SISTEMAS ESTTICAMENTE DETERMINADOS (ISOSTA-TICOS) Y ESTTICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTTICOS) Una de las tareas fundamentales de la mecnica de construccin consiste en la determinacin de las fuerzas internas en los elementos de una construccin. Los mtodos de determinacin de stas dependen de si el problema es estticamente determinado (isosttico) o indeterminado (hiperesttico). Si todas las fuerzas internas en la construccin, para las admisiones dadas, referentes a la determinacin de ellas y al esquema de clculo adoptado, pueden ser determinadas slo con las ecuaciones de la esttica, sin el estudio del estado de deformacin de la construccin, entonces tales problemas se denominan estticamente determinados o isostticos. Pero, si todas las fuerzas internas en la construccin, o parte de ellas, para las admisiones dadas, respecto a su determinacin y al clculo adoptado, no pueden ser determinadas slo con las ecuaciones de la esttica, y para determinarlas se exige el estudio del estado de deformacin del sistema, entonces, tales problemas se denominan estticamente indeterminados o hiperestticos. En los problemas isostticos, las fuerzas internas, cuya determinacin se efecta nicamente con las ecuaciones de equilibrio, no dependen de las dimensiones transversales, de la forma y del material de los elementos estructurales por separado. En los problemas hiperestticos, las fuerzas internas, cuya determinacin est ligada con el estudio del estado de deformacin del sistema, al depender ste de las dimensiones, forma y material de los elementos por separado, dependen tambin de las dimensiones, de la forma de las secciones transversales y del material de los elementos estructurales por separado. Los valores de las fuerzas internas dependen de aquellas premisas, sobre la base de las cuales stas se determinan. De estas mismas premisas tambin depende la divisin de las problemas en isostticos e hiperestticos. Como veremos ms adelante, para un mismo esquema de clculo, el problema, con unas premisas puede ser isosttico y con otras, hiperesttico. As, por ejemplo, el problema ms simple de determinacin del momento en el empotramiento de un voladizo; ser isosttico, al despreciar el desplazamiento horizontal de su extremo, o sea, al considerar que L1=L, e hiperesttico, si no lo despreciamos. Con la misma premisa, al despreciar el desplazamiento del extremo de la viga, pero ya con la presencia en ese extremo de una fuerza horizontal, el problema se torna hiperesttico. Y slo si en el ltimo caso menospreciamos tambin el desplazamiento vertical del extremo de la viga, el problema ser isosttico. Todo lo dicho con respecto a la viga empotrada en un extremo se refiere tambin a la que descansa sobre dos apoyos. Si en el caso de una carga vertical despreciamos los desplazamientos horizontales, entonces, el problema ser isosttico, pero, si no los despreciamos, ser hiperesttico. El problema para la misma viga, pero con la presin an de una fuerza horizontal ser isosttico, slo en aquel caso en que desdeemos los desplazamientos horizontales y verticales. Con otras palabras, para estas vigas, los problemas sern isostticos, si las fuerzas internas se determinan por el esquema de viga no deformada.

En consecuencia, la indeterminacin esttica del problema depende de la forma del sistema, del tipo de cargas y de las premisas, a base de las cuales se determinan las fuerzas internas y las reacciones.

Figura 1

Al lado de tales problemas existen los que siempre son isostticos y siempre hiperestticos. As, por ejemplo, se plantean algunos problemas sobre la determinacin de las fuerzas internas, que para cualquier premisa son isosttico e hiperestticos, por cuanto el nmero de reacciones incgnitas en los apoyos es mayor de tres, es decir, mayor que el nmero de ecuaciones de equilibrio. Es necesario sealar, que los problemas de determinacin de las fuerzas internas, siempre isostticos con cualquier premisa para su determinacin son bastante raros y se refieren slo a casos particulares, aislados, que no tienen gran valor prctico, mientras que los siempre hiperestticos son mucho ms frecuentes. La hiperestaticidad de los problemas de estos ltimos no depende del tipo de cargas. Esta se determina por el propio sistema en cualesquiera condiciones y, por eso, a tales sistemas se los puede separar y denominar hiperestticos. En los restantes sistemas, los problemas de determinacin de las fuerzas internas, en dependencia de las admisiones durante su determinacin, sern: o isostticos o hiperestticos. Si excluyendo los casos particulares o y sus similares, determinramos las fuerzas internas, como correspondera a un planteamiento riguroso del problema, por el estado de deformacin de la construccin, teniendo en cuenta todos sus desplazamientos, entonces, todos los problemas para

determinar las fuerzas internas seran estticamente indeterminables y, por consiguiente, Ios sistemas isostticos dejaran de existir completamente. Pero, si calculamos las fuerzas internas, como se suele hacer, por el estado no deformado de las construcciones, entonces, lodos los problemas referentes a la determinacin de las fuerzas internas en los sistemas restantes, que se encuentran en equilibrio y no son hiperestticos, sern problemas estticamente determinables, independientemente de las cargas. En tales casos, a estos sistemas se los puede llamar isostticos. De todo lo dicho resulta, que la divisin de los sistemas (y no de los problemas) en estticamente determinables e indeterminables, independientemente de la carga actuante, es posible slo en aquel caso en que las fuerzas internas se determinen por el estado no deformado de la construccin. Entonces, isostticos son aquellos sistemas, que al encontrarse en equilibrio, todas las fuerzas internas pueden ser determinadas por las ecuaciones de la esttica, e hiperestticos, son aquellos que al encontrarse en equilibrio, todas las fuerzas internas no pueden ser determinadas por tales ecuaciones. TIPOS DE ESTRUCTURAS Y APLICACIONES.Con el transcurso del tiempo ha cado en desuso la utilizacin de estructuras reticulares interiormente hiperestticas, as como las estructuras con barras en exceso (San Andrs, Linville etc.) por la dificultad que entraaba la determinacin exacta de los esfuerzos en las barras.Todas las estructuras reticulares estn constituidas a base de triangulaciones y existen cinco tipos esenciales, estos son (Fig.VII.3): - Pratt.- Adecuado para luces moderadas. Las diagonales estn sometidas generalmente a traccin y los montantes a compresin. - Howe.- Adecuado tambin para luces moderadas. Presentan inconvenientes respecto a la Pratt, por cuanto las diagonales estn sometidas a compresin y los montantes a traccin. - Warren.- Utilizado en luces medianas y pequeas. Mucho mas ligeras que las anteriores y estticamente agradables. - En K.- Apropiado para grandes luces. - En Rombo.- Apropiado tambin para grandes luces. Estos tipos de estructuras reciben el nombre de vigas de celosa o jcenas. Las variaciones que queramos obtener de estas, se consiguen interponiendo otras barras, con lo que las nuevas triangulaciones son de menor rea que las primitivas y se reducen las longitudes de pandeo de las barras comprimidas as como su flexin. La inclinacin de las diagonales debe estar comprendida entre 45 y 60 grados de manera que las tensiones secundarias que aparecen en ellas tengan poca relevancia y no sean preciso calcularlas, del mismo modo facilita la construccin de los nudos, lugar en donde coinciden varias barras.

En naves industriales de gran envergadura, las columnas suelen ser de celosa, utilizndose ampliamente el tipo K. As mismo, los techos de estas, pueden ser construidos con vigas de celosa o con cerchas, triangulaciones especficas que estudiaremos en un captulo aparte. Con relacin a sus amplias aplicaciones, las estructuras reticulares suelen utilizarse principalmente para la construccin de techos, vigas de cargas en edificios, vigas para puentes, vigas de contraviento y arriostramiento para estructuras de edificios.

* MTODOS PRINCIPALES DE CLCULO DE SISTEMAS PLANOS ESTTICAMENTE DETERMINADOS CON CARGA MOVIL. NOCIN SOBRE CARGA MVIL. Rodante o mvil se llama a la carga que vara continuamente su posicin en la estructura, esto es, que se desplaza por ella a cierta velocidad. Ejemplos de carga rodante pueden ser los automviles, tranvas, trenes, etc., en movimiento. La carga rodante, al cambiar su disposicin en la estructura, origina en ella fuerzas internas variables, tensiones y desplazamientos. Adems, por su naturaleza, es una carga dinmica. La variacin de cualquiera de los valores estudiados de las fuerzas internas, de las tensiones o de los desplazamientos de acuerdo con la posicin de la carga sobre la estructura, depende de cmo sea la propia estructura, de lo que representa en s la magnitud estudiada y de cul es la carga rodante que acta. Si durante el movimiento de la carga esttica por la construccin, la variacin de la magnitud estudiada es slo simple, entonces, sta variar desde cero, con la introduccin de la carga en la estructura, hasta el valor absoluto ms alto en cierta posicin de la carga, volviendo nuevamente a cero en cuanto sta haya pasado por toda la construccin. Tal es, por ejemplo, la variacin de la reaccin de apoyo de una viga simple, cuando por ella se desplaza un trozo de carga uniforme, cuya extensin es: C=L+ (figura 2) Si durante el movimiento de la carga por la construccin el valor estudiado es capaz de variar binariamente, entonces, sta lo har desde cero, al entrar la carga en la estructura, y hasta cero ni salir, de ella con los valores mximo y mnimo en el sentido algebraico, en las diferentes posiciones de la carga sobre la construccin. (figura 3) Cuando la carga mvil contiene pesos pesados y livianos, alternndose de diferente manera entre s, son factibles varios mximos y mnimos de la magnitud estudiada, tanto durante su crecimiento general, como durante su decrecimiento, as como diferentes tipos posibles de puntos angulares y discontinuidades de primer gnero, con una o varias variaciones del signo de la magnitud analizada.

Por cuanto las estructuras debern ser calculadas a las fuerzas internas, tensiones y desplazamientos numricamente ms altos, de ambos signos, entonces, su clculo, en primer lugar, con carga rodante, est ligado a la determinacin de aquellas posiciones de la carga.

Figura 2

Figura 3.

Donde tienen lugar estas magnitudes mximas. Tales posiciones de las cargas y los valores mximos de las magnitudes estudiadas que corresponden a estas posiciones, se llaman de clculo o tericos. Las posiciones de clculo o tericas de la carga estn ligadas a los mximos y mnimos de las magnitudes analizadas, la existencia de los cuales se determina de las siguientes condiciones extremas para las funciones elementales. 1. Si S = f (z) es una funcin continua con derivadas continua" hasta el orden n" incluido, entonces, en el punto mximo o mnimo, cuando z = z0, es indispensable que:

Condicin 1.

Donde n es el orden de la derivada inferior diferente de 0, si ella es par. O tambin

Condicin 2.

En las desigualdades con tres signos, tanto aqu como tambin ms adelante, es necesario tomar simultneamente los signos superiores, los del medio o los inferiores. Las condiciones 2 son tambin correctas en aquellos casos en quo las primeras derivadas del orden menor de n son discontinuas. 2. Si S= f(z) es una funcin continua con la primera derivada discontinua, entonces, en el punto mximo o mnimo en la discontinuidad de la derivada, cuando z=z0, deber ser:

Condicin 3 y 4.

Para los mximos y mnimos en los tramos entre las discontinuidades de las derivadas, se mantienen las condiciones 1 y 2 3) Si S = f (z) es una funcin lisa por intervalos, con discontinuidades de primer gnero, entonces, en el lugar de los mximos y mnimos en las discontinuidades, siendo z = z0 es indispensable que

Condicin 5.

MTODOS PARA DETERMINAR LA POSICIN DE CALCULO O TERICA DE UNA CARGA MOVIL. I. MTODO GENERAL: El mtodo general radica en que la carga rodante, sobre una estructura, se examina como una unidad integral, a la que se fija cierta coordenada corriente z en funcin de la cual se compone la

Figura 4.

Figura 5.

expresin de la magnitud buscada. Por l, analtica o grficamente, se calculan los valores de clculo mayor y menor y las posiciones tericos de la carga que los determina. A pesar de la claridad lgica del mtodo general, su utilizacin prctica es muy complicada, dado que las funciones de las magnitudes analizadas, en el caso de un gran nmero de cargas

discontinuas y fuerzas concentradas, resultan compuestas de gran cantidad de intervalos de funciones lisas, posiblemente con mximos y mnimos, para los cuales, la determinacin de los valores ms bajos y ms altos de la magnitud investigada es difcil. Slo en casos particulares, aislados, para cargas simples, a las cuales podemos referir, por ejemplo, una faja de carga uniforme, el mtodo general lleva ( aun as, no siempre) a operaciones relativamente sencillas. Incluso en estos casos simples, usualmente dicho mtodo le cede su puesto al mtodo de las lneas de influencia, que ser examinado ms adelante. Pero ste es un mtodo general para todos los sistemas, independientemente de que usemos o no en l el principio de independencia de accin de las fuerzas y de si la estructura se encuentra en la fase elstica o plstica de trabajo. A diferencia del mtodo general, el de las lneas de influencia, con el que entraremos en conocimiento ms adelante, se emplea slo en los sistemas para los cuales el principio de independencia de accin de las fuerzas es prcticamente correcto, y slo para el clculo de aquellas magnitudes, para los cuales este principio es correcto en la forma algebraica. El mtodo general, actualmente, por lo visto, es el nico mtodo utilizable en los sistemas para los cuales el principio de independencia de accin de las fuerzas no puede ser empleado Con el mtodo general nos pondremos en conocimiento con un simple ejemplo de determinacin de las reacciones mximas A y B. debidas a una carga uniforme, cuya extensin es C=L/2 (figura 4). Suponemos la carga con un movimiento de izquierda a derecha. El inicio de ella lo fijamos con lo coordenada z. En este caso, los grficos de variacin de las reacciones estarn compuestos de tres funciones lisas por intervalos, en dependencia de la posicin de la carga.

Condicin 6.

Por estas ecuaciones fueron construidos los grficos de variacin de las reacciones de apoyo. Por ellos se determinan fcilmente los valores de clculo (mximos) de las reacciones y las posiciones de la carga, en las cuales stos tienen lugar (vase figura 4). 2. MTODO DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA El mtodo de las lneas de influencia consiste en que la estructura, al principio, se examina no bajo la accin de la carga rodante dada, sino slo bajo la de una carga concentrada mvil P de direccin

constante, cuya situacin sobre la estructura se determina, en forma general, con la coordenada variable z. Para tal posicin de la fuerza se determina la magnitud investigada (una reaccin de apoyo o de vnculo, una tensin, un desplazamiento, etc.), que toca a la unidad de la fuerza P, que admite el empleo del principio de accin de las fuerzas en la forma algebraica. Esta ser funcin de la coordenada z, es decir, de la ubicacin de la carga sobre la estructura. Esta funcin puede ser representada analtica o grficamente. En relacin con esto, cuando una fuerza solitaria concentrada P de direccin constante se desplaza por la estructura, a la representacin grfica de la ley de variacin de cualquier magnitud investigada por unidad de P para la cual es correcto el principio de superposicin, se le llama lnea de influencia y a la expresin analtica de esta ley, ecuacin de la lnea de influencia. Las lneas de influencia se construyen, en un sistema de coordenadas rectangulares, con el eje de las abscisas perpendicular a la fuerza P. En tal sistema de coordenadas, la abscisa determina la posicin de la carga sobre la estructura y, la ordenada, la magnitud investigada, para la cual se construy la lnea de influencia. Es costumbre, a esta ltima, rayarla con ordenadas. Al eje de las abscisas lo vamos a llamar base de la lnea de influencia. La dimensin de las ordenadas de la lnea de influencia se determina por la dimensin del cociente, al dividir la dimensin de la magnitud investigada entre la de la fuerza P, esto es,

La variacin de la magnitud investigada, que corresponde a la unidad de la fuerza P, formalmente, puede ser interpretada como la variacin de esta magnitud por la accin de la fuerza abstracta P=1. En correspondencia con esto, si una fuerza abstracta P =- 1 de direccin constante se desplaza por la estructura, a la representacin grfica de la ley de variacin de cualquier magnitud investigada se le puede llamar lnea de influencia y a su expresin analtica, ecuacin de la lnea de influencia. Sin embargo, si una carga dimensional de direccin constante P = 1 se mueve por la estructura, por lnea de influencia se puede entender la expresin grfica de la ley de variacin de cualquier magnitud. En este caso, la dimensin de las ordenadas de las lneas de influencia corresponder a la de la magnitud investigada. Por consiguiente, la diferencia entre las lneas de influencia construidas con Ia carga abstracta P=1 y las construidas con la dimensional consiste solamente en que tienen diferentes dimensiones, lo cual deber ser tenido en cuenta al emplear unas u otrs lneas de influencia. En adelante, al construir las lneas de influencia, vamos a emplear la carga abstracta P = 1 . La ley establecida de la influencia de una fuerza unitaria, cualquiera que sea su posicin, sobre la magnitud que se analiza en forma de lnea de influencia y su ecuacin, da la posibilidad de determinar, por el principio de superposicin, la magnitud buscada debida a cualesquiera fuerzas

paralelas a la fuerza P, como la suma algebraica de los valores de cada fuerza por separado. En este caso, cada fuerza, al actuar sobre la estructura en un determinado lugar, por este mismo principio, aumentar en forma proporcional la magnitud investigada, obtenida de la fuerza P= 1 ubicada all mismo. De lo dicho se deduce, que el mtodo de las lneas de influencia, es empleable slo para tales estructuras y magnitudes para las cuales es utilizable el principio de independencia de accin de las fuerzas en la forma algebraica. La ley de influencia de un peso solitario P que se desplaza por la estructura puede ser, naturalmente, determinada tambin en aquel caso, cuando el principio de independencia de accin de las fuerzas para tal sistema o magnitud no se puede emplear. Sin embargo, la utilizacin de esta ley sin el principio de superposicin, en el caso de varias cargas, es muy complicada. Por cuanto las lneas de influencia dan la posibilidad de calcular la magnitud buscada para cualquier posicin de cualquier carga mvil de direccin constante, entonces, naturalmente, stas tambin pueden ser utilizadas para la determinacin de la posicin de clculo o terica de la carga. Si la posicin de clculo de una carga mvil fuera conocida de antemano sin la construccin de las lneas de influencia, entonces la magnitud estudiada se podra determinar por los medios usuales y no habra necesidad de construirlas. Por eso, el fin fundamental de las lneas de influencia es establecer la posicin de clculo de la carga mvil. Y luego, por cuanto las lneas de influencia ya fueron construidas, por ellas se puede determinar el propio valor terico de la magnitud analizada. Las lneas de influencia pueden ser usadas con efectividad, en el caso de cargas fijas, slo cuando las combinaciones de estas ltimas, actuando por separado, son muchas. El mtodo de las lneas de influencia fue expuesto para cualquier magnitud estudiada, que permita el empleo de la superposicin, comprendidas, tambin, dentro de l las reacciones en los vnculos. MTODO ESTTICO DE CONSTRUCCION DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES DE APOYO, DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y DE LAS FUERZAS TRANSVERSALES EN LAS VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS Y CANTILEVER. 1. LINEA DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Para generalizar, examinemos una viga sobre dos apoyos con voladizos (figura 6). Determinemos sobre ella la posicin del peso mvil P = 1 con la ordenada z, que tiene su origen en el apoyo izquierdo. Determinemos en la forma general las reacciones A y B: De donde:

Condicin 7.

por lo cual

Condicin 8.

Las ecuaciones obtenidas son las de las lneas de influencia de las reacciones en los apoyos A y B. Estas son lineales y correctas, si se cumplen las desigualdades . Las rectas que representan a las lneas de influencia pueden ser trazadas por dos puntos cualesquiera, por ejemplo:cuando

Por estos datos fueron construidas las lneas de influencia de las reacciones de los apoyos A y B. Estas fueron prolongadas en ambos lados hasta los extremos de los voladizos, como esto se desprende de las desigualdades expuestas. 2. LINEA DE INFLUENCIA DE M Y Q EN LA SECCIN DADA En la viga voladiza las secciones o cortes pueden ser de dos tipos (figura 6): a) Secciones entre apoyos (seccin 17). a las cuales, en adelante, vamos a llamar secciones intermedias; b) Secciones en los voladizos (seccin 22), a las cuales llamaremos secciones de voladizo. En estas secciones, los procedimientos de construccin de las lneas de influencia de las fuerzas internas son diferentes. Las fuerzas internas dependen del lugar donde se encuentra el peso P=1, a la derecha o a la izquierda de la seccin. Por eso es imprescindible examinar dos posiciones del peso, una a la derecha y la otra a la izquierda del corle. Seccin intermedia (11) 1. El peso se halla a la derecha de la seccin: izquierdas expresamos las fuerzas internas: En este caso, con las fuerzas

Hemos obtenido las ecuaciones de las rectas, a las cuales, en correspondencia con la ubicacin del peso, llamremos rectas derechas. Las trazamos por medio de dos puntos que, por comodidad, los elegimos en los apoyos:

Las rectas estn trazadas en la figura 6. A las lneas de influencia, determinadas por estas rectas derechas, slo las sombreamos dentro de los lmites de sus partes tiles, asi:

Figura 6 2. El peso se halla a la izquierda de la seccin: derechas expresamos las fuerzas internas: En este caso, con las fuerzas

Estos son las ecuaciones de las rectas izquierdas. Trazamos estas ltimas empleando los mismos dos puntos:

Las rectas estn trazadas en la figura 6. Es fcil demostrar que en la l.i. de M las rectas izquierda y derecha se intersectan por debajo de la seccin y que, en la l.i. de Q, son paralelas. A las lneas de influencia, determinadas por las rectas izquierdas, las sombreamos, de igual manera, dentro de los lmites de sus partes tiles, es decir,

siendo construidas.

Las lneas de influencia de M y Q en la seccin intermedia, han sido

Sealemos una particularidad al construir la l.i. de M. Para construir la recta derecha es indispensable marcar, por debajo del apoyo izquierdo, la distancia a desde el apoyo izquierdo hasta la seccin y, a travs de este punto y el de la base, por debajo del apoyo derecho, trazar la recta a; para construir la recta izquierda es indispensable marcar, por debajo del apoyo derecho, la distancia l a desde el apoyo derecho hasta la seccin y, a travs de este punto y el de la base, por debajo del apoyo izquierdo, trazar la recta. Las lneas de influencia de M1 y Q1 muestran que las fuerzas internas en las secciones intermedias surgen en cualquier posicin del peso P = 1 sobre la viga, a exclusin de los puntos debajo de los apoyos. Para una viga simplemente apoyada, las lneas de influencia se sitan nicamente dentro de los lmites del tramo. Seccin de voladizo (22) Se recomienda determinar la posicin del peso con la coordenada x, contada desde la seccin dada (figura 6) e, independientemente de la posicin del mismo, a la izquierda o a la derecha del corte, las fuerzas internas se determinan de la condicin de equilibrio del voladizo seccionado.

Figura 7

Figura 8

1._El peso se halla a la derecha de la seccin (x < 0): M2 - 0; Q, = 0.

Las rectas derechas de las lneas de influencia de M2 y Q2, para las secciones sobre el voladizo izquierdo, coinciden con la base. Para las secciones sobre el voladizo derecho, al revs, son las rectas izquierdas las que coinciden con la base. 2. El peso se halla a la izquierda de la seccin: M2= -1x ; Q2 = -1. Construimos las rectas izquierdas (figura 6):

Tambin en este caso, en la lnea de influencia de M2, las rectas derecha e izquierda se intersecan por debajo de la seccin y, en la lnea de influencia de Q2 son paralelas. La construccin de las lneas de influencia en las consolas (figura 7) se efecta anlogamente a la construccin de las lneas de influencia de M2 y Q2 en las secciones de voladizo. Si tiene lugar la transmisin de la presin nodal (figura 8), entonces, las lneas de influencia de M y Q se construyen sin tomarla en consideracin, al principio, pero luego, sobra las rectas derechas se llevan el primer nudo de la derecha de la seccin y, sobre las izquierdas, el primero de la izquierda de la misma. Los puntos obtenidos sobre las rectas derecha o izquierda de la lnea de influencia se unen con una recta, llamada de unin (de transmisin). MTODO CINEMTICO DE CONSTRUCCIN DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES DE APOYO. DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y DE LAS FUERZAS TRANSVERSALES EN VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS Y VOLADIZAS. 1. LINEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES DE APOYO

Durante la construccin de las lneas de influencia de la reaccin de apoyo izquierda A, es necesario sustituir este apoyo por la accin de la fuerza buscada A (fig. 9, a), luego, al sistema variante obtenido comunicarle un posible desplazamiento y emplear la expresin general de la lnea de influencia por el mtodo cinemtico (5.7)

El desplazamiento A es negativo, lo cual significa, que el signo de la lnea de influencia coincide con el del diagrama de traslaciones P. La escala de la lnea de influencia se determina por la expresin A = 1. Anlogamente se construye la lnea de influencia de la reaccin de apoyo B. 2. LINEAS DE INFLUENCIA DE M Y Q EN LA SECCIN

Al construir la lnea de influencia del momento flector M en la seccin dada k, es indispensable excluir de ella el vnculo que impide el giro recproco de las partes izquierda y derecha de la viga. Dado que en la viga de alma llena, la unin de dos de sus partes puede ser considerada

convencionalmente como una soldadura, la sustitucin de la misma por una articulacin excluir el vnculo que impide la rotacin recproca de estas partes (fig. 9. b). La introduccin de la articulacin es compensada con los momentos incgnitos Mk. Damos un posible desplazamiento al sistema variante (la posicin desplazada es la indicada con lnea fina). Por la expresin general (5.7), obtenemos que:

Figura 9

Dado que la escala de la lnea de fluencia se determina por expresin

en virtud de la pequeez de los ngulos. Por consiguiente, si en el diagrama de desplazamientos trazamos desde el punto de interseccin de las rectas derecha e izquierda un segmento horizontal hacia cualquier lado, igual a la unidad, y tomamos la ordenada vertical entre las rectas como unidad en este lugar, entonces se obtiene la lnea de influencia del momento flector. Al construir la lnea de influencia de la fuerza transversal Qk, es indispensable excluir de la seccin el vnculo que impide el desplazamiento recproco de las partes en la direccin de las fuerzas transversales. Esto se logra Sustituyendo la soldadura por dos barras de longitud infinitesimal, paralelas al eje de la viga (figura 9. c). Con tal unin, el centro recproco instantneo de rotacin de las partes izquierda y derecho de la viga estar situado sobre este eje en el infinito. Esto significa que con un posible desplazamiento, ambas partes de la viga permanecern paralelas. Despus de

estas aclaraciones, al sistema transformado le comunicamos un desplazamiento infinitesimal (la posicin desplazada se muestra con lnea fina) y por la expresin general (5.7) escribimos la ecuacin de la lnea de influencia

l.i. de Dado que Q = (1 + 2), entonces, el signo de la lnea de influencia coincide con el diagrama de traslaciones P y la escala de la lnea de influencia se determina por la expresin 1+ 2=1 Anlogamente se construyen las lneas de influencia de las fuerzas internas en las secciones voladizas. Si se tiene transmisin nodal de la carga, entonces, dentro del desplazamiento dado es necesario construir el diagrama de traslaciones de la lnea de cargaFigura 10

Previamente se construye el diagrama de desplazamientos del eje de la viga, sobre el que se llevan los nudos de transmisin de la carga: luego, entre estos puntos se trazan segmentos rectos (figura 10). DIAGRAMAS ENVOLVENTES DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y DE LAS FUERZAS TRANSVERSALES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA, DEBIDOS A UNA CARGA MVIL. Se llaman diagramas envolventes (de clculo) a aquellos en que las ordenadas son los valores ms altos de los momentosFigura 11

flectores y de las fuerzas transversales en cualquier seccin de la viga, al pasar por ella la carga rodante. Por ellas se determinan tambin los valores mximos de M y Q. Por cuanto cualquier viga, adems de la carga rodante, soporta tambin carga permanente, examinemos la construccin de los diagramas envolventes, teniendo en cuenta la carga permanente uniforme q (fig. 11). 1. DIAGRAMA ENVOLVENTE DE LOS MOMENTOS FLECTORES Examinemos los momentos en la seccin de una viga bajo el peso Pk. cuando por ella se desplaza una carga (fig. 11). La distancia desde el apoyo izquierdo hasta el peso Pk la designamos con zk y su distancia ck hasta la resultante R, a la izquierda, la consideremos positiva, y a la derecha, negativa. Con una posicin casual de la carga las reacciones de apoyo sern:

(condicin 9) y el momento bajo la carga Pk

(condicin 10) donde (condicin 11) La ecuacin (10) es justa, si (condicin 12) Esta es la ecuacin de la parbola, que puede ser fcilmente construida. El diagrama envolvente est compuesto de trozos de parbolas incidentes (fig. 12, a). Al construir la envolvente no es necesario calcular, por la ecuacin (10), aquellas ordenadas de la parbola cortada que, evidentemente, sern menores que las ordenadas de la parbola cortante. Hallemos, en la forma general, la abscisa de incidencia zk* de las parbolas vecinas del diagrama envolvente de los momentos, bajo las cargas Pk y Pk+1, a la derecha del cual, el diagrama envolvente est determinado por la parbola bajo la carga Pk+1 y, a la izquierda, por la parbola bajo la carga Pk. Para ello, de acuerdo con (10), anotemos los momentos bajo los pesos Pk y Pk+1 para z=zk*, e igualmoslos uno al otro:

Aqu se emplea la conocida dependencia: obtenemos que:

Despus de simplificar

De donde

(condicin 13)

De este modo, la parbola bajo la carga Pk entra en la composicin de la envolvente, cuando

Figura 12

No obstante, es necesario tener en cuenta, que en el diagrama envolvente, cuando z < c1-c2, la parbola no puede comenzar bajo el segundo peso y terminar bajo el primero, dado que, de lo contrario, el peso P1 saldra fuera de la viga y la ecuacin de la parbola bajo el peso P2 sera distinta. Esto mismo se puede decir referente a las parbolas bajo los pesos ltimo y penltimo. La parbola, bajo el ltimo peso Pn, no se puede comenzar y la que est bajo el penltimo no puede prolongarse, cuando , ya que, de otro modo, el ltimo peso Pn saldra fuera de la viga. Hallemos ahora el mayor momento flector bajo el peso Pk. Compongamos laderivada de Mk o igualmosla a cero:

de donde obtenemos que

(condicin 14)

La solucin ser correcta, si zk satisface a la condicin (12). Colocando (14) en la expresin (10), obtenemos

(condicin 15)

Utilicemos todos los razonamientos expuestos para la viga representada en la fig. 12, donde R = 23 tf, q= 1tf/M, c1 = 6,348 m, c2=2,348 m, c3= 1.652 m. c4 =-5,652 m. Por la frmula (13) hallamos que:

y

. El momento debajo del primer peso, por la ecuacin (10), es:

, cuando ;

el momento por debajo del segundo peso es:

cuando el momento por debajo del tercer peso es:

, cuando y el momento por debajo del cuarto peso es:

cuando

.

Por estas ecuaciones se construy el diagrama envolvento de los momentos fctores (fig. 12, a). Por l se ve que el momento ms grande estar debajo del segundo peso. Encontremos su valor por la expresin (15):

La distanca desde el apoyo izquierdo hasta el momento mayor, por (14) es:

. Si la carga rodante puede ser ubicada sobre la viga en un orden inverso, entonces, para las secciones simtricas, es necesario tomar por momento de clculo el mayor de ellos en el diagrama envolvente. En aquellos casos en que el diagrama envolvente de los momentos flctores por s mismo no presenta inters, y se exige nicamente conocer el mayor momento flector, entonces, ste puede ser obtenido mediante la confrontacin de los momentos Mk mx calculados bajo diferentes pesos por la expresin (15), lo cual, por lo visto, es la va ms simple y segura. Pero, en este caso, es necesario tener en cuenta que, frecuentemente, el momento mayor puede no estar debajo de todos los pesos. As, por ejemplo, si en la posicin de la carga, a la que se debe el Mk,max debajo del peso Pk, el diagrama de las fuerzas transversales no pasa por cero, entonces, esto significa que el mayor momento flector de todos, en tal posicin de la carga, estar en algn otro lugar de la viga. Por consiguiente, tampoco puede estar debajo de este peso. De este modo, Mk,max debe ser confrontado no para todos los valores de ck, no debajo de cada carga, sino solamente debajo de aquellas bajo las cuales, siendo la posicin de la carga conforme a (condicin 14), el diagrama de Q pasa por cero. En esto caso, habr la corteza de que, para tal ubicacin de la carga, los momentos en otras secciones sern menores. Pero esto, an no significa que ha sido hallado el mayor momento flector. Este ser hallado de la confrontacin de Mk, max bajo aquellos pesos, debajo de los cuales ste es posible. Por eso, al principio del clculo, es importante destacar las secciones y los pesos bajo los cuales no conviene buscar el mayor momento flector, dado que entre ellos no puede estar. La condicin del paso de la fuerza transversal por cero servir de criterio. Para revelar aproximadamente aquellos pesos debajo de los cuales no puede existir el mayor mximo, examinemos una carga rodante en dos posiciones extremas (fig. 13) y hallaremos que

, donde Rizq es Ia resultante de las fuerzas situadas a la izquierda del peso Pk. Puesto que

y, por consiguiente,

Condicin 16 y 17

EL momento flector mayor de todos no se debe buscar ni ms a la derecha ni ms a la izquierda de las distancias lmites, determinadas por la expresin (16), a la izquierda de la resultante R,

Figura 13

y por la (17), a la derecha de ella. Es posible lograr indicaciones ms exactas sobre debajo de cuales pesos es necesario buscar el mayor momento flector, de las consideraciones de que las secciones, determinadas por la magnitud zk, deben satisfacer simultneamente dos condiciones: la (14) y la de paso del diagrama de Q por cero en este sitio. Desarrollemos estas condiciones:

Uniendo arabas desigualdades, obtenemos que

(condicin 18) Colocando el valor de A de (9) y de zk de (14) llevamos la (condicin 18) a la forma

(condicin 19)

Sealemos que esta misma expresin se puede obtener componiendo la derivada de la expresin (15). Antes del mximo

y despus de l,

. Adems, antes

del mximo

y despus de l,

dado que la coordenada ck se mide desde la resultante hacia la izquierda. Por cuanto, en principio, es necesario emplear la frmula (19) para cada peso, bajo el cual, sobre la base de (16) y (17), puede estar el mayor de todos los momentos flctores, y por complejidad, sta es igual, aproximadamente, que la frmula (15), entonces se puede recomendar, dejando de lado la (19), determinar directamente los momentos flectores por debajo de todos estos pesos y de ellos elegir el mayor. Las expresiones obtenidas (16)(19) son correctas tambin cuando la carga rodante es repartida p = f (ck). En este caso, es necesario colocar en ellas Pk = 0 y conservar el signo de igualdad. As, por ejemplo, para una carga uniforme con una extensin a L por (19) tendremos que (fig. 14):

de donde obtenemos que ck = 0. La respuesta es nica. Prosiguiendo, por (19) tendremos que

Por consiguiente, si la carga rodante est ubicada sobre la viga simtricamente respecto a su centro, (fig-14) el mayor momento flector debido a la carga uniforme rodante P, con una extensin a l, teniendo o sin tener en cuenta la carga permanente q, se encontrar siempre en el centro de la viga. Si la carga constante q es pequea en comparacin con la rodante y puede ser despreciada, entonces, Mk,max estar siempre debajo del peso concentrado, lo cual se desprende de la configuracin poligonal del diagrama de los momentos flectores para pesos concentrados. Suponiendo que q = 0 en todas las expresiones obtenidas ms arriba, escribmoslas para el caso dado: (condicin 20)

(condicin 21)

(condicin 22)

(condicin 23)

(condicin 24)

(condicin 25)

De (condicin 20) se desprende la simple regla de que el peso Pk, debajo del cual se determina Mk,max y la resultante R debern estar ubicados hacia distintos lados del centro de la viga (fig. 15), a igual distancia Ck/2. Las expresiones (9)(25) son correctas mientras que todos los pesos que entran en la resultante se encuentran sobro la viga. Pero,

Figura 14 y 15

si resulta que la abscisa zk, determinada por la frmula (14), satisface las desigualdades zk < c1-ck zk > l + cn- ck, es decir que uno o varios pesos salen de la viga, entonces, el momento flector debajo del peso Pk sin los pesos que han salido de la viga, ser mayor que con ellos, esto se desprendo de los siguientes razonamientos simples. Supongamos que se examina no una viga simple, sino con voladizos, sobre los cuales no existe carga permanente. Evidentemente, todos los razonamientos hechos arriba no cambian, pero a causa de los voladizos, la longitud de los cuales se puede suponer de cualquier valor, los lmites (12) sern otros. Todos los pesos fuera de la viga ahora se ubicarn sobre sus voladizos. Entonces, el Mk,max, calculado por (15) debajo de este peso ser, efectivamente, el mayor momento flector de todos los momentos flectores positivos debajo del mismo, pero menor que el debido a aquella parte de la carga que est ubicada sobre la zona intermedia de la viga (entre los apoyos), dado que, para esta parte de la viga, los pesos situados sobre los voladizos han de dar momentos flectores negativos. Demostremos, adems, que, si para z, calculado por (14), el mayor momento flector Mk,max se encuentra bajo el peso Pk, y uno de los pesos extremos, por ejemplo, el primero, resulta sobre el apoyo, entonces, el momento bajo el peso Pk sin el primer peso, ser mayor que el momento Mk,max calculado anteriormente. Para esto es suficiente demostrar, que para la nueva resultante R1 = R-P1, el nuevo valor de zk por (condicin 14), ser menor que el precedente zk con la vieja resultante R. Por consiguiente, para la nueva resultante, el momento mximo debajo del peso Pk an no se ha alcanzado. Es necesario desplazar la carga hacia la izquierda. La distancia desde la nueva resultante hasta el peso Pk es

Ahora, por (14)

Despus de transformada queda

. De esta manera, para zk, debajo del peso Pk an no se alcanz el momento mximo; ste puede ser alcanzado para zk, o sea sin el peso P, sobre el apoyo. Anlogamente se demuestra que si para zk por (14), el ltimo peso resulta encima del apoyo izquierdo, entonces, el momento debajo de Pk, sin este peso, ser mayor que con l. Asi que, si por (14) reclculo, excluyendo del examen a los pesos desalojados de la entonces, es indispensable un

Fig. 16 viga y al colocado sobre el apoyo, por el cual salieron los anteriores. Si, simultneamente, son dos los pesos que se encuentran sobre los apoyos, entonces, es necesario realizar dos recalculos: uno excluyendo al primer peso y el otro, al ltimo. Conviene, igualmente, tener en cuenta que, a pesar de que debajo de cierto peso Pk, el momento flector es mximo y que adems, todos los pesos permanecieron en la viga, es decir, que se cumpli la condicin (13) con todo y con eso, debajo de este peso puede haber otro mximo de momento, que ser mayor que el primero cuando uno o una parte de los pesos salgan de la viga. Esto se puede establecer con clculos comparativos. Tal caso ha sido examinado en la fig. 10. El momento flector debajo del segundo peso, habiendo tres pesos sobre la viga, es igual a 17 tm. pero habiendo dos a 17,03 tm. 2 DIAGRAMA ENVOLVENTE DE LAS FUERZAS TRANSVERSALES En correspondencia con los dos signos de las fuerzas transversales en la viga con carga vertical dirigida hacia abajo, el diagrama envolvente de las fuercen transversales ser tambin de dos signos: Qmax> 0 y Qmin