LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

La utilización de las líneas de influencia en estructuras estáticamente indeterminadas es igual a la que le corresponde a las estructuras isostáticas o estáticamente determinadas. Esas líneas permiten localizar los puntos críticos por carga viva y calcular las fuerzas para diversas posiciones de las cargas.

Las líneas de influencia para estructuras estáticamente indeterminadas no son tan fáciles de trazar como para el caso de las estructuras isostáticas. En estas últimas se pueden calcular las ordenadas para algunos puntos importantes y unir estos valores por medio de líneas rectas. Por desgracia, las líneas de influencia en estructuras continuas exigen el cálculo de ordenadas en un gran número de puntos, porque los diagramas pueden ser curvos o constar de una serie de cuerdas.

El diagrama de cuerdas se determina cuando las cargas se transmiten a intervalos a la estructura, como ocurre en los nudos de una armadura o en las uniones de viguetas a una trabe. El problema del trazo de esos diagramas no es tan difícil como el párrafo anterior pudiera indicar, pues un gran porcentaje del trabajo se elimina mediante la aplicación del principio de las deflexiones recíprocas de Maxwell. A continuación se describe el trazo de la línea de influencia para la reacción interior de la viga de dos claros que se muestra en la figura 1-1. El procedimiento para el cálculo de Vb ha sido plantear una ecuación de compatibilidad de desplazamientos de la forma

VbδbbδB= 0 (1-1)

Recordando que δB es la deflexión en B causada por las fuerzas primarias y δbb es la deflexión en B causada por una fuerza virtual unitaria en B. El mismo procedimiento puede usarse para trazar una línea de influencia para VB. Una carga unitaria se coloca en un punto x a lo largo de la viga. De la ley de Maxwell sobre las deflexiones recíprocas

Figura 1-1

sabemos que esta carga causa una deflexión δB que es igual a δbx• Entonces puede establecerse la siguiente relación:

VB=−δ Bδ bb

− δ bxδ bb (1-2)

A primera vista parecería que la carga unitaria tiene que colocarse en numerosos puntos sobre la viga y el valor de δbx sera laboriosamente calculado para cada ubicación. Sin embargo, un estudio de las deflexiones causadas por una carga unitaria en el punto x mostrará que estos cálculos no son necesarios. Por la ley de Maxwell, la deflexión δbx en B debida a una carga unitaria en x es idéntica a la deflexión en x causada por una carga unitaria en B, o sea δxb. La expresión para VB es entonces

V B=−δ xbδ bb (1.3)

Por ahora debería ser claro que la carga unitaria tiene que colocarse sólo en B y calcular las deflexiones en diferentes puntos a lo largo de la viga. Dividiendo cada uno de esos valores por δbb obtenemos las ordenadas de la línea de influencia. En esencia, quitamos el soporte y colocamos una carga unitaria en esa localidad, calculamos la forma deflexionada de la viga, y escalamos esa deflexión de manera que el valor máximo sea la unidad. Otra manera de expresar este principio es como sigue:

“Si se produce una deflexión unitaria en un apoyo para el cual se desea la línea de influencia, la viga trazará su línea respectiva debido a que la deflexión en cualquier punto de la viga es la ordenada de la línea de influencia en ese punto para la reacción mencionada”.

La presentación que hizo Maxwell de su teorema en 1864 fue muy breve, motivo por el cual su valor no fue por completo apreciado sino hasta 1886, cuando Heinrich Müller-Breslau mostró claramente su valor, según se acaba de describir en el párrafo anterior.' El principio de Müller-Breslau puede enunciarse con todo detalle de la manera siguiente:

“La configuración deformada de una estructura representa a cierta escala la línea de influencia para una función, como puede ser esfuerzo, fuerza cortante,

momento o reacción, si se permite que la función actúe a lo largo de un desplazamiento unitario”.

Este principio es aplicable a vigas, marcos y armaduras estáticamente determinados o in-determinados. Su validez se prueba en la siguiente sección de este capítulo. En el ejemplo 1 se presenta la línea de influencia para la reacción en el apoyo interior de una viga de dos claros. Se muestran también las líneas de influencia para las reacciones en los extremos; los valores de las ordenadas se determinaron por estática, a partir de los valores calculados para la reacción interior.

EJEMPLO 1

Trazar las líneas de influencia para las reacciones en cada apoyo de la estructura mostrada en la figura.

Figura 1-2

Solución. Retiramos VB, colocamos una carga unitaria en B y calculamos las deflexiones causadas por esa carga a intervalos de 10 pie a lo largo de la viga como se indica en la siguiente figura.

Figura 1-3

El momento flexionante en la viga en cualquier posición causado por una fuerza unitaria colocada a una distancia L1 del apoyo izquierdo está dado por

RA¿1( L−L 1L )

Mx=RAX- Φ(x-L1)(1) (x-L1)=( L−L 1L )x- Φ(x-L1)(x-L1)

Usando esta ecuación y el principio de Müller-Breslau, la magnitud de la reacción en B para una carga unitaria colocada en A es igual a:

Usando esta última ecuación, hallamos que las ordenadas de la línea de influencia a intervalos de 10 pie a lo largo de la viga son como se muestran en la siguiente tabla.

Posición

Ordenadas de la línea de influencia

VBPosición

Ordenadas de la línea de influencia

VB

0 0.000 40 0.87510 0.594 50 0.48420 1.000 60 0.00030 1.078

La línea de influencia resultante para la reacción en B es

Una vez determinados los valores de VB para diferentes posiciones de la carga unitaria, pueden determinarse los valores de VA para cada posición de la carga mediante la estática. La ecuación para la reacción en A y la línea de influencia resultantes son

La línea de influencia para la reacción en C puede calcularse de manera similar. La ecuación resultante para la reacción y la línea de influencia son

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA VIGAS QUE SON CONTINUAS SOBRE TRES CLAROS, CON DOS REDUNDANTES.

A continuación investigaremos el método de trazo de las líneas de influencia para vigas que son continuas sobre tres claros, con dos redundantes. Para este análisis, se considerará la viga mostrada en la figura 1-4 y que las reacciones VB y VC son las redundantes.

De nuevo, retiramos las fuerzas redundantes y calculamos las deflexiones en diferentes posiciones a lo largo de la viga para una carga unitaria en B y una carga unitaria en C. Una carga unitaria en cualquier junto x causa una deflexión en B denominada δbx. De la ley de Maxwell, esa deflexión es igual a la deflexión en x debido a una carga unitaria en B designada δxb. De manera similar, δcx es igual a δxc. Después de calcular δxb y δxc en diferentes posiciones a lo largo de la viga, sus valores en cada sección pueden sustituirse en las siguientes ecuaciones simultáneas, cuya solución dará los valores de VB y VC.

δxb+VBδbb+ VCδbc=0

δxc+VBδcb+ VCδcc=0

(1-4)

Las ecuaciones simultáneas se resuelven rápidamente, aunque se calcule un gran número de ordenadas, porque las únicas variables en las ecuaciones son δxb y δxc.

Después de preparar las líneas de influencia para las reacciones redundantes de una viga, pueden determinarse las ordenadas para cualquier otra función (momento, fuerza cortante, etc.) por consideraciones de equilibrio estático. En el siguiente ejemplo se muestran los cálculos necesarios para preparar las líneas de influencia para varias funciones de una viga continua de tres claros.

EJEMPLO 2

Trazar las líneas de influencia para VB, VC, VD, MX=70, y la fuerza cortante en x = 60 pie para la viga mostrada en la figura.

Solución. Para obtener las líneas de influencia buscadas, retiramos las reacciones VB y VC, colocamos una carga unitaria en varias posiciones a lo largo de la viga, y calculamos las deflexiones necesarias. Se muestran a continuación las posiciones en que calcularemos las deflexiones.

370 14/Líneas de influencia para estructuras estáticamente indeterminadas

Del ejemplo 1 sabemos que el momento en una viga en una posición x causado por una carga unitaria situada en L1 es

Mx=( L−L 1L )x- Φ(x-L1)(x-L1)

Usando esta ecuación pueden calcularse las deflexiones necesarias, indicadas en la ecuación 14.4. Esas deflexiones son

A) EIδbb∫0

90

[( 90−2090 ) x−Φ( x−20)(x−20)]2 dx=7.259x103

B) EIδcc∫0

90

[( 90−5090 ) x−Φ(x−50)( x−50)]2 dx=1.481x104

C) EIδbc∫0

90

[( 90−2090 ) x−Φ( x−20)(x−20)][( 90−50

90 ) x−Φ (x−50)(x−50)] dx=9.037x103

D) EIδcb∫0

90

[( 90−5090 ) x−Φ(x−50)( x−50)] [( 90−20

90 ) x−Φ( x−20)(x−20)] dx=9.037x103

E) EIδxb∫0

90

[( 90−a90 ) x−Φ (x−a)(x−a)][( 90−20

90 ) x−Φ (x−20)(x−20)] dx

F) EIδxc∫0

90

[( 90−a90 ) x−Φ (x−a)(x−a)][( 90−50

90 ) x−Φ( x−50)(x−50)] dx

Usando esas deflexiones, podemos resolver las siguientes ecuaciones simultáneas para VB y VC:

δxb−¿VBδbb−¿ VCδbb=0

δxc−¿VBδcb−¿ VCδcc=0

Los signos negativos aparecen en las ecuaciones porque se supuso que la carga unitaria actúa hacia abajo mientras que las reacciones en B y C se suponen actuando hacia arriba. Los valores calculados de VB y VC para las diversas posiciones de la carga unitaria se resumen en la siguiente tabla.

Carga unitaria en

Valores de la línea de influencia para VB

Valores de la línea de influencia para VC

Carga unitaria en

Valores de la línea de influencia para VB

Valores de la línea de influencia para VC

0 0.000 0.000 50 0.000 1.00010 0.645 0.073 60 -0.234 1.02420 1.000 0.000 70 -0.267 0.81330 0.870 0.309 80 -0.167 0.44640 0.443 0.710 90 0.000 0.000

Las líneas de influencia para esas dos fuerzas de reacción son

Usando las ordenadas de estas líneas de influencia, las líneas de influencia para las otras so-licitaciones pueden calcularse usando ecuaciones de la estática. Las líneas de influencia resultantes se muestran en las siguientes figuras.