Ing. Sergio A. Sifuentes Contreras

Vigas Estáticamente Indeterminadas

Elias Obed Aguilar RosalesEfraím Arce RuedaJuan Manuel Morales RodríguezMitzy Daniel Medina Escalera

Equipo #1

Hasta el momento los temas que hemos visto de vigas estáticamente determinadas con las tres ecuaciones de equilibrio era suficiente para calcular todas la fuerzas y reacciones que se originaban en las vigas que se estudiaron, en la presente presentación analizaremos otro tipo de vigas denominadas estáticamente indeterminadas en las cuales las tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para calcular todas las reacciones y las fuerzas que se pueden generar en este tipo de vigas.

Resumen

En los temas anteriores, el análisis se limito a vigas estáticamente determinadas, Ahora vamos a considerar una viga prismática AB, empotrada en A y con apoyo sobre rodillos en B.

Introducción

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga, observamos que las reacciones incluyen incógnitas, con solo tres ecuaciones de equilibrio disponibles, a saber:

Como solo A, puede determinarse mediante estas ecuaciones, se dice que la viga es estáticamente indeterminada.

En un problema estáticamente indeterminado puede obtenerse las reacciones considerando las deformaciones de la estructura. Por lo tanto, debemos proceder con el calculo de la pendiente y la deformación a lo largo de la viga,

Vigas Estáticamente Indeterminadas

El momento en cualquier punto se expresa en función de la distancia desde , la carga dada y las reacciones desconocidas. Integrando en x, se obtienen expresiones para y que contienen dos incógnitas adicionales, llamadas las constantes de integración y .

Pero hay seis ecuaciones disponibles para hallar las reacciones y las constantes y ; son las tres ecuaciones de equilibrio y las tres ecuaciones que expresan que las condiciones de frontera se satisfacen, es decir que la pendiente y deflexión en A son nulas y que la deflexión en B es cero. En consecuencia, las reacciones en los apoyos y la ecuación de la curva elástica pueden determinarse.

Determine las reacciones en los apoyos para la viga prismática de la figura:

Ecuaciones de Equilibrio. Del diagrama de cuerpo libre de la figura, se tiene:

Ejemplo

Ecuaciones de la curva elástica.

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de una porción de la viga AC, obtenemos:

Resolviendo la ecuación para M y sustituyéndola en la formula del momento:

Refiriendose a las condiciones de frontera, se hacen , en la ecuación , , y en la ecuación de , concluimos que . Así, la ecuación de puede formularse:

Pero la tercera condición de frontera requiere que y para x=L. Por lo que sustituyéndolos en la ecuación anterior:

Resolviendo esta ecuación simultáneamente con las tres ecuaciones de equilibrio, se obtienen las reacciones en los apoyos:

Como se resolvió...

En le ejemplo anterior había una reacción redundante, es decir, una reacción adicional a las que se obtendrían por equilibrio. La viga es estáticamente indeterminada de primer grado. Si los apoyos de la viga son tales que dos reacciones son redundantes, se dice que esta es indeterminada de segundo grado. Aunque ahora hay cinco reacciones desconocidas, se halla que cuatro pueden obtenerse de las condiciones de frontera. Así, en total hay siete ecuaciones simultáneas para determinar las cinco reacciones y las dos constantes de integración.

Aunque en la presentación ya expuesta solo observamos un ejemplo de viga que se nos puede presentar, existen otras formas como pueden aparecernos, además como ya escuchamos hay vigas estáticamente indeterminadas de diferentes grados por lo que se utilizan varias formas de resolverlas y el número de ecuaciones que nos permiten eso puede variar.

Conclusión

Mecánica de Materiales, Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston, Jr. – John T. DeWolf., Tercera Edición McGraw Hill

Bibliografía