Geometría Descriptiva I - Intersección de dos planos cualesquiera

Por Francis Vanessa Valladares1

Pasos a seguir:1. Datos: planos

cualesquiera ABC y DEF por sus proyecciones.

Figura 98

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Por Francis Vanessa Valladares

2

2. Cortamos los planos dados por el auxiliar Q´, éste produce como intersecciones: 1´2´ en a´b´c´ que proyectamos 1,2 en abc y 3,4 en def.

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Figura 99

Las rectas 1,2 y 3,4 se cortan en i en proyección horizontal, punto cuya proyección vertical i´ se encontrará sobre el mismo plano Q´ al cual lo proyectamos.

Q´

1

1´

4´

4

2´

2

3´

3

ii

i´i´


3

3.Repetimos el proceso con otro auxiliar L´ encontrando las rectas 5,6 y 7,8 que se cortan en el punto j, con proyección vertical j´ en el plano L´.

Figura 100

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´ Q´

1

1´

4´

4

2´

2

3´

3

ii

i´i´

Los puntos i´i j´j determinan la recta i´j´, i j que es la intersección buscada.

L´

5´

5

6´

6

7´

7

8´

8

j´j´

jj


4

La solución general puede abreviarse si usamos para los cortes, planos auxiliares

cuyas proyecciones íntegras se encuentran en algunas de las rectas que determinan los planos del problema, así

usando el mismo procedimiento, eliminando las trazas podemos encontrar

una solución más rápida.


5

Aplicaremos este procedimiento a la intersección de dos figuras planas limitadas y para comparación usaremos el mismo problema del caso general, asumiendo que están limitados dentro de los triángulos determinados por los puntos ABC y DEF.

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Figura 101


6

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

1.Por una de las proyecciones de rectas conocidas, en este caso a´b´ hagamos pasar un auxiliar Q´1 y determinemos sus intersecciones con los dos planos del problema.

Q´1

1

1´

2

2´

La intersección de Q´1 con ABC, será la misma recta a´b´ , ab mientras que al DEF lo corta en d´e´ d´f´ en puntos 1´ y 2´ con proyecciones horizontales 1 2 en de, df respectivamente.

Figura 102


7

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Q´1

1

1´

2

2´

Las rectas ab y 1 2, se cortan en m, cuya proyección vertical m´ se encuentra necesariamente sobre la íntegra Q´1 del auxiliar.

m

m´

Figura 102,1


8

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Q´1

1

1´

2

2´

m

m´

2. Repetimos el procedimiento, cortando por otro auxiliar Q´2 apoyado en la proyección vertical e´f´, éste nos determina dos rectas en proyección horizontal, ef y 3 4 que se cortan en n con proyección vertical n´ en Q´2.

4

4´

3

3´

Q´2

n

n´

Figura 102,2


9

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Q´1

1

1´

2

2´

m

m´

4

4´

3

3´

Q´2

n

n´

Los puntos m´m y n´n determinan la recta m´n´ mn que es la intersección entre los dos planos.

Figura 102,3


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Intersección MaterialIntersección MaterialCuando los planos dados estén limitados a

una figura cualquiera, en este caso los triángulos ABC DEF, la línea de intersección

quedará limitada dentro del espacio común a las dos figuras planas.

Esta porción se llama intersección material y en montea se define come el segmento

de la recta de intersección, que en las proyecciones se sobrepone a las de los dos

planos.


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En la figura es el segmento m´n´ mn, pues hacia la derecha de n´´n la recta sale primero de la figura DEF y después de la ABC, en tanto a la izquierda del punto m´m la recta sale de ABC y después de DEF.

Es evidente que al salir de una de las figuras, deja de haber intersección entre ellas.

Figura 102,4


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VisibilidadVisibilidadLimitada la figura podemos determinar la

visibilidad de la montea, para lo cual aplicamos el procedimiento anteriormente,

a pares de rectas del problema, que se cruzan.


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Visibilidad de la proyección vertical Tomando el punto v´, si

referimos el punto a la proyección horizontal, encontramos mayor alejamiento para la recta ab, por lo que la proyección a´b´ es la visible en ese punto y lo sería de no encontrar la intersección material en el punto m´.

Así la recta a´b´ al llegar a m´ deja de verse pues pasa detrás del otro plano, pero es visible desde el punto 2´ hasta el b.´

Figura 103,1

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Q´1

2

2´

m

m´ 4´

3´

Q´2

n

n´v´


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Repitiendo el proceso, tomemos el punto t que cruza las rectas bc y ef que referido a la proyección vertical, nos señala la mayor altura para la recta cb, ésta es visible en sus dos extremos b y c ya que no toca en ningún punto la intersección material: toda ella está sobre el plano def.

Visibilidad de la proyección horizontal

a

a´

b

b´

c

c´

e´

e

d

f´

f

d´

Q´1

2

2´

m

m´4´

3´

Q´2

n

n´v´

t

Figura 103,2


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Una proyección isométrica nos presenta en el espacio, el aspecto de la intersección de los dos planos.


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Conclusiones Existen diversos procedimientos que podemos utilizar

para conocer el aspecto de intersecciones de planos en el espacio guiándonos por sus proyecciones vertical y horizontal en montea.

Utilizando rectas auxiliares cualesquiera podemos determinar los puntos de intersección entre dos planos de manera relativamente sencilla y precisa.

En las proyecciones, al encontrar los puntos de intersección y proyectando rectas que toquen a ambos planos, podemos determinar la altura y el alejamiento máximos que existen entre los dos planos en sus proyecciones vertical y horizontal.


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