01_TALLER MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO - (15-04-16).pdf

8/17/2019 01_TALLER MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO - (15-04-16).pdf

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ELABORADO POR:

HUGO ARMANDOO CASTELBLANCO RUEDA - 2168145

DIEGO FERNANDO VARGAS MARTÍNEZ – 2168165

DOCENTE:

Ing. C, Sc., PhD. OSCAR JAVIER BEGAMBRE C.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

ESPECIALIZACIÓN EN ESTRUCTURAS

VI COHORTE

2016

Mecánica del Medio ContinuoTaller Aplicativo

https://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwid2uKa9b3LAhVFGx4KHS2MB-EQjRwIBw&url=https://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy&psig=AFQjCNEGH5W2nVCYRMZKNp3wlQ3O-U3UVg&ust=1457967171898193


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Mecánica del Medio Continuo | Taller Aplicativo 1

CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 2

2. OBJETIVOS ................................................................................................................................... 3

3. EJERCICIOS ................................................................................................................................... 4

3.1. EJERCICIO DE ESFUERZOS .................................................................................................... 4

3.2. EJERCICIO DE ALGEBRA TENSORIAL-SÍMBOLO DE PERMUTACIÓN ..................................... 7

3.3. EJERCICIO DE ALGEBRA TENSORIAL-SÍMBOLO DE PERMUTACIÓN ..................................... 9

3.4. EJERCICIO TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS .......................................................... 11

4. CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 20

5. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 20


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1. INTRODUCCIÓN

Para analizar el comportamiento físico de solidos deformables, solidos rígidos y fluidos, esindispensable utilizar metodologías que faciliten su estudio, para esto se modela dichofenómeno como un modelo matemático. La Teoría del continuo permitirá la investigaciónde los fenómenos a partir de ciertas dimensiones mínimas, estos valores límitedependerán del material y del fenómeno en estudio; por ejemplo, en el análisis de losestados de esfuerzos y deformaciones de una partícula P sumergida en un fluido. Elpresente taller analizará los esfuerzos debido a la tensión o tensiones de los tensores,además la aplicación de notaciones y convenciones que simplificarán las operaciones deálgebra tensorial, y finalmente se aplicará el método de transformación de coordenadas,

teniendo en cuenta que está basado en el álgebra vectorial y los formalismos del álgebrade tensores.


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2. OBJETIVOS

Aplicar los conceptos de la mecánica del medio continuo para la solución deproblemas relacionados con los estados de esfuerzos en determinados

puntos del cuerpo.

Aplicar el concepto de símbolo de permutación para simplificar operacionesde determinantes y producto cruz entre vectores.

Emplear un método que tenga como fin realizar una trasformación de lascomponentes de esfuerzo, en las direcciones de un nuevo sistema decoordenadas arbitrario.


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3. EJERCICIOS

3.1. EJERCICIO DE ESFUERZOSSabiendo que la distribución de tensiones en un cuerpo está dada por:

= − + 0 00 − + 00 0 − + , ,

a) Calcular la distribución de tensiones en las seis caras del bloque.

Cuando x=0 y aplicando la ecuación de Couchy

= ∗

= − + 0 00 − + 00 0 − + ∗ {−100 }

= { + 00 }


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= → {100} = { + 00 }

= 0 → = {0

− 0 }

= → = {0−+0 }

= 0 → = {00 − }

= → = { 00−+}

b) Calcular la resultante que actúa en las caras y=0 y x=0.

Se debe conocer la distribución de esfuerzos y el área donde esta aplicada.

Figura 1: Distribución de esfuerzos


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Cuando Y=0

= ∫ ∙ − ∫ ∫ ∙

= ∫ ∫ ∙ = | ∗ | = ∗ = ∗ ∗̂

Cuando x=0

= ∫ ∫ −

= ∫ ∫

− ∫ ∫

=(| ∗ |) −

2| ∗ |

= ∗ − 2 ∗


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3.2. EJERCICIO DE ALGEBRA TENSORIAL-SÍMBOLO DEPERMUTACIÓN

Calcule el determinante de una matriz 3x3 expandiendo la ecuación A y aplicandola definición del símbolo de permutación.

d e t = Ԑ Comprobación inicial

d e t =

d e t = + + − − − Símbolo de permutación:

Ԑ = {+1−10 } Si los valores de i, j, k

aparecen en lasecuencia

{1231231232132132 }

SOLUCIÓN: = 1 , = 2 , = 3 Ԑ + Ԑ + Ԑ 1 2 3 1 = 1, = 2, = 3 Ԑ + Ԑ + Ԑ

Aplicando el símbolo de permutación se obtiene:

− (4) 2 = 1, = 2, = 3

Ԑ + Ԑ + Ԑ


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Aplicando el símbolo de permutación se obtiene:− + (5) 3 = 1, = 2, = 3

Ԑ + Ԑ + Ԑ Aplicando el símbolo de permutación se obtiene: − (6)

Sumando 4 + 5 + 6 d e t = Ԑ

d e t = − − + −

Ordenando términos se obtiene la solución del determinante de A:

d e t = + + − − −


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3.3. EJERCICIO DE ALGEBRA TENSORIAL-SÍMBOLO DEPERMUTACIÓN

Mostrar que la ecuación la siguiente ecuación Representa el producto cruz entredos vectores ⃗ y

⃗× = Ԑ Representa el producto cruz entre dos vectores ⃗ y Comprobación inicial ⃗= ⃗= Sabiendo que , , forman una base del 3D (mano derecha), entonces: × = × = × = Podemos escribir: × = Ԑ Entonces:

⃗× = = {

−

− + − } = {

−

− + − } SOLUCIÓN: = 1 , = 2 , = 3 Ԑ + Ԑ + Ԑ

1 2 3 1 = 1, = 2, = 3

Ԑ + Ԑ + Ԑ Aplicando el símbolo de permutación se obtiene: − (4)


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2 = 1, = 2, = 3

Ԑ + Ԑ + Ԑ


− + (5) 3 = 1, = 2, = 3

Ԑ + Ԑ + Ԑ


− (6)De las ecuaciones 4 + 5 + 6 se ordena y se obtiene:

⃗× = − , − , −

⃗× = { −

− + − }


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3.4. EJERCICIO TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Debido a que la ecuación de Cauchy solamente aplica para encontrar los esfuerzosen las direcciones X, Y, Z del sistema de coordenadas original, es necesario emplear

un método que tenga como fin, realizar una trasformación de las componentes deesfuerzo en las direcciones de un nuevo sistema arbitrario X’, Y’, Z’, este método sedesarrolla utilizando el álgebra vectorial y los formalismos del algebra de tensores

En la figura 2 se puede observar además del sistema coordenado inicial comotambién el sistema arbitrario, un plano con un vector normal en la misma direccióndel eje X’ y los ángulos de cada una de las proyecciones determinados por loscosenos directores del sistema.

Figura 2: Plano ABC con su vector normal alineado con el eje X’ y los cosenos directoresasociados al eje X’.

Se realiza la descomposición de las fuerzas Px, Py, Pz en el eje X’:

= , + , + , (1)Se usará también la ecuación (2) que se extrae de la fórmula de Cauchy:


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= + + = + + = + + (2)

Teniendo en cuenta que los esfuerzos cortantes son simétricos, entre carasperpendiculares.

≅ ≅ ≅ (3)Reemplazando la ecuación (2) en (1):

= [ , + , + , ] , + [ , + , + , ] , + [ , + , + , ] , (1.1)

Agrupando los términos se obtiene:

= , + , + , + 2 , ,

+ 2

,

, + 2 , , (4)En la figura 3 se puede identificar además del eje coordenado inicial y el ejearbitrario, un plano con un vector normal asociado en la misma dirección del eje X’como también los ángulos de cada una de las proyecciones determinados por loscosenos directores del sistema asociados al eje Y’ .


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Figura 3: Plano ABC con su vector normal alineado con el eje X’ y los cosenos directoresasociados al eje Y’ .

Desarrollando de forma similar se puede definir en la dirección Y’:

= , + , + , (5)Reemplazando la ecuación (2) en (5):

= [ , + , + , ], + [ , + , + , ], + [ , + , + , ], (5.1)


= , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , (5.2)


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Factorizando y Agrupando términos similares:

= , , + , , + , ,

+

,

,

+

,

, + , , + , , + , , + , ,

(6)

Observando la figura 4 se identifica además del eje coordenado inicial y el ejearbitrario un plano con un vector normal asociado en la misma dirección del eje X’y los ángulos de cada una de las proyecciones determinados como los cosenosdirectores del sistema asociados al eje Z’ .

Figura 4: Plano ABC con su vector normal alineado con el e je X’ y los cosenos directoresasociados al eje Z’.

Desarrollando de forma similar se puede definir en la dirección Z’:

= , + , + , (7)


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Reemplazando la ecuación (2) en (7):

= [ , + , + , ], + [ , + , + , ],

+ [

, +

, +

, ]

,

(7.1)


= , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , (7.2)


= , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , + , , (8)

En la figura 5 se puede identificar además del eje coordenado inicial y el ejearbitrario un plano con un vector normal asociado en la misma dirección del eje Y’

y los ángulos de cada una de las proyecciones determinados como los cosenosdirectores del sistema asociados al eje Y’ .


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Figura 5: Plano ABC con su vector normal alineado con el eje Y’ y los cosenos directoresasociados al eje Y’.

Desarrollando de forma similar se puede definir en la dirección Y’:

= , + , + , (9)Reemplazando la ecuación (2) en (9):

= [, + , + , ], + [, + , + , ], + [, + , + , ], (9.1)


= , + , + , + 2 , , + 2 , , + 2 , , (10)


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En la figura 6 se puede identificar además del eje coordenado inicial y el ejearbitrario un plano con un vector normal asociado en la misma dirección del eje Y’

y los ángulos de cada una de las proyecciones determinados como los cosenosdirectores del sistema.

Figura 6: Plano ABC con su vector normal alineado con el eje Y’ y los cosenos directoresasociados al eje Z’ .

Operando de forma similar se puede definir en la dirección Z’: = , + , + , (11)Reemplazando la ecuación (2) en (11): = [, + , + , ],

+ [

, +

, +

, ]

, + [, + , + , ], (11.1)


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= , , + , ,

+

,

, +

,

, + , , + , , + , , + , , + , , (12)

Agrupando nuevamente:

= , , + , , + , ,

+

,

, +

,

, + , , +, , + , , +, , (13)

En la figura 7 se puede identificar además del eje coordenado inicial y el ejearbitrario un plano con un vector normal asociado en la misma dirección del eje Z’

y los ángulos de cada una de las proyecciones determinados como los cosenosdirectores del sistema.

Figura 7: Plano ABC con su vector normal alineado con el eje Z’ y los cosenos directores

asociados al eje Z’.


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Operando de forma similar se puede definir en la dirección Z’: = , + , + , (14)

Reemplazando la ecuación (2) en (14): = [, + , + , ], + [, + ′, + , ], + [, + , + , ], (14.1)


= , + , + , + 2

,

, + 2 , , + 2 , ,

(15)


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4. CONCLUSIONES Mediante la ecuación de Cauchy es posible modelar distintas situaciones de

los estados de esfuerzo, independientemente si el material es un fluido o unsólido.

A través de los conceptos fundamentales de tensor de esfuerzos se puedecomprender la base teórica de los elementos finitos, método queactualmente es utilizado en los software de ingeniería estructural.

El símbolo de permutación y el álgebra tensorial de Einstein, permitensimplificar el desarrollo de operaciones matriciales y vectoriales, entre otras.

Además que estos métodos pueden aportar en la simplificación del lenguajede programación.

La trasformación de coordenadas se basa en un proceso matemáticoimportante para efectuar un cambio del sistema de coordenadasconvencional a un nuevo sistema arbitrario, es de resaltar que el estado deesfuerzos depende del sistema de referencia elegido, luego con la existenciade infinitos sistemas de referencia se genera un infinito grupo de tensores.

5. BIBLIOGRAFÍA

Fung, Y.C., A First course in continuum Mechanics (Third Edition), PrenticeHall, 1994. Mase, G.T. and Mase, G.N., Continuum Mechanics for Engineers, (Second

Edition), CRC Press, 1999 Disponible en formato electrónico en la página dela Biblioteca UIS.

CASTELBLANCO, H., VARGAS, D., extractos de las clases de mecánica delmedio continuo, diapositivas.

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