL

MEDIO CONTINUO

Lic. En Ingeniera Civi !" #e$e#%re.

M.I. M&i#'# Na(ar )e*%e#+ac,er

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APUNT! " #A MAT$IA " MCANICA "# M"I% C%NTINU%

Programa del curso:

TEMA CLASE1. Fundamentos matemticos.1.1. Vectores y escalares. 1 y 1.. !otaci"n indicial# tensores y o$eraciones con tensores. %1.%. Matrices# o$eraciones con matrices y re$resentaci"n

matricial de tensores. &1.&. 'eri(aci"n de tensores. )1.). Teorema de Sto*es y de +auss. ,

. Conce$to de medio continuo..1. Pro$iedades del medio continuo. -.. A$licaciones.

%. Anlisis de es/uer0os.%.1. ntroducci"n. 2%.. Es/uer0o en el interior de un medio continuo. 2%.%. Estado de es/uer0os $lano# (ector de es/uer0os. 13%.&. Valores m4imo y m5nimo de es/uer0o cortante. 11%.). C5rculo de Mo6r $lano. 1 y 1%%.,. C5rculo de Mo6r en el es$acio. 1&%.-. Ecuaciones de e7uili8rio interno. 1)%.. Primer $arcial. 1,

&. Anlisis de de/ormaciones.&.1. ntroducci"n. 1-&.. 'es$la0amientos en el interior de un medio continuo. 1&.%. 'e/ormaci"n $lana. 12# 3&.&. Velocidad de de/ormaci"n. 1 # &.). Aceleraci"n. %

). 9elaciones Es/uer0o'e/ormaci"nVelocidad de de/ormaci"n.).1. ntroducci"n. & y )).. 9elaci"n es/uer0ode/ormaci"n. ,# - y ).%. 9elaci"n es/uer0o(elocidad de de/ormaci"n. 2# %3 y %1).&. Segundo $arcial. %

%&'eti(o general del curso: Permitir al alumno o8tener los /undamentosmatemticos 7ue dan (alide0 a los $rinci$ios 7ue utili0a la ingenier5a $ara resol(erlos di(ersos $ro8lemas a los 7ue se en/rentar en las reas de estructuras# mecnicade /luidos# termodinmica y electricidad y magnetismo.


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). Funda*entos *ate*+ticos.1.1. ,ectoresy escalares.

Las cantidades /5sicas 7ue $ueden ser re$resentadas $or un solo n;mero# su

magnitud# se denominan escalares< e=em$los de estas cantidades /5sicas son: latem$eratura# el tiem$o# la masa y el coe/iciente de rugosidad de una canal entremuc6os otros.

Si $ara re$resentar una magnitud /5sica se re7uiere de es$eci/icar su magnitud#su direcci"n y sentido# entonces ser una cantidad (ectorial. Son e=em$los de(ectores: el des$la0amiento de una $art5cula# su (elocidad# su aceleraci"n# las/uer0as# los es/uer0os y de/ormaciones re/eridos a un $lano entre muc6os otros.

Las o$eraciones con escalares son 8ien conocidas y estn re/eridas al lge8ra yclculo com;n< las o$eraciones con (ectores cum$len reglas distintas. Los (ectoresse indican generalmente con:

a> Letras negritas ?a#z#->.

8> Agregando un 5ndice a una letra ?ai#0*#4l>.c> Colocando una /lec6a so8re un $ar de letras 7ue indican un segmento

dirigido ?A@# M!# P>.+eomBtricamente se indican con una /lec6a# cuya longitud a cierta escala corres$ondecon su magnitud# y su direcci"n y sentido estn determinados con la $osici"n de la/lec6a. Se (eri/ican las siguientes $ro$iedades en las o$eraciones (ectoriales:

1. a&D&a?ley conmutati(a>.. a?&c>D?a&>c ?Ley asociati(a>.%. m?a&>Dmam&?Ley distri8uti(a>.&. ?mn>aDmana?Ley distri8uti(a escalar>.). a/Da?dentidad>.,. a?a>D/?n(erso>.-. a0&10&a ?La sustracci"n de dos (ectores se corres$onde con la suma de una

(ector con el negati(o del otro (ector>.. a&a & ?'esigualdad del tringulo>.2. Si aD siendo ay &(ectores li8res# entonces ay &tienen la misma direcci"n y

magnitud# aun cuando no coincidan en el es$acio.13. La multi$licaci"n de un (ector a$or un escalar m# se de/ine como sigue:

a. La magnitud de maes m a&. Si mG3 y aH 3# entonces la direcci"n de maes la de a.

c. Si mI3 y aH 3# entonces la direcci"n de maes la contraria a la de a.d. Si mD3 o aD3# entonces maes /.'e estas $ro$iedades se des$rende 7ue dos (ectores ay &son $aralelos ?a&> siy solo si e4iste un escalar m tal 7ue aDm&.

11. Jn (ector unitario se de/ine como: eaDaKa.1. Se de/ine el $roducto $unto o $roducto interno de dos (ectores a y & como

a.& 1 2a2 2&2 cos , siendo el ngulo entrea y& 3 .1%. a.&D&.a ?Ley conmutati(a del $roducto escalar>.1&. a.a132a24.1). ?&c>.a 1 &.ac.a ?Ley distri8uti(a del $roducto escalar>.1,. 'e lo anterior se des$rende 7ue si a.&D 3 y aH3 y &H3# entonces aN&.

1-. 2a.&2 2a22&2 ?'esigualdad de Cauc6ySc6Oart0>.

%


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1. Se de/ine como $roducto cru0 o $roducto e4terno de dos (ectores a y & a lao$eraci"n: a 4 &Da8 sen u5 donde es el ngulo entrea y&5 3 #yu esun (ector unitario tal 7ue uNa yuN&. La direcci"n de ues la de a(ance de untornillo de rosca derec6a cuando arota 6acia &un ngulo . Se (eri/ican en el

$roducto cru0 las siguientes $ro$iedades:a. a4 &D 0&4 a ?Ley anticonmutati(a>.&. a 4?&c> 1 a 4& a 4c ?Ley distri8uti(a>.c. ?ma> 4& 1 a 4 ?m&> D m ?a4 &>.d. a4 aD /.e. 2a 4&21 2a22&203a.&4?dentidad de Lagrange>.

12. Se de/ine como tri$le $roducto escalar de tres (ectores a# & y ces un escalara .?& 4 c># o sim$lemente a.&4c. El tri$le $roducto escalar de tres (ectores se

$uede inter$retar como el (olumen 7ue encierra un $aralele$5$edo cuyos ladossean a# &y c. Este $roducto tiene las siguientes $ro$iedades:

a. El $unto y la cru0 se $ueden intercam8iar sin a/ectar el resultado:

a.&4cDa4&.c# $or sencille0 en ocasiones se escri8e sim$lemente comoa&cQ.&. La $ermutaci"n c5clica de los (ectores no a/ecta el resultado# mientras

7ue la $ermutaci"n no c5clica le cam8ia el signo: a&cQD&caQDca&QDac&QD&acQDc&aQ.

c. 'e lo anteriormente esta8lecido se sigue 7ue el tri$le $roducto escalar detres (ectores co$lanares es 3.

3. Los (ectores se $ueden re$resentar $or medio de un sistema coordenado 7ue$uede ser cil5ndrico# es/Brico# rectangular u de otra 5ndole. El sistema em$leadoms a menudo es el sistema rectangular< este sistema de/ine un (ector cual7uieracomo una com8inaci"n lineal de (ectores unitarios ortogonales# 7ue /orman una

base ortonormal. El es$acio de/inido $or los (ectores unitarios $uede tenercual7uier dimensi"n# la 7ue ser igual al n;mero de (ectores unitarios 7ue/orman el sistema. Son usuales los sistemas de dos# tres y cuatro dimensiones.'entro del sistema coordenado rectangular un (ector ase e4$resa como:

aD a4iay'a06'onde los (alores de a4# ay# a0 re$resentan las com$onentes de a seg;n los e=escoordenados R##< estas com$onentes se o8tienen e/ectuando el $roducto:a- 1 a . i5 a71 a . '5 a61 a . zE=em$los de (ectores re$resentados en un sistema coordenado rectangular son:

aD ? # )># &D ? -# # %># cD ?%# 1>

El $roducto escalar a.& em$leando su re$resentaci"n dentro del sistemacoordenado rectangular ?SC9> ser:

a.&D ?U-&U?>?)>U% D 2.

El $roducto cru0 o $roducto e4terno a4 &en el SC9# ser:

i ' 6a 4&D a4 ay a0 D i?ay U80 a0 U8y> '?a4 U80 a0 U84> 6?a4U8y ay U ay>

84 8y 80

&


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Para nuestro e=em$lo tendremos: i ' 6

a4 &D & ) D i?&U%?>U?)>> '?U% ?)>U-> 6?U?>&U-> - %

a4 &D i &1'%6

El tri$le $roducto escalar a8cQ ser:

?a4 &> .cD ?# &1# %> .?%# 1> D ?U?%> ?&1>U& ?%>U?1>> D 1%

).8 Notaci9n indicial5 tensores 7 operaciones con tensores.

'e/inici"n de tensor: El conce$to de tensor $arte de una generali0aci"n de los (ectores de/inida y deri(a8le en cada uno de los $untos ?4#y#0> de unacierta regi"n del es$acio# el gradiente de # se re$resentar $or o grad y secalcular como:

[ ?Y KY4? Y KYy@ Y KY0 6> D Y KY4? Y KYy@ Y KY0 6

de/ine un cam$o (ectorial. Con la ayuda del gradiente de la /unci"n / se $uedecalcular la deri(ada de en la direcci"n de un (ector unitario a# e/ectuando el $roducto

$unto: ..a

A este $roducto se le llama deri(ada de en la direcci"n de a o 8ien deri(ada de seg;n a.

'i(ergencia:

Si U?4#y#0> D J1i J' J%6es una /unci"n de/inida y deri(a8le en todos los $untosde una regi"n del es$acio# la di(ergencia de U# 7ue se re$resenta $or di( Uo .U# seda $or: .U 1 ?YKY4?YKYy@YKY0 6> .?J1i J' J%6> D ?YJ1KY4 YJKYy YJKY0>

9otacional:

Si U?4#y#0> es un cam$o (ectorial deri(a8le# el rotacional de U# re$resentado $or - Uo $or rot U# (iene dado $or:

-U 1 ?YKY4?YKYy@YKY0 6> -?J1i J' J%6>

i ' 6 -U 1 YKY4 YKYy YKY0

J1 J J%

-U 1?YJ%KYy Y JKY0>i ?YJ1KY0 Y J%KY4>' ??YJKY4 Y J1KYy> 6

La$laciano:

El La$laciano de una /unci"n de/inida en una regi"n del es$acio# ser la di(ergenciadel gradiente de , es decir:

.? ) =YKY4 YKYy YKY0

F5sicamente estas o$eraciones matemticas se $ueden inter$retar< as5 el gradiente de una

/unci"n escalar indica la (ariaci"n de esta /unci"n res$ecto a sus coordenadas< une=em$lo de este ti$o de /unci"n a$arece cuando se estudian las tem$eraturas so8re una

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$laca y dentro de este estudio se $retende calcular la (ariaci"n de la tem$eratura en ladirecci"n de un (ector p# esto se calcula e/ectuando la o$eraci"n $unto entre elgradiente de la /unci"n e(aluada en el $unto en estudio y el (ector unitario p K p 7uetoma la direcci"n de p.Jna inter$retaci"n /5sica de la di(ergencia de un cam$o (ectorial ,?4#y#0># se $resenta

en la mecnica de /luidos como la ecuaci"n de continuidad de la masa:

di( ?,> D .?,> D / t

Es decir dentro del (olumen de un $aralele$5$edo in/initesimal# la di(ergencia delcam$o (ectorial ,ser igual a la (ariaci"n de la densidad en el tiem$o< esto im$lica7ue si el /luido es incom$resi8le# entonces la di(ergencia del cam$o de /lu=o ?,> serigual con cero.

El rotacional tiene dentro de la mecnica de /luidos una inter$retaci"n /5sica clara# $ues

e4$resa 7ue el rotacional del cam$o de (elocidades de un /lu=o da como resultado eldo8le de la (elocidad angular# $or consecuencia cuando un /lu=o no $resenta rotaci"n desus $art5culas# entonces ser un /lu=o irrotacional y el rotacional del cam$o (ectorial de(elocidades ser igual con cero.

D W?rot ,> D W? - ,>

Al (ector se le conoce como (ector (orticidad.

E=em$lo:

1. Siendo ?4#y#0> D %4yy%%0# 6allar el grad de en el $unto ?1##1>.. Encontrar la deri(ada direccional del grad de $ D 4y0 &40 en el $unto

?1# # 1> seg;n el (ector i' 6.

).D Teore*a de !to6es 7 de >auss.

El teorema de Sto*es esta8lece 7ue si S es una su$er/icie limitada $or una cur(a cerradasim$le C y Ees una /unci"n (ectorial 7ue tiene $rimeras deri(adas $arciales continuasso8re S y C# entonces:

s E.

ds D c E.

drF5sicamente este teorema esta8lece 7ue la circulaci"n total alrededor de una cur(acerrada C es igual al /lu=o del rotacional E a tra(Bs de una su$er/icie S encerrada $or C.Si su$onemos 7ue la /unci"n Ees un cam$o de /uer0as# entonces el 6ec6o de 7ue laintegral de su$er/icie de E en S se iguale con cero im$lica 7ue la circulaci"nalrededor de la cur(a 7ue delimita S ser igual con cero< como esta ;ltima integralre$resenta al tra8a=o e=ercido $ara des$la0ar a una $art5cula alrededor de C# entonces7uiere esto decir 7ue el tra8a=o reali0ado es cero< no im$ortando la /orma 7ue ado$te C#el cam$o de /uer0as ser conservativo. 9esumiendo si E 1 /# entonces el cam$ode /uer0as Ees conser(ati(o.

'e este teorema se des$renden los siguientes resultados im$ortantes:

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Si el rotacional de / D 3 ? E D /4# entonces la circulaci"n total alrededor de

cual7uier cur(a cerrada C ? c

E.dr4 ser igual con cero.

Si la su$er/icie S es una su$er/icie cerrada# entonces el /lu=o del rotacional a

tra(Bs de la su$er/icie S ser igual con cero.

Esto se deduce su$oniendo 7ue a la su$er/icie cerrada ?$or e=em$lo una es/era>#se le di(ide $or medio de una cur(a C ?su$ongamos su circun/erencia m4ima>#entonces si a$licamos el teorema de Sto*es a cada una de las mitades de laes/era# tendremos:

1s

E.ds D c

E.dr $ara la mitad derec6a

s E.

ds D c E.

dr$ara la mitad i07uierda

Siendo 7ue S D S1S tendremos 7ue el /lu=o total del rotacional a tra(Bs de S ser:

s

E.ds D c

E.dr 0 c

E.dr 1 3

Este resultado es a$lica8le a cual7uier su$er/icie cerrada# y la cur(a C 7ue la di(ida$odr $asar $or cual7uier $arte.

El teorema de di(ergencia o teorema de +auss e4$resa 7ue la integral de (olumen de ladi(ergencia de una /unci"n (ectorial Een una regi"n 9 del es$acio# cuyo (olumen es Vy 7ue se encuentra delimitada $or una su$er/icie cerrada S# ser igual a la integral desu$er/icie de la /unci"n (ectorial Eintegrada $ara toda la su$er/icie S.

R

.E d, 1 S

E .d!

F5sicamente este teorema dice 7ue el /lu=o total 6acia a/uera a tra(Bs de la su$er/icie

cerrada S es igual a la integral de la di(ergencia a tra(Bs de la regi"n 9 limitada $or S.Consecuencias im$ortantes de este teorema son:

Permite trans/ormar una integral de (olumen en una integral se su$er/icie. Esta8lece 7ue si Ees el (ector de $osici"n# entonces:

S

r.d! 1 %V Siendo V el (olumen de la regi"n 9 delimitada $or la su$er/icie

cerrada S.

. rD xx K yy K zz K D %

1

S1 S


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Por lo 7ue al a$licar el teorema de +auss# o8tenemos 7ue R

. r d, 1 % V.

E=em$lo:

Xallar S

r.ndS siendo S la es/era de radio con centro en ?3#3#3>.

A$licando el teorema de +auss tenemos 7ue:

S

r.ndS D R

. r d, 1 % V D %U ?&K% r3> D & ?>3D % .

. Concepto de *edio continuo.E4iste una gran cantidad de $ro8lemas de ingenier5a 7ue no $ueden resol(erse con lamecnica de los cuer$os r5gidos. Para sol(entar estos $ro8lemas se 6a ideali0ado lamateria seg;n el modelo de la mecnica del medio continuo. El conce$to del mediocontinuo es el de un medio carente de 6uecos o se$araciones entre sus $art5culas. Es

usual su$oner 7ue el medio es is"tro$o# es decir 7ue guarda las mismas $ro$iedades entodas las direcciones $osi8les. 'entro del modelo matemtico del medio continuo sesu$one 7ue el medio se $uede su8di(idir inde/inidamente# sin 7ue $ierda sus

$ro$iedades. Por otra $arte no es$eci/ica el medio la relaci"n 7ue e4iste entre loses/uer0os y de/ormaciones# $or lo 7ue di/erentes modelos de relaci"n es/uer0ode/ormaci"n $ueden ser em$leados. As5 se $ueden construir modelos del mediocontinuo elsticos# o 8ien $lsticos donde se tendrn de/ormaciones crecientes 8a=ocarga constante.

.1. Propiedades del *edio continuo. Las $rinci$ales $ro$iedades 7ue caracteri0anal medio continuo son las mecnicas# tBrmicas# elBctricas y magnBticas. Estas

$ro$iedades se darn $or medio de e4$resiones intensi(as# es decir# 7ue no de$enden de

la cantidad de masa $resente en el anlisis..1.1. Propiedades *ec+nicas.Mientras 7ue en la mecnica de los cuer$os r5gidos

la atenci"n se concentra en el clculo de los des$la0amientos# en la mecnica del mediocontinuo se 8uscar calcular las de/ormaciones. Estas $odrn ser momentneas# demodo 7ue duren en tanto estB a$licada la acci"n so8re el cuer$o# o 8ien $odrn serinde/inidas# es decir# 7ue mientras la acci"n siga actuando so8re el cuer$o# lade/ormaci"n continua. Este es el caso de las /luencias en los s"lidos (iscoelsticos# delos l57uidos y de los gases. En general las de/ormaciones son com$le=as# $or lo 7ue $arasim$li/icar su anlisis# se di(iden en de/ormaciones longitudinales y de/ormacionesangulares. Jna de/ormaci"n lineal ser la 7ue dados tres $untos no colineales ?A#Z#@>estos se des$la0an a las nue(as $osiciones ?A\# Z\# @\>< si l es la longitud del segmentoZA y l lla longitud del segmento Z\A\# la (ariaci"n unitaria de su longitud $uedeescri8irse como:

D lKl Esta ser la de/ormaci"n unitaria o elongaci"n del segmento ZA.

Para medir la de/ormaci"n angular se calcula la (ariaci"n angular de AZ@# siendo AZ@un ngulo recto# medida como:

A\Z\@\ D 23] Siendo entonces la de/ormaci"n angular unitaria la tangentedel ngulo .

D tan y se considera a D W ?tan >.

1%


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La de/ormaci"n angular unitaria se considera $ositi(a cuando el ngulo A@C se cierra ynegati(a cuando se a8re.Las de/ormaciones $ueden ser isotr"$icas o distorsi"nales# se dice 7ue una de/ormaci"nes isotr"$ica cuando es igual en todas direcciones en la $ro4imidad de un $unto< esto

im$lica 7ue no $uede 6a8er de/ormaciones angulares# sino solo elongaciones lineales< elresultado de una de/ormaci"n isotr"$ica es un cam8io de (olumen# sin cam8iar de/orma. A este ti$o de de/ormaci"n tam8iBn se le conoce con el nom8re de de/ormaci"n(olumBtrica. Jna de/ormaci"n se dice 7ue es distorsional cuando no cam8ia el(olumen# sino solo la /orma. Jna de/ormaci"n cual7uiera $uede o8tenerse como lasu$er$osici"n de una de/ormaci"n (olumBtrica y una distorsional.

La de/ormaci"n (olumBtrica se o8tiene a $artir de las de/ormaciones lineales de loslados de un $aralele$5$edo rectangular:

Si a#8#c son las longitudes de los lados del $aralele$5$edo rectangular y a?1a># 8?18>#

c?1c> son las longitudes del $aralele$5$edo de/ormado (olumBtricamente# entonces el(olumen del $aralele$5$edo de/ormado ser:

a?1a>8?18>c?1c> a8c?1a8c> 'es$reciando los tBrminos de orden su$erior.Si la de/ormaci"n 6u8iese sido isotr"$ica# el (olumen del $aralele$5$edo de/ormadoser5a: a8c?1(>% a8c?1%(>< igualando con la e4$resi"n anterior se o8tiene:

( D ?a8c >K%

E=em$lo .1 : 'ado un $aralele$5$edo rectangular de aD3# 8D1)# cD13# con un (olumeninicial de %333 cm%# 7ue 8a=o la acci"n de un sistema de /uer0as se de/orma de modo7ue: a

8a D 3.3% cm8 D 3.3) cm cc D 3.3 cm

las de/ormaciones lineales en cada sentido sern:

a D 3.3%K3 D 3.331)8 D 3.3)K1) D 3.331,,,,,,,-c D 3.3K13 D 3.33

La de/ormaci"n (olumBtrica ser:

( D ?3.331)3.331,,,,,,,,-3.33>K% D 3.333,11111111

Los lados del $aralele$5$edo de/ormado isotr"$icamente medirn:

a\ D 3U?13.333,1111111111> D 3.31 cm8\ D 1)U?13.333,1111111111> D 1).3321,,,- cm

1&


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c\ D 13U?13.333,111111111> D 13.33,11111 cm

El (olumen de este $aralele$5$edo es: V\ D %33).) cm%mientras 7ue el (olumen del$aralele$5$edo de/ormado real es: V\\ D %33).) cm%# lo 7ue 7uiere decir 7ue lade/ormaci"n isotr"$ica $roduce un $aralele$5$edo de igual (olumen al del cuer$o

de/ormado real. Para $roducir la condici"n de/ormada real es necesario agregar a lade/ormaci"n isotr"$ica la de/ormaci"n distorsional 7ue cam8ia la /orma del$aralele$5$edo sin cam8iar su (olumen. La de/ormaci"n ser en el sentido de a ?1?a(>># en el sentido de 8 ?1?8(>> y en el sentido de c ?1?c(>>.

a\\ D 3.31 cm U ?1?3.331)3.333,11111111>> D 3.3% cm8\\ D 1).3321,,,- cm U ?1?3.331,,,,,,,-3.333,111111111>>D 1&.2-) cmc\\ D 13.33,11111 cm U ?1?3.333.333,111111111111>> D 13.3 cm

Ztra $ro$iedad mecnica del medio continuo es la densidad y el $eso es$ec5/ico# ladensidad ser la deri(ada de la masa res$ecto al (olumen# mientras 7ue el $esoes$ec5/ico ser la deri(ada del $eso res$ecto al (olumen. Cuando estas $ro$iedades nocam8ian $ara ninguna coordenada de la regi"n 7ue de/ine el medio continuo# se o8tieneun (alor constante de las deri(adas# 7ue nos lle(a a las de/iniciones usuales DmKV yD PKV. Sin em8argo esta situaci"n no siem$re se cum$lir ?como en el caso de laatm"s/era># $or lo 7ue las de/iniciones generales se de8ern ado$tar.

D dmKdV

DdPKdV.

Estas dos $ro$iedades estn ligadas entre si $or la sencilla relaci"n:

D g Siendo g la aceleraci"n de la gra(edad.

Las /uer0as en el medio continuo $ueden ser de cuer$o o de su$er/icie# las $rimerasact;an de manera continua en todo el medio# mientras 7ue las segundas solo act;anso8re algunas su$er/icies. Si la /uer0a se mide $or unidad de masa encontramos la

$ro$iedad llamada /uer0a msica# al ser la /uer0a di(idida $or la masa# la unidad de las

/uer0as msicas ser la aceleraci"n:FDma :. FKm D aD E

Las /uer0as msicas 7ue mayormente se utili0an son el $eso y la /uer0a centr5/uga. Si la/uer0a de su$er/icie se di(ide $or la su$er/icie en la 7ue se a$lica# o8tendremos una

$ro$iedad mecnica llamada es/uer0o< las unidades de los es/uer0os sern unidades de/uer0a entre unidades de longitud al cuadrado.

E4isten dos modos 8sicos de medir las /uer0as# el em$leo de /uer0as conocidascontrarias a la $rimera de modo tal 7ue la anulen# o 8ien midiendo las de/ormaciones

7ue $roduce so8re un cierto cuer$o cali8rado. En el $rimer caso su a$licaci"n cotidianala (emos en las 8alan0as# mientras 7ue en el segundo caso se a$lica en los

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dinam"metros. Los es/uer0os internos de un medio continuo no se $ueden medirdirectamente# $or lo 7ue se calculan a $artir de las de/ormaciones 7ue el cuer$o su/ra.Como los es/uer0os son /uer0as $or unidad de su$er/icie# es indis$ensa8le $ara calculares/uer0os en el interior del medio continuo relacionar el es/uer0o con un $lano 7ue $ase

$or el $unto 7ue estamos estudiando.

E=em$lo . : Jna 8arra sometida a una tracci"n tiene las siguientes caracter5sticas:

L D %.33 m.' D 3.3%1 m^rea normal al e=e de la 8arra D 3.3311& m

Carga D 3 333 !Si el $lano en el 7ue se anali0a el es/uer0o es normal al e=e de la 8arra# el es/uer0o ser:

D 3 333 ! K 3.3311& mD 12\2#&), !KmD 12\2#&), Pa D 12.2 MPa

Sin em8argo si el $lano 7ue corta a la 8arra guarda un ngulo res$ecto al e=e de lamisma de %3] ?3.)%, rad># el rea de la 8arra en el $lano del corte ser:

^rea ?%3]> D 3.3311& m K cos %3] D 3.331%1,%),1& m

El es/uer0o en la direcci"n del e=e de la 8arra ser $or tanto:

ED 3 333 ! K 3.331%1,%),1& mD 1,-.1 MPa

El es/uer0o sin em8argo no es normal al rea# $or lo 7ue el es/uer0o normal a esa reaser5a:D 1,-.1 MPa U cos %3] D 1&&.-%- MPa.

la com$onente $aralela al rea llamada es/uer0o tangencial o es/uer0o cortante ser:

D 1,-.1 MPa U sen %3] D %.),& MPa.

Los es/uer0os tam8iBn se clasi/ican en es/uer0os isotr"$icos y es/uer0os distorsionalesKV D ?1d(>% 1% d( $or lo 7ue %d(D dVKV

sustituyendo esta ;ltima relaci"n en la relaci"n elstica tendremos:

d( D %_d(

Lo 7ue 7uiere decir 7ue el es/uer0o normal $ro(ocado $or una de/ormaci"n isotr"$icaser igual a tres (eces el m"dulo elstico isotr"$ico $or el di/erencial de la de/ormaci"nisotr"$ica.

Los es/uer0os distorsionales se relacionan con las de/ormaciones distorsionalesmediante la e4$resi"n:

do D +do

E=em$lo .%: 'eterminar el m"dulo elstico isotr"$ico de un l57uido cuya densidadaumenta en un 3.33%` cuando la $resi"n aumenta 3.- *gKcm.

El incremento del es/uer0o isotr"$ico ser: (D 3.- *gKcmD 3.3,, MPa

La densidad del l57uido es su masa $or unidad de (olumen# $or lo 7ue un incremento ensu densidad es e7ui(alente a una disminuci"n de su (olumen.

Si V es el (olumen original# el (olumen des$uBs de a$licado el es/uer0o ser igual a:

V\ D 3.222- V# la (ariaci"n de (olumen es dVKVD3.3333%

'e la relaci"n elstica tenemos 7ue: _ D (K?dVKV> D 3.3,,K?3.3333%> D ,.- MPa

Para es/uer0os y de/ormaciones distorsionales es (lido considerar una$ro$orcionalidad entre ellas seg;n la e4$resi"n:

doD +do

1-


18/47


'onde + es el llamado m"dulo elstico distorsional o m"dulo de elasticidad al es/uer0ocortante.

Jn conce$to de alta rele(ancia en la ingenier5a es el de la (iscosidad# en este /en"menono es de rele(ancia la magnitud de la de/ormaci"n distorsional# sino la (elocidad a la

7ue ocurre dic6a de/ormaci"n. Esta $ro$iedad se relaciona con la (elocidad dede/ormaci"n seg;n la siguiente /"rmula:

D d(Kd6

'onde es el coe/iciente de (iscosidad.

Si se descri8e esta /"rmula en tBrminos de la (elocidad de de/ormaci"n unitariadistorsional doKdt y considerando 7ue d(Kd6 es igual a doKdt la /"rmula se e4$resacomo:

D doKdt

Al coe/iciente se le llama coe/iciente de (iscosidad dinmico# mientras 7ue a /se leconoce como coe/iciente de (iscosidad cinemtico. Las unidades del coe/iciente son?FLt># mientras 7ue las unidades del coe/iciente /son ?Lt1>.

E=em$lo .&:

Jn cuer$o 7ue $esa &23 ! se a$oya so8re un $lano inclinado &)] res$ecto a la6ori0ontal# el rea $lana del cuer$o en contacto con el $lano inclinado es de 3.1 my sedesli0a con una (elocidad de 3.2 mKs teniendo como lu8ricante aceite de (iscosidadigual a D3.3-& !UsKm. Cul es la distancia entre el $lano y el cuer$ob

Fuer0a en la direcci"n del $lano: &23 ! U seno?&)]> D %&,.& !

D d(Kd6 < D FKA K6 D ?1,&2.2 !Km> K ?3.3-& !UsKm> D 13&) s1

6 D ?3.2 mKs> K ?13&) s1> D 3.3333&%- m D 3.33&%- cm

E=em$lo .): Jn cilindro s"lido se desli0a dentro de un tu8o. El cilindro es$er/ectamente concBntrico con la l5nea central del tu8o# con una $el5cula de aceite entreel cilindro y el tu8o . 'ados los datos del $ro8lema# Cul ser la (elocidad terminal delcilindrob

'atos:

'imetro del cilindro: 3.3-% m'imetro del tu8o: 3.3-& m

1


19/47


Longitud del cilindro: 3.1) mMasa del cilindro: .) *gViscosidaddinmica : 3.33- !UsKm

Su$oniendo una (ariaci"n lineal en las (elocidades del /luido entre el cilindro y el tu8o#

la deri(ada $arcial de las (elocidades res$ecto a la distancia ser:

VK 6 D ?V 3>K3.3331 D 13333 V s 1

Por otra $arte el es/uer0o cortante entre el cilindro y el tu8o es:

D dVKd6 D 3.33- U 13333 V D -3 V Pa

Como se tienen 7ue igualar la /uer0a resistente $roducida $or los es/uer0os cortantescon la /uer0a 7ue act;a so8re el cilindro $or su $eso# $odemos esta8lecer la ecuaci"n:

D ' L D -3 V U 3.3-% U %.1&1)2-U3.1) D .) *g U 2.1 mKs D &.)) !

'es$e=ando V tenemos:

V D &.)) K.&%&& D 13.3- mKs

.. Propiedades tr*icas. La mayor5a de los materiales su/ren e4$ansi"n alcalentarse# es $or eso com;n encontrar grietas en las guarniciones de concreto largas ysin =untas constructi(as# o $ro8lemas de a=uste en la cone4i"n de $ie0as de acero 7ue6an sido tratadas tBrmicamente ?con soldadura $or e=em$lo># o 8ien en la (ida cotidiana

es usual 7ue las $uertas de acero se atoren en la B$oca de calor. Este /en"meno es$roducto de una de/ormaci"n isotr"$ica 7ue $ara $e7ueas (ariaciones de tem$eraturaes $ro$orcional a la misma. E4ce$ciones a este /en"meno lo constituyen el agua entrelos 3] y &] C y el 6ule (ulcani0ado. La e4$resi"n matemtica 7ue re$resenta a este/en"meno es:

d(D dT

Siendo el coe/iciente de dilataci"n tBrmica lineal y dT la (ariaci"n de la tem$eratura.En termodinmica se relacionan $rinci$almente tres (aria8les: Tem$eratura ?T># Presi"n?$> y Volumen ?V>. La $resi"n no es sino el es/uer0o isotr"$ico con el signo cam8iado:

$ D (

Si a los es/uer0os inducidos $or la tem$eratura se agregan los es/uer0os isotr"$icosresultantes de tensi"n mecnica# la de/ormaci"n resultante ser:

d(D d(K?%_> dT

Como la de/ormaci"n isotr"$ica d( entre treses igual a la (ariaci"n de (olumen entre el(olumen original# la relaci"n anterior se $uede escri8ir como:

dVKV D d$K_ % dT

12


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Conducti(idad tBrmica. Si un cuer$o es calentado desde el e4terior# la di/usi"n del calora tra(Bs del cuer$o cum$le con la Ley de Fourier.

c D kS dTKdn

'onde:

c: Cantidad de calor 7ue atra(iesa en la unidad de tiem$o un elemento desu$er/icie interior igual a S.

S: Area del elemento interior.'TKdn: +radiente de tem$eratura en la direcci"n de nnormal al elemento.k: Coe/iciente de conducti(idad tBrmica.

Esta /"rmula e4$resa 7ue el /lu=o de calor a tra(Bs de una su$er/icie interior en uncuer$o es $ro$orcional al rea del elemento y al gradiente de tem$eratura en ladirecci"n normal al rea< el signo negati(o e4$resa 7ue el calor a(an0a cuando latem$eratura decrece.

Las unidades del coe/iciente de conducti(idad tBrmica sern: calK?cm U s U ]C>.

E=em$lo %.,: Jna (arilla de acero de %.1 cm de dimetro y 133 cm de longitud secalienta $or un e4tremo 6asta alcan0ar una tem$eratura de %33]C< el /lu=o de calor en la

$unta de la (arilla es de 13 calKmin. Cul ser la tem$eratura en el otro e4tremo de la

(arillabc D %33 calKmin D % calKs D 3.1,1 calK?cm U s U ]C> U 11.& cmU ?%33 ]C To>K133cm.

%33 ]C To D 1,%.&) ]C

To D 1%,.)) ]C.

uB $asar5a si la (arilla tu(iese ).3- cm de dimetrob

El (alor de To ser5a:

%33 ]C To D 2.%3 ]C

:. To D 3-.-3 ]C

si la (arilla /uese ms corta# $or e=em$lo -3 cmb

%33 ]C To D 11&.& ]C

:. To D 1).) ]C.

3


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=. An+lisis de esEuerzos.%.1. Introducci9n. La mecnica del medio continuo trata $rinci$almente so8re las

relaciones entre es/uer0os u de/ormaciones del medio continuo. Este tratamiento en/oca

desde un $unto de (ista general el $ro8lema englo8ando las $ro$iedades tBrmicas#mecnicas e incluso electromagnBticas de los materiales.Las /uer0as 7ue act;an so8re un cuer$o $ueden ser msicas o su$er/iciales y generan enun elemento interior de su$er/icie /uer0as internas 7ue son e7ui$olentes a una /uer0a yun momento y 7ue en $rinci$io no son uni/ormemente distri8uidas so8re la su$er/icie tendremos:

T?n> D lT?i> mT?'>nT?6>

As5 si conocemos los es/uer0os relati(os a los e=es coordenados# $odemos calcular eles/uer0o en cual7uier otra direcci"n.

E=em$lo: 'ado el estado de es/uer0os en el $unto P# de/inido $or:

T?i> D )6 T?'> D ' T?6> D )i -6

Calcular el es/uer0o en la direcci"n 7ue /orma un ngulo de 3] con el e=e R y de 133]con el e=e # teniendo un ngulo agudo con el e=e .

lD Cos 3] D 3.2%2-mD Cos 133] D 3.1-%,cos3] cos133] cosD 1cosD 13.%33.3%31) D 3.3,nD cos D 3.2&-D -.,]nD ?3.2%2- i3.1-%,' 3.2&- 6>

Los es/uer0os en la direcci"n dada sern:

T?n> D 3.2%2- U ) 6 0 3.1-%, U ' 3.2&- U ?) i - 6>1 1.&-%)i 3.%&-' .,%),6


23/47


Este $ro8lema de determinar las tensiones en una cierta direcci"n en un $unto# cuandose conocen las tensiones en tres $lanos mutuamente $er$endiculares# es ms sim$le deresol(er si se $lantea de manera tensorial.

En su $lanteamiento tensorial el estado de tensi"n en un $unto se $uede re$resentar $or

un tensor de segundo orden# 7ue re$resenta a los tres (ectores de tensi"n 7ue act;an enlos $lanos $er$endiculares. En el caso anterior el tensor de tensiones en el $unto ser5a:

3 3 )T?n> D 3 3

) 3 -

el (ector de $osici"n ser5a: aD ?3.2%2-# 3.1-%,# 3.2&->

El (ector de tensi"n seg;n la direcci"n de aes $or lo tanto:

3 3 )T?a> D a T 3n4 1 ?3.2%2-# 3.1-%,# 3.2&-> 3 3

) 3 -

T?a> D ?1.&-%)# 3.%&-# .,%),>

En general el estado de tensi"n en un $unto $ara una direcci"n dada se calcular a $artirdel tensor de tensi"n y del (ector normal unitario# multi$licando al (ector de $osici"n

$or el tensor de tensi"n en el $unto. Si el medio se encuentra 8a=o un estado detensiones $ermanente# el tensor de tensiones $ara un $unto P determinado serconstante# $udiendo (ariar de un $unto al otro. Si e4isten leyes de (ariaci"n de lostensores de tensiones en el medio# entonces se e4$resar el tensor de tensiones $ara esaregi"n del medio como /unci"n de las coordenadas.

Es de gran im$ortancia 7ue como consecuencia del e7uili8rio de las /uer0as so8re unelemento c;8ico in/initesimal# el tensor de los es/uer0os sea siem$re simBtrico.

E=em$lo:

Calcular los es/uer0os en el $unto P de una $laca de acero de 13 cm de anc6o $or -3 cm

de longitud y 3.,%) cm de es$esor# so8re la 7ue act;an dos /uer0as de 23 333 !$aralelas al lado de -3 cm y a$licadas en los e4tremos de la $laca:

a> En el elemento c;8ico in/initesimal alineado con los e=es coordenados.8> En el elemento girado 3] en sentido contrario a las manecillas del relo=.

El es/uer0o en el sentido R ser: s1D 23333 !K?3.33,%) m U 3.13 m> D 1&1.-% MPa

En el sentido y en el sentido el es/uer0o normal es igual a cero.

Por lo tanto el tensor de es/uer0os ser:

1&1.-% 3 3T D 3 3 3

%


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3 3 3

El (ector normal al $lano girado ser:

nD ? 3.2%2,2# 3# 3.%&3>

El es/uer0o en el $lano girado ser entonces:

1&1.-% 3 3T?n> D ? 3.2%2,2# 3# 3.%&3> . 3 3 3 D ?1%%.1 3# 3> 3 3 3

9e/erido al sistema coordenado original. Los es/uer0os normales y tangenciales so8re el$lano inclinado sern.

D F U cos D 1).1) M$a

D F U sen D &).)) M$a.

Esto se $uede e4$resar tam8iBn como:

T?n>=D Ti=U ni

Siendo T?n> el (ector de es/uer0os 7ue act;a en el $lano normal a n# en el sistemacoordenado R donde se 6an de/inido los (ectores y tensores de la ecuaci"n.

Para calcular la com$onente normal al $lano de T?n># se e/ect;a:

D T?n> .n

Para calcular la magnitud del es/uer0o cortante# se recurre al teorema de Pitgoras:

D ?T?n> 2)1/2

=.= stado de esEuerzos plano5 (ector de esEuerzos.Cuando $or las condiciones /5sicas del $ro8lema $odemos su$oner 7ue los

es/uer0os en la direcci"n de alg;n e=e son nulos# el $ro8lema del clculo de es/uer0os sesim$li/ica $ues se trans/orma en un $ro8lema de es/uer0os $lano. Este $ro8lema escom;n en $lacas cargadas en su $lano# en los anlisis de (igas# en los clculos dees/uer0os en reci$ientes de $resi"n# etc...

Los $rinci$ios anteriormente enunciados siguen siendo (lidos $ara este caso$articular# $udiBndose resumir en las siguientes ecuaciones:

T?n>=D Ti=niD T?n> .nD ?T?n> 2)1/2

&


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E=em$lo: 'ada una $laca de acero de -3 cm de longitud y 13 cm de anc6o# con 1.- cmde es$esor# se somete a /uer0as en sus 8ordes# 7ue act;an en el $lano R $aralelo a loslados de -3 cm y 13 cm. Las /uer0as so8re el 8orde largo son de -333 ! ?com$resi"n>#mientras 7ue las /uer0as 7ue se a$lican so8re el lado corto son de )33 ! ?tensi"n>< las/uer0as 7ue act;an so8re los 8ordes lo 6acen de manera uni/ormemente distri8uida.

'eterminar el (ector de es/uer0os re/erido al sistema R# en un $lano normal a n.Calcular y .

nD ?3.,,3)# 3.)>

El tensor de es/uer0os re/erido a R ser:

)333 3TD 3 13333

)333 3 3.,,3) &%%3.1)T?n> D 3 13333 3.) D )333

D T?n> .n 1 1)3 !

D ?T?n> 2)1/2 = ?&%-&2#2% 1\),#)33>1KD,&2).12 !

La ecuaciones $ara calcular los es/uer0os normales y cortantes en un $lano cuya normal/orma un ngulo a con el e=e R# se determinan a $artir del e7uili8rio de una cua

di/erencial# esta8leciBndose las siguientes ecuaciones:D 4cos ysen4ysen

D ?y 4>sen cos 4ycos

=. ,alores *+-i*o 7 *ni*o de esEuerzo cortante.'e la ecuaci"n $ara o8tener es/uer0os cortantes se $uede deducir 7ue cuando el

es/uer0o normal es m4imo# 7ue es cuando la direcci"n de T?n> coincide con ny $ortanto T?n> D # el es/uer0o cortante es nulo. Por otra $arte el es/uer0o m4imocortante de$ender de la di/erencia entre los es/uer0os normales $rinci$ales# $ara el

caso de es/uer0o $lano se cum$le siem$re 7ue D ?1>K en su (alor a8soluto.Para el clculo de la (ariaci"n de los es/uer0os en un $unto del medio continuo# $ara

una orientaci"n cual7uiera de un (ector nnormal al $lano en 7ue interesa conocer elestado de es/uer0os# es necesario determinar en $rimera instancia los es/uer0os

$rinci$ales en el elemento in/initesimal. Los es/uer0os $rinci$ales se $resentan en trescaras mutuamente $er$endiculares# cuando los es/uer0os cortantes son nulos en todaslas caras. @a=o esta circunstancia# los (ectores de es/uer0o T?n> coinciden con los(ectores normales n# de modo 7ue se $uede escri8ir: T?n> D n# si escri8imos la anteriorecuaci"n en /unci"n de sus com$onentes# tendremos:

R D l# D m# D n#

)


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Los (alores de R# y son las com$onentes del (ector T?n># 7ue en el caso generalde$enden de los (alores de es/uer0os en las caras del elemento in/initesimal:R D l4 my4 n04 D l4y my n0y D l40 my0 n0Sustituyendo los (alores de R# y tendremos:L?4 > my4 n04 D 3l4y m?y > n0y D 3l40 my0 n?0 > D 3

Considerando como inc"gnitas a l# m y n# se tiene un sistema en 7ue el determinante delos coe/icientes de8er ser igual a cero $ara 7ue e4ista una soluci"n no tri(ial.'esarrollando el determinante se o8tiene una ecuaci"n c;8ica 7ue se $uede escri8ir as5:

% 1 %D 3

Los (alores de las ra5ces de esta ecuaci"n son todos reales# y corres$onden a los (aloresde los es/uer0os $rinci$ales 1# y %# donde 1 %. Como los es/uer0os

$rinci$ales estn relacionados con direcciones $rinci$ales y estas son ;nicas# sedes$rende 7ue los coe/icientes de la ecuaci"n c;8ica tendrn 7ue $ermanecer constantesante cual7uier giro de los e=es coordenados# as5 los (alores 1# e % son (aloresin(ariantes del tensor de es/uer0os< es decir 7ue si determinamos el tensor de es/uer0osen el mismo $unto $ara otra orientaci"n de los e=es coordenados# los (alores de losin(ariantes no cam8iarn.'el desarrollo del determinante se o8tienen las ecuaciones siguientes $ara losin(ariantes de es/uer0os:

1D 4 y D 24y y0 04 4y y0 04%D 4y0 4yy004 4y0 y04 04y

Para el caso en 7ue los e=es coordenados coinciden con los e=es $rinci$ales# los (aloresde los es/uer0os cortantes se anulan y los in(ariantes de es/uer0os se calculan como:

1D 1 %D 1 % %1%D 1%'e los dos gru$os de ecuaciones# se des$rende 7ue:

4 y D 1 % D %m

Siendo mel es/uer0o normal medio# lo 7ue 7uiere decir 7ue no im$orta cuales sean lasdirecciones de los e=es coordenados# la suma de los es/uer0os normales ser igual.

,


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=.D Crculo de Mohr plano.

Para el caso en 7ue se $ueda su$oner 7ue los es/uer0os sean nulos en una direcci"ndeterminada# el $ro8lema de los es/uer0os en el es$acio se reducen a un $ro8lema dees/uer0os $lano. E4isten cuatro mBtodos $ara solucionar un $ro8lema de es/uer0o $lano:

Tensorialmente. Por /"rmulas directas. MBtodo de la cua. C5rculo de Mo6r.

El c5rculo de Mo6r se construye teniendo un sistema coordenado en el 7ue las a8scisas

re$resentan los es/uer0os normales y las ordenadas re$resentan a los es/uer0oscortantes. El c5rculo de Mo6r re$resenta el estado de es/uer0os en un $unto dado# esdecir# es una re$resentaci"n gr/ica del tensor de es/uer0os# corres$ondiendo lascoordenadas del centro del c5rculo a la com$onente isotr"$ica del tensor de es/uer0os yla magnitud del radio de$ende de la magnitud de la com$onente distorsional dees/uer0os. Este gr/ico $ermite calcular los es/uer0os en un $lano cual7uiera 7ue $ase

$or el $unto anali0ado. La construcci"n y uso del c5rculo de Mo6r tiene las siguientesreglas:

Los es/uer0os en un $lano cual7uiera se re$resentan $or un $unto en el sistemacoordenado < se $arte del conocimiento de los es/uer0os en un elementocuadrado alrededor del $unto en estudio re/erenciado a un sistema coordenado

R# de modo 7ue se conocen los es/uer0os normal y cortante en la cara cuyanormal unitaria n coincide con R: P ?x# xy># y los es/uer0os en la cara

$er$endicular : ?y# yx>. Se gra/ican P y y se tra0a un segmento de l5nea7ue los una# en el $unto medio de la misma ?7ue se encuentra so8re el e=e de lasa8scisas> se encuentra el centro del c5rculo de Mo6r# se tra0a el c5rculo concentro en C y con una a8ertura tal 7ue $ase $or P ?y $or lo tanto $or >.

En el c5rculo de Mo6r los ngulos centrales re$resentan el do8le del ngulo 7uegira el elemento real# de modo 7ue un giro de 13f en el elemento realcorres$onde a un giro de %,3f en el c5rculo de Mo6r.

La con(enci"n de signos es 7ue los es/uer0os normales de tracci"n son $ositi(os

y los de com$resi"n son negati(os# mientras 7ue los es/uer0os cortantes seconsideran $ositi(os si tratan de girar al elemento en el sentido 6orario. El radio con sentido 6acia un $unto de la circun/erencia re$resenta al e=e normal

al $lano cuyas com$onentes del es/uer0o (ienen dadas $or las coordenadas del$unto de la circun/erencia.

E=em$lo:

En un $unto de un s"lido los es/uer0os 7ue act;an so8re las caras cuyas normales estnalineadas con los e=es coordenados R son:

-


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Tra0ar el c5rculo de Mo6r corres$ondiente y calcular: Los es/uer0os $rinci$ales. El es/uer0o cortante m4imo. Los es/uer0os en la cara girada &)f en sentido 6orario a $artir del e=e de las

a8scisas.

'el gr/ico se a$recia 7ue la magnitud del radio es igual a 2.,1)& MPa y 7ue el centrodel c5rculo se u8ica en C ?1)#3># $or lo 7ue los es/uer0os $rinci$ales sern:

1D 11%., MPa. ?Punto 9>2D %.% MPa ?Punto T>

Asimismo el es/uer0o cortante m4imo siem$re ser igual al radio D 2., MPa.

El ngulo entre el semie=e $ositi(o de las a8scisas y el radio CP es de %3.&,))f# $or lo7ue al girar un ngulo de &)f en el elemento real en el c5rculo de Mo6r corres$onde a ungiro de 23f# de8iBndose girar desde el semie=e $ositi(o la cantidad de 13.&,))f $araencontrar el $unto corres$ondiente al estado de es/uer0os en el $lano girado &)f desdeel semie=e $ositi(o R en el elemento real.

Xaciendo las o$eraciones necesarias o8tenemos 7ue los es/uer0os en el $lano inclinadoson:

D 1)2.,1)& U sen ?%3.&,))f> D %) MPaD 2.,1)& U cos?%3.&,))f> D ) MPa

x=

100MPa

y= 70 MPa

xy

= 50

MPa


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=. Crculo de Mohr en el espacio.El estado de es/uer0os en un $unto del es$acio $uede ser re$resentado $or c5rculos

de Mo6r< en esta generali0aci"n del mBtodo es con(eniente $artir de conocer loses/uer0os $rinci$ales y a $artir de ellos construir los c5rculos de Mo6r# de tal manera7ue uno de ellos tendr un dimetro 1# otro un dimetro %y un tercero 7ueen(uel(e a los dos c5rculos anteriores un dimetro 1%. La 0ona 7ue de/ine los estadosde es/uer0os en el $unto est acotada $or el interior del c5rculo mayor y $or el e4terior alos c5rculos menores.

1

Para conocer el estado de es/uer0os en una direcci"n determinada $or un (ector normal

unitario n# se calculan los ngulos 1# y % como los arcos cuyos cosenos son lascom$onentes de n: l# m y n< enseguida se tra0a desde el centro de la circun/erencia 1#de/inida $or 1 y # el radio con el ngulo 1# medido en sentido anti6orario desde ele=e de las a8scisas# o8teniBndose as5 la $osici"n del $unto ' como la intersecci"n de eseradio con la circun/erencia 1< se tra0a $or el centro de la circun/erencia de/inida $or y % el radio con ngulo %medido en sentido 6orario ?$ara el signo $ositi(o delngulo> o8teniBndose as5 el $unto E como la intersecci"n de la circun/erencia con elradio tra0ado. J8icndose en el centro ?C1> de la circun/erencia 1 y con radio C1 E# setra0a un arco de circun/erencia 7ue a8arca toda la 0ona de $osi8les es/uer0os:

2&.32%33) )23.1,22&%2 D 3

1D ?2&.32%33) ??2&.32%33)> &U1U)23.1,22&%2>1K>K D 133D ?2&.32%33) ??2&.32%33)> &U1U)23.1,22&%2>1K>K D ).231,22&%)Zrdenando las ra5ces en orden descendente# o8tenemos las tensiones $rinci$ales:

1: 13).231,22&: 133%: ).231,22&

Enseguida se di8u=an los c5rculos de Mo6r:

%

1

Las com$onentes de n corres$onden a los ngulos:

%1


32/47


1: %3] < : 23] < %: ,3]Tra0ando radios con los ngulos do8les 1# # % en los c5rculos de Mo6r# encontramoslos $untos ' y E# $ara luego tra0ar los arcos 7ue de/inen el $unto P.

=.G cuaciones de euili&rio interno.Cuando idealmente se a5sla dentro del medio continuo una regi"n del es$acio /i=a

res$ecto a los e=es $ero 7ue no inter/iere con el /lu=o del medio a tra(Bs de sus caras# sele llama al (olumen descrito volumen de control< a la su$er/icie 7ue lo delimita se leconoce como su$er/icie de control. Este arti/icio del (olumen de control es ;til en lamecnica del medio continuo# es$ecialmente en el caso de /luidos. 'entro del (olumende control se $ueden de/inir $ro$iedades e4tensi(as ?7ue de$enden de la masa y $or lomismo del (olumen> a tra(Bs de ecuaciones integrales# sin em8argo muc6as (eces se

$uede eliminar la $artici$aci"n del (olumen escogido y escri8ir las ecuacionesdi/erenciales entre $ro$iedades intensi(as.

Jna de las ecuaciones /undamentales es la de la conser(aci"n de la masa# 7uee4$resa 7ue dentro de un (olumen de control no 6ay creaci"n ni destrucci"n de masa y

$or tanto si 6ay cam8ios de masa en el interior del (olumen de control# estos sonconsecuencia del /lu=o msico a tra(Bs de la su$er/icie de control.

Si de/inimos 7ue el (olumen de control es Vc# y la su$er/icie de control sea Sc#tendremos 7ue la (ariaci"n de la masa en el interior del (olumen de control en la unidadde tiem$o ser:

( dVt>K . La masa 7ue cruce un elemento dS de la su$er/icie de control Sc#con (elocidad (en la unidad de tiem$o# ser: ?( . n>dS< se considera 7ue el /lu=o es

$ositi(o si la masa sale# $ues es la direcci"n $ositi(a de n. Como la (ariaci"n de la masa

en el interior del medio continuo es /unci"n del /lu=o a tra(Bs de su su$er/icie y originaun cam8io en la densidad dentro del medio continuo# se $uede esta8lecer la ecuaci"n deconser(aci"n de la masa:

=ScVc

pdVtp ?>K? ( .n > dS

Como en la ecuaci"n inter(ienen integrales de dos ti$os ?de (olumen y de su$er/icie> se$uede trans/ormar la integral de su$er/icie en integral de (olumen em$leando elteorema de +auss# $ara sim$li/icar la /"rmula:

La ecuaci"n o8tenida es de carcter e4tensi(o# sin em8argo se $uede notar 7ue $ara 7uela integral sea igual con cero es $reciso 7ue el integrando sea igual con cero# $or lo 7uese $uede escri8ir:

dKdt di( ( 1 3

%

3>>?K? =+ dVpvdivtpVc


33/47


Siendo esta ;ltima ecuaci"n una ecuaci"n intensi(a# 7ue no de$ende $or tanto del(olumen de control 7ue se esco=a.

Ztra ecuaci"n /undamental es la conser(aci"n de la cantidad de mo(imiento# 7uee4$resa 7ue la ra$ide0 de (ariaci"n de la cantidad de mo(imiento de un sistema

mecnico con res$ecto al tiem$o es igual a la resultante de las /uer0as actuantes. Comolas /uer0as 7ue act;an so8re un cuer$o $ueden ser msicas o de su$er/icie# la resultantede las /uer0as actuantes en todo el (olumen de control es:

$D Vc

EdV Sc

T?n> dS

Siendo el $rimer sumando la resultante de las /uer0as msicas integradas en el (olumende control# y el segundo sumando la integral de los es/uer0os en la su$er/icie de control.

A cada $art5cula se le $uede asociar una cantidad de mo(imiento ( dV# si se integra la

cantidad de mo(imiento en el (olumen de control o8tendremos:Vc

(dV

La ra$ide0 de (ariaci"n de la cantidad de mo(imiento en el (olumen de control ser:

?K t Vc

(dV> D Vc

? (>K t dV

La cantidad de mo(imiento se ir modi/icando adicionalmente $or las $art5culas 7ueentran o salen de la su$er/icie de control Sc< esta (ariaci"n se e4$resa como:

Sc

(?( .n> dS Si se igualan la suma de las e4$resiones o8tenidas $ara la

(ariaci"n de la cantidad de mo(imiento con la resultante de las /uer0as en el (olumen decontrol# tendremos:

Vc

? (>K t dV Sc

(?( .n> dS D Vc

EdV Sc

T?n> dS

Si se sim$li/ica esta ecuaci"n se o8tiene la integral siguiente:

Vc

d?(>Kdt (di( ( E di( TQ dV D 3

Para 7ue se anule la integral se tiene 7ue anular el integrando# $or lo 7ue:

d?(>Kdt (di( ( E di( T 1 3

Esta ecuaci"n se $uede reescri8ir como:

d(Kdt (dKdt (di( ( Edi( T D 3

Si se le llama aa la aceleraci"n d(Kdt# tendremos:

a (?dKdt di( (4 1 E di( T

%%


34/47


y comodKdt di( ( 1 3# tendremos /inalmente:

a 1 E di( T esta ecuaci"n relaciona con (aria8les intensi(as a la aceleraci"n en un$unto del medio continuo de densidad # con las /uer0as de cuer$o 7ue act;an en ese

$unto y las (ariaciones res$ecto a las coordenadas de los es/uer0os 7ue act;an en elelemento.

%&


35/47


An+lisis de deEor*aciones.

.) Introducci9n.El anlisis de las de/ormaciones en el medio continuo tiene im$ortancia $or si

misma# ya 7ue constituye un criterio de diseo# adems su im$ortancia se real0a alconsiderar 7ue la medici"n e4$erimental de tensiones as5 como su determinaci"n

anal5tica en a$licaciones $rcticas en el interior del medio continuo# se e/ect;a a $artirde la medici"n de las de/ormaciones. Estos clculos se lle(an a ca8o em$leandomodelos del com$ortamiento es/uer0ode/ormaci"n. Lo materiales tienen di/erentescom$ortamientos en sus de/ormaciones cuando se someten a es/uer0os y en su origenmolecular se encuentra la e4$licaci"n de su com$ortamiento $or la e4istencia de /uer0asde atracci"n y re$ulsi"n entre los tomos 7ue com$onen el cuer$o# de manera 7ue e4isteuna distancia entre ellos 7ue corres$onde a la m5nima energ5a $otencial< cuando $or laacci"n de /uer0as e4ternas esta distancia se modi/ica# se generan /uer0as internas 7uetienden a restaurar el e7uili8rio< las de/ormaciones macrosc"$icas son el resultados delos cam8ios en el es$acio interat"mico. La mayor5a de los materiales e46i8en uncom$ortamiento elstico lineal tanto en com$resi"n como en tensi"n en las $rimeras

eta$as de la de/ormaci"n# $udiendo $resentarse la /ractura /rgil del elemento des$uBsde alcan0ar un (alor l5mite# o 8ien cam8iar su com$ortamiento al incrementarse surigide0# o 8ien $resentar /luencia. Jn $rimer $aso $ara com$render la relaci"n entrees/uer0o y de/ormaci"n es el estudio de la mecnica de las de/ormaciones.

.8 "esplaza*ientos en el interior de un *edio continuo.'e manera anloga a como se re$resentan los es/uer0os $or medio de tensores# las

de/ormaciones tam8iBn se $ueden re$resentar $or tensores /acilitando su mane=o y$osi8ilitando relacionar matemticamente a es/uer0os y de/ormaciones. Para el anlisisde las de/ormaciones se em$learn los mismos $rocedimientos anal5ticos y gr/icos 7ue

$ara las de/ormaciones.Como la generaci"n de tensiones en el interior del medio continuo la causan los

cam8ios relati(os de las $osiciones de los tomos# los des$la0amientos $or si mismosno generan tensiones. !os interesarn las de/ormaciones entendidas estas como loscam8ios relati(os de las $osiciones de los $untos de/inidos en el interior del mediocontinuo. Las de/ormaciones unitarias sern las de/ormaciones $or unidad de longitud yse clasi/icarn en lineales y angulares seg;n se de/inieron en el ca$5tulo .

El tensor de de/ormaciones ser:

4 4y 40D y4 y y0

04 0y 0

Si se multi$lica el tensor $or el (ector normal unitario n# nos $roduce un (ector dede/ormaciones so8re el $lano de/inido $or n# con sus com$onentes re/eridas al sistemacoordenado R en el 7ue se 6an de/inido y n. La analog5a entre el tratamientomatemtico de los es/uer0os y de/ormaciones es /ormal.Las com$onentes del tensor de la diagonal $rinci$al re$resentan a las de/ormacionesunitarias lineales# mientras 7ue los otros elementos del tensor de de/ormacionescorres$onden a las de/ormaciones unitarias angulares. E4isten dos maneras dere$resentar a las de/ormaciones unitarias angulares:

Se $resentan las de/ormaciones unitarias angulares como:

%)


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4y Dy4 D W? ySxxSy + KK >y0 D0y D W? zSyySz + KK >04 D40 D W? xSzzSx + KK >

Siendo las S4# Sy y S0 las com$onentes del des$la0amiento res$ecto a los e=esR. Esta $resentaci"n guarda un $aralelismo con el tensor de es/uer0os.

La otra $resentaci"n de las de/ormaciones angulares es $o$ular en ingenier5a yse $resenta como:

4yD 4yy0D y004D 04

Si se em$lea la notaci"n de ingenier5a el tensor de las de/ormaciones 7uedar5a como:

4 1/24y 1K40D 1/2y4 y 1/2y0

1/204 1/20y 0

E=em$lo &.1:

'ado el tensor de de/ormaciones y el (ector unitario normal n# calcular la

de/ormaci"n lineal en el $lano de/inido $or n:

3 D 3 1 nD ?K2# 1K2# &K2>

1 3

El (ector de de/ormaci"n asociado al $lano de/inido $or nser:

?n> D ?K2# K2# 1-K2>

La com$onente de de/ormaci"n lineal unitaria ?elongaci"n> ser:

D ,&K1 K1 ,K1 D ,K1

Para determinar las de/ormaciones unitarias angulares# se mide la (ariaci"n 7ue $resentael ngulo /ormado $or dos (ectores unitarios inicialmente $er$endiculares entre si y.

Matemticamente la de/ormaci"n angular unitaria se calcula como:

D

%,


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As5 del e=em$lo anterior# un (ector normal unitario $er$endicular a nser5a:

D ?&K2# &K2# -K2>

A$licando la /"rmula anterior:

& 3 & &K2 D ?3.)# 3.2%3,3&32# 3.,-%)> 3 & &K2 D %1K1

& 3 -K2

%1K1

En el estudio de las de/ormaciones en el medio continuo e4iste la $osi8ilidad de elegirentre dos ti$os de sistemas de re/erencia. Jn sistema de re/erencia usual en la mecnicade s"lidos es el de Lagrange o Lagrangiano# este sistema de re/erencia# conocidotam8iBn con el nom8re de sistema su8stancial# considera 7ue la re/erencia es una masa

determinada de materia# 7ue inde$endientemente de su tamao es la misma durante todoel estudio# as5 si la masa se des$la0a# el sistema tam8iBn se des$la0a.El otro sistema de re/erencia es el llamado sistema local o euleriano# y consiste en elegiruna regi"n del es$acio como re/erencia# no im$ortando 7ue $ueda entrar o salir materiade la regi"n considerada# el conce$to de (olumen de control es t5$ico del sistema dere/erencia Euleriano.Jn e=em$lo t5$ico es la consideraci"n de la (ariaci"n de las $osiciones con el tiem$o deun /lu=o de agua alrededor de un o8stculo< $ara lograr imaginar el /en"meno#su$ongamos 7ue soltamos aguas arri8a /lotadores uni/ormemente es$aciados endirecci"n trans(ersal al /lu=o e imaginemos 7ue un es$ectador toma desde arri8a una/otogra/5a de tiem$o. Si se considera un sistema Euleriano# entonces corres$onder5a la

imagen /otogra/iada a un es$ectador /i=o so8re el o8stculo# mientras 7ue si se consideraal sistema Lagrangiano tendr5amos 7ue su$oner 7ue el es$ectador se des$la0a con sucmara tomando la /otogra/5a de tiem$o con la misma (elocidad 7ue el agua. Lasimgenes 7uedar5an as5:

Sistema Euleriano:

%-


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Sistema Lagrangiano:

Por otra $arte la deri(ada de una /unci"n res$ecto al tiem$o di/iere si se considera elsistema local o el su8stancial< si /?4#y#0#t> es la /unci"n considerada# entonces suderi(ada seg;n el sistema euleriano o local ser considerando /i=o a 4#y#0# $or tratarse deun $unto /i=o# siendo entonces la deri(ada local: tf K .Si se escoge el sistema lagrangiano o su8stancial# la deri(ada res$ecto al tiem$o es laderi(ada su8stancial:

d/Kdt D tf K xf K (4 yf K (y zf K (0

'onde (4# (y y (0 son las com$onentes cartesianas de la (elocidad (# de la $art5culaconsiderada.

Cuando los gradientes del des$la0amiento y los des$la0amientos mismos son $e7ueos#e4iste muy $oca di/erencia entre los sistemas euleriano y lagrangiano. Este es el casodel estudio de la resistencia de materiales $or e=em$lo# mas no es el caso de la mecnicade /luidos# donde los des$la0amientos son grandes.

E=em$lo &.: En un estado de de/ormaciones 8idimensional se tiene en cierto $unto e4 D1# ey D # e4y D 1.). EncuBntrense los ngulos 7ue las direcciones de las de/ormaciones7ue son $uras elongaciones ?de/ormaciones $rinci$ales> tienen con el e=e 4.

Jtili0ando la /"rmula: K D ?e4 ey>sencos e4y cos y considerando 7ue en lasdirecciones $rinci$ales D 3# se tiene:?e4 ey>sen = 2e4y cos

'e donde:2e4y K? e4 ey> D tan

9eem$la0ando (alores:

Tan D ?U1.)>K?1> D 1

%


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'e a7u5 resulta 7ue D &)]# o 8ien D )].

Por tanto los dos ngulos 8uscados son:1D ] %3\ y D 11] %3\

Pro8lema &.%: Jna roseta mide las de/ormaciones longitudinales a lo largo de los e=esindicados en la /igura. En un $unto P# 11D )U13 \11D &U13 D -U13& cmKcm.'eterminar la de/ormaci"n cortante 1 en el $unto P.

4 4\1

&)]&)]

41P

El (ector unitario en la direcci"n de 4\1ser:

D ?e1 e>K

)U13& 1 3 1K \11D ?1K # 1K # 3> 1 -U13& 3 1K D &U13&

3 3 3 3

'es$e=ando 1tenemos:

?1U13-41>K D &U13&

1D U13&

Pro8lema &.& Construir los c5rculos de Mo6r del estado de de/ormaci"n $lana

3 3 3i=D 3 ) %

3 % %

6allar la de/ormaci"n cortante m4ima.

Pro8lema &.) El tensor de de/ormaci"n en un $unto es:

) 1 1i=D 1 & 3

1 3 & en su /orma $rinci$al esta dado $or:

%2


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, 3 3i=D 3 & 3

3 3 %

Calcular sus in(ariantes y com$ro8ar su e7ui(alencia:

ED ) & & D 1%# EU D , & % D 1%.

11 1 11 1% %ED

1 1% %% % %%

ED 11%% %%11 ?21 2% 2%1> D 31,3?113> D )&

EUD 11%% %%11 ?21 2% 2%1> D &11?333> D )&

ED det ei= D )U1, 1U?&> 1U?&> D -

EUD det ei= D , U & U % D -

.= "eEor*aci9n plana.

Para el caso $articular en 7ue una de las de/ormaciones $rinci$ales es nula en un$unto# se dice 7ue e4iste un estado de de/ormaci"n $lana en ese $unto. La /orma 7ue

toma el tensor de las de/ormaciones ser:

11 1 3i= D 1 3

3 3 3

Este estado de es/uer0os se $uede re$resentar $or medio de los c5rculos de Mo6r#tomando estos la /orma general siguiente:

% 1

&3


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Si las de/ormaciones se dan e4$l5citamente como /unciones de las coordenadas#entonces estas /unciones de8en de satis/acer las condiciones de com$ati8ilidad.

. ,elocidad de deEor*aci9n.

En el estudio de los cuer$os de/orma8les# en el caso de /luidos la ra$ide0 dede/ormaci"n es o8=eto de estudio $ues se relaciona con los es/uer0os cortantes.La de/ormaci"n del cuer$o se $uede re$resentar $or la (ariaci"n del mo(imiento dedos $art5culas del cuer$o# P y # 7ue des$uBs de un tiem$o se mue(en a las

$osiciones P\ y \. El des$la0amiento relati(o entre esas $art5culas ser:

sD s?> s?P> D s?Pr> s?P>

Considerando la /"rmula de Taylor en sus dos $rimeros tBrminos tenemos:

sD ? sK x > 4 ? sK y > y ? sK z > 0

'esarrollando esta e4$resi"n se llega a la e4$resi"n matricial:

Ys4KY4 YsyKY4 Ys0KY4

grad sQ D Ys4KYy YsyKYy Ys0KYy

Ys4KY0 YsyKY0 Ys0KY0

D $elaciones sEuerzo0"eEor*aci9n0,elocidad de deEor*aci9n.).1 Introducci9n.En la mecnica de s"lidos# $ara conocer los es/uer0os al interior

de los cuer$os es necesario determinar los (alores de sus de/ormaciones y atra(Bs de un modelo 7ue relacione a los es/uer0os con las de/ormaciones calcularlos es/uer0os. Por otra $arte en la mecnica de /luidos la relaci"n entre loses/uer0os y las (elocidades de de/ormaci"n $ermiten resol(er $ro8lemas de estarea.

). $elaci9n esEuerzo0deEor*aci9n. En $rinci$io tenemos 7ue considerar 7uee4isten materiales elsticos y otros noelsticos# si 8ien la mayor5a de losmateriales e46i8en com$ortamiento elstico en las $rimeras eta$as de carga. Si

un material es elstico recu$erar su /orma una (e0 7ue se 6ayan retirado lascargas 7ue lo a/ectan# sin em8argo la relaci"n 7ue guarden los es/uer0os y lasde/ormaciones $uede o no ser constante< si la relaci"n entre es/uer0o yde/ormaci"n es constante $ara todo el tramo de es/uer0os en 7ue el materiale46i8e com$ortamiento elstico# se dice 7ue su elasticidad es lineal# mientras7ue si no e4iste esta relaci"n constante# se dir 7ue es un material elstico nolineal.

Para los materiales elsticos lineales# la Ley de Xoo*e +enerali0ada e4$resa 7ue eltensor de es/uer0os es igual al tensor de constantes elsticas de cuarto orden C i=*l$orel tensor de de/ormaciones. Si el material /uese anis"tro$o# de las 1 com$onentesdel tensor de constantes elsticas solo 1 son inde$endientes# si adems el material

/uese is"tro$o este n;mero se reduce a dos.

&1


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Las ecuaciones 8sicas son:

4D 1KEU?4?y0>>yD 1KEU?y?04>>0D 1KEU?0?4y>>xyK D xyK+yzK D yzK+zxK D zxK+

Siendo:E : M"dulo de elasticidad lineal.+ : M"dulo elstico al es/uer0o cortante.

: M"dulo de Poisson.

E=em$lo ).1: Jna $laca de acero de 3 cm de anc6o# )3 cm de longitud y .)& cm

de es$esor se encuentra sometida a es/uer0os de com$resi"n yD )3 MPa y aes/uer0os de tensi"n xD 133 MPa# estando li8re de es/uer0os la cara cuya normalcoincide con .

'eterminar: Las de/ormaciones unitarias 7ue su/re la $laca seg;n la direcci"n de los e=es

coordenados.

Las de/ormaciones lineales totales 7ue su/re la $laca. El tensor de de/ormaciones. La com$onente isotr"$ica del tensor de de/ormaciones. La com$onente distorsional del tensor de de/ormaciones. La de/ormaci"n (olumBtrica unitaria dVKV. La de/ormaci"n (olumBtrica total.

'ado 7ue el acero e46i8e las siguientes $ro$iedades elsticas:E D 133 333 *gKcm2 = 206 010 MPa+ D 3-#,2 *gKcm2 = 82 334 MPa

D 3.% em$leando las ecuaciones de es/uer0o de/ormaci"n tenemos:

x

D 133 MPa

yD )3 MPa

&


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4D 1KEU?4?y0>> D 1K3, 313 U ?133 3.%U?)3>> D 3.333))yD 1KEU?y?04>> D 1K3, 313 U ?)3 3.%U?133>> D 3.333%%0D 1KEU?0?4y>> D 1K3, 313 U ?3 3.%U?133)3>> D 3.3333-1xyK D xyK+ D 3yzK D yzK+ D 3zxK D zxK+ D 3

R D 3.333)) U )3 cm D 3.3-21 cm D 3.333%% U 3 cm D 3.33--,, cm D 3.3333-1 U .)& cm D 3.3331) cm

).) 3 3i= D 3 %.% 3 4 13-4

3 3 .-1

Com$onente isotr"$ica del tensor de de/ormaciones:

3.%%, 3 3i= D 3 3.%%, 3 4 13-4

3 3 3.%%,

Com$onente distorsional del tensor de de/ormaciones:

).)& 3 3i= D 3 &.112 3 4 13-4

3 3 1.3)1-

'e/ormaci"n (olumBtrica unitaria dVKV:

dVKV D % vD 3.33332-3

Variaci"n total del (olumen ?dV> D 3.33332-3 U )3 cm U 3 cm U .)& cm

dV D 3.&- cm3.

Calculando la de/ormaci"n (olumBtrica a $artir de las longitudes de los lados

de/ormados tenemos:

Vde/ormado D )3.3-21 cm U 12.22%& cm U .)%21) cm D )&3.&)2, cm3.

V sin de/ormar D )3 cm U 3 cm U .)& cm D )&3 cm3.

dV D 3.&, cm3.

Coincidiendo de manera a$ro4imada con la (ariaci"n (olumBtrica o8tenida a $artir de lade/ormaci"n isotr"$ica.

&%


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A menudo los $ro8lemas de es/uer0o de/ormaci"n son mi4tos# es decir# tienen comodatos los es/uer0os en algunos sentidos y las de/ormaciones en los otros# de8iendoresol(er el sistema de ecuaciones resultante.

E=em$lo ).: Jna $laca de acero de %3 cm de anc6o# 23 cm de longitud y 3.2)) cm de

es$esor se encuentra restringida a de/ormarse linealmente en la cara cuya normalunitaria coincide con el e=e a tra(Bs de la $resencia de un a$oyo desli0ante< en elsentido R act;a una /uer0a distri8uida uni/ormemente de intensidad igual a 1&33*g/Kcm# estando li8re de es/uer0os y restricciones el $lano R cuya normal coincide conel e=e .'eterminar:

Las de/ormaciones unitarias 7ue su/re la $laca seg;n la direcci"n de los e=escoordenados.

Las de/ormaciones lineales totales 7ue su/re la $laca. El tensor de de/ormaciones de acuerdo al sistema R.

La com$onente isotr"$ica del tensor de de/ormaciones. La com$onente distorsional del tensor de de/ormaciones. La de/ormaci"n (olumBtrica unitaria dVKV. La de/ormaci"n (olumBtrica total. Los es/uer0os 7ue act;an en el $lano restringido a de/ormarse. El tensor de es/uer0os de acuerdo al sistema R.

'ado 7ue el acero e46i8e las siguientes $ro$iedades elsticas:E D 133 333 *gKcm2

+ D 3-#,2 *gKcm2

D 3.%Las inc"gnitas son en este caso:

y# 4# 0, xyK#yzK# zxK.

Los datos del $ro8lema son:

Los es/uer0os 7ue act;an en el sentido R so8re las caras :

xD ?1&33 *g/Kcm> K 3.2)) cm D 1&,2. *g/Kcm2.

0 D 3 *g/Kcm# yD 3# xyD 3# yzD 3# zxD 3.

em$leando las ecuaciones de es/uer0o de/ormaci"n tenemos:4D 1KEU?4?y0>> D 1K 133333 U ?1&,2. 3.%U?y>>4D ,.2221) E 3& 1.&, E3- yyD 1KEU?y?04>> D 1K 133333 U ?y 3.%U?1&,2.>> D 3yD &.-,12 E3- y .322-& E3& D 3< de donde yD &&3.2) *g/Kcm2

0D 1KEU?0?4y>> D 1K 133333 U ?3 3.%U?1&,2.&&3.2)>> D .-2- E 3&Sustituyendo el (alor de yencontrado tenemos:4D ,.%,2 E3&xyK D xyK+ D 3yzK D yzK+ D 3

&&


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zxK D zxK+ D 3

R D 3.333,%,2 U 23 cm D 3.3)-% cm D 3 U %3 cm D 3 cm D 3.333-2- U 3.2)) cm D 3.333,3 cm

,.%,2 3 3i= D 3 3 3 4 13-4

3 3 .-2-

Com$onente isotr"$ica del tensor de de/ormaciones:

1.1% 3 3

i= D 3 1.1% 3 4 13

-4

3 3 1.1%

Com$onente distorsional del tensor de de/ormaciones:

).1),3 3 3i= D 3 1.1% 3 4 13-4

3 3 %.2&2

'e/ormaci"n (olumBtrica unitaria dVKV:

dVKV D % vD 3.333%,%2)

Variaci"n total del (olumen ?dV> D 3.333%,%2) U 23 cm U %3 cm U 3.2)) cm

dV D 3.2%, cm3.

Calculando la de/ormaci"n (olumBtrica a $artir de las longitudes de los ladosde/ormados tenemos:

Vde/ormado D 23.3)-% cm U %3 cm U 3.2)& cm D )-.,)) cm3.

V sin de/ormar D 23 cm U %3 cm U 3.2)) cm D )-1.-) cm3.

dV D 3.2%)) cm3.

Coincidiendo de manera a$ro4imada con la (ariaci"n (olumBtrica o8tenida a $artir de lade/ormaci"n isotr"$ica.

El tensor de es/uer0os en el sistema R se e4$resar5a de la siguiente manera:

1&,2. 3 3i= D 3 &&3.2) 3 *g/Kcm2.

&)


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3 3 3

D.= $elaci9n esEuerzo0(elocidad de deEor*aci9n.Los medios continuos $ueden e46i8ir un com$ortamiento /luido 8a=o determinadascircunstancias# este com$ortamiento se determina al re/erir los es/uer0os a las

(elocidades de de/ormaci"n y no a las de/ormaciones en s5# siendo la /unci"n 7uedetermina esta relaci"n la 7ue marca el ti$o de /luido.Las relaciones 7ue $ueden tener entre es/uer0o y (elocidad de de/ormaci"n conducen atres ti$os de /luidos:

Fluidos Sto*esianos: E46i8en un com$ortamiento no lineal.

Fluidos !eOtonianos: E46i8en un com$ortamiento lineal entre es/uer0os y (elocidadesde de/ormaci"n# se de/ine $or la (iscosidad del medio.

Fluidos $er/ectos: La /unci"n de relaci"n es nula# es decir# es como si se tratase de un

/luido neOtoniano en el 7ue la (iscosidad /uese nula.

La e4$resi"n matemtica de esta relaci"n general es:

D $I E?d##>

Es decir en general los es/uer0os de$endern de la $resi"n en el $unto# ms el e/ecto dela (elocidad de de/ormaci"n hd# de la densidad y de la tem$eratura a8soluta .

&,


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Bi&liograEa

1. Mase E. +eorge. hMecnica del medio continuo# Mc +raO Xill# Serie Sc6aum#MB4ico# '.F. 12).

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'.F. 12.%. So*olni*o//# .S. hAnlisis Tensorial# Ed. Limusa# MB4ico# 12.&. Zli(er Zli(ella Ra(ier y Saraci8ar @osc6# de Carlos A. hMecnica de los

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). 'emBnegui Colina# Agust5n< Magaa 'el Toro# 9o8erto y SanginBs +arc5a#XBctor.Fundamentos de Mecnica del Medio Continuo. Facultad dengenier5a# J!AM# MB4ico '.F.# 33%.

,. S$iegel# Murria hAnlisis Vectorial. Mc +raO Xill# Series Sc6aum# MB4ico#'.F.# 1222.

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