Mecánica de fluidos irving h. shames (3ra edición) (1)

1. *MECNICA DE FLUIDOS Tercera edicin IRVING H. SHAMES Facul ty Professor and Distinguished Teaching Profesor Faculty of Engineering and Applied Science State University of New York at Buffalo lhduccn M. Sc. en ingeniera hidrulica Profesor de la Universidad de los Andes Revisin tcnica GERMN R. SANTOS. G. Ingeniero civil, E, C. 1. M. Sc., Ph. D. Virginia Tech Prolesor asociado Escuela Colombiana de Ingeniera McGRAW-HILL l Santafe de Bogot l Buenos Aires l Caracas l Guatemala l Lisboa l Madrid l Mxico @ Nueva /ork l Panama l San Juan l Santiago de Chile l Sao Paulo l Auckland l Hamburgo l Londres l MiUn l Montreal l Nueva Delhi l Pars l San Francisco l San LUIS l Sidney l Singapur l Tokio l Toronto

2. Prohibida In reproduccidn tottzl o pnrcitrl rlr esta obra, por cualquier medio, sin autorizocidn escritfi del editor DERECHOS RESERVADOS. Copyright 0 1995, por McGRAW-HILL TNTERAMERICANA, S. A Transversal 428 No. 19-77, Santa% de Bogo& Colombia Traducido de la tercera edicin de MECHANICS OF FLUIDS Copyright 0 MCMXCII. por McGRAW-HILL, Inc. ISBN: 0.07-056387-X Editora: Martha Edna Surez R. 3124567890 9012336785 ISBN: 958-600-246-2 Impreso en Colombia Irintetl in Colombia Q EmlcuMn Se imprimieron 3.300 ejemplores 111 el mes de enero de 1995 3. ACERCA DEL AUTOR Irving H. Shames posee el ttulo de profesor de facultad de ingeniera y ciencia aplicada de la Universidad del estado de Nueva York en Buffalo y se le ha reconocido con el ttulo de profesor distinguido del sistema de la Universidad. El primero de estos ttulos permite al profesor Shames ensear en diferentes departamentos de ingeniera; el segundo le proporciona recursos que son importantes en su labor como escritor. Su empeo como tal se ha extendido a lo largo de un periodo de 35 aos, durante el cual ha publicado 10 libros. La mayor parte de stos se han traducido a otros idiomas como espaol, portugus, japons, coreano, chino y rabe. Su primer libro, Engineering Mechanics Statics and Dynamics, publicado en 1958, fue el primer libro de mecnica ampliamente utilizado basado en principios vectoriales. Esto marc el comienzo del uso universal del mtodo vectorial. La primera edicin de Mecnica defluidos fue el primer texto que utiliz la ecuacin del transporte de Reynolds para la deduccin eficiente de las leyes bsicas y que utiliz el volumen de control no inercial. De hecho, un examen de la edicin de 1962 revelar que la mayor parte de los textos de fluidos de hoy en da se asemejan bastante a este texto innovador. Asimismo otras de sus obras presentan enfoques o puntos de vista innovadores. El profesor Shames ensea la secuencia de segundo ao -esttica, dinmica y mecnica de slidos- a casi todo el cuerpo de estudiantes de ingeniera en Buffalo en una sola sesin. Adems, ensea en un curso de mecnica de fluidos dirigido a todos los estudiantes de tercer ao de ingeniera mecnica y aeroespacial. En aos alternos dirige un curso de ltimo ao y de posgrado en mtodos variacionales y elementos finitos y otro de anlisis inelstico de esfuerzos. Estas asignaturas son electivas y tienen un registro muy por encima del promedio de esta universidad e involucran un amplio nmero de estudiantes. Para el profesor Shames la vigencia de sus libros se explica por el hecho de que cada uno se escribi con base en cursos que tienen asistencia grande y diversa. Por esta razn, el texto debe escribirse para que juegue un papel importante en tales clases y esto representa la prueba ms severa de claridad. Asimismo, durante 18 aos el autor ha sido director de programas de ingeniera aeroespacial, en ciencias de ingeniera, bioingeniera y en ingeniera nuclear, lo cual requiere involucrarse a fondo en el desarrollo del curriculurn de dichos programas. Esto da a su actividad de escritor un conocimiento excepcionalmente amplio que permite la continuidad en sus libros desde los cursos brsicos, y al mismo tiempo deja caminos abiertos a cursos ms avanzados. El profesor Shames estuvo dos aos como profesor visitante en el Technion Institute of Technology, en Haifa, Israel, en una ocasin en ingeniera mecnica y en otra en ingeniera de materiales. Durante su estan- cia en SUNY/Buffalo, trabaj con el famoso bilogo Dr. James Danielli en la teora de membrana con v capa molecular doble y con l fue el coinvestigador principal en investigacin de membranas. 4. ACERCA DEL AUTOR En los ltimos aos el profesor Shames ha expandido sus actividades de enseanza y ha establecido dos talleres de verano patrocinados por el estado de Nueva York. En 199 1, stos se ampliaron a un programa nacional de talleres patrocinados por la National Science Foundation (NSF). El programa involucra la integracin con- ceptual y pedaggica de la mecnica desde el segundo ao hasta la escuela de posgrado. vi 5. CONTENIDO Prefacio x v Primera parte Principios bsicos de mecnica de fluidos 1 Nociones fundamentales 3 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 *1.9 1.10 Nota histrica Fluidos y el continuo Dimensiones y unidades Ley de la homogeneidad dimensional Una nota sobre fuerza y masa Ley de viscosidad de Newton: el coeficiente de viscosidad Una nota sobre materiales no newtonianos El gas perfecto: ecuacin de estado Compresibilidad de lquidos; tensin superficial Colofn 3 3 5 * 7 9 10 15 17 19 27 2 Esfuerzo en un punto 37 2.1 2.2 2.3 2.4 Introduccin *2.5 2.6 2.7 2.8 Cantidades escalares, vectoriales y tensores: campos Fuerzas superficiales y de cuerpo; esfuerzo Esfuerzo en un punto para un fluido en reposo y para flujos no viscosos Movimiento de fluidos viscosos Propiedades de esfuerzo El gradiente Colofn 37 37 38 39 41 43 45 47 3 Esttica de fluidos 53 3.1 3.2 3.3 Introduccin Variacin de la presin en un fluido esttico incompresible Variacin de la presin con la elevacin para un fluido esttico compresible 53 53 vii 56 6. CONTENIDO 3.4 3.5 59 61 3.6 3.7 3.8 3.9 La atmsfera estndar Efecto de la fuerza superficial sobre un fluido confinado que permanece esttico Fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida en un fluido esttico incompresible Fuerza hidrosttica sobre superficies curvas sumergidas Una nota sobre superficies curvas complejas Ejemplos de fuerzas hidrostticas sobre superficies curvas sumergidas Leyes de boyamiento Consideraciones de estabilidad para cuerpos en flotacin Colofn 61 68 71 3.10 *3.11 3.12 73 77 83 88 4 Fundamentos del anlisis de flujo 107 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 El campo de velocidad Dos puntos de vista Aceleracin de una partcula de flujo Flujo irrotacional 107 109 110 113 119 120 120 4.9 4.10 Relacin entre flujo irrotacional y viscosidad Leyes bsicas y secundarias para medios continuos Sistemas y volmenes de control Una relacin entre el enfoque de sistemas y el enfoque de volmenes de control Flujos unidimensionales Colofn 121 127 131 5 Leyes bsicas para sistemas finitos y volmenes de control finitos, 1: continuidad y momentum 137 5.1 Introduccibn 5.2 Parte A. Conservacin de la masa Ecuacin de continuidad 5.3 5.4 5.5 *5.6 Parte B. Momentum lineal Anlisis de sistemas 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 Volmenes de control fijos en un espacio inercia1 Empleo de la ecuacin de momentum lineal en un volumen de control Volmenes de control no inerciales *Parte C. Momento de momerztum Momento de momentum para un sistema Mtodo del volumen de control para la ecuacin de momento de momentum en volmenes de control inerciales Ecuacin de momento de momentum aplicada a bombas y turbinas Momento de momentum para volmenes de control no inerciales Colofn 137 137 137 141 141 142 144 159 163 163 165 172 177 182 viii 6 Leyes bsicas para sistemas finitos y volmenes de control finitos. II: termodinmica 203 7. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Introduccin Nota preliminar Anclisis de sistemas Anlisis del volumen de control Problemas que involucran la primera ley de la termodinmica Ecuacin de Bernoulli a partir de la primera ley de la termodinmica 203 203 204 205 210 6.7 Una nota sobre la segunda ley de la termodinmica "6.8 La segunda ley de la termodinmica 6.9 Colofn 216 222 222 224 7 Formas diferenciales de las leyes bsicas 237 7.1 Introduccin 237 7.2 7.3 "7.4 Parte A. Desarrollo elemental de las formas diferenciales de las leyes bsicas Conservacin de la masa Ley de Newton; ecuacibn de Euler Lquidos bajo aceleracin lineal uniforme o bajo velocidad angular constante Integracin de la ecuacin de Euler para flujo permanente; ecuacin de Bernoulli Ecuacin de Bernoulli aplicada aflujo irrotacional Ley de Newton para flujos generales Problemas que involucran flujos laminares paralelos *Parte B. Forma diferencial de las leyes bsicas: una aproximacin ms general Notacin ndice y frmula de Cauchy Teorema de Gauss 238 238 240 241 7.5 7.6 *7.7 7.8 249 250 251 254 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 Conservacin de la masa Ecuaciones de momentum Primera ley de la termodinmica Segunda ley de la termodinmica Leyes b;sicas en coordenadas cilndricas Colofn 262 262 264 266 266 268 271 272 273 8 Anlisis dimensional y similitud 281 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Grupos adimensionales Parte A. Anlisis dimensional Naturaleza del anlisis dimensional Teorema de n de Buckingharn Grupos adimensionales importantes en mec5nica de fluidos Crlculo de los grupos adimensionales Parte B. Similitud Similitud dinmica Relacin entre anlisis dimensional y similitud 281 281 281 283 285 285 8.6 8.7 291 291 ix 293 8. CONTENIDO 8.8 Significado fsico de grupos adimensionales importantes en mecnica de fluidos 8.9 Uso prctico de los grupos adimensionales 8.10 Similitud cuando se conoce la ecuacin diferencial 8.11 Colofn Segunda parte Anlisis de flujos internos importantes 297 300 302 303 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 *9.17 9.18 9.19 10 10.1 * 10.2 10.3 Flujo viscoso incompresible a travs de tuberas Parte A. Comparacin general entre flujos laminares y flujos turbulentos Introduccin Flujos laminares y turbulentos Parte B. Flujo laminar Primera ley de la termodinmica para flujo en tuberas; prdida de altura Problemas de flujo laminar en tuberas Condiciones de entrada a la tubera Parte C. Flujos turbulentos: consideraciones experimentales Nota preliminar Prdida de altura en una tubera Perfil de velocidad y esfuerzo cortante en la pared para flujo turbulento Prdidas menores en sistemas de tuberas Parte D. Problemas de flujo en tuberas Solucin a problemas de tuberas en serie Lneas de altura piezomtrica y de energa total Conductos no circulares Parte E. Flujos turbulentos con nmeros de Reynolds elevados Esfuerzo aparente Perfiles de velocidad para flujos turbulentos con nmeros de Reynolds elevados Detalles de los perfiles de velocidad para tuberas lisas y rugosas Problemas para flujos con nmeros de Reynolds elevados Parte F. Flujo en tuberas en paralelo Problemas de tuberas en paralelo Tuberas ramificadas Colofn Flujo viscoso incompresible general: las ecuaciones de Navier-Stokes 397 Introduccin Parte A. Flujo laminar Ley de viscosidad de Stokes Ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo laminar incompresible 315 315 315 316 318 318 323 326 327 327 328 333 335 340 340 349 351 353 353 355 362 367 370 370 374 378 397 398 398 403 10.4 Flujo paralelo: consideraciones generales 406 x 10.5 Problemas de flujo paralelo laminar 408 10.6 Una nota 414 9. CONTEN100 *10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas para una placa de flujo muy delgada Ley de similitud dinAmica a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes *Parte B. Flujo turbulento Un comentario 415 418 422 422 422 10.12 10.13 Promedios temporales para flujo turbulento permanente Ecuaciones de Navier-Stokes para las magnitudes medias temporales: esfuerzo aparente Manifestacin del esfuerzo aparente: viscosidad de remolino Colofn 423 427 427 l l Flujo compresible unidimensional 431 11.1 Introduccin 11.2 ll .3 11.4 11.5 Parte A. Preliminares bsicos Relaciones termodinmicas para un gas perfecto Propagacin de una onda elstica El cono de Mach ll.6 ll.7 11.8 431 432 432 434 438 440 440 440 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 Una nota sobre flujo compresible unidimensional Parte B. Flujo isentrpico con cambio simple de rea Leyes bsicas y secundarias para flujo isentrpico Propiedades locales en el punto de estancamiento isentrpico Una diferencia importante entre flujo subsnico y flujo supersnico unidimensional Flujo isentrpico de un gas perfecto Flujo en una boquilla real en condiciones de diseno Parte C. La onda de choque normal Introduccin 11.16 11.17 Lneas de Fanno y de Rayleigh Relaciones para una onda de choque normal Relaciones de onda de choque normal para un gas perfecto Una nota sobre ondas de choque oblicuas Parte D. Operacin de boquillas Una nota sobre chorros libres Operacin de boquillas *Parte E. Flujo a travs de un dueto de seccin constante con friccin Introduccin Ecuaciones de flujo adiabtico en seccin constante para un gas perfecto *Parte F. Flujo permanente a travs de un dueto de seccin constante con transferencia de calor Introduccin 446 448 451 454 454 455 458 459 464 468 468 469 11.18 11.19 473 473 474 11.20 11.21 ll.22 Relaciones para un gas perfecto Colofn 482 482 483 488 Tercera parte Anlisis de flujos externos importantes 12 Flujo potencial 12.1 Introduccin 501 xj. 501 10. CONTENIDO 12.2 12.3 12.4 12.5 Parte A. Consideraciones matemticas Circulacin: conectividad de regiones Teorema de Stokes 12.6 12.7 12.8 12.9 Circulacin en flujos irrotacionales Potencial de velocidad Parte B. Funcin de corriente y relaciones importantes Funcin de corriente 12.10 Relacin entre la funcin de corriente y el campo de velocidad Relacin entre la funcin de corriente y las lneas de corriente Relacin entre la funcin de corriente y el potencial de velocidad para flujos irrotacionales, bidimensionales e incompresibles Relaciones entre las lneas de corriente y las lneas de potencial constante 502 502 503 505 505 507 507 509 510 511 512 12.11 12.12 12.13 12.14 12.15 12.16 12.17 12.18 12.19 Parte C. Anlisis bsico de flujo bidimensional, incompresible e irrotacional Un anlisis acerca de las cuatro leyes bsicas Condiciones de frontera para flujos no viscosos Coordenadas polares Parte D. Flujos simples Naturaleza de los flu,jos simples que se estudiarn Metodologas de solucin para flujo potencial Flujo uniforme Fuentes y sumideros bidimensionales El vrtice simple El doblete 12.20 12.21 12.22 12.23 12.24 12.25 Parte E. Superposicin de flujos simples bidimensionales Nota introductoria sobre el mtodo de superposicin Sumidero con vrtice 12.26 12.27 12.28 Flujo alrededor de un cilindro sin circulacin Sustentacin y arrastre para un cilindro sin circulacin Caso del cilindro giratorio Suslentacin y arrastre para un cilindro con circulacin *Parte F. Flujos axisimtricos tridimensionales Introduccin Funcin de corriente de Stokes Relacin entre lneas de corriente, funcin de corriente y campo de velocidad Aplhcin de las leyes bsicas Flu.jo uniforme Fuentes y sumideros tridimensionales Doblete tridimensional Flujo permanente alrededor de una esfera Flu,j~s alrededor de cuerpos de revolucin Coll)fn 513 513 516 516 520 520 521 524 524 526 528 533 533 533 535 537 538 541 545 545 546 12.29 12.30 12.31 12.32 12.33 12.34 12.35 547 549 550 551 552 553 555 558 13 Teora de capa lmite 571 xii 13.1 Anotaciones introductorias 571 13 1.i Espesor de la capa lmite 572 11. CONTENIDO .- 13.3 Ecuaciones simplificadas de la capa lmite para flujo laminar; ecuacin de Blasius 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 *13.14 13.15 13.16 Ecuacin integral de momentum de Von Krmn y friccin superficial Parte A. Capas lmites laminares Uso de la ecuacin integral de ~onwlfw?z de Von Krmn Friccin superficial para flujo en una capa lmite laminar Transicin para flujo en una placa plana Parte B.1 Capas lmites turbulentas: placas lisas Espesor de la capa lmite sobre placas planas lisas Arrastre por friccin superficial sobre placas lisas Parte B.2 Capas lmites turbulentas: placas rugosas Arrastre por friccin superficial en capa lmite turbulenta sobre placas rugosas Parte C. Flujo sobre cuerpos curvos sumergidos Flujo sobre fronteras curvas; separacin -Arrastre sobre cuerpos sumergidos Estela detrk de un cilindro Perfiles de alas; comentarios gcneralrs Temas adicionales sobre perfiles de alas, arrastre inducido y flujo transnico Colofn 14 Flujo a superficie libre 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 *14.10 Introduccin Consideracin del perfil de velocidad Flujo normal 14.11 14.12 Flujo normal: mtodos modernos Seccin hidkiulicamente ptima Ondas gravitacionales Energa especfica; flujo crtico Flujo variado en canales rectangulares cortos Flujo gradualmente variado sobre canales largos Clasificacin de los perfiles superficiales para flujos gradualmente variados Flujo rpidamente variado; el resalto hidrhulico Colofhn 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 *Turbomaquinaria Parte A. Consideraciones generales Introduccin Relaciones de similitud para turbomkluinas Velocidad especfica Las leyes bkicas Parte B. Turbinas Comentarios introductorios Turbinas de i~npulso 575 581 583 583 586 591 593 593 596 602 602 606 606 609 620 621 625 628 645 645 645 646 651 655 658 660 668 672 677 682 687 699 499 699 70 I 704 707 710 7 1 0 xiji 710 12. 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 Turbinas de reaccin de flujo radial y axial 715 Turbinas (y compresores) de reaccin con cascadas de Slabes 720 Parte C. Ventiladores, bombas, sopladores y compresores 723 Anotaciones introductorias 723 Bombas y sopladores de flujo radial 724 Colofn 731 16 *Mecnica computacional de fluidos 739 16.1 Introduccin 16.2 16.3 16.4 Parte A. Mtodos numricos 1 Operaciones numricas para derivacin e integracin Parte B. Problemas de flujo representados mediante ecuaciones diferenciales ordinarias Un comentario 739 739 739 745 745 16.5 16.6 Introduccin a la integracin numrica de ecuaciones diferenciales ordinarias Notas sobre programacin Problemas 745 747 748 Parte C. Problemas de flujo permanente representados mediante ecuaciones diferenciales parciales Introduccin a los problemas de flujo permanente con valores frontera Flujo potencial Flujo viscoso laminar incompresible en un dueto Proyectos 760 16.7 16.8 16.9 16.10 760 764 767 770 Respuestas a problemas seleccionados 773 Bibliografa 779 A.1 Mtodos de medicin 781 A.T. 1 A.T.2 A.T.3 A.I.4 A.I.5 A.1.6 A.I.7 A.1.8 Introduccin Medicin de presiones Medicin de velocidades Medicin de caudal en flujo incompresible en tuberas Medicin de caudal en flujo compresible en tuberas Medidas de flujo a superficie libre; el vertedero Medicin de la viscosidad Colofn 781 781 783 784 789 793 796 800 A.11 B Deduccin de la ecuacin diferencial para el flujo adiabtico en rea constante para un gas perfecto 801 Curvas y tablas 803 ndice 814 XiV 13. PREFACIO Con la publicacin de la tercera edicin, este texto empieza la cuarta dcada de su existencia. En retrospectiva, ha tenido tres etapas de desarrollo. La primera edicin represent un despegue radical de los textos sobre fluidos en su tiempo. Por ejemplo, fue el primer texto que utiliz la ecuacin de transporte de Reynolds para establecer las formas integrales de las leyes bsicas mediante volmenes de control. Asimismo, fue el primer texto que introdujo y utiliz el volumen de control no inercia]. Adems, present la deduccin de la ley de viscosidad de Stokes y la formulacin y el uso de las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas innovaciones demostraron ser acertadas, ya que la primera edicin se utiliz ampliamente; lleg a 22 impresiones durante 20 aos antes de dar paso a la segunda edicin. La segunda edicin se centr en el nrbrimipjztu de los temas. Se agregaron captulos sobre turbomaquinaria, mecnica computacional de fluidos y un apndice sustancial sobre instrumentacin. Tambin se completaron otros capitulos, particularmente el captulo sobre capa lmite. El desarrollo de la tercera edicin se facilit debido a una gran oportunidad. Corno profesor de facultad mi enseanza no est restringida a un solo departamento. Por consiguiente, a pesar de que pertenezco al departamento de ingeniera civil, en 1979 fui invitado por nuestro departamento de ingeniera mecnica y aeroespacial para dirigir el curso de segundo ao en mecnica de fluidos a los estudiantes y tuve completa libertad en la forma de presentacin y contenido del curso. Ha habido entre 160 y 180 estudiantes cada ao en esta clase. Particularmente valioso para m fue el hecho de que la mitad de la clase estaba compuesta por estudiantes de transferencia de una amplia gama de programas, que variaban desde programas de ingeniera de universidades grandes hasta programas de preingeniera de universidades pequeas. Mi experiencia de ensear a una clase grande de estudiantes con diferentes tipos de preparacin ha sido la mejor forma para desarrollar un libro. Por consiguiente, se me present una oportunidad nica para trabajar en la tercera edicin. Asimismo, para com- pensar la extraordinaria confianza dada por mis colegas en el departamento de ingeniera mecanica y aeroespacia), hubo una gran motivacin para mejorar el libro, en particular desde el punto de vista pedaggico. La tercera edicin es el resultado de un esfuerzo continuo, primordialmente en esta direccin, durante toda una dcada. Ahora presento algunos de los cambios hechos durante este periodo. Como escritor siempre he incluido material en el libro que va ms all de lo que puede cubrirse formalmente en clase; esto incluye lo que puede considerarse como material avanzado. En mis clases siempre he dado un pequeo resumen de la mayor parte de este material con propsitos de orientacin. Adems, siempre deseo motivar a los estudiantes para que estudien por su cuenta este material durante los cursos y, XV particularmente, en tiempos posteriores, en conexin con otros cursos ms avanzados. Mis estudiantes 14. me dicen que esto es una prctica muy beneficioha, de manera que la he incorporado en la tercera edicin. Luego;. antes de cualquier seccin avanzada (seal,Ida con asterisco o con letra ms pequea) habr una expli- caci I: resumida sobre lo que se har en forma ms cuidadosa y rigurosa inmediatamente despus. En los itimos aos he encontrado que los estudia Ites tienen problemas al proyectar superficies curvas que son complejas pero que tienen aberturas simples, conXo la superficie exterior de un sistema de tuberas ramificado. En el captulo sobre hidrosttica se presentan an: lisis y problemas sobre este tipo de superficies. Esto es parti- culermente benfico en el captulo 5 cuando se e.:tudia el flujo de momentum a travs de un volumen de control que se extiende sobre el flujo interno de algn Lparato. Pueden incluirse fuerzas que constan de fuerzas inrer- ~7s y calcular, por ejemplo, el empuje de un tu borreactor sobre un marco de prueba. En ciertas condiciones, utilizando simplementepre.riones manomtricx: ; en este clculo, se demuestra que la fuerza sobre la superficie exterior (que no hace parte de la superficie cr control) ocasionada por la presin atmosfrica estar auto- rn$-icamente incluida. Deseo que los estudiantes consideren los voltimenes de control y las ecuaciones asocia- das a stos con el mismo cuidado y la misma precisin que se espera que ellos utilicen en los diagramas de cuc rpo libre en mecnica de segundo ao. De manera especfica deseo, al menos en principio, que ellos consi- der:n el volumen de control y la ecuacin de r:lomentzrrn acompaante como un clculo separado del clculo de la fuerza sobre una superficie curva (exterirr, usualmente una superficie compleja que no hace parte de la superficie de control con aperturas simples y expuesta a la presin atmosfrica uniforme). Cuando se ha hecho estct con toda claridad, permito el uso de presiones manomtricas para simplificar los clculos. (Sin embargo, se han incluido problemas de trabajo donde esto MI puede hacerse). Despus de este inicio cuidadoso, generalmente el texto utiliza la opcin de un clculo mis corto utilizando presin manomtrica, cuando este enfoque se rjermite. Alicunos captulos, como los de flujo en tuberas y capa lmite, tienen numerosas definiciones y ecuaciones con rangos de aplicacin limitados. He organizado estos captulos para que sean ms fciles de leer y de utilizar. Asimismo, al final de estos captulos presento hojas de resumen cuidadosamente distribuidas con los resultados esenciales del captulo. Entre parntesis, yo permito que los estudiantes utilicen copias de estas hojas de resumen durante los exmenes (con el libro cerrado). Algunos profesores han pedido que omita algunas de mis notaciones personales a favor de otras usadas ms ampliamente. As, por ejemplo, con pesar he remplazado smbolos como ReY x por Re,, al igual que otros. Tam- bin por pedido de algunos profesores se ha hecho un uso ms amplio de la libra-masa y de las medidas de al!ura de energa. Otro cambio de notacin est relacionado con las componentes de velocidad. Es un caso de: afortunado que u, v y w representan las componentes de desplazamiento en mecnica de slidos y tambin las componente,s de velocidad en mecnica de fluidos. Donde no puede existir confusin, se han utilizado U, v y w como las componentes de velocidad en este texto, por ejemplo, en las ecuaciones de Navier-Stokes. Cuando el material tiene un uso ms universal, se ha utilizado V,, V, y V, para las componentes de velocidad. En coordenadas cilndricas, generalmente utilizo v,, v B y v:. Adems, se ha omitido el mtodo complejo de altura equivalente en hidrosttica a favor de un mtodo directo mSs simple. Debido a la experiencia adquirida durante muchos aos de enseanza y escritura de la secuencia de mecanica de segundo ao, de esttica, dinmica y mec6nica de slidos, he sido bastante sensible en este texto con respecto a la continuidad entre la mecnica de tluidos y las bases de los cursos de mecnica anteriores. El esfuerzo para tener un uso ptimo de Ia notacin de componentes de velocidad descrita antes es slo un ejemplo de esta sen- sibilidad. xvj Dos de mis revisores recomendaron con insistencia que se reagruparan ciertos captulos de la tercera edicin en dos grupos mayores que contenan los flujos internos y los flujos externos, respectivamente. 15. FPEFACIO - - _ _ _ - Despus de una cuidadosa consideracin llegu a la conclusin de que esto sera un mejoramiento y, por consiguiente, dicho cambio se ha establecido en est:( edicin. Mis estudiantes muestran mucho inters y curiosidnd acerca de ciertos aparatos tanto modernos como histricos, como los autogiros, los dirigibles, las alas hacia aelante y otros. En consecuencia, al inicio de cada captulo se han colocado fotografas de algunos de estos aparatos junto con resenas interesantes. En algunos casos, se han presentado ejemplos y problemas basados en dichos aparatos. He mantenido el rigor y la generalidad de las ediciones anteriores y he evitado algunas tendenc.as recientes de deducir la ecuacicin de transporte de Reynolds utilizando un volumen de control simple especial o de deducir la primera ley de la termodinmica para volmenes de control utilizando el caso especial de flujos unidimensionales simples hacia adentro y hacia afuera. Mis estudiantes no parecen tener ninguna dificultad c,)n mis deducciones generales y creo que al final tienen un mejor entendimiento de estas formulaciones. En la tercera edicin no hay captulos nuevos, pero s muchos nuevos ejemplos y nuevas secciones. Se han agregado, por ejemplo, secciones sealadas con asterisco en el captulo 7, en las que se deducen las formas diferenciales de las cuatro leyes bsicas mediante procedimientos idnticos, utilizados en otros campos, a partir de las formas integrales de estas leyes. Esto se hace con ayuda de la frmula de Cauchy y el teorema de Gauss, cuyas deducciones son parte del anlisis. Se introducir al estudiante a la notacin ndice si decide leer o estudiar este material. He encontrado que los estudiantes ms avanzados de tercer ao son capaces de manejar este material por s solos nicamente con ayuda mnima. Adems de las secciones y explicaciones nuevas, hay cua- renta proyectos en computador que por falta de espacio, se han presentado en el manual del instructor. Se reco- mienda al instructor reproducir cualquiera de estos proyectos para el uso de los estudiantes. Yo asigno dos o trles en un semestre. Esto es adicional a la carga regular de lectura y de solT,cin de problemas. Finalmente, se incorporaron ms de 300 problemas, la mayor parte en unidades S. 1. Otra caracterstica que he incluido en el texto es la fl~.~_wibilidud en el sentido de que en varios puntos importantes hay rutas mltiples, sealadas en las notas de pie de pgina, b.lue el lector puede seguir. Como ejemplo, el flujo de Poiseuille en tuberas se deduce utilizando los primeros principios en el captulo 7. En esa parte se informa al lector que puede remitirse a ciertas secciones del captulo 9 donde se establecen las ecuaciones de Navier-Stokes y donde este flujo se deduce utilizando directamente estas ecuaciones. L,uego, el lector puede volver al captulo 7 y continuar. Como otro ejemplo, en el captulo sobre el tlujo en tuberas el lector tiene la oportunidad de utilizar la teora de longitud de mezcla de Prandtl. con las precauciones apropiadas sealadas para sus limitaciones, o un mtodo ms corto de anllisis dimensional. (El lector tambin puede perder la cabeza y hacerlos ambos). En resumen, considero que esta tercera edicin, aunque mantiene el rigor y el nivel de las ediciones anteriores, es ms fcil para el instructor. y ms fcil y efectiva para el estudiante. Adems, con la aprobacin entusiasta de muchos de mis estudiantes, he trabajado para hacer que este libro se utilice durante mucho tiempo despus de que se termine el curso. En realidad, mi deseo es convertirlo en un elemento en el que se confe y que sea fa- miliar en la biblioteca tcnica del estudiante para que los utilice durante su carrera. Deseo agradecer al profesor Amitabha Gosh, del Rochester Institute of Technology, al profesor Duen-Ren Jeng, de la Universidad de Toledo, y al profesor James Leith, de la Universidad de Nuevo Mxico; fueron excelentes revisores y ofrecieron muchas sugerencias y crticas valiosas; en particular, los profesores Leith y Gosh me convencieron acerca del agrupamiento de los tlujos internos y externos. El profesor Goodarz Ahmadi, de la Universidad de Clarkson, ha sido una fuente constante de consejos y sabidura en el transcurso de los aos desde la primera edicin. l ha revisado en forma cuidadosa y detallada el manuscrito completo de la tercera edicin y ha hecho muchas observaciones valiosas y brillantes, las cuales condujeron a los XVii 16. P R E F A C I O cambios incluidos en el texto. iNunca podr agradecerle lo suficiente! Agradezco tambin a mi colega y amigo de Buffalo, el profesor Joseph Atkinson, por su revisin cuidadosa y til del captulo sobre flujo a superficie libre y el uso de algunas fotos de sus laboratorios. El Dr. Steve Ma, cuando era estudiante de doctorado en Buffalo, trabaj en los proyectos de computador y revis el manuscrito final. Le agradezco sus expertas contribuciones. Expreso mi gratitud al Dr. Anoop Dhingra, quien, cuando era estudiante en Buffalo, tambin trabaj en los proyectos de computador. La seorita Marca Lam y el seor Jon Luntz, estudiantes en Buffalo, verificaron mis soluciones a los nuevos problemas que se incluyeron en la tercera edicin. Agradezco a estos excelentes estudiantes. Finalmente, agradezco a mi secretaria, la seora Debra Kinda, por sus excelentes e incansables esfuerzos en la mecanografa. Irving H. Shames xviii 17. PRIMERA PARTE PRINCIPIOS BSICOS DE MECNICA DE FLUIDOS 18. PRINCIPIOS BASICOS DE MECbICA DE FLUIDOS Prototipo de tecnologa avanzada X-29. (Corfesa de Grurnman Corporafion, Befhpnge, N. Y.) Ingenieros alemanes empezaron a experimentar con alas extendidas hacia adelante durante la Segunda Guerra Mundial. Grumman Aviation inici experimentos con este tipo de alas en 198 1. El programa de investigacin ha mostrado que un ala extendida hacia adelante se comporta aproximadamente un 20% mejor en el rgimen transnico que un ala equivalente, extendida hacia atrs. La ventaja de tener un arrastre menor en su envoltura operacional completa, en particular para velocidades alrededor de Mach 1, permite el uso de un motor ms pequeo. En comparacin con un ala extendida hacia atrs, el ala extendida hacia adelante ofrece una mayor maniobrabilidad, un mejor manejo para velocidades bajas y unas velocidades de prdida de sustentacin menores con buenas caractersticas posprdida. Debido a que las alas extendidas hacia adelante se colocan ms atrs en el fuselaje, es posible una mayor flexibilidad en el diseo de ste. Sin embargo, prevalecen efectos aeroelsticos desfavorables para alas metlicas extendidas hacia adelante, requirindose alas ms fuertes y por consiguiente ms pesadas, 10 que contrarresta las ventajas potenciales antes mencionadas. La llegada de materiales compuestos avanzados proporciona una solucin. Tejidos aeroelsticos de compuestos epxicos de grafito permiten que el ala extendida hacia adelante tenga su borde de ataque inclinado hacia abajo con el fin de contrarrestar el pandeo que experimenta hacia arriba debido a las cargas de vuelo. Finalmente, debe agregarse que existen problemas de control para condiciones de vuelo subsnico en esta clase de aeronaves. La inestabilidad se controla mediante un sistema avanzado de control de vuelo digital. el cual ajusta la superficie de control hasta 40 veces por segundo. Este sistema es manejado por tres computadores. 2 19. 1 1.1 NOTA HISTRICA H asta principios del presente siglo el estudio de los fluidos fue desarrollado esencialmente por dos grupos: los ingenieros hidrulicos y los matemticos. Los ingenieros hidrulicos trabajaron desde un punto de vista emprico, mientras que los matemticos se centraron en enfoques analticos. La gran cantidad y usualmente ingeniosa experimentacin del primer grupo produjo mucha informacin con valor incalculable para los ingenieros practicantes de entonces; sin embargo, debido a la carencia de los beneficios de la generalizacin propios de una teora practicable, estos resultados eran restringidos y de valor limitado en situaciones nuevas. Mientras tanto, los matemticos, por el hecho de no aprovechar la informacin experimental, se vieron forzados a establecer hiptesis tan simplificadas que pro- dujeron resultados aveces completamente opuestos a la realidad. Fue evidente para investigadores eminentes, como Reynolds, Froude, Prandtl y Von Krmn, que el estudio de los fluidos debe ser una mezcla de teora y experimentacin. Con ellos nace la cienciademecnicade fluidos, tal como se conoce actualmente. Los modernos centros de investigacin y ensayos emplean matemticos, fsicos, ingenieros y tcnicos calificados quienes, trabajando en equipo, mezclan estos dos puntos de vista con grados diferentes segn su trabajo. 1.2 FLUIDOS Y EL CONTINUO Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma continuamente siempre que est sometida a un esfuerzo cortante, sin importar qu tan pequeo sea. En contraste un slido experimenta un desplazamiento definido (o se rompe completamente) cuando se somete a un esfuerzo cortante. Por ejemplo, el bloque slido que Esfuerzo cortante Esfuerzo cortante Figura 1.1 Esfuerzo cortante en un slido y en un fluido. 20. PRINCIPIOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS se muestra a la izquierda en la figura 1.1 cambia su forma de una manera caracterizada convenientemente por el ngulo Aa cuando se somete a un esfuerzo cortante r. Si ste fuera un elemento de fluido (como se muestra a la derecha en la figura 1.1) no existira un Aa fijo ni aun para un esfuerzo cortante infinitesimal. En lugar de esto, persiste una deformacin continua siempre que se aplique el esfuerzo cortante T. En materiales que se conocen algunas veces como plsticos, como la parafina, cualquiera de estos tipos de deformacin al corte puede presentarse dependiendo de la magnitud del esfuerzo cortante. Esfuerzos cortantes por debajo de cierto valor inducen desplazamientos definidos similares a los de un cuerpo slido, mientras que esfuerzos cortantes porenci- ma de este valor causan deformaciones continuas similares alas de un fluido. La magnitud del esfuerzo cortante divisorio depende del tipo y del estado del material. Algunos de estos materiales se conocen como materiales de Bingham, como se discutir en la seccin 1.7. Al considerar varios tipos de fluidos en condiciones estticas, algunos presentan cambios muy pequeos en su densidad a pesar de estar sometidos a grandes presiones. Invariablemente, estos fluidos se encuentran en estado lquido cuando presentan este comportamiento. En tales circunstancias, el fluido se denomina incompresible y se supone que su densidad es constante para los clculos. El estudio de fluidos incompresibles en condiciones estticas se conoce como hidrosttica. Cuando la densidad no puede considerarse constante bajo condiciones estticas como en un gas, el fluido se denomina compresible y, algunas veces, se utiliza el trmino aerosttica para identificar esta clase de problemas. La clasificacin de compresibilidad dada anteriormente est reservada para esttica. En dinmica de fluidos, los casos en los cuales la densidad puede tratarse como una constante involucran algo ms que la naturaleza del fluido. En realidad, esto depende principalmente de un determinado parmetro de flujo (el nmero de Mach). Por consiguiente, se habla de flujos incompresibles y compresibles, en lugar de flfuidos incompresibles o compresibles. Cuando en un problema las variaciones en la densidad son insignificantes, los gases y los lquidos se analizan de la misma manera. Por ejemplo, para el flujo alrededor de cuerpos sumergidos por completo, las ecuaciones bsicas para aerodinmica de bajas velocidades (por debajo de 300 millas/hora aproximadamen- tej son las mismas que para hidrodinmica. De hecho, es posible examinar algunas caractersticas de comportamiento de perfiles aerodinmicos de bajas velocidades en un tnel de agua. Los fluidos estn compuestos por molculas con movimientos y colisiones constantes. Para ser exacto en un anlisis, debeta tenerse en cuenta la accin de cada molcula o grupo de molculas en un flujo. Tales procedimientos se adoptan en la teora cintica de los gases y en la mecnica estadstica pero son, en general, Fuerza h A AF i g u r a 1 . 2 Tiempo Efecto de no continuo sobre un elemento de rea. demasiado complejos para utilizarlos en aplicaciones de ingeniera. En la mayor parte de los clculos de ingeniera, el inters se centra en manifestaciones promedio medibles de muchas molculas, como, por ejemplo, densidad, presin y temperatura. Estas manifestaciones pueden suponerse convenientemente como el resultado de una distribucin continua hipottica de materia, conocida como el continuo, en lugar del conglomerado real complejo de las molculas discretas. El concepto de continuo permite una gran simplificacin en el anlisis y se han 4 utilizado ya en cursos anteriores de mecnica los conceptos de un cuerpo rgido o cuerpo perfectamente elstico. 21. NOCIONES FUNDAMENTALES El enfoque de continuo debe utilizarse solo donde arroje resultados razonablemente correctos. Por ejemplo, el concepto de continuo no es vlido cuando la trayectoria libre media de las molculas es del mismo orden de magnitud que la longitud significativa ms pequea del problema. En tales circunstancias no pueden detectar- se con facilidad las manifestaciones globales de las molculas: por consiguiente la accin de cada molcula o grupo de molculas es significativa y debe tratarse consecuentemente. Para ilustrar esto, se examin la accin de un gas sobre un elemento de rea circular dentro de un tanque cerrado. Aun con la presencia de una cantidad relativamente pequea de fluido dentro de este volumen, las innume- rables colisiones de molculas sobre la superficie producirn una manifestacin de fuerza global independiente del tiempo. Una sustancia realmente continua simular esta accin bastante bien. Si existe slo una peque- a cantidad de gas dentro del tanque, de manera que la trayectoria libre media es del mismo orden de magnitud que el dimetro del elemento considerado, se observa una actividad errtica a medida que las molculas individuales o los grupos de molculas bombardean la superficie. No puede seguir hablndose de una fuerza constante sino de una variacin errtica de la fuerza, como se indica grficamente en la figura 1.2. Esta accin no es lo que se espera en una distribucin continua de masa. Luego, se ve que el enfoque del continuo puede aplicarse a la primera situacin pero que en el segundo caso, al ignorar los efectos de molculas individuales, sera cuestionable. Puede alcanzarse la misma situacin para cualquier cantidad de gas dentro del tanque disminuyendo el tama- o del elemento de rea hasta que los efectos moleculares irregulares se vuelvan significativos. Debido a que el enfoque del continuo no toma en consideracin la accin en lo pequeo, no puede conducir a resultados acer- tados en lo pequeo. 1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES En el estudio de mecnica deben establecerse abstracciones para describir aquellas manifestaciones del cuerpo que sean de inters. Estas abstracciones se conocen como dimensiones, son independientes de otras dimensiones y se denominan dimensiones primarias o bsicas; aquellas que se definen en funcin de las dimensiones bsicas se conocen como dimensiones secundarias. De todos los conjuntos posibles de dimensiones bsicas que pueden utilizarse, este texto se limitar al conjunto que incluye las dimensiones de longitud, tiempo, masa y temperatura. Tambin puede utilizarse fuerza en lugar de masa en la lista de dimensiones bsicas. Para propsitos cuantitativos, diferentes grupos y pases han adoptado unidades de medida para estas dimensiones bsicas. El U. S Customary System (USCS) emplea la libra-fuerza, el pie, el segundo y el grado Rankine, como las unidades para las dimensiones bsicas. El sistema internacional de unidades (SI) usa el newton, el metro, el segundo y el grado Kelvin. La tabla 1.1 muestra algunos de los sistemas de unidades ms utilizados. Es conveniente identificar estas dimensiones en la siguiente forma: Longitud L Tiempo T Fuerza F Temperatura 8 Estas expresiones formales de identificacin de las dimensiones bsicas y las agrupaciones ms compli- cadas necesarias para representar las dimensiones secundarias se conocen como representaciones dimensionales. La trayectoria libre media es la distancia promedio cubierta por las molculas entre colisiones. 22. PRINCIPIOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS Tabla 1.1 Sistemas de unidades ms utilizados Mtrico Centmetro-gramo-segundo (cgs) SI Masa Longitud Tiempo Fuerza Temperatura gramo k> centmetro (cm) segundo (s) dina (din) grado Kelvin (K) Masa Longitud Tiempo Fuerza Temperatura kilogramo (kg) metro (m) segundo (s) newton (N) grado Kelvin (K) U. S. Customary System Tipo 1 Tipo II Masa libra-masa (lbm) Masa slug (slug) Longitud pie Longitud pie Tiempo segundo (s) Tiempo segundo (s) Fuerza libra-fuerza (lbf) Fuerza libra fuerza (lbf) Temperatura grado Rankine (R) Temperatura grado Rankine (R) Las dimensiones secundarias estn relacionadas con las dimensiones bsicas mediante leyes o mediante definiciones. Por tanto, la representacin dimensional de tales cantidades estar en funcin de las dimensiones bsicas. Por ejemplo, la representacin dimensional de velocidad Ves: Siguiendo este esquema, la presin tiene dimensiones FIL2 y la aceleracin se expresa dimensionalmente como Ll?. Un cambio a un nuevo sistema de unidades por lo general implica un cambio en la escala de medida de las dimensiones secundarias. El uso de la representacin dimensional dada anteriormente permite cambiar de escala con facilidad. Por ejemplo, en los manuales se encuentralaunidad de medida de presin en el USCS, 1 Ib de fuerza por 1 pie2 es equivalente a 47.9 unidades en la escala de presin del sistema SI, o 47.9 N/m2 (= 47.9 Pa). La unidad N/m2 se conoce como un Pascal (Pa) en el sistema SI. Puede llegarse a este resultado escri- biendo la presin dimensionalmente, sustituyendo las unidades bsicas de USCS y cambindolas luego a las unidades SI equivalentes, como sigue: 4.45 N 0.0929 m = 47.9 N/m Porconsiguiente, 6 1 Ibf/pie 2 = 47.9 N/m = 47.9 Pa 23. NOCIONES FUNDAMENTALES En la parte interna de la portada y contraportada de este libro se presentan las equivalencias fsicas de algunas unidades de uso comn en mecnica de fluidos. Otra tcnica es formar la relacin entre una unidad de una dimension bsica o secundaria y el valor apropiado de otra unidad de la misma dimensin bsica o secundaria, de manera que exista equivalencia fsica entre las cantidades. Desde este punto de vista, la fraccin se considera como la unidad debido a la relacin uno a uno entre el numerador y el denominador. Entonces 1pic f 1- -1 ,12 pulg Para otra unidad, puede decirse: l2 pg i I___ E 1 j 305 mm stas deben tomarse como ecuaciones de equivalencia y no como relaciones algebraicas en sentido corriente. Multiplicando una expresin por tal relacin no cambia la medida de la cantidad fsica representada por la expresin; por tanto, para cambiar una unidad en una expresin, se multiplica esta unidad por la relacin equivalente a la unidad de manera que la unidad anterior se cancele dejando la unidad deseada. Por consiguiente, puede llevarse a cabo un cambio de unidades en el caso previo en una forma ms conveniente, utilizando el formalismo dado anteriormente en las expresiones del numerador y del denominador. Luego, Es preferible emplear estas ltimas tcnicas, debido a que puede incurrirse en error con el uso de mtodos intuiti- vos menos formales. En mecnica de fluidos, como se anot antes, se manejan dimensiones secundarias para representar manifestaciones moleculares globales y medibles, como la presin y la densidad. Las manifestaciones que son principalmente caractersticas de un fluido particular y no de un flujo, se conocen como propiedades del fluido. La viscosidad y la tensin superficial son ejemplos de propiedades del fluido, mientras que la presin y la densidad de gases dependen en primer lugar del flujo y, por consiguiente, no se consideran propiedades del fluido. 1.4 LEY DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Con el fin de determinar las dimensiones de propiedades establecidas mediante leyes, primero debe discutirse la ley de la homogeneidad dimensional. sta afirma que una ecuacin deducida analticamente que representa un fenmeno fsico debe ser vlida para todos los sistemas de unidades. As, la ecuacin para la frecuencia de un pndulo, f = (1/2z)Jg/Lest planteada apropiadamente , 24. PRINCIPIOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS en cualquier sistema de unidades. Una explicacin plausible para la ley de la homogeneidad dimensional es que el fenmeno natural ocurre sin tener conciencia de las unidades creadas por el hombre y, por consiguiente, las ecuaciones fundamentales que representan tales fenmenos deben ser vlidas para cualquier sistema de unidades. Por esta razn, las ecuaciones fundamentales de la fsica son dimensionalmente homogneas, de manera que todas las relaciones deducidas a partir de estas ecuaciones tambin deben ser dimensionalmente homogneas. Qu restriccin impone esta independencia de unidades en la ecuacin? Para contestar esta pregunta, examnese la siguiente ecuacin arbitraria: Para que esta ecuacin sea dimension: rlente homognea, la igualdad numrica a ambos lados de la ecuacin debe mantenerse en todos los sistemas de unidades. Para que esto se cumpla, el cambio de escala en cada expresin debe ser el mismo durante el cambio de unidades. Es decir, si una expresin tal como yqG3 se duplica en valor numrico en el nuevo sistema de unidades, tambin deben duplicarse las expresiones x y a3. Pura que esto ocurra en todos los sistemas de unidades, es necesario que cada grupo en la ecuacin tenga la misma representacin dimensional. Como ilustracin adicional, considrese la siguiente representacin dimensional de una ecuacin que no es dimensionalmente homognea: L = T2 f T Al cambiar las unidades de pies a metros cambiar el valor del lado izquierdo sin afectar el lado derecho e invalidando la ecuacin en el nuevo sistema de unidades. En este texto, casi todas las ecuaciones consideradas son dimensionalmente homogneas. Teniendo esto en mente, examnese una forma comn de la ley de Newton, que establece que la fuerza aplicada a un cuerpo es proporcional a la aceleracin resultante. Luego, Faa El factor de proporcionalidad se conoce como masa (M). Utilizando la ley de homogeneidad dimensional, las dimensiones de masa deben ser La masa puede considerarse como la propiedad de la materia que resiste la aceleracin. Por consiguiente, es posible escoger la masa como una dimensin bsica y, en consecuencia, la fuerza sera una entidad dependiente dada dimensionalmente a partir de la ley de Newton como 8 y el sistema bsico de dimensiones sera masa (M), longitud (L), tiempo (T), y temperatura (61). 25. NOCIONES FUNDAMENTALES 1.5 UNA NOTA SOBRE FUERZA Y MASA En unidades USCS, la cantidad de masa que se acelera a una tasa de 1 pie/s2 bajo la accin de 1 lbf de acuerdo con la ley de Newton se define como slug. La libra-fuerza puede definirse en funcin de la deformacin de un cuerpo elstico, como un resorte en condiciones de temperatura preestablecidas. Desafortunadamente, tambin es de uso comn una unidad de masa estipulada de manera independiente de la ley de Newton y que proviene de la ley de atraccin gravitacional, en la cual se establece que la fuerza de atraccin entre dos cuerpos es proporcional a su masa, la misma propiedad de la materia de la ley de Newton. Por consiguiente, la libra-masa (lbm) se define como la cantidad de materia que es halada hacia abajo en la superficie de la Tierra por la gravedad terrestre con 1 lbf. Por tanto, se han formulado dos unidades de masa debido a dos acciones diferentes y, para relacionarlas, estas unidades deben someterse a la misma accin. Luego, puede tomarse la libra-masa y ver qu fraccin o mltiplo de sta se acelerar a 1 pie/? bajo la accin de 1 Ib de fuerza. Esta fraccin o mltiplo representar el nmero de unidades de libras-masa que son fsicamente equivalentes a 1 slug. Se encuentra que este coeficiente es g,, donde g, tiene el valor correspondiente a la aceleracin de la gravedad en una posicin sobre la superficie de la Tierra donde se estandariz la libra-masa*. El valor de g, es 32.2, con 3 cifras significativas. Luego, se llega a la siguiente relacin de equivalencia: 1slug 5 32.2 Ibni (1.0 iCmo entra el peso en este esquema? El peso se define como la fuerza de gravedad sobre un cuerpo. Su valor depender de la posicin del cuerpo con relacin a la superficie de la Tierra. En un lugar sobre la superficie de la Tierra donde se estandariz la libra-masa, una masa de 1 Ibm tiene un peso de 1 Ibf; pero al incre- mentar la altitud, el peso ser menor que 1 lbf. Sin embargo, la masa permanece siempre igual a una libra- masa. Si la altitud no es muy grande, la medida de peso, en libras-fuerza, ser prcticamente igual a la medida de la masa, en libras-masa. Por consiguiente, es una desafortunada prctica de ingeniera pensar errneamente que el peso en posiciones diferentes a la superficie de la Tierra es igual a la medida de la masa y, del mismo modo, utilizar el smbolo W para representar libras-masa y libras-fuerza. En esta poca de cohetes y misiles, es necesario ser cuidadoso con el uso correcto de las unidades de masa y de peso en todo el texto. Si se conoce el peso de un cuerpo en algn lugar, puede determinarse su masa fcilmente, siempre y cuando se conozca la aceleracin de la gravedad g en ese punto. Luego, de acuerdo con la Ley de Newton, Por consiguiente, W(Ibf) = M(slugs)g(pie/s2) W( Ibf) M(sl11gs) = - - g(pie/s) (1.2) En el sistema USCS hay dos unidades de masa, que son el slug y la Ibm. En contraste, las unidades SI utilizadas por mucha gente involucran dos unidades defuerza, como se ver a continuacin. La unidad bsica para la masa en SI es el kilogramo que es la cantidad de masa que se acelerar 1 m/s2 bajo la accin de una 2 La notacin gC tambin se usa extensivamente para esta constante. 26. PRINCIPIOS B.kSICOS DE MEChICA DE FLUIDOS-__ fuerza de 1 N. Desafortunadamente, el kilogramo tambin se usa como una medida de fuerza, ya que es comn encontrarse con frases como el cuerpo C pesa 5 kg. Un kilogramo de fuerza es el peso medido en la superficie de la Tierra de un cuerpo A con una masa de 1 kg. En posiciones apreciablemente por encima de la superficie terrestre, el peso del cuerpo A disminuir pero su masa permanecer constante todo el tiempo e igual a 1 kg. Por consiguiente, el peso en kilogramos es numricamente igual a la masa en kilogramos slo en la superficie de la Tierra donde la aceleracin de la gravedad es 9.806 m/s. Debe tenerse cuidado, por consiguiente, al usar el kilogramo como una medida de peso. En este texto se emplear nicamente el newton, el kilonewton, etc., como la unidad para fuerza. iCul es la relacin entre el kilogramo fuerza y el newton fuerza? Esto se establece fcilmente cuando se hace la siguiente observacin: 1 N acelera 1 kg de masa 1 m/s2 1 kg fuerza acelera 1 kg masa 9.806 m/s2 Es claro que 1 kg fuerza equivale a 9.806 N. Adems, un newton equivale aproximadamente a un quinto de libra. t Eje de velocidad Figura 1.3 Flujo paralelo bien ordenado. iCul es la masa M de un cuerpo que pesa W newtons en un lugar donde la aceleracin de la gravedad es g metros por segundo cuadrado? Para esto solamente se necesita utilizar la ley de Newton, Luego, En este libro se utilizan ambos sistemas de unidades, pero con mayor nfasis en las unidades SI. 1.6 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON: EL COEFICIENTE DE VISCOSIDAD (1.3) Una propiedad muy importante se introducir como consecuencia de la ley de viscosidad de Newton. Para un flujo bien ordenado 3 en el que las partculas de fluido se mueven en lneas rectus y parulelas (flujo paralelo), la ley estabiece que para ciertos fluidos conocidos comoflfluidos newtonianos, el esfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la direccin de flujo es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad con 10 3 Tal flujo, conocido como laminar, se encuentra libre de fluctuaciones macroscpicas de velocidades. Esto se estudiar en detalle en el captulo 9. 27. NOCIONES FUNDAMENTALES respecto a la distancia, donde la diferenciacin se toma en una direccin normal a la interfaz. Matemticamente se establece como La figura 1.3 puede explicar con ms detalle esta relacin. Se escoge un rea infinitesimal en el flujo que sea paralela al eje de velocidad horizontal, como se muestra. Se dibuja la normal ~t a esta rea y se grafican las velocidades del fluido en puntos a lo largo de la normal, formando de esta manera un perfil de velocidad. La pendiente del perfil hacia el eje II en la posicin correspondiente al elemento de rea es el valor dV/&z, el cual se relaciona, tal como se plante anteriormente, con el esfuerzo cortante 7 presente en la interfaz. Tabla 1.2 Propiedades de lquidos comunes a 1 atm y 20C Lquido Viscosidad /.L kg ! (m *s) slug / (pie *s) Mbdulo dc elasticidad Viscosidad cinemtica u volumtrica K Tensin superficial o ~__ __- mls pie / s GPa Ib / pulg2 N Im ll3 / pie Alcohol (etlico) Gasolina Mercurio Aceite (Lubricante) ApI Al insertar el coeficiente de proporcionalidad en la ley de viscosidad de Newton se llega al resultado (1.4) donde /i se conoce como el coejiciente de viscosidad, el cual tiene dimensiones (F/L)T o MILT. En el sistema de unidades cgs, la unidad de viscosidad es el poise, que corresponde a 1 g/cms. El centipoise es l/lOO de un poise. La unidad SI para la viscosidad es 1 kg/ms. sta no tiene un nombre en particular y es 10 veces mayor que el poise, como se deduce utilizando las unidades bsicas. En el sistema USCS, la unidad del coeficiente de viscosidad es 1 slug/pies y en el sistema SI no tiene nombre. En la tabla 1.2 se presentan los coeficientes de viscosidad para lquidos comunes a 1 atm y 20C de temperatura. Las caracters[rcas de viscosidad tambin se presentaron en la figura B. 1 del apndice para cierto nmero de fluidos importantes. Como se estableci previamente, la viscosidad no depende en gran medida de la presin. Sin embargo, en la figura B.l se observa que la viscosidad de un lquido disminuye con un aumenfo en la temperatura, mientras que en un gas curiosamente ocurre lo contrario. La explicacin de estas tendencias es la siguiente: en un lquido las molculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre las molculas. Esto se manifiesta en la propiedad del fluido que se ha llamado viscosidad. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesin entre las molculas (en promedio, se apartan ms) y existe un decrecimiento en la pegajosidad del fluido, es decir, un descenso en la viscosidad. En un gas las $1 molcculas tienen una gran movilidad y generalmente estn apartadas pues, en contraste con un 28. PRINCIPIOS ~Asrcos DE MECANICA DE FLUIDOS lquido, existe poca cohesin entre ellas. Sin embargo, las molculas interactan chocando unas con otras durante sus movimientos rpidos. La propiedad de viscosidad resulta de estos choques. Para ilustrarlo, considrense dos paquetes adyacentes pequeos pero finitos de fluidos A y B en el tiempo t en un flujo simple y paralelo de un gas de la clase que se estudi al comienzo de esta seccin. Esto se muestra en la figura 1.4. Como puede verse en el diagrama, el paquete A se mueve ms rpido que el paquete B. Esto significa que, en promedio, las molculas dentro del paquete A se mueven ms rpido hacia la derecha que las molculas dentro n, Perftl de velocidades Figura 1.4 Flujo paralelo de un gas en el tiempo t. del paquete B. Adems del movimiento promedio de las molculas, existe tambin una migracin aleatoria de molculas desde el paquete A hacia el paquete B a travs de su interfaz y viceversa. Considrese primero la migracin desde A hasta B. Cuando las molculas A se mueven hasta B, habr algunos choques entre las molculas A y las molculas B. Debido a que las molculas A, en promedio, se mueven mas rpidamente en la direccin x que las molculas B, existir una tendencia a acelerar las molculas B en la direccin X. Esto significa que existir una tendencia macroscpica a que el paquete B se acelere. Desde el punto de vista del continuo, parecer como si existiera un esfuerzo cortante r en la cara superior de B que acelera a B. Esto se muestra en la figura 1.5. Mediante una accin similar, las molculas lentas que viajan desde B hasta A tienden a desacelerar el paquete A. Macroscpicamente esto puede considerarse como el resultado de un II 1 ! x Figura 1.5 Esfuerzo cortante en los paquetes A y B. esfuerzo cortante 7 sobre la interfaz inferior A. Tales esfuerzos sobre los otros paquetes de fluido 12 donde existe una variacin macroscpica de velocidad con respecto a la posicin producen la pegajo- Sihd del OR9 2 V,, tlll-l,n ,-Ctn ,,l-i&,,2 19 lW,W&dd ~Wt-WW~~iP~Cl= X~iCPnQ~~O~ A rn~~4;rl.x ~I,P 1~ 29. NOCIONES FUNDAMENTALES temperatura es mayor, la tendencia de las molculas a la migracin ser mayor, y por consiguiente 5 ser mayor para este caso simple, debido a que se esperarn ms colisiones de molculas de A viajando hacia B, y viceversa. Esto producir una mayor pegajosidad y, por consiguiente, una mayor viscosidad. En resumen, la viscosidad de un lquido ocurre por la cohesin de molculas. Esta cohesin y, por tanto, la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta. Por otra parte, la viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las molculas. Este movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que la viscosidad aumenta con la temperatura. Nuevamente se nota que la presin tiene solo un efecto pequeo sobre la viscosidad y, por lo general, ste no se toma en cuenta. La variacin de la viscosidad de los gases con la temperatura puede aproximarse por alguna de las siguientes dos leyes conocidas, respectivamente, como la ley de Sutherlund y la ley de potencia, como sigue: Ley de potencia (1.6) (1.5) donde p0 es una viscosidad conocida a una temperatura absoluta T0 y donde S y TZ son constantes determina- das mediante el ajuste de una curva. Ntese que T es la temperatura absoluta a la cual est evalcndose 1. Para determinar la viscosidad de los lquidos, se utiliza la siguiente f6rmula simple: p =/LI~-~ (1.7) donde A y B son constantes encontradas nuevamente al ajustar datos a una curva para un lquido particular. Al retornar el anlisis general de viscosidad, puede indicarse que la mayor parte de los gases y de los lquidos simples son fluidos newtonianos y por consiguiente se comportan de acuerdo con la ley de viscosidad de Newton en las condiciones esbozadas. Pastas, lodos, grasas y polmeros de alta densidad son ejemplos de fluidos que no pueden considerarse como newtonianos. Existe una ley de viscosidad ms general, conocida como ley de viscosidad de Stokes, que se aplica a flujos de fluidos newtonianos considerablemente ms generales que los tratados en esta seccin. Esto se examinar en el captulo 10. Sin embargo, en aplicaciones como problemas de lubricacin de rodamientos se permite no tener en cuenta la curvatura de flujo y utilizar la ley relativamente simple de viscosidad de Newton; esto se debe a que el espesor de la pelcula de lubricacin es muy pequeo comparado con el radio del rodamiento. Por consiguiente, los dominios de los flujos que tienen dimensiones comparables al espesor de la pelcula involucran cambios muy pequeos en la direccin de flujo y puede considerarse como si en estos dominios elflujo fuera puruZeZo4, permitindose el uso de la ley de viscosidad de Newton (para fluidos newtonianos). Adems, en flujo de fluidos reales (los cuales siempre tienen alguna viscosidad), en contraste con flujos hipotticu- 4 Una explicacin intuitiva para esto puede obtenerse al notar que al observar una regin pequea alrededor de uno mismo, donde la dimensin de esta regin es mucho menor que el radio de la Tierra, no se siente la curvatura total de la Tierra en el lugar donde se encuentra parado. .:.. ..j_ 30. PRINCIPIOS BASICOS DE MEChICA DE FLUIDOS mente sin friccin, o flujos no viscosos, el fluido en contacto con una frontera slida debe pegarse a tales fronteras y, por consiguiente, debe tener la misma velocidad de la frontera 5. Colmete Figura 1.6 Eje que rota en un cojinete lubricado. Por ejemplo, considrese el eje A de la figura 1.6 como una seccin transversal que rota con una velocidad o rad/s dentro de un cojinete de un rodamiento, con una pelcula delgada de aceite de espesor e separando los cuerpos. En este caso, puede aproximarse el perfil de velocidad, debido a que e es muy pequeo comparado con el radio, como un per@ Zineal, como se muestra en el diagrama. El esfuerzo cortante sobre todas las interfaces de aceite perpendiculares a las lneas radiales puede darse como: D= , Pellcula de aceite 0.1 mm Figura 1.7 Figura 1.8 Cilindro A que se desliza dentro de un tubo lubricado. Perfil lineal de velocidad en una pelcula. .xst 5 En flujos con velocidades muy altas iguales a 5 o ms veces la velocidad del sonido puede existir un deslizamiento de los fluidos reales con respecto a las fronteras slidas, los cuales se conocen comopujos deslizantes. 31. NOCIONES FUNDAMENTALES Estos problemas se examinarn en tareas. Ahora, considrese un problema de una pelcula de aceite con flujo paralelo real. Ejemplo 1.1. Un cilindro slido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura 1.7. El cilindro es perfectamente concntrico con la lnea central del tubo con una pelcula de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de viscosidad del aceite es 7 x 1O-3 N *s/m2. Cuti es la velocidad terminal V, del cilindro, es decir, la velocidad constante final del cilindro? Ignore los efectos de presin del aire. Se supone un perfil de velocidad lineal en la pelcula de aceite, como se muestra en la figura 1.8. El valor de IV/dn necesario en la ley de viscosidad de Newton ser: dV V - O -= an - = 10,000v s 0.ooo 1 (4 El esfuerzo cortante T sobre la pared del cilindro es 8V 7 = p- = (7 x 10~ )(lo,ooov) = 7ov Pa nt1 (b) Ahora, puede igualarse el peso del cilindro con la fuerza viscosa en la condicin de equilibrio que se obtiene cuando el cilindro alcanza su velocidad terminal V,. As, w = (T)(?TD)(L) Cc) :_ (2.5)(9.81) = (70v,)(~)(0.073x)(0.150) Se obtiene para V,: V, = 10.07 m/s (4 Si se divide ,LI por.p , la densidad de masa, se obtiene lo que se conoce como viscosidad cinemdtica6. Esta propiedad se denota como v y tiene dimensiones Llt, como puede verificarse. En el sistema cgs, la unidad se conoce como stoke (1 cm2/s) y en el sistema SI, la unidad es 1 m*/s, que obviamente es lo4 veces el stoke. En el sistema USCS, la unidad bsica es 1 pie2/s. La viscosidad cinemtica es independiente de la presin para lquidos; sin embargo, para gases v depender de la presin. La dependencia de v con respecto a la temperatura para presin atmosfrica se muestra en la figura B.2 del apndice. 1.7 UNA NOTA SOBRE MATERIALES NO NEWTONIANOS El estudio de la respuesta de los materiales a esfuerzos se conoce como reologu. En este contexto, el fluido newtoniano es un material viscoso. Los fluidos no newtonianos tambin son materiales viscosos en los cuales el esfuerzo cortante est relacionado con la tasa de corte, dV/dy, en una forma ms complicada. La ley de potencia es una forma de describir el comportamiento de materiales viscosos, Para flujos paralelos est dada como: (1.8) Usualmente la viscosidad en s se conoce como viscosidad absoluta o dinmica, para diferenciarla mejor de la vis- 15: cosidad cinemtica. 32. PRINCIPIOS BkSICOS DE MECANICA DE FLUIDOS Para un fluido newtoniano k = p y FZ = 1. Para otros valores de n se tendra un fluido no newtoniano. Un fluido no newtoniano cuyo comportamiento se describe mediante la ecuacin (1.8) con n c 1 se conoce como pseudoplstico; este nombre se origina porque con el incremento de la tasa de corte, dV/dy, existe una curiosa disminucin en la viscosidad efectiva. Es decir, con un incremento en la tasa de corte el lquido se adelgaza7. En la figura 1.9 se muestra la curva esfuerzo-tasa de corte. Muchos lodos no newtonianos son pseudoplsticos. Por otra parte, si n > 1, el fluido se conoce como dilatante; aqu el fluido se engruesa con un aumento en la tasa de corte. Adems, existen los llamados materiales lineales de Bingham, donde, como se describi en la seccin 1.2, se presenta nicamente un desplazamiento finito para un esfuerzo cortante menor que un valor zI y para el cual existe un comportamiento viscoso newtoniano cuando el esfuerzo cortante es mayor que t 1. Este comportamiento se muestra en la figura 1.9. La ecuacin correspondiente es dV Esfuerzo cortante 71 Material lineal de Bingham Tasa de esfuerzo cortante i i @ dy Figura 1.9 Comportamiento reolgico de algunos materiales viscosos. Finalmente, cabe indicar que muchos materiales poseen una combinacin de caractersticas viscosas y elsti- cas, por lo que se conocen como materiales viscoelsticos*. Por ejemplo, los plsticos a temperatura ambiente y bajo carga son viscoelsticos. Aun con esta lista abreviada de comportamiento de materiales, debe quedar claro que existe un amplio rango de posibles caractersticas de los materiales que va ms alla de los casos familiares simples usualmente estudiados en cursos introductorios de fluidos y de slidos. En este texto, como se indic, se restringe el estudio a fluidos newtonianos y se emplea la definicin de un fluido (en contraposicin a la de un slido) dada en la seccin 1.2. Es decir, la curva pseudoplstica cae continuamente mucho ms abajo que las de un fluido newtoniano, como puede observarse en la figura 1.9. &$f * Vase 1. H. Shames y F. Cozzarelli, Elastic and Inelastic Stress Analysis, captulo 7. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. : N.J., 1992. 33. NOCIONES FUNDAMENTALES 1.8 EL GAS PERFECTO: ECUACIN DE ESTADO Si se presume que las molculas de un lquido tienen un efecto mutuo causado solo por choques perfectamente elsticos, entonces la teora cintica de gases indica que para tal fluido, conocido como gas perfecto, existe una frmula simple que relaciona la presin, el volumen especfico y la temperatura absoluta. Esta relacin, conocida como ecuacin de estado, tiene la siguiente forma para un gas perfecto en equilibrio: pl = RT (1.10) donde R, la constante de gas, depende nicamente del peso molecular del fluido, v es el volumen especfico (volumen por unidad de masa) y T es la temperatura absoluta. Los valores de R para diferentes gases a baja presin se dan en la Tabla B.3 del apndice. En la realidad, el comportamiento de muchos gases, como aire, oxgeno y helio, se aproxima bastante al de un gas perfecto en la mayor parte de las condiciones y, por consiguiente, puede representarse con bastante precisin mediante la anterior ecuacin de estadog. Debido a que la esencia del gas perfecto es la ausencia completa de atraccin intermolecular, los gases cerca de condiciones de condensacin se desvan mucho del comportamiento de un gas perfecto. Por esta razn, el vapor, el amonaco y el fren a presin atmosfrica y a temperatura ambiente y, adems, el oxgeno y el helio a presiones muy elevadas, no pueden considerarse como gases perfectos en muchos clculos. Existen otras ecuaciones de estado diferentes de la de los gases perfectos, pero no tienen la sencillez y el rango de la ecuacin anterior. Debe hacerse nfasis en que todas estas relaciones se desarrollaron para fluidos en equilibrio mecnico y trmico macroscpico. En esencia esto significa que el fluido como un todo no tiene movimiento acelerado relativo a un marco de referencia inercia1 y se encuentra libre de transferencias de calor. El trmino p en la anterior ecuacin de estado y en otras ecuaciones similares se conoce como presin. Sin embargo, debido a la naturaleza de equilibrio de esta propiedad, como se utiliza en las ecuaciones de estado, se emplea el trmino presin termodinmica para diferenciarla de cantidades que involucran situaciones dinmicas. Las relaciones entre presin termodinmica y los conceptos de no equilibrio se estudiaran en los captulos 2 y 9. En la seccin ll .2 se analiza con ms detalle el gas perfecto. 9 Probablemente usted ya ha utilizado la ley del gas perfecto para casos especiales en su curso de qumica. Luego, la ley de Charles para presin constante, utilizando la ecuacin (l.lO), se convierte en Luego, . . P 1 ~ = const = ~ R 1 I = (const)T :. I cx T Esto significa que el volumen especfico v es directamente proporcional a T. Tambin la ley de Boyles se aplica para temperatura constante. Luego, de la ecuacin (l.lO), JI! = RT = const El volumen especfico de un gas vara inversamente con la presin. Para una masa de gas dada puede remplazarse el volumen especfico, en las ecuaciones anteriores, por el volumen V del gas. 34. PRINCIPIOS B,hICOS DE MEChICA DE FLUIDOS Ejemplo 1.2. Se mantiene aire a una presin de 200 kPa y a una temperatura de 30C en un tanque de 500 L. Cul es la masa del aire? Puede utilizarse la ecuacin de estado con la constante del gas, R, igual a 287 N.m/(kg.K) y resolver para el volumen especfico v. Luego, [(200)( IOOO)]~ = (287)(273 + 30) .. 1 = 0.435 m,kg Y 2pies L- -50 p i e s - ~~ A 7,I 4 1 ple B X E 1 x Figura 1.10 Can de aire. La masa del aire puede calcularse en la siguiente forma: /&L [SOO/ 1OOO] = 1.149 kg 1 0.435 El siguiente ejemplo, marcado con asterisco, es un problema interesante, aunque con cierto grado de dificultad, que involucra un aparato utilizado durante muchos aos por la Armada de los EE.UU. *Ejemplo 1.3. Un cuon de aire se utiliza para probar la habilidad de aparatos pequeos que soportan acele- raciones altas. Un pistn flotante A, sobre el cual se monta el aparato a probar, se mantiene en la posicin C y la regin D se llena con aire altamente comprimido (figura 1.10). En principio, la regin E se encuentra a presin atmosfrica pero aislada por completo del exterior. Cuando se dispara, un mecanismo de soltado rapido deja libre el pistn y ste acelera con rapidez hacia el otro extremo del can, donde el aire atrapado en E acolchona el movimiento de manera que el pistn eventualmente empezar a devolverse. Sin embargo, cuando empieza el movimiento hacia atrs, la alta presin desarrollada en E se libera a travs de la vlvula F y el pistn se devuelve slo una pequea distancia. Supngase que el pistn y el especimen de prueba tienen una masa de 2 lbm y la presin manomtrica inicial en la cmara D es de 1,000 lb/pulgz. Calcule la velocidad del pistn en la mitad del recorrido del can de aire si se hace la suposici6n simple de que el aire en D se expande de acuerdo con pv = const (es decir, expansin isoterma para la cua! puede utilizarse la ley de Boyle) y que el aire en E se comprime de acuerdo con pv = conW. Inicialmente, para este fluido tome v en D como 0.207 piesVbm y u en E igual a 13.10 pies3/lbm. Ignore la inercia del aire y la friccin. La fuerza sobre el pistn resulta de las presiones en cada una de las caras y puede demostrarse que esta fuerza es una funcin de x. Luego, examinando la presin pD primero, de las condiciones iniciales se tiene: ( pr+,,),, = [( 1000 + 14.7)( 144)](0.207) = 30,300 pies Ibf/lbm (4 18 Io En el problema 1.30 se supone que no existe transferencia de calor durante la expansin y la compresin (un modelo ms real). Como se aprender posteriormente, para este caso la ecuacin de estado se convierte en pvt= const, donde k es una constante. 35. NOCIONES IWNLMh4ENTALES Adicionalmente, la masa de fluido D dada como M, se determina de los datos iniciales como 0 1'M,,= iv;- = 1'1) 0 0.207 (b) donde (V,), indica el volumen inicial del gas en D. Retornando a la ecuacin (a), para pD en cualquier posicin n del pistn se tiene que 30,300 30,300 30,300 P1>=-= -= 1'11 "l,/MLl r( A+/M,, 293,000 .'. P = x ibf/ pie: De modo similar, puede obtenerse pE como una funcin de x. Luego, ( P~,~~J,, = (14.7)(144)( 13.10) = 27,700 pies Ibf/lbm Y ( l. >,, (4fqd)___ = ME = (l.,..),) = 2.88 Ibm 13.10 Luego, 27,700 27,700 27,700 P/{ = L'I, "k /M, - (7&)(50 -x)/2.XK 101,600 .. Pr: = s(, _ y Ihf/piez Cc) Ahora, puede escribirse la ley de Newton para este caso. Utilizando V sin subndice como la velocidad, se obtiene: d2V d" 293,000 101,hOO Mdl=Mdu= ___-___ (4 X so - x donde M es la masa del pistn y su carga, Se deja al lector el trabajo de separar las variables e integrar la ecuacin diferencial. La constante de integracin se evala notando que cuando n = 2 pies, V = 0. En x = 25 pies, se encuentra que V= 4120 pies/s 1.9 COMPRESIBILIDAD DE LQUIDOS; TENSIN SUPERFICIAL En la seccin precedente se estudi la compresibilidad de un gas perfecto por medio de la ley del gas perfec- to. Anteriormente se indic que los lquidos presentan slo una ligera compresin bajo presin. A pesar de que esta compresibilidad de los lquidos es pequea, algunas veces es importante. Por ejemplo, puede serlo para presiones muy altas. Tambin, en acstica bajo el agua (sonar) la compresibilidad del agua .z rotado arbitrariamente con respecto al sistema xyz. En una forma similar puede calcularse el esfuerzo cortante en la direcci6n s sobre una interfaz con una direccin normal n (vase la figura 2.3). Luego, si arr, aV y a IL son los cosenos directores para la direccin s, puede decirse, utilizando la ley de Newton que 42 Nuevamerite, se ha expresado el lado derecho de la ecuacin anterior en forma de una matriz de esfuerzos. 59. ESFUERZO EN UN PUNTO Igual que antes, puede considerarse la direccin n de la interfaz como la del eje x y la direccin s tangente a la interfaz como la del eje z. Luego, para rXxt, asociado con el sistema de referencia xyz, que se encuentra rotado con respecto a xyz,puede decirse al remplazar n por x y s por z en la ecuacin (2.6), que Pueden formarse relaciones similares para 7xx,. y 7zy. Luego, se concluye que una vez que se han establecido los esfuerzos asociados con el sistema de referencia xyz, puede encontrarse cualquier esfuerzo sobre una interfaz en el punto; en particular, pueden calcularse los esfuerzos cortantes correspondientes al sistema de coordenadas xyz en el punto. Conociendo las nueve componentes del esfuerzo para las coordenadas xyz pueden calcularse las nueve componentes del esfuerzo para las coordenadas nyt, rotadas arbitrariamente con respecto a xyz, haciendo uso de las ecuaciones de transformacin precedentes [(2.2) y (2.6)]. Puede decirse que cualquier conjunto de nueve componentes que se transforman de acuerdo con las ecuaciones precedentes, cuando se produce una rotacin de ejes, es un tensor de segundo orden. Las nueve componentes escalares de un tensor de esfuerzo usualmente se representan mediante la siguiente matriz, donde el primer subndice es comn para una fila dada y el segundo es comn para una columna dada5: Siempre que sea posible ignorar los efectos viscosos, existe una clara ventaja de manejar una sencilla distribucin escalar de presiones en lugar de un campo tensorial obviamente ms complejo. Las soluciones analticas para flujos viscosos so11 posibles para problemas relativamente simples. En particular en este campo de la mecnica de fluidos, es muy importante basarse en informacin experimental y en mtodos numricos. Las ecuaciones (2.2) y (2.6) para un fluido viscoso son las mismas que describen los esfuerzos en cualquier medio continuo. 2.6 PROPIEDADES DE ESFUERZO Considrese la placa vertical cargada por fuerzas en el plano de la placa que se muestra en la figura 2.4. La placa se encuentra en equilibrio. ste es un caso de esfuerzo plano, como puede recordarse, donde solamente los esfuerzos Ti, 7, zyx y zV son diferentes de cero. En la figura 2.5 se muestra el diagrama de cuerpo libre del elemento de la placa que aparece en la figura 2.4. Ahora se toman momentos alrededor de las Direccibn ? de la gravedad t Lad?* I 0 --.__ * Figura 2.4 z Placa en equilibrio; esfuerzo plano. - - .::i:.: I:... :j/ :.,f::i,:i,;, 5 Los subndices i y j dados aqu se conocen como ndices libres que tienen todas las permutaciones posibles de x, y i::$$..i: y z, como se representa en la expresin entre corchetes. ,j. .:..:: .:.. .:..:. 60. PRINCIPIOS BhICOS DE MF.ChCA DE FLUIDOS I I t dx 7XY 4 J= & , )T pgdc TXY + TYx x.x t ?YY Figura 2.5 Paraleleppedo rectangular infinitesimal. esquinas del elemento y la suma se iguala a cero. Los esfuerzos normales y la fuerza de gravedad dan contribuciones de segundo orden a los momentos y se cancelan en el lmite. Inicialmente puede concluirse que Txy = T yx y en segundo lugar, que los esfuerzos cortantes sobre el elemento infinitesimal deben apuntar hacia o desde una esquina. sta es la propiedad de complementariedad de esfuerzo cortante deducida en cursos de resistencia de materiales. Si no existe un estado de equilibrio, los trminos de inercia, al igual que la fuerza de cuerpo, contribuyen solo con trminos de segundo orden que se cancelan en el lmite. Las conclusiones obtenidas anteriormente se mantienen. stas pueden extrapolarse a tres dimensiones 6 donde z = =q Y TX< = u* Nuevamente estos esfuerzos, como se muestra en la figura 2.1, deben apuntar hacia o a par& de los bordes del paraleleppedo rectangular infinitesimal. En el caso de un fluido, el hecho de que el paraleleppedo rectangular infinitesimal se encuentra en proceso de deformacin, no cambia las anteriores conclusiones acerca del esfuerzo cortante en el instante en el cual el elemento es un paraleleppedo rectangular. Los trminos que involucran la tasa de deformacin, como la fuerza de cuerpo y el t&mino de inercia, introducen solamente contribuciones de segundo orden en la ecuacin de movimiento alrededor de las esquinas del elemento. Por tanto, la propiedad de complementariedad de esfuerzo cortante aprendida en resistencia de materiales se mantiene parafluidos viscosos. Considerese ahora una segunda propiedad importante del tensor de esfuerzos. Al sumarlas ecuaciones (2.3) a (2.5), puede demostrarse que la suma de cualquier conjunto de esfuerzos normales ortogonales en un punto (se conoce como traza del tensor) tiene un valor nico independiente de la orientacin de los ejes X, y y z en el punto. Un tercio de esta cantidad, es decir, el esfuerzo normal promedio, algunas veces se conoce como esfuerzo volumtrico y est dado como = &,, + T,, + Tz2) (2.9) Como el esfuerzo volumtrico no tiene propiedades direccionales, es una cantidad escalar. Existen otras agrupaciones de componentes de esfuerzo que son independientes de la orientacin de los ejes en un punto, pero el uso de estas relaciones est por fuera del alcance del texto. 44 6 Una prueba rigurosa puede obtenerse ms adelante en el texto resolviendo el problema 7.46. 7 Vase nota de pie de pagina 2. 61. ESFUERZOENUNPUNTO Ahora se relacionar la presin termodinmica, un concepto de equilibrio, con el esfuerzo, un concepto no restringido a condiciones de equilibrio. En el caso de un fluido no viscoso, se demostr en la seccin 2.4 que todos los esfuerzos normales en el punto son iguales y consecuentemente deben ser iguales al esfuerzo volumtrico. Adems, puede demostrarse en forma general que para un fluido de este tipo, la magnitud del esfuerzo volumtrico es igual a la presin termodinmica. Como ~610 son posibles esfuerzos normales negati- vos en un fluido, la expresin matemtica de esta equivalencia est dada como Utilizando la teora cintica de gases, Chapman y Cowling han demostrado que esta relacin es correcta para un gas perfecto. Para el caso de gases reales, la anterior relacin no es vlida cuando el gas se aproxima al punto crtico. Como la mayor parte de gases reales no se aproximan a esta condicin extrema, la relacin simple dada se utilizar en este texto para todos los casos reales. Finalmente, la experiencia indica que esta relacin puede utilizarse con confianza para lquidos excepto cuando estn muy cercanos al punto crtico. 2.7 EL GRADIENTE Se ha demostrado cmo los fluidos estticos o sin friccin tienen distribuciones de esfuerzos dadas por el campo escalar p. Ahora se demostrar cmo un campo escalar puede generar un campo vectorial con significado fsico. Para esto, considrese un paraleleppedo infinitesimal rectangular de fluido en el tiempo t, en un fluido sin friccin o esttico, como se muestra en la figura 2.6. Primero desea calcularse la fuerza Figura 2.6 Variacin de la presin en la direccin n. resultante por unidad de volumen sobre este elemento a partir de la distribucin de presiones. Para este propsito, tambin se muestra un sistema de referencia con planos paralelos a las caras del elemento de fluido. El vrtice del elemento ms cercano al origen se toma como el punto X, y, z. La presin en este punto es p. Sobre la cara 1 del elemento acta una presin que puede representarse como dP a!x ap dz p,=p+---+-- az 2 y se obtiene considerando variaciones lineales de la presin en todas las direcciones en las cercanas del punto X, y, z y calculando la presin de esta forma en el centro de la cara 19. La cara 2 se localiza a una distancia 8 S. Chapman y T. G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-Unifornz Gases, Cambridge University Fress, New York, 1953. . . . :, .:.,., : .,: . . . 9 Lo que en realidad se hace es expresar la presi6n p como una serie de Taylor alrededor del punto x, y, z ,;ii;g&.j:;: y retener los t&minos que involucran solamente diferenciales de primer orden. .>,. . .:.: . ,.> ....~...,.,.:,.,... .,.... 62. PRINCIPIOS BkSICOS DE MECANICA DE FLUIDOS dy de la cara 1, de manera que la presin en ella puede considerarse igual a la presin en la cara 1 ms un incremento debido a este cambio en la posicin. Luego, puede decirse que dP dx ap dz ap P2=p+anI+zI-+-dL aY Ntese que podra expresarse el incremento de presin debido al cambio de posicin en una forma ms precisa, pero esto traera a consideracin trminos de orden mayor que desapareceran cuando se tomen lmites. Ahora, puede calcularse la fuerza neta en la direccin y utilizando las anteriores presiones. Al escoger el paraleleppedo rectangular como el cuerpo libre, ntese que pueden cancelarse los trminos de primer orden de la ecuacin p y dejar solamente los trminos de segundo orden de la misma, que dan la variacin en lo pequeo de la distribucin de presiones. Luego, ap dFY = - ;iy dxdydz De modo similar, en las direcciones x y z se obtiene: ip dt-, = - - dxdydz dP lX dFz = - z dxdydz Antes de continuar, debe anotarse que las anteriores fuerzas sobre el elemento podrfan haberse obtenido tomando las presiones en las superficies adyacentes ms cercanas al eje de referencia como iguales a p y aadiendo variaciones de primer orden a este valor para las otras caras, como se ilustra en la figura 2.7. ste es el procedimiento que usualmente se emplea en situaciones similares. Figura 2.7 Variacin de la presin en las direcciones xyz. La fuerza sobre el elemento puede expresarse entonces como: JP gi t $j + zk drdydz Luego, la fuerza por unidad de volumen es 46 dF dxdydz (2.10) 63. ESFUERZO EN UN PUNTO- Si se hubiera utilizado un elemento diferente con forma apropiada para los clculos en un sistema de coordenadas diferente, por ejemplo, coordenadas cilndricas, se habra llegado a una expresin diferente de f (como ejercicio, se pedir trabajar el caso de coordenadas cilndricas). Sin embargo, todas estas ecuaciones tienen exactamente el mismo significadofisico, es decir, la fuerza por unidad de volumen en un punto, la cual, de acuerdo con esto, es por completo independiente del sistema de coordenadas utilizado con propsitos de evaluacin. Por esta razn, se introduce un operador vectorialro, conocido como gradiente, que relaciona los campos escalares y vectoriales de modo que, para el caso presente, conduce de una distribucin de presiones p al campo vectorial f, que da la fuerza por unidad de volumen en un punto debida a la tensin en la superficie. Luego, puede decirse que f = -gradp (2.11) donde la forma del operador gradiente depende del sistema de coordenadas utilizado. En coordenadas carte- sianas, para el operador gradiente se tiene: (2.12) En transferencia de calor, el negativo del gradiente de una distribucin de temperatura T da un campo vectorial q que es el campo de flujo de calor. Luego, el gradiente de un escalar ocasiona una accin motora por unidad de volumen. En particular, -grad T ocasiona una accin motora que causa el flujo de calor y -grad p ocasiona una accin motora que causa el movimiento del fluido. En captulos posteriores se introducirn otros operadores vectoriales, como la divergencia y el rotwional, q:.~e son de gran utilidad debido a que pueden describir de manera analtica ciertos fenmenos que ocurren comnmente en la naturaleza sin necesidad de un sistema de referencia. Estos operadores se utilizan en formr extensa en campos de estudio como electricidad y magnetismo, transferencia de calor y teora de elasticidad y, a pesar de que tienen significados diferentes en cada una de estas disciplinas, existe una coincidencia considerable de significados de un tema a otro. En el estudio de mecnica de fluidos existe una imagen rmly diciente que puede asociarse con estos operadores y que por ser de uso corriente se emplear en extenso en el texto. 2.8 COLOFN En este captulo se han hecho algunas anotaciones introductorias relacionadas con campos de esfuerzos y sus propiedades. Uno de los principales objetivos en mecnica de fluidos ser evaluar la distribucin de esfuerzos y el campo de velocidad para ciertos flujos. Utilizando esto, pueden calcularse fuerzas sobre cuerpos, por ejemplo alas, dentro del flujo y predecir el comportamiento probable de mquinas. Por lo general, se requiere el uso de varias leyes bsicas para tales trabajos; sin embargo, en el siguiente captulo se determinar, solo mediante la ley de Newton, el campo de esfuerzo para un fluido esttico. En otras palabras, utilizando el lenguaje de mecnica de cuerpos rgidos, los fluidos estticos en general son estticamente determinados. Io Un operador vectorial per se est separado de sistemas coordenados hasta el instante en el cual se deseen las componentes. El operador gradiente tambin se expresa mediante el smbolo V. Por consiguiente, 47 f= -cp 64. PRINCIPIOS FLkSICOS DE MEChICA DE FLUIDOS PROBLEMAS Categorh de los problemas Problemas que involucran campos 2.1-2.4 Fuerzas y esfuerzos de tensin 2.5-2. ll Notacin de ndices (con asterisco) 2.12-2.13 Notacin de esfuerzos 2.14-2.17 Operador gradiente 2.18-2.20 Problemas con asterisco 2.12, 2.13 Deducciones y justificaciones 2.10, 2.20 2.1. Dado el campo de velocidad V(x, y, z, r) = (6xy2 + t)i +(3z + 1O)j + 2 0 k m/s con x, y, z medidas en metros y t en segundos, jcul es el vector velocidad en la posicin x = lOm,y=-1 m y z = 2m cuandor = 5 s? iCul es la magnitud de esta velocidad? 2.2, Se sabe que las componentes de velocidad de un flujo son: V, = 6xt + y2z + 15 m/s V,, = 3xy + f2 + y m/s V2 = 2 + 3ty m/s dondex, y y z estn en metros y ten segundos. Cul es el vector velocidad en la posicin (3, 2, 4) m y en el tiempo t = 3 s? iCul es la magnitud de la velocidad en este punto y en este instante? 2.3. La distribucin de una fuerza de cuerpo est dada por B = 16xi + 1Oj N/kg por unidad de masa del material en que acta. Si la densidad del material est dada por p = Y + 2z kg/m3 z 2---___= / 4,f / I i;/- / / r------r 13 / Y _1/ 4 Figura P2.3 cul es la fuerza de cuerpo resultante sobre el material de la regin que aparece en el diagrama? 2.4. Un aceite se mueve sobre una superficie plana. En el diagrama se observa este flujo desde encima. Sobre la superficie plana se desarrolla un campo de fuerza de tensin T dado por T = (6y + 3)i + (3x* + y)j + (5 + x2)k Ib/pie2 iCul es la fuerza total sobre el cuadrado de 3 x 3 pies2 de Lea que aparece en el diagrama? Figura P2.4 2.5. Los esfuerzos sobre la cara A de un paraleleppedo rectangular infinitesimal de fluido en un flu- Figura P2.5 65. jo se muestran en la figura P2.5 en el tiempo t. Cul es el vector de tensin para esta cara en el instante indicado? ~Qu podra decir usted sobre los esfuerzos cortantes en las caras B y A en ese instante? 2.6. Explique por qu en hidrosttica la fuerza ej

Mecánica de fluidos irving h. shames (3ra edición) (1)

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