Guía tres de mecánica de continuo

Actualizacin: 15-05-14 Cinemtica del Continuo 1 de 19

Captulo 3 Cinemtica del Continuo

1. Deformaciones y Deformaciones Especficas

1.1 Una primera aproximacin

Tmese una porcin de continuo en la que dos de sus dimensiones sean despreciables frente a la tercera.

Tmese esta dimensin caracterstica como 0L . Realcese un cambio en dicha longitud, provocando que dicha

longitud en el estado final sea L. Constryanse a continuacin los siguientes adimensionales:

0L

L Razn de Alargamiento

L

LL

L

LL

0

0

0

Deformaciones (numricamente distintas)

Otros adimensionales que se pueden construir son:

2

2

0

2

2L

LLe

;

2

0

2

0

2

2L

LL ; etc.,

expresiones vlidas para la deformacin.

Es posible notar lo siguiente: si L no difiere mucho de 0L , todas las expresiones para la deformacin son

equivalentes. Sin embargo, cuando las elongaciones sean finitas, sus valores son diferentes. La intencin de esta seccin es presentar una descripcin general de las deformaciones.

1.2 Tipos de Coordenadas: Materiales, Espaciales, de Lagrangre y de Euler

Supngase una porcin de continuo que ocupa el volumen 1 . Ante un campo de desplazamiento, esta

porcin de continuo pasa a ocupar el dominio 2 :

Los vectores OP y OQ indican la posicin que ocupa un punto material en los estados inicial y final

respectivamente.


321

321

,,

,,

xxxOQ

xxxOP

Claramente, Pu es el vector desplazamiento que sufre el punto material, cuyas coordenadas son

332211 ,, xxxxxxuP

Para describir lo que ocurre en el continuo como consecuencia de la aplicacin del campo de desplazamientos, se necesita conocer las funciones

321 ,, xxxxx ii con 3,2,1i que permitan describir la posicin de todas las partculas que originalmente estaban en 1 luego de aplicado

1u

. Estas definen una transformacin 21: f , que por hiptesis debe ser continua y biyectiva y que

puede pensarse como un cambio de coordenadas entre un sistema de coordenadas que llamaremos espaciales

ix y otro que denominaremos materiales ix . Disponiendo de estos dos sistemas de coordenadas, la descripcin de la cinemtica podr realizarse

i). En forma referencial o lagrangiana, donde la variable independiente en el tiempo t y la posicin x

de la partcula bajo estudio, referida a un estado o configuracin arbitrario, asociado usualmente con el

instante 0t ii). En forma espacial donde las variables independientes son el tiempo t y la posicin x

que ocupa la

partcula bajo estudio en dicho instante, esta forma de descripcin suele denominarse euleriana y se concentra en esa regin del dominio material.

Ms adelante se volver a hablar de estos tipos de descripcin y se justificar el uso de cada tipo de acuerdo al contexto de trabajo.

Para avanzar algo ms, identifquense tres puntos en 1 , a saber PPP ,, que mediante f se transforman en tres puntos en 2 , QQQ ,, .

Analizando los tringulos PPP ,, y

QQQ ,, se ve que el cambio de rea y los ngulos internos quedan

determinados si se conoce el cambio en los lados, pero la posicin del tringulo no queda determinada conociendo dicha variacin. Es decir, la nueva configuracin de la porcin de continuo queda determinada, salvo por la nueva posicin espacial.

Considerando entonces dos puntos separados por una distancia infinitesimal en 1

321 ,, xxxP ; 32211 ,, xdxxdxxdxP


En 2 , luego de aplicados los desplazamientos, estos se transforman en

321 ,, xxxQ ; 32211 ,, dxxdxxdxxQ con lo que las distancias respectivas entre puntos sern:

en :1 2

3

2

2

2

1

2 xdxdxdd

y en :2 2

3

2

2

2

1

2 dxdxdxd

Sabiendo que existe la transformacin 21: f continua y biyectiva, podemos decir que

j

j

i

i xdx

xdx

; j

j

i

i dxx

xxd

con lo que

ml

m

j

l

i

ijijjiii

ml

m

j

l

i

ijijjiii

xdxdx

x

x

xdxdxdxdxds

dxdxx

x

x

xxdxdxdxdsd

2

2

La diferencia en los cuadrados de las distancias podrn escribirse como

mllm

m

j

l

i

ij xdxdx

x

x

xsdds

22

ml

m

j

l

i

ijlm dxdxx

x

x

xsdds

22

A partir de esta diferencia, se definirn los tensores de deformacin especfica

lm

m

j

l

i

ijlmx

x

x

xE

2

1

m

j

l

i

ijlmlmx

x

x

xe

2

1

El tensor ijE fue introducido por Green y Saint Venant y suele denominarse Tensor de Green. El tensor ije

fue utilizado por Cauchy en su trabajo con deformaciones infinitesimales y por Almansi y Hamel para trabajar con deformaciones finitas, por lo que tambin se lo conoce como Tensor de Almansi. Tambin reciben los nombres de Tensor Lagrangiano y Tensor Euleriano respectivamente. Es evidente que estos tensores son

simtricos y que para el caso de un slido rgido 022 dssd , en cuyo caso 0 ijij eE .

1.3 Deformaciones Finitas e Infinitesimales

Supngase que un elemento lineal del continuo elstico es sometido a un campo de desplazamiento

longitudinal. Supngase que cmL 20 y que cmL 002.2 , entonces

%1.0001.02

2002.2

0

0 L

LL


Por lo que se ha visto, esto es suficiente para describir la deformacin sufrida por la porcin de continuo. Supongamos ahora que a la misma porcin de continuo, es deformado plsticamente hasta la longitud

cmL 3 y luego, nuevamente en forma plstica lo llevamos a una longitud de 2.002cm. Se podr

caracterizar la deformacin simplemente con ? Es fcil descubrir que no. Cuando hay efectos plsticos, la descripcin del fenmeno (an en un caso sencillo como la deformacin axial) obliga a seguir la historia de los estados por los que pasa la porcin de continuo; en efecto; deformacin final solamente no caracteriza los estados intermedios. Considrese el tensor Euleriano.

j

m

i

l

lmijijx

x

x

xe

2

1

y considrese el vector desplazamiento, lll xxu . Es fcil ver que

i

l

li

i

l

i

l

li

i

l

x

u

x

x

x

x

x

u

Reemplazando en la anterior se obtiene

j

m

i

l

lm

j

m

lmli

i

l

lmmjmjlilmij

j

m

i

l

j

m

li

i

l

mjmjlilmij

j

m

mj

i

l

lilmijij

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

ue

2

1

2

1

2

1

j

m

i

l

lm

i

j

j

i

j

m

i

l

lm

j

m

im

i

l

ljijij

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

2

1

La hiptesis de Cauchy consiste en suponer que las derivadas de los desplazamientos son infinitesimales, de modo que el ltimo trmino es un infinitsimo de orden superior que puede ser despreciado, obtenindose para

ijjiij uue ,,2

1

usualmente llamado Tensor de Deformaciones de Cauchy o simplemente tensor de Cauchy. Seguir la historia de los estados puede ser algo bastante dificultoso, siendo lo usual es describirlos en trminos de la velocidad de deformacin en un instante dado. Otro caso en que se utiliza la velocidad de deformacin para describir qu ocurre es en el caso en que el medio continuo es un fluido o una sustancia visco-elstica o visco-plstica. Se ve entonces que, a diferencia de cuando se estudian las tensiones, un cuyo caso no se distingua si estas actuaban sobre un slido elstico, un fluido u otra sustancia, para el estudio de las deformaciones se debe distinguir sobre qu tipo de fenmeno se est realizando el anlisis.


Considrese una porcin de medio continuo en forma de fibra: en forma general se puede pensar que el largo

es funcin del tiempo, es decir que tLL . Siendo as, la velocidad de deformacin se calcula como

0L

tL

dt

d

donde se ha definido una nueva medida de la deformacin dada por la funcin , denominada deformacin natural, logartmica o verdadera. Por integracin es fcil verificar que

eL

L

1lnln

0

la que, para deformaciones infinitesimales, coincide con e . Esta frmula es til cuando se estudian materiales que soportan grandes elongaciones (e. g.: polmeros) o cuando el comportamiento mecnico del material presenta evidencias de histresis (memoria), siendo necesario seguir la historia de la deformacin.

1.4 Direcciones Cinemticas Principales

Todos los tensores de deformacin que hemos encontrado son cartesianos, reales, simtricos y de segundo orden; de modo que pueden ser diagonalizados en la forma usual (Cfr. Captulo I Seccin 4). Conceptualmente las direcciones principales cinemticas son aquellas en las que, si se toma un elemento de continuo, este solo sufre elongaciones (sin distorsin). Para nuestro anlisis se estudiar el tensor de Cauchy.

El primer invariante de dicho tensor, 3322111 eeeetrI ij , tiene una interpretacin fsica importante: considrese una porcin de continuo en forma de paraleleppedo rectangular, con sus lados paralelos a las direcciones principales (ver figura).

dxdx

'

dx'

dx'(1+e )

dx'(1

+e

)dx'

(1+

e )

x'

x'

x'3

2

1

'

2

3

1

22

33

11

Si se calcula el cambio relativo de volumen, denominado dilatacin cbica, este se obtiene mediante la expresin

321

321331222111

0

111

xdxdxd

xdxdxdexdexdexd

V

V

Siendo las deformaciones infinitesimales (hiptesis de Cauchy), la anterior se reduce a

1332211

0

IeeeV

V


1.5 Descomposiciones del Campo Descriptivo en el Entorno de un Punto

Pese a que esta diferencia es importantsima, se puede hacer an un tratamiento unificado del problema: la nica consideracin que debe hacerse es elegir el campo descriptor v

ms apropiado para cada medio

continuo. En el caso de medios elsticos el campo apropiado es txU ,

campo de desplazamientos y en el

caso de medios continuos fluidos es txV ,

campo de velocidades. Estos campos tienen dimensiones L y TL respectivamente (es precisamente esta variacin la que har aparecer naturalmente la variacin en el tiempo de las deformaciones en el caso que haga falta seguir la evolucin de los estados). El tratamiento unificado del que se ha hablado consiste en desarrollar el campo de descripcin v

alrededor de un punto y

estudiar los distintos trminos del mismo en un desarrollo del tipo de Taylor. Interesarn estudiar los trminos de hasta primer orden, de modo que el desarrollo ser lineal y su validez slo podr extenderse a pequeas deformaciones.

Sea P un punto del medio continuo, y sea txv , el campo de descripcin adecuado por el fenmeno que se desea estudiar. Sea x

el radio de una esfera con centro en P, siendo x

pequeo (en trminos de la validez

de aproximacin lineal). Al escribir el campo en xx

, se tiene

2, ,,, xOxtxvtxvtxxv jjiii Tomando la aproximacin lineal

jjiii xtxvtxvtxxv ,,, ,

Una forma de interpretar esta expresin es ver que se ha expresado el campo de descripcin en xx

, como suma del campo en x

, ms las variaciones del campo al desplazarse desde x

a xx

: as puestas las cosas y

considerando la Transformacin de Galileo, el campo en x

es un trmino de arrastre, mientras que el

segundo es un trmino que, si txutxv ii ,,

ser un desplazamiento relativo, y si txvtxv ii ,,

ser

una velocidad relativa.

Estudiando con algo ms de detalle el segundo trmino se ve que en l aparece el tensor derivado de txvi ,

tensor gradiente de txvi ,

. El mismo es un tensor de orden dos que en 3 tendr nueve componentes. Al

descomponer este tensor en suma de un tensor simtrico y uno antisimtrico, se tiene:

txtx

txvtxvtxvtxv

txvtxvtxvtxvtxv

ijij

tx

ijji

tx

ijji

ijijjijiji

ijij

,,

,,2

1,,

2

1

,2

1,

2

1,

2

1,

2

1,

,

,,

,

,,

,,,,,


Ingresando estos resultados a la expansin anterior,

jijjijii xtxxtxtxvtxxv ,,,,

Para analizar el significado de esta expresin considrese, alternativamente, los casos en que el campo de descripcin sea el de desplazamientos y el de velocidades:

Si el campo es el de desplazamientos

jijjijii xtxxtxetxutxxu ,,,,

Esta expresin puede interpretarse en forma sencilla a travs de la siguiente observacin: supngase tener un

elemento de continuo como el de la figura, de lados x y y respectivamente,

Nuestra definicin de 0

0

L

LL nos permite poner que

y

u

x

u yyy

x

xx

;

y el ngulo complementario de la distorsin que sufre el elemento por la aplicacin conjunta de xu y

yu puede escribirse como

212

xy

definiendo

y

u

x

u yxxyxy

2

1

2

1 . En el lmite de los pequeos desplazamientos, se tendrn las

deformaciones especficas, a saber:

xyyx

xyyyy

yyxxx

xx eee 0,000

lim;lim;lim

Se ve de estas expresiones que el tensor ije , parte simtrica del tensor gradiente de desplazamientos,

representa las deformaciones especficas y se lo denomina tensor de deformaciones especficas aunque, a veces, tambin se lo denomina tensor de deformaciones. Estas deformaciones especficas son, entonces, una medida de los desplazamientos relativos entre partculas del continuo elstico.


Vase ahora cul es el rol que juega ij : supngase tener el mismo elemento de continuo de la figura anterior,

pero al que se le aplican desplazamientos yu y xu :

Se ve que, con estos desplazamientos, el elemento sufre una rotacin. Al analizar la rotacin que sufre AB :

El extremo que pasa de B a B describe un arco de longitud s tal que

cossinsincoscoscoscos swwsswsu zzzx

sinsincos1cos zzx wws

u

sinsincoscossinsinsin swwsswsu zzzy

cossinsin1cos zzy

wws

u

En forma matricial es posible escribir

sin

cos

1cossin

sin1cos

zz

zz

y

x

ww

ww

s

us

u

Aceptando ahora la hiptesis de pequeos desplazamientos, 01cos zw y zz ww sin , se obtiene

sin

cos

0

0

z

z

y

x

w

w

s

us

u


Esta matriz es una matriz de rotaciones y sus elementos coinciden con los del ij para el caso de una

rotacin plana ( 0 zu ). El tensor ij se denomina tensor de rotacin.

Vase ahora lo que ocurre en el caso en que el campo de descripcin es la velocidad txVtxv ii ,,

:

jijjijii xtxxtxDtxVtxxV ,,,,

En este caso, el estudio que puede hacerse es idntico al anterior, salvo por una diferencia importante:

mientras que las dimensiones de ije son [ ], las de ijD son [1T ]; as ijD es el tensor de velocidad de

deformaciones; mientras que ij es el de torbellinos. La suma del segundo y tercer trmino puede

entenderse ahora como una velocidad relativa al punto P, con lo que la descomposicin en series puede

entenderse como una transformacin de Galileo, siendo txVi ,

la componente de arrastre.

El tensor de torbellinos requiere una discusin algo ms detallada: supngase que 0ijD , de modo que el

campo txV ,

estar describiendo el movimiento de un slido rgido, separado en una translacin ( txV ,

) y

una rotacin ( x

). Es posible verificar que los elementos del vector x

coinciden con las componentes del vector velocidad xw

, velocidad de rotacin del rgido alrededor del punto P con velocidad angular w

.

Supngase ahora que 0 ij . En este caso el campo txV ,

se dice irrotacional. La velocidad relativa

respecto al punto P viene dada ahora por xD

; en este caso, el vector columna x

tiene todas sus componentes infinitesimales, pero no se est imponiendo ninguna restriccin sobre el tamao de las componentes de D, de modo que es posible usar D para describir aquellos fenmenos en los que las velocidades de deformacin son finitas y no slo infinitesimales. Que D representa velocidades de deformacin puede verse cmo sigue: tmese un elemento lineal de fluido y estdiese cmo cambia en el tiempo el cuadrado de la longitud de este elemento de fluido:

kkdxdxxdxdds 2

kk dxdt

ddxxd

dt

dxdds

dt

d222

pero

m

m

k

k xdx

xdx

entonces

mm

k

m

m

k

m

m

k

k xddt

d

x

xxd

x

x

dt

dxd

x

x

dt

ddx

dt

d

el ltimo trmino se anula ya que mx es la posicin relativa inicial entre ambos extremos de la partcula. Con

esto

mm

k

m

k

m

m

m

k

k xdx

xxd

dt

dx

xxd

x

x

dt

ddx

dt

d

Aqu, m

k

x

x

es el gradiente de la velocidad respecto de las x

por lo que no es igual a txV ,

.

Sin embargo, el vector diferencial de velocidad puede expresarse tanto respecto del estado inicial como del final, verificndose que


xdVVdxdtxV xx

, de modo que

jkjkjkjjkk dxtxtxDdxdxtxVdxdsdt

d,,2,,2

2

pero en virtud de la antisimetra de , 0 jkjk dxdx .

xdDxddxtxDdxdsdt

djkjk

2,2

2

Claramente, D determina la velocidad de cambio en la velocidad. Para terminar la discusin, es oportuno

hacer una comparacin entre ije y ijD : es usual confundir D con la derivada temporal de ije . Sin embargo, se

vio que

txU ,

y que

k

m

m

k

kmx

U

x

Ue

2

1

k

m

m

k

kmx

V

x

Ve

dt

d

2

1

mientras que

k

m

m

k

kmx

V

x

VD

2

1

Se observa que la diferencia radica en que en ije las derivadas se toman respecto a las coordenadas materiales

ix y en ijD respecto de las espaciales ix . Si las velocidades de deformacin son pequeas, ambas coinciden,

pero ijD puede usarse an cuando estas no lo sean.

1.6 Condiciones de Compatibilidad

Supngase conocer la distribucin de pequeas deformaciones en una porcin de continuo; sean entonces

conocidas las funciones txeij ,

, las ecuaciones

txutxutxe ijjiij ,,2

1, ,,

forman un sistema de seis ecuaciones diferenciales (seis en virtud de la simetra del tensor ije ) independientes,

donde las funciones incgnitas son las tres funciones txui ,

. Este sistema presenta algunas dificultades al

ser resuelto: lo primero que se nota es que se trata de un sistema sobredeterminado, es decir, se tienen ms

ecuaciones que incgnitas. Esto se traduce en el hecho de que, dadas las funciones txeij ,

-an bien

comportadas- pueden no existir tres funciones txui ,

que satisfagan las seis ecuaciones diferenciales

simultneamente. Este problema fue estudiado por Saint Venant en 1864; en su trabajo enunci cules deben

ser las condiciones que deben satisfacer las txeij ,

para hallar las txui ,

que satisfagan las ecuaciones

diferenciales. Estas condiciones son las que se conocen como condiciones (ecuaciones) de compatibilidad. Para hallar una expresin que represente las condiciones de compatibilidad, se comienza por escribir


ijjiij uue ,,2

supngase para comenzar que existe txui ,

que satisface el sistema de ecuaciones, y que esta txui ,

es

univaluada y que posee derivadas terceras continuas; estas condiciones aseguran que las derivadas terceras cruzadas no cambian aunque cambie el orden en que se realizan las derivadas. Tmese derivadas respecto de

ix y jx de txeki ,

:

ji

ki

ji

ik

ji

ki

xx

u

xx

u

xx

e

,2

,

22

2 1

Al derivar dos veces txeki ,

respecto de ix y kx :

ki

ij

ki

ji

ki

ij

xx

u

xx

u

xx

e

,2

,

22

2

Sumando ambas expresiones, se tiene

k

i

i

k

iji

j

j

i

kiji

ki

ki

ij

x

u

x

u

xxx

u

x

u

xxxx

e

xx

e 2222

2

2

22

2

22

22i

jk

kj

ii

j

k

k

j

ii

i

kj x

e

xx

e

x

u

x

u

xx

u

xx

O lo que es lo mismo,

k

ij

j

ki

i

jk

ikj

ii

x

e

x

e

x

e

xxx

e2 [1]

Tmese ahora txeij ,

y dervese dos veces respecto de ix y jx :

ji

j

ji

i

ji

ij

ji

ji

ji

ij

xx

u

xx

u

xx

u

xx

u

xx

e

2

3

2

3,

2

,

22

2

Ahora se ve que

ii

i

i ex

u

;

2

2

2

3

j

ii

ji

i

x

e

xx

u

Entonces, de las ltimas dos

2

2

2

22

2i

jj

j

ii

ji

ij

x

e

x

e

xx

e

[2]

Las 3 ecuaciones de la forma [1] y las 3 ecuaciones de la forma [2] son las Ecuaciones de Compatibilidad de Saint Venant. Para profundizar un poco ms acerca de la importancia de estas condiciones vase lo siguiente: supngase un porcin de continuo simplemente conexa. Al expresar

jijjijPiPi xtxxtxetxutxxu ,,,, 0

Y sea una curva contenida en el continuo y que une el extremo de 0P

x y

P

xx

. Si se define du , para

obtener el desplazamiento relativo se debe hacer

C

j

C

ijiji xdetxdu ,

1NOTA: Tngase en cuenta que en este caso los ndices repetidos no suman sino que indican derivadas repetidas.


jC

ijj

C

ijii xdtxxdtxetxutxxu ,,,,

No se debe olvidar que PjQjj xxdxd . Integrando primero el ltimo trmino, de las rotaciones

P

P

kkij

P

jj

P

j

P

j

P

ij

P

jj

P

P

ij

C

ij xdxxxxtxxxdtxxdtx

0

00

0

,,,,

con

ijji

k

kij uux

,,,2

1

Si se suma y se resta ji

k

xx

u

2

2

1

ji

k

ji

k

ijji

k

kijxx

u

xx

uuu

x

22

,,,2

1

2

1

2

1

ijkjkijkkj

i

kiik

k

eeuux

uux

,,,,,,2

1

2

1

Si se llama ijkjkiPjjikik eexxeF ,, , se tiene

P

P

kikij

P

j

P

jii xdFxxtxutxxu

0

0,,

El segundo trminos del segundo miembro da los desplazamientos relativos debidos a las rotaciones rgidas del elemento en Po, mientras que el tercer y ltimo trmino da los desplazamientos debidos a las deformaciones y rotaciones de los elementos materiales que inicialmente estaban sobre la curva C. Si, como es de esperar, los desplazamientos deben ser funciones univaluadas de las coordenadas del punto P, esto significa que el valor de la integral curvilnea debe ser independiente del camino seleccionado, es decir el integrando

debe ser una diferencial exacta. La condicin, necesaria y suficiente para que kik xdF sea diferencial exacta es

que

0,, kimmik FF

O lo que es igual, usando la definicin de ikF :

0,,,,,,,,,, jlikklkiiljkjlkiPjjjikkjiklkijikjmkijmmik eeeexxeeeeee Los cuatro primeros trminos de la expresin anterior se cancelan; para que el quinto se anule, y siendo que la

eleccin de Px

es arbitraria, lo que se debe anular es el corchete

0,,,, jlikklkiiljkjlki eeee

Estas no son otra cosa que las ecuaciones de compatibilidad, escritas en notacin indicial. Aqu, cada trmino

(y por ende su suma) es un tensor de orden 4: es decir que en 3 tiene 81 componentes. Sin embargo, puede verificarse que la mayora son identidades triviales o repeticiones, debido a la simetra en i y k y en j y l. Lo importante de destacar es que las ecuaciones de compatibilidad son una condicin necesaria y suficiente slo para la existencia de una solucin del problema diferencial

ijjiij uue ,,2

aunque no aseguran la unicidad de la solucin. Aunque todo nuestro desarrollo parti de considerar pequeas deformaciones, estas condiciones no se

restringen a los problemas elsticos: podra repetirse una derivacin anloga para el tensor ijD de velocidades


de deformacin. Una interpretacin intuitiva del significado de estas condiciones es la siguiente: supngase que dividimos la porcin de continuo sujeta a estudio en pequeas subporciones. Luego defrmese cada subporcin; si se desea volver a ensamblar el conjunto a partir de las subporciones deformadas, en general no ser posible formar un nica porcin continua. Ahora si las deformaciones en cada subporcin se hacen de manera de acomodarse con las de las subporciones vecinas (si la deformacin es compatible con la de sus vecinas) entonces s podr obtenerse el reensamblado.

Actualizacin: 15-05-14 TP3 - Cinemtica del Continuo 14 / 19

Problemas de la Seccin 3 Cinemtica del Continuo Distribucin de las Deformaciones - Tensores Caractersticos 1) Dibujar, aproximadamente, cul ser la forma que adoptar un elemento de continuo, contenido en el

plano x-y, inicialmente cuadrado, y con sus lados paralelos a los ejes coordenados, si el tensor gradiente de desplazamientos toma la forma:

0 0 0

02 0 0

0 0 0

.

2) Para el siguiente tensor gradiente de desplazamientos,

10

9 10 4

10 18 18

14 18 27

1

calcular: a) el tensor de deformaciones b) el tensor de rotaciones c) el tensor desviador de deformacin d) los tres invariantes del tensor de deformacin especfica e) los tres invariantes del tensor desviador de deformaciones f) Qu significado tiene el invariante lineal del tensor de deformaciones? Se condice esta definicin con el invariante lineal del tensor desviador de deformaciones?

a) Para calcular el tensor de deformaciones, tambin llamado tensor de deformaciones especficas, debe tomarse la parte simtrica del tensor gradiente de desplazamientos,

27

1818

909

102

1 1,,, jiijjiij euue

b) Asimismo, el tensor de rotaciones es la parte antisimtrica del tensor gradiente de desplazamientos, a saber

0

00

5100

102

1 1,, ijijjiij uu

c) El tensor desviador de deformacin surge como ijkk

ijij

ee

3 , entonces:

9

180

909

10 1ij

d) Los tres invariantes de ije son

0det3

62.12

4.51

ij

ij

ij

eI

eMI

etrI


3) Un estado de deformacin en el cual el campo de desplazamientos es una funcin lineal de las

coordenadas xi se denomina deformacin homognea. Cul es la ecuacin de la superficie S que se

transforma en una esfera de ecuacin x x ri i 2 al producirse la deformacin?

Direcciones Principales Cinemticas

4) Probar que el primer invariante de LG -tensor de deformaciones Lagrangiano- se puede expresar en

funcin de las relaciones de extensin principal, segn:

I Lg11

21 1 11

2

2

2

3

2

5) Una roseta de sensores de deformacin especfica (strain-gages) mide deformaciones especficas de

mmmy /8.11.1,6.0 en las direcciones que forman ngulos de 0, 45 y 90 respecto al eje x-x,

respectivamente. Hallar las deformaciones principales y los ejes principales de deformacin.

e) Los tres invariantes de ij son

916.2det3

86.42

01

ij

ij

ij

eI

eMI

etrI

Los resultados de deformacin geomtrica de la roseta deben ser llevados a una configuracin donde

se pongan en evidencia todas las componentes ije . Para pequeas deformaciones se puede utilizar

tanto el tensor de deformacin infinitesimal Lagrangiano como el Euleriano, por lo tanto, cuando lo que se tiene es la deformacin normal , como en este caso:

jiji

ni

i

ni

i

i

ifnennEnnLn

X

u

x

u

dx

dxdx

En la direccin x-x (0),

6.00

1016.0

0

1

ac

ban

Anlogamente, en la direccin y-y (90),

8.11

06.0108.1

1

0

cc

bn

Finalmente, en la direccin 45,

1.12

2424264.0

2

227279.1

2

2

8.1

6.022

4

11.1

2

2

2

1

bb

bn


Velocidad de Deformacin 6) En cierta regin, hay un flujo cuya velocidad viene dada por el vector

)0,)(,)((),( 3223 ktkt eyyxAexyxAtxV

donde A y k son constantes, x-y-z son las coordenadas cartesianas y t la variable temporal. Hallar la aceleracin del campo en el punto (1,1,0) en t = 0.

7) Si una partcula de fluido se mueve con velocidad

V x t B y z B y z B x y z( , ) ( ( ), ( ), ( )) 2 3 2 3 2

en un medio donde la salinidad viene dada por SAe

x y z

t

3

2 2 2( ), cul es el cambio temporal en la

salinidad que experimenta la partcula en el punto (1,2,-2).

8) Un campo de velocidad en un medio continuo est determinado por las siguientes relaciones:

v x t

v x t

v x t

1 1

1

2 2

1

3 3

1

1

2 1

3 1

( )

( )

( )

a) Determinar la trayectoria del flujo de partculas b) Determinar las lneas de corriente c) Cmo son las lneas de corriente respecto de las trayectorias? Comentar.

Por lo tanto, la componente 212 ee vale 0.05 y

8.1

05.06.0ije . Las deformaciones infinitesimales

principales surgirn de diagonalizar el tensor anterior, lo que numricamente arroja

601041.0

801041.1*

ije . El lector puede calcular los ejes principales de dicho tensor.

La variacin de una propiedad N del continuo con respecto a partculas especficas de ese campo cinemticamente definido por su vector velocidad se denomina derivada material o derivada sustancial:

k

ij

k

ijij

x

txNv

t

txN

dt

txdN

,,, .........

Denominador bajo el operador

v

tdt

D , en el caso del problema la propiedad es la

Salinidad y el campo de velocidad est dado por ),( txV

, por lo tanto

2222222

3

4

3

2

3

424312233

323222

3

zyx

zyBxzBByzyBxAe

r

zyyzyxzzyxABe

r

AeSv

t

S

dt

DS

t

tt

Especializando en el punto deseado,

9

433 BAeS t


9) Si un continuo fluye con velocidad

L

ayxVvvv Zzyx

]/)(1[;0

22

donde ZV , L y a son constantes, calcular:

a) el tensor velocidad de deformacin b) el tensor de torbellinos c) el tensor desviador de velocidad de deformacin d) Cunto vale la velocidad de deformacin volumtrica?

10) Una partcula movindose en un tnel de viento, tiene una velocidad dada por

V x t U

a

r

a x

ri

Ua xy

rj( , )

1

22

2

2

2 2

4

2

4

donde r, U y a son constantes. Si dentro del tnel se quema combustible para generar una cmara de

humo, y la densidad de partculas de humo sigue la ley A qt x ycos( ) ln( )2 2 , con A y q constantes,

expresar el cambio de densidad de partculas de humo que ve la partcula en el (a, a, 0). Expresar jiD y

ji en (a, a ,0) para el flujo anterior.

Distribucin de las Velocidades de Deformacin - Tensores Caractersticos 11) Un campo de velocidades estacionario en un medio continuo estacionario est definido por:

V x t x x e x x e x x x e( , ) 3 212

2 1 2

2

3 2 1 2 3 3

Se desea conocer la velocidad de distorsin entre las direcciones ortogonales

5/)43(

5/)34(

31

31

eev

eeu

en el punto (1,1,1). 12) El campo de velocidades en un medio continuo est especificado en forma euleriana como:

dx

dtx e

dx

dtx

dx

dttt

1

2

2

3

32 ; ;

Se desea conocer la aceleracin de las partculas. Calcularla tanto por la formulacin lagrangiana como por la euleriana. Comparar los resultados.

Para el campo de velocidad observado en configuracin espacial o euleriana, la aceleracin es la variacin de la propieadad vectorial Velocidady se calcula a travs de la Derivada Sustancial:

2,2,22 3221331, te

xxeteexeeexvv

t

v

dt

Dvt

tt

skik

ii

Varios 13) Verificar que el siguiente estado plano de deformaciones

e kxy e kxy ek

c yxx yy xy ; ; ( )( ) 21 2 2

donde k, y c son constantes, es un estado compatible.


14) Si asumimos que uz 0 y que u u x y u u x yx x y y ( , ); ( , ) , hallar el campo de desplazamientos

asociados al tensor anterior.

15) Sea un campo de torbellinos en un medio continuo q x t( , ) . Probar que

tq d x n a ds v q n ds q v n ds

V V V V

3 ( ) ( )


Leonhard Euler (1707-1783)

Matemtico suizo, cuyos trabajos ms importantes se centraron en el campo de las matemticas puras,

campo de estudio que ayud a fundar. Euler naci en Basilea y estudi en la Universidad de Basilea con el

matemtico suizo Johann Bernoulli, licencindose a los 16 aos. En 1727, por invitacin de la emperatriz de

Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue

nombrado catedrtico de fsica en 1730 y de matemticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemticas en

la Academia de Ciencias de Berln a peticin del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regres a San

Petersburgo en 1766, donde permaneci hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una prdida parcial de

visin antes de cumplir 30 aos y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas

obras matemticas importantes, as como reseas matemticas y cientficas.

En su Introduccin al anlisis de los infinitos (1748), Euler realiz el primer tratamiento analtico completo del

lgebra, la teora de ecuaciones, la trigonometra y la geometra analtica. En esta obra trat el desarrollo de

series de funciones y formul la regla por la que slo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas

adecuadamente. Tambin abord las superficies tridimensionales y demostr que las secciones cnicas se

representan mediante la ecuacin general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del

clculo (incluido el clculo de variaciones), la teora de nmeros, nmeros imaginarios y lgebra determinada

e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemtico, realiz tambin aportaciones a la

astronoma, la mecnica, la ptica y la acstica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del clculo diferencial

(1755), Instituciones del clculo integral (1768-1770) e Introduccin al lgebra (1770).

Joseph Louis, conde de Lagrange (1736-1813)

Matemtico y astrnomo francs nacido en Turn (Italia), en cuya universidad estudi. Fue nombrado

profesor de geometra en la Academia Militar de Turn a los 19 aos y en 1758 fund una sociedad que ms

tarde se convertira en la Academia de Ciencias de Turn. En 1766 fue nombrado director de la Academia de

Ciencias de Berln, y 20 aos despus lleg a Pars invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la

Revolucin Francesa, estuvo al cargo de la comisin para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y

medidas (vase Sistema mtrico decimal). Despus de la Revolucin, fue profesor de la nueva cole Normale

y con Napolen fue miembro del Senado y recibi el ttulo de conde. Fue uno de los matemticos ms

importantes del siglo XVIII; cre el clculo de variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones

diferenciales y trabaj en la teora de nmeros. Entre sus investigaciones en astronoma destacan los clculos

de la libracin de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra ms importante es Mecnica analtica

(1788).

Guía tres de mecánica de continuo

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