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Mecánica de Sólidos

UDA 2: Miembros Cargados Axialmente.

UDA 2: Estructuras sometidas a Cargas Axiales

Principio de Saint Venant

• Debido a la carga, la barra se deforma como loindican las línes dibujadas sobre ella y que unavez fueron horizontales o verticales.

• Observe como la deformacion localizada queocurre en cada extremo tiende a disminuir y laslineas se vuelven uniformes en toda la seccionmedia de la barra.


Principio de Saint Venant• Si el material se considera elástico, entonces las deformaciones

unitarias causadas por esta deformación están directamente relacionadas con el esfuerzo en la barra.

• Consideramos un perfil de la variación de la distribución deesfuerzos que actúa sobre las secciones a-a, b-b, c-c:

1. El esfuerzo tiende a alcanzar un valor uniforme en la secciónc-c. Está lo suficientemente lejos del extremo para que ladeformación localizada por P se desvanezcadeformación localizada por P se desvanezca.

2. La distancia minima desde el extremo de la barra hasta elpunto donde ocurre esto, puede determinarse mediante unanálisis matemático basado en la teoría de la elasticidadanálisis matemático basado en la teoría de la elasticidad.


Principio de Saint Venant

3- Se ha encontrado que esta distancia debe ser al menos igual a la mayor dimensión de la seccion transversal cargada. Por lo tanto, la sección c-c debe ubicarse a una distancia por lo menos igual a la anchura (no elespesor) de la barra.

4- La distribución de esfuerzos en el soporte tenderá a equilibrarse y llegará a ser uniforme en la sección transversal ubicada a la misma distancia del soporte.

Resumiendo:El esfuerzo y la deformación que se producen en los puntos de un cuerpo lo suficientemente alejados de la región donde se aplica la carga serán iguales al esfuerzo y la deformación producidas por cualesquiera cargas aplicadas que tengan la misma resultante estáticamente equivalentes y que se aplique al cuerpo dentro de la misma región.

Observe cómo se distorsionan las líneas sobre esta membrana de caucho después de haber sido estirada. Las distorsiones localizadas en las cuadrículas se suavizan como lo establece el principio de Saint-Venant.


Deformación elástica de un Elemento cargado Axialmente

S á l l d H k l d fi i i d f d f ió fi d d llSe usará la ley de Hooke y las de finiciones de esfuerzo y deformación a fin de desarrollar unaecuación que pueda utilizarse para determinar el desplazamiento elástico de un elemento sometidoa cargas axiales.

C id i Li it iConsideraciones y Limitaciones:

• Se desea encontrar el desplazamiento relativo (δ) provocado por una carga determinada en unextremo de la barra con respecto al otro extremo.N t á t l d f i l li d d l t d • No se tomará en cuenta las deformaciones localizadas que se producen en los puntos de cargaconcentradas y donde la sección transversal cambia de manera repentina,

• La barra se deforma de manera uniforme, por lo que el esfuerzo normal se distribuye de la mismaforma sobre la sección transversal.


Deformación elástica de un Elemento cargado AxialmenteMétodo de las Secciones:

Un elemento diferencial con longitud dx y sección transversal de área A(x) se aísla de la barra en laposición arbitraria x.

• La fuerza axial interna resultante será unafunción de x puesto que la carga externafunción de x puesto que la carga externadistribuida hará que varie a lo largo de la barra.

• P(x) deformará al elemento según lo indica lalinea discontinua, por consiguiente, eldesplazamiento de un extremo del elementopcon respecto al otro extremo es dδSiempre que ele esfuerzo no exceda el límite

proporcional, es posible aplicar la LEY DE HOOKE:



Ejemplo #1:Ejemplo #1:


Deformación elástica de un Elemento cargado AxialmenteSolución:

S ió 2 Fuerzas InternasSección 1: Sección 2: Fuerzas Internas.

Debido a la palicacion de cargasexternas las fuerzas axialesen las regiones AB, BC, y CD serán diferentes entre sí. Estasfuerzas se obtienen al palicar el método de las secciones yl i d ilib i d f ti lla ecuacion de equilibrio de fuerzas verticales.

Desplazamiento.Se debe conocer que Eac= 29x10^3 ksi. Usando laconvecnion de signos las fuerzas de tension son positivas y

Sección 3:convecnion de signos, las fuerzas de tension son positivas ylas fuerzas en comresion negativas, el desplazamientovertical de A con rescto al soporte fijo D, estara dado por:



La viga rígida AB descansa sobreEjemplo #2: La viga rígida AB descansa sobredos postes cortos como semuestra en la figura. AC es deacero y tiene un diametro de 20ymm y BD es de aluminio y tiene undiámetro de 40 mm. Determine eldesplazamiento del punto F en ABsi se aplica una carga vertical de90 kN sobre ese punto. ConsidereEac = 200 Gpa, Eal = 70 Gpa.



Solución

FUERZAS INTERNAS. Las fuerzas de compresión que

actúan en la parte superior de cada poste se determina

Solución

a partir del equilibrio del elemento AB. Estas fuerzas son

iguales a las fuerzas externas en cada poste.

DESPLAZAMIENTO El desplazamiento en cada poste es:DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento en cada poste es:



El ensamble consiste en dosEjemplo #3 El ensamble consiste en dos

barras de acero A-36 (E=29x10^3)

y una barra rígida BD Cada unay una barra rígida BD. Cada una

de ellas tiene un diámetro de 0.75

in Si se aplica una fuerza,in. Si se aplica una fuerza,

determine el desplazamiento

vertical de la carga.g



Ejemplo #4


Deformación elástica de un Elemento cargado AxialmenteEjemplo #5:

El poste mostrado tiene un diametro de 60 mm. Si está

sometido a la carga de 20 kN y el suelo proporciona

una resistencia a la friccion de w = 4 kN/m que se

distribuye de manera uniforme a lo largo de sus lados,

determine la fuerza F en su parte inferior que esdetermine la fuerza F en su parte inferior que es

necesaria para consevar el equilibrio. Ademas ¡cuál es

el desplazamiento de la parte superior A del poste

respecto a su parte inferior B? No tome en cuenta el

peso del poste.

Módulo 2: Estructuras sometidas a Cargas Axiales

Deformación elástica de un Elemento cargado AxialmentePrincipio de Superposición:

El principio de superposición se utiliza para determinar el esfuerzo o el desplazamiento en un

punto de un elemento cuando éste se encuentra sometido a una carga complicada.

Establece que el esfuerzo o el desplazamiento resultante en el punto puede determinarseEstablece que el esfuerzo o el desplazamiento resultante en el punto puede determinarse

mediante la suma algebraica del esfuerzo o el desplazamiento causado por cada

componente de la carga aplicado por seprado al elemento.



Ejemplo #Ejemplo # 5::

Un elemento estructural está hecho de un material que tiene una densidad ρ y un módulo de elasticidad E. Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso y la fuerza exterior P.


Deformación elástica de un Elemento cargado AxialmenteSolución: La fuerza axial interna varía a lo largo

del elemento ya que depende de Wy. Por tanto

Por semejanza de triángulos

El volumen será

y y y

y = γP VF∑ = 0⇒ P W=

0=r⇒ =xx 0r y

y L L

23 20

23 3π rV yx y

Lπ

= =


Deformación elástica de un Elemento cargado AxialmenteSolución: La fuerza interna se expresa en la

forma

El área de la sección transversal será

La deflexión del extremo del cono es

230

23y = γP V r yL

γπ=

2

= π x =2 202y

π rA yL

2 2 30

20 00

2

[([(π r / L )y2 2 ]

6

L L

x

Pydy r / 3L )y ]dyEA E

LE

γπδ

γδ

= =

=

∫ ∫


Estructuras Indeterminadas

• Aparecen cuando has más soportes de losnecesarios para mantener una estructura en equilibrio.• Esos soportes adicionales se incluyen porcondiciones de seguridad o para aumentar la rigidezde la estructura.• Cada soporte adicional introduce nuevasreacciones desconocidas de tal forma que el número de reacciones excede al número de ecuaciones de equilibrio

DEFINICIÓN. El grado de redundancia estática es el número de reacciones desconocidas menos el número de ecuaciones de equilibrio.



• Si el grado de redundancia es cero se dice que laestructura es estáticamente determinara y todas lasreacciones se determinan de las ecuaciones deequilibrio.

• Si el grado de redundancia es diferente de cero serequieren ecuaciones adicionales para hallar lasreacciones.

• Estas ecuaciones adicionales son las relaciones entre loscambios dimensionales de los elementos.

DEFINICIÓN. Las ecuaciones de compatibilidad son relaciones geométricas entre los cambios dimensionales de las barras y se determinan de la geometría de la figura deformada.


Estructuras Indeterminadas• Las estructuras para las cuales las fuerzas internas y las reacciones

d d t i l t táti dino se pueden determinar solamente con estática, se dicen que sonestáticamente indeterminadas.

• Un estructura estará estáticamente indeterminada cuando est d á l id t

• Las reacciones redundantes son incógnitas que junto a las demáscargas deben producir deformaciones compatibles.

soportada por más apoyo que los requeridos para mantener suequilibrio.

• Las deformaciones debido a las cargas y a las reaccionesredundantes se determinan por separado y luego son sumadas osuperpuestas

cargas deben producir deformaciones compatibles.

0 RL superpuestas.



• En la Figura (a) se muestrauna barra fija en ambosextremos a dos muros rígidossometida a una carga P, y en laFigura (b) se muestra su DCL

Ejemplo 6:



• Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

∑Fy = 0⇒ F +B AF P− = 0 (a)• Debido a que la ecuación estática por sí sola no

permite determinar las reacciones, este problema esestáticamente indeterminado.

• Condición de compatibilidad.0/A Bδ = A ACF L FBL

EABC 0= (2)

EA−

• �Resolviendo las ecuaciones resulta: CB

A L=F P L

ACB L=F P L


Estructuras Indeterminadas• Tres barras de acero (E = 30000ksi) tienen área de sección

transversal de 1 pulg2. Determine el desplazamiento delpunto D respecto a la posición de la carga

Ejemplo 7:


Estructuras Indeterminadas• Este problema es estáticamente determinado ya que se

pueden hallar las fuerzas internas en todos los elementosmediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrioestático.

• Es decir,


Estructuras Indeterminadas• La deformación de CD será

• Para las varillas AC y BC se usa el criterio de deformaciones pequeñas es decir,

• Entonces el desplazamiento de C respecto a la pared es

• La deflexión total de D será


Estructuras IndeterminadasDetermine las reacciones en A y B para la barra de acero y lascargas mostradas

Ejemplo # 8:

cargas mostradas.

SOLUCIÓN:

• Considere la reacción en B como la redundante, elimine laó

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacciónd d

reacción, y resuelva para el desplazamiento en B debido a lascargas aplicadas.

• Los desplazamientos debido a las cargas y debido a laredundante deben ser compatibles, i.e., su suma debe ser cero.

redundante en B.

• Resolver para la reacción en A debido a las cargas aplicadas ya la reacción en B.


Estructuras IndeterminadasSOLUCIÓN:• Resolver para el

d l i t B d bidPPPP 3

43

321 N10900N106000 desplazamiento en B debido alas cargas aplicadas sin laredundante:

LP

LLLL

AAAA

9

4321

2643

2621

101251

m 150.0

m10250m10400

EEALP

i ii

ii9

L10125.1

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacción redundante en B,

B

LL

AA

RPP

262

261

21

3000

m10250m10400

i

B

ii

iiR E

REALPδ

LL

3

21

1095.1

m300.0


Estructuras Indeterminadas• Los desplazamientos debido a las cargas y debido a la redundante

deben ser compatiblesdeben ser compatibles,

01095.110125.1

0

39

B

RL

ER

E

kN 577N10577 3 BR

EE

• Resolver para la reacción en A debido a las cargas aplicadas y a lareacción en B

kN323

kN577kN600kN3000

A

Ay

R

RF

kN323ARkN323AR

kN577

kN323

B

A

R

R


Esfuerzos Térmicos• Un cambio de temperatura resulta en un cambio de longitud o deformación

térmica. No hayy esfuerzos asociados con las deformaciones térmicas,, a menos que la elongación sea restringida por los apoyos.


Esfuerzos Térmicos


Ejemplo:

Esfuerzos Térmicos


Ejemplo:

Esfuerzos Térmicos

La barra de acero A-36 (E=29X10^3) como se muestra en la

figura. Cabe justamente entre dos soportes fijos cuando T1

= 60°F. si la temperatura se eleva a T2 = 120°F, determine el

esfuerzo térmico normal promedio desarrollado en la barra.

α = 6.60 x 10^-6 / °F


Ejercicios:

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