Lecciones de Fsica

Mecnica 1

Manuel R. Ortega Girn

Departamento de Fsica Aplicada.Universidad de Crdoba.

LeccionesLecciones dede FsicaFsica (Mecnica(Mecnica 1)1)

Novena edicin: octubre 2006

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Ninguna parte de este libro puede ser reproducida porcualquier medio, incluidas las fotocopias, sin elpermiso por escrito del autor.

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I.S.B.N. 84-404-4290-4Depsito legal: CO. 1160-1989

ii Mecnica

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, comoquiera que me aseguraban que por medio de stas se poda adquirir unconocimiento claro y seguro de todo aquello que es til para la vida, yotena un vivsimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acab el curso delos estudios, al finalizar los cules es costumbre ser admitido en lajerarqua de los doctos, cambi enteramente de opinin. Por que meencontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que mepareca no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que eldescubrir cada vez mejor mi ignorancia.

REN DESCARTES (1596-1650)El Discurso del Mtodo.

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iv Lecciones de Fsica.

Prlogo del autor

Este libro est destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades deCiencias y Escuelas Tcnicas. Durante su elaboracin he pretendido la consecucinde dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de lasasignaturas de Fsica de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar alalumno con el conjunto de los conceptos y leyes bsicas que constituyen la esenciade la Fsica y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y paraaplicarlas a situaciones concretas. Adems, creo que estas asignaturas, y muyespecialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, debenproponerse unos objetivos de cimentacin y estructuracin de los conocimientosadquiridos en los cursos de enseanza media.

A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia dela Fsica de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autnoma de Barcelonay Crdoba, he tenido ocasin de ir perfilando los programas de las asignaturas quese imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre laextensin de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada unode los temas. Durante este proceso de estructuracin y perfeccionamiento, siemprehe tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque puedenplantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedaden cuanto a sus contenidos, ... de ningn modo pueden ser una simple suma de temasinconexos o poco relacionados entre s, por muy interesantes y bien estructurados queestn cada uno de ellos. Entiendo que el propsito primario de estas asignaturas debeser dar al estudiante una visin unificada de la Fsica a travs de la compresin delos conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto ms fundamental de estaciencia.

Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, quesatisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor partede ellos son de procedencia fornea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de laproblemtica de la enseanza en nuestras Universidades. Para soslayar esteinconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios librosde texto, como complemento de los apuntes que stos tomen en clase. Sin embargo,pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando elalumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia ala consulta de otros libros de texto y de obras ms especializadas. Fruto de estaconviccin es el presente libro, que ser completado con otros tomos, preparados encolaboracin con colegas de otras Universidades espaolas, hasta cubrir los

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vi Prlogo

contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Fsica de PrimerCiclo de nuestras Facultades y Escuelas Tcnicas.

No debera considerarse esta obra como un libro ms de Fsica General, en laacepcin que tradicionalmente tiene esta denominacin, ya que tanto su nivel comosu extensin son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en loslibros de texto de tal denominacin. Mi intencin ha sido desarrollar un programa enel que tengan cabida aquellos temas de la Fsica Clsica que configuran loscontenidos de la Fsica que se ensea en los primeros cursos universitarios, en susvertientes cientfica y tcnica, prestando una atencin especial a la asignatura dePrimer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que seanapropiados a los Planes Docentes de sus Centros.

Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en elprograma de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al quenormalmente encontramos en los textos de Fsica General. De este modo, el profesorpodr graduar el nivel de sus enseanzas al de la preparacin previa de sus alumnos,evitando as que la Fsica que se ensea en los primeros cursos universitarios sea, enalgunos casos, una mera repeticin de la correspondiente al Curso de OrientacinUniversitaria.

No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compaeros quede un modo u otro han colaborado en la preparacin de este libro, muy especialmentea mis amigos y colegas los Dres. Jos A. Ibez Mengual (U. Murcia) y AlejoVidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y tiles intercambios depuntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compaeros en las tareasdocentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Bar (UAB), S. Bordas (UAB),A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. Gonzlez (U. Granada),F. Fernndez (UAB), A. Hernndez (U. Valladolid), J.I. Jimnez (U. Granada),E. Martn (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jan), L.F. Sanz (U. Valladolid),S. Suriach (UAB) y M.A. Villaman (U. Valladolid), por la buena acogida quehan dispensado a estas Lecciones de Fsica y por sus tiles comentarios ysugerencias.

Crdoba, Enero 2006.

Lecciones de FsicaMecnica 1

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viii ndice de materias.

I. 1. lgebra vectorial.2. Vectores deslizantes.3. Anlisis vectorial.4. Cinemtica de la partcula.5. Cinemtica del slido rgido.6. Principios de la Mecnica Clsica. La ley de la inercia.7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservacin de la cantidad de

movimiento.8. Las fuerzas de la Naturaleza.9. Sistemas de referencia en rotacin.

10. Trabajo y energa.11. Conservacin de la energa.12. Momento angular. Fuerzas centrales.

II. 13. Movimiento armnico simple.14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas.15. Superposicin de movimientos armnicos simples.16. Geometra de masas.17. Sistemas de partculas.18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.19. Colisiones.20. Esttica del slido rgido.21. Dinmica del slido rgido.22. Trabajo y energa en el movimiento general del sl. rg.23. Ecuaciones de Euler.24. Dinmica impulsiva del slido rgido.

III. 25. La ley de la Gravitacin Universal.26. El campo gravitatorio.27. Elementos de elasticidad.28. Elastosttica.29. Esttica de los fluidos.30. Tensin superficial.31. Cinemtica de los fluidos.32. Dinmica de los fluidos ideales.33. Dinmica de los fluidos reales.34. Flujo viscoso.

IV. 35. Ondas progresivas.36. Fenmenos ondulatorios en medios ilimitados.37. Fenmenos ondulatorios en medios limitados.38. Ondas estacionarias.39. Acstica fsica.40. Acstica musical y arquitectnica.

Apndices.

ndice de materias

Prolegmenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. La Ciencia (1); 2. La Naturaleza (1); 3. La Fsica (2); 4. Nuestra visin delMundo Natural (3); 5. El mtodo cientfico (5); 6. La ciencia como descripcin(6); 7. La ciencia como creacin (7); 8. La ciencia como comprensin (8); 9. Losmodelos (9); 10. Los conceptos fsicos (10); 11. Las ramas de la fsica (12);12. La Fsica y las otras Ciencias (13); 13. La Ciencia y la Tecnologa (14);14. La Fsica y las Matemticas (14)

VECTORES.1.- lgebra vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1. Escalares y vectores (19); 1.2. Formulacin vectorial (20); 1.3. Suma ydiferencia de vectores (21); 1.4. Producto de un vector por un escalar (22);1.5. Versores (22); 1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22);1.7. Producto escalar de dos vectores (24); 1.8. Producto vectorial de dos vectores(27); 1.9. Representacin vectorial de superficies (29); 1.10. Producto mixto detres vectores (30); 1.11. Doble producto vectorial (32); 1.12. Definicinaxiomtica del vector (32); 1.13. Cambio de base vectorial (34); 1.14. Vector deposicin. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)

2.- Vectores deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); 2.2. Momento de un vectorrespecto a un eje (42); 2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); 2.4. Invariantesdel sistema (44); 2.5. Par de vectores (45); 2.6. Eje central (46); 2.7. Centro deun sistema de vectores paralelos (47); 2.8. Sistemas de vectores equivalentes (48);2.9. Reduccin de sistemas (49); 2.10. Virial de un vector (53); 2.11. Virial deun sistema de vectores (54); 2.12. Plano central (55); 2.13. Punto central (56);Problemas (57)

3.- Anlisis vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Campos escalares y vectoriales (61); 3.2. Derivada de un vector respecto aun escalar (63); 3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65);3.4. Circulacin de un vector (66); 3.5. Flujo de un campo vectorial (69);3.6. Gradiente de un campo escalar (71); 3.7. Funcin potencial (73); 3.8. Di-vergencia de un campo vectorial (74); 3.9. Teorema de Gauss (76); 3.10. Rota-cional de un campo vectorial (77); 3.11. Teorema de Stokes (78); 3.12. Eloperador nabbla (80); Problemas (82)

CINEMTICA.4.- Cinemtica de la partcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1. Cinemtica (88); 4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88);4.3. Movimiento de la partcula (90); 4.4. Velocidad (91); 4.5. Aceleracin (93);4.6. Componentes intrnsecas de la aceleracin (95); 4.7. Triedro mvil (97);

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x ndice de materias

4.8. Discusin de algunos tipos de movimiento (98); 4.9. Velocidad y aceleracinrelativas (102); Problemas (104)

5.- Cinemtica del slido rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.1. Concepto de slido rgido (109); 5.2. Condicin cinemtica de rigidez (110);5.3. Movimiento de traslacin (111); 5.4. Movimiento de rotacin. Vectorvelocidad angular (113); 5.5. Principio de superposicin de movimientos (114);5.6. Composicin de rotaciones (115); 5.7. Movimiento rototraslatorio (117);5.8. Movimiento helicoidal (118); 5.9. Eje instantneo de rotacin y deslizamiento(119); 5.10. Teorema de Chasles (120); 5.11. Axoides. Representacin de Poncelet(121); 5.12. Aceleracin. Vector aceleracin angular (122); 5.13. Contacto entreslidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento (126); 5.14. Movimiento plano delslido rgido (127); 5.15. Base y ruleta (129); 5.16. Velocidad de sucesin del CIR(133); 5.17. Movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo (134); Problemas(136)

DINMICA DE LA PARTCULA.6.- Principios de la Mecnica Clsica. La ley de la Inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.1. Mecnica Clsica (144); 6.2. Las Leyes de la Mecnica (145); 6.3. Las leyesdel movimiento (146); 6.4. La ley de la inercia (147); 6.5. Referenciales inercialy no-inercial (149); 6.6. Buscando un referencial inercial (151);6.7. Transformacin de Galileo (154); 6.8. Principio de Relatividad de Galileo(156); Problemas (159)

7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservacin de la cantidad de movimien-to. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Fuerza (161); 7.2. Masa (163); 7.3. Segunda ley de Newton (164);7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez (165); 7.5. Sistemas de unidades mecnicas(166); 7.6. Cantidad de movimiento (168); 7.7. Impulsin (169); 7.8. Invarianciade las leyes de la Mecnica (171); 7.9. Tercera ley de Newton (175);7.10. Conservacin de la cantidad de movimiento (177); 7.11. Accin a distancia(179); 7.12. Limitaciones de la ley de la accin-reaccin (180); Problemas (182)

8.- Las fuerzas de la Naturaleza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.1. Las leyes de las fuerzas (187); 8.2. Las fuerzas fundamentales (188);8.3. Fuerzas gravitatorias (189); 8.4. Fuerzas electromagnticas (191);8.5. Fuerzas nucleares (194); 8.6. Interaccin dbil (196); 8.7. Fuerzasmoleculares (196); 8.8. Fuerzas de rozamiento (198); 8.9. Rozamiento. Estudioexperimental (199); 8.10. ngulos de rozamiento (202); 8.11. Rozamiento. Estudiomicroscpico (203); 8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos (205);8.13. Fuerzas de ligadura (206); 8.14. Fuerzas de inercia (209); 8.15. Esttica dela partcula. Principio de DAlembert (214); Problemas (216)

9.- Sistemas de referencia en rotacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.1. Movimiento relativo (222); 9.2. Velocidad (222); 9.3. Aceleracin (224);9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotacin (227); 9.5. Fuerza centrfuga(228); 9.6. Fuerza de Coriolis (231); 9.7. Movimiento relativo a la Tierra (232);9.8. Desviacin de una partcula en cada libre (235); 9.9. Pndulo de Foucault(237); Problemas (240)

10.- Trabajo y energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.1. Trabajo y energa (245); 10.2. Trabajo de una fuerza (247); 10.3. Potencia(250); 10.4. Unidades de trabajo y potencia (250); 10.5. Energa (251);10.6. Energa cintica (252); 10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas(255); 10.8. Energa potencial (259); 10.9. La energa potencial como energa deconfiguracin (264); 10.10. Teorema del virial (265); Problemas (267)

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11.- Conservacin de la energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.1. Fuerzas conservativas. Conservacin de la energa mecnica (274);11.2. Sistemas conservativos en una dimensin (276); 11.3. Discusin de curvasde energa potencial. Estabilidad del equilibrio (277); 11.4. Sistemas conservativosen dos y tres dimensiones (280); 11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones(282); 11.6. Fuerzas que dependen explcitamente del tiempo (284); 11.7. Fuerzasno conservativas (284); 11.8. Conservacin de la energa (286); 11.9. Crtica delconcepto de energa (288); 11.10. Principio de conservacin de la masa (289);11.11. Masa y energa (289); Problemas (293)

12.- Momento angular. Fuerzas centrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29712.1. Momento de una fuerza (297); 12.2. Momento angular (298); 12.3. Im-pulsin angular (300); 12.4. Conservacin del momento angular de una partcula(301); 12.5. Fuerzas centrales. rbitas planas y ley de las reas (302); 12.6. Des-cripcin del movimiento de la partcula en coordenadas polares planas (303);12.7. Movimiento producido por una fuerza central (306); 12.8. Energaspotenciales centrfuga y efectiva (311); 12.9. Anlisis de diagramas de energa(312); 12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia(315); 12.11. rbitas elpticas: Leyes de Kepler (320); 12.12. rbitas hiperblicas:El problema de Rutherford (322); 12.13. Seccin eficaz de dispersin (324);Problemas (327)

APNDICES.A.- Resultados de los problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335B.- ndice alfabtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

xii ndice de materias

Prolegmenos.

1. La Ciencia (1); 2. La Naturaleza (1); 3. La Fsica (2); 4. Nuestra visin del MundoNatural (3); 5. El mtodo cientfico (6); 6. La ciencia como descripcin (6); 7. Laciencia como creacin (7); 8. La ciencia como comprensin (8); 9. Los modelos (9);10. Los conceptos fsicos (10); 11. Las ramas de la fsica (12); 12. La Fsica y las otrasCiencias (13); 13. La Ciencia y la Tecnologa (14); 14. La Fsica y las Matemticas (14)

1. La Ciencia.- Desde la ms remota antigedad, el hombre ha sentidocuriosidad por conocer y comprender el mundo que le rodeaba. Los primerostestimonios grficos de que disponemos nos demuestran que el hombre ha estadopreocupado, desde siempre, por imponer un orden en la gran diversidad de cosas yfenmenos que observaba. En la bsqueda de ese orden, el hombre ha adoptado tresvas o actitudes: una de ellas es la Religin, otra el Arte y otra la Ciencia.

La palabra Ciencia proviene de la voz latina scientia y sta deriva del verbolatino scio que significa conocer o saber. En la actualidad, el significado que ledamos al vocablo Ciencia es ms restringido, pues ha dejado de significar meramenteun conocimiento para referirse ms especficamente al conocimiento del mundonatural y, lo que resulta ms importante, a un conocimiento metdicamente formadoy ordenado.

2. La Naturaleza.- Los antiguos se valan de dos palabras para designar elconjunto de todas las cosas: los griegos decan Cosmos () y los latinosMundus, que nosotros traducimos por Mundo. Estas voces han perdido en parte susignificacin primitiva, pues siendo en la antigedad inseparables de las ideas debelleza, ornamento y armona, en contraposicin con el Caos () que representa-ba el estado de desorden y confusin en que se encontraban las cosas en el momentode su Creacin, hoy slo designan el conjunto de las cosas que existen, enlazadasentre s en funcin de su mutua dependencia.

"Las lenguas tienen a veces expresiones felicsimas. Puede encontrarse otro apelativo queexprese, mejor que las palabras cosmos y mundo, las cuales significan orden, adorno,ornamento, la impresin experimentada por los helenos y latinos a la vista de este vastoconjunto que se mueve con extraordinaria regularidad y que despliega por la noche su mantode estrellas? En nuestras lenguas derivadas se ha perdido el significado primitivo de esos

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2 Prolegmenos.

vocablos, y el mundo, cualquiera que fuera la idea fundamental que los latinos le atribuyeran,no es hoy ms que el conjunto de las cosas del Universo."LITTR: La Ciencia bajo el punto de vista filosfico.Por otra parte, la significacin de la palabra Mundo depende de las circunstancias

en las que se aplica. Podemos designar con ella slo la Tierra, aislada del resto delUniverso, o tambin utilizarla como sinnima de Universo, esto es, como el conjuntode todas las cosas que existen.

Pero tambin utilizamos frecuentemente la palabra Naturaleza para designar elconjunto de las cosas. A veces tomamos la palabra Naturaleza como sinnima deUniverso o Mundo; otras veces damos a este vocablo una acepcin filosfica,significando con l el orden o el sistema de leyes que regulan la existencia de lascosas y sus cambios; pero tambin la consideramos como una especie de personifica-cin de la materia universal, como la potencia o fuerza activa en virtud de la cualse desarrollan en sucesin ordenada los fenmenos observables. Bajo este ltimopunto de vista la consider SCHELLING cuando escribi ...

"La Naturaleza no es una masa inerte; para el que sabe comprender su sublime grandeza, es lafuerza creadora del Universo, fuerza siempre eficiente, primitiva, eterna, que engendra en supropio seno todo cuanto existe, perece y renace eternamente."

As pues, Mundo o Cosmos, Universo y Naturaleza, son las denominaciones deque nos servimos comnmente para designar el conjunto de las cosas, de losfenmenos, de sus leyes y hasta de sus causas.

3. La Fsica.- Hemos hecho esa disquisicin sobre el significado de laspalabras Cosmos o Mundo, Universo y Naturaleza, para comprender cual es elcontenido de la Fsica. La palabra fsica () proviene del trmino griego, que significa naturaleza, y por ello la Fsica debera ser una cienciadedicada al estudio de todos los fenmenos naturales. En verdad, hasta principios delsiglo XIX se entenda la Fsica en ese sentido amplio, y se la denominaba FilosofaNatural. Recordemos que la clebre obra de Isaac NEWTON (1642-1727), publicadaen 1686, en la que se presentaban, entre otras grandes ideas, las leyes del movimientoy la ley de la Gravitacin Universal, se titulaba Principia Mathematica PhilosophiNaturalis.

Hace cinco siglos, el conjunto de todos los conocimientos cientficos era losuficientemente reducido como para que una persona pudiera estar familiarizada contodas las facetas de la ciencia. En aquellos das, era denominado como un filsofo dela Naturaleza y se dedicaba al estudio general de los fenmenos naturales. Laacumulacin de conocimientos cientficos, desde el Renacimiento hasta nuestros das,ha sido tal que este tipo de hombre ha desaparecido, y un Leonardo DA VINCI (1452-1519) o un GALILEO GALILEI (1564-1642) no se pueden dar en nuestros das.Actualmente tenemos fsicos, qumicos, bilogos, matemticos, gelogos,... y otrasmuchas designaciones para los diferentes campos de la actividad cientfica.

La restriccin del campo de la Fsica comenz, como ya decamos, a principiosdel siglo XIX, y durante ese siglo, y hasta muy recientemente, la Fsica se limit alestudio de los llamados fenmenos fsicos, definidos sin precisin alguna comoaquellos procesos que tienen lugar sin que cambie la naturaleza de las sustancias que

3.- La Fsica. 3

participan en ellos. Esta definicin ha sido abandonada gradualmente para regresaral concepto ms amplio y fundamental de antes.

La Fsica tiene como objetivo el estudio de los fenmenos naturales paraesclarecer la estructura de la realidad que nos rodea. Pero este inters por losfenmenos naturales es comn a todas las ciencias. Tambin la Qumica, la Biologao la Psicologa, por citar algunas ciencias, se interesan por los procesos reales eintentan explicarlos de un modo racional. Qu distingue, entonces, a la fsica de lasotras ciencias? Si tuviramos que responder con una sola frase diramos que

La Fsica estudia los procesos ms fundamentales de la Naturaleza.Esto no significa que la Fsica sea una ciencia ms noble que las dems, o que

el objeto de su estudio sean los fenmenos autnticamente interesantes. No hay queentender as la expresin procesos ms fundamentales que hemos empleado.Trataremos de clarificar el significado de esa expresin.

Cuando un psicoanalista estudia la neurosis de angustia, un bilogo las formasvivientes o un gelogo la formacin de un terreno, describen el comportamiento desistemas muy complejos. Manejan conceptos tales como subconsciente, protoplasmao erosin cuyo grado de precisin es limitado. Las leyes que rigen estos fenmenosno pueden ser enunciadas de forma exacta y rigurosa y difcilmente podrnexpresarse de una manera cuantitativa precisa. El fsico, en cambio, cuando estudiala interaccin entre los nucleones del ncleo atmico, o cuando intenta clasificar laspartculas elementales de acuerdo con ciertas simetras, se halla ante el lmite deelementalidad de los procesos y debe tratarlos con todo rigor, enunciando las leyesque los rigen de modo que se excluya toda ambigedad, y definiendo magnitudes quepueden ser medidas con precisin. No deja de ser interesante considerar que cuandoun bilogo estudia la vida de manera fundamental, acercndose a la base molecularde la misma, dice que hace Biofsica. En la Filosofa, la parte de ella que trata delser como tal, de sus propiedades, principios y causas primeras, recibe el nombre deMetafsica.

Ese es el significado de la fundamentalidad de un proceso. Cuando los conceptosque intervienen en l son simples y admiten una definicin rigurosa, cuando las leyesque lo rigen pueden ser enunciadas de forma exacta y las magnitudes que aparecenson susceptibles de ser medidas con precisin, diremos que el proceso es fundamen-tal, y el grado de simplicidad, exactitud y rigor de su tratamiento nos proporciona sugrado de fundamentalidad.

El fsico trata, pues, de comprender la manera en que operan los sistemaselementales de la Naturaleza. Pero no hay que pensar que "elemental" sea sinnimode "pequeo" y que el fsico est absorbido por lo microscpico dejando de lado lomacroscpico. La interaccin entre los planetas y el Sol, objetos enormes a la escalahumana, es uno de los procesos fundamentales que la Fsica ha estudiado hace siglos,y en cuyo esclarecimiento se empearon fsicos de la talla de GALILEO, NEWTON YEINSTEIN (1879-1955).

4. Nuestra visin del Mundo Natural.- En el momento actual consideramosque la materia est constituida por unas pocas clases de partculas elementales y quetodos los cuerpos, vivientes e inertes, estn formados por diferentes agrupamientosy ordenamientos de dichas partculas. De entre ese puado de partculas elementales

4 Prolegmenos.

hay tres que son especialmente importantes, por estar presentes en muchos fenmenoscomunes: el electrn, el protn y el neutrn.

Las dems partculas elementales slo tienen una vida muy fugaz, crendose ydestruyndose continuamente (son inestables) de modo que, aparentemente, noparticipan en la mayor parte de los fenmenos que observamos. Para detectarlas esnecesario recurrir a dispositivos experimentales altamente sofisticados. Sin embargo,no debemos pasar por alto su importancia; as, una de esas partculas, el mesn ,es la partcula de intercambio en la interaccin nuclear fuerte que hace posible quelos protones y los neutrones se agrupen para formar el ncleo atmico.

Para hacernos una idea de los rdenes de magnitud que utilizamos en la Fsica,diremos que la masa del electrn es 9.110-31 kg y que la del protn y la del neutrn(que son casi iguales) es 1.6710-27 kg, esto es, unas 1840 veces superior a la delelectrn.

Los electrones, protones y neutrones se agrupan para formar estructuras biendefinidas que llamamos tomos. Los neutrones y protones constituyen el ncleoatmico, de unas dimensiones del orden de 10-15 m; los electrones se muevenalrededor de ese ncleo. El radio atmico es del orden de 10-10 m. Se conocen en laactualidad 104 especies diferentes de tomos (elementos qumicos) y casi 1400variedades atmicas que reciben el nombre de istopos.

Los tomos, a su vez, se agrupan para formar molculas. Actualmente se hanidentificado varios millones de molculas distintas (compuestos qumicos) y esenmero crece de da en da con las nuevas molculas que se van sintetizando en loslaboratorios. Las distancias que separan a los tomos que forman las molculasvienen a ser del mismo orden que el radio atmico. Existen molculas constituidaspor muy pocos tomos, como las del cido clorhdrico (ClH), del agua (H2O)..., perotambin existen molculas gigantes, formadas por centenares, millares e inclusomillones de tomos, como es el caso de las protenas, de las enzimas, de los cidosnuclicos (ADN y ARN) y las de algunos polmeros orgnicos (polietileno, clorurode polivinilo, ...).

Finalmente, las molculas se agrupan para formar los cuerpos materiales, que sepueden presentar en tres estados de agregacin: slidos, lquidos y gases, aun cuandoesta clasificacin no es del todo rigurosa. Existe un cuarto "estado de agregacin" dela materia, el estado de plasma, que corresponde al de un gas fuertemente ionizado(gas de iones); la mayor parte de la materia del Universo se encuentra en este estado.

Una parte de la materia, la menos abundante, se encuentra organizada en laforma que llamamos materia viviente o protoplasma, compuesta por molculasaltamente organizadas que exhiben unas propiedades que, aparentemente, no presentala materia inerte. Encontramos la materia viviente bajo formas muy diversas, desdelas ms elementales (como los protozoos) hasta las ms complicadas y perfectas(como el ser humano). Se han descrito y dado nombre a ms de un milln deespecies diferentes que existen en nuestro planeta. El ser humano es una de lasmanifestaciones vitales ms complicadas y perfectas. Est compuesto, aproximada-mente, por unas 1016 clulas. Cada clula es una unidad fisiolgica que contiene entre1012 y 1014 tomos. Puede estimarse que el cuerpo humano est compuesto por unos1029 tomos, principalmente de carbono (C), hidrgeno (H), oxgeno (O) y nitrgeno(N).

4.- Nuestra visin del Mundo Natural. 5

La materia inerte tambin se nos presenta bajo formas muy diversas. Laacumulacin de materia forma planetas, como la Tierra, cuya masa es 61024 kg ycuyo radio es 6.3106 m. Puede estimarse que la Tierra est constituida por 1051tomos.

La Tierra, junto con ocho planetas ms (algunos de ellos gigantescos encomparacin con la Tierra), unas decenas de satlites, algunos cometas y un grannmero de cuerpos asteroideos, se mueve alrededor de una estrella de regular tamao,el Sol, de 21030 kg de masa (1057 tomos) y 7108 m de radio, constituyndose asnuestro Sistema Solar. Podemos estimar en unos 1013 m el radio de tal sistema.

Pero nuestro Sistema Solar forma parte de un sistema mayor, constituido quizspor unas 1010 estrellas (muchas de las cuales pudieran tener sus propios sistemasplanetarios). Esta agrupacin de estrellas recibe el nombre de Galaxia y tiene formade disco, de unas dimensiones de unos 1021 m de radio y un espesor mximo de 1020m. Estimamos que nuestra Galaxia est formada por 1070 tomos.

Existe un gran nmero de galaxias, de diferentes formas y tamaos. Las galaxiastienen la tendencia a agruparse en racimos o cmulos. Nuestra Galaxia forma partede un grupo, llamado Grupo Local, compuesto por una veintena de galaxiasdistribuidas en una esfera de un radio aproximado de 1022 m (un milln de aos-luz).En extremos opuestos de este agrupamiento se encuentran nuestra Galaxia y la GranNebulosa de Andrmeda, una galaxia muy semejante a la nuestra en cuanto a formay tamao; entre las dos representan casi el 70% de la masa total del Grupo Local, demodo que las dems galaxias de nuestro grupo son muy pequeas.

Se estima que en el Universo pueden existir unas 1020 estrellas, agrupadas enunas 1010 galaxias que se agrupan, a su vez, en un nmero no definido de cmulos(algunos de ellos, como el de Virgo, compuesto por miles de galaxias), con un totalde 1080 tomos. Toda esta materia existira en una regin cuyo radio pudiera ser deunos 1026 m (1010 aos-luz), magnitud que se ha dado en llamar "radio del Universo",aun cuando su significado real no se conozca y sea una simple lucubracin a caballoentre la Fsica y la Metafsica.

A la vista de toda esta grandiosa estructura, algunas preguntas acuden a nuestramente. Por qu y cmo se unen los electrones, protones y neutrones para formar lostomos? Por qu y cmo se agregan los tomos para formar las molculas? Por quy cmo se agrupan las molculas para formar desde las partculas de polvo hasta unplaneta, desde una clula hasta esa mquina excelsa que es el hombre? Podemosresponder a esas preguntas fundamentales introduciendo el concepto de interaccin.Decimos que las partculas que constituyen los tomos interaccionan entre s paraproducir una configuracin estable de orden superior, que los tomos interaccionancon otros tomos y configuran molculas, ... ...

Cul debe ser el trabajo del Fsico? A la vista de lo anteriormente expuesto escasi obvio que el primer objetivo del fsico ser descubrir las diferentes interaccionesde la materia. A continuacin deber expresarlas cuantitativamente y, por ltimo,formular las reglas, esto es, establecer las leyes que rigen el comportamiento de lamateria, comportamiento que nos es sino el resultado de aquellas interaccionesfundamentales.

6 Prolegmenos.

5. El mtodo cientfico.- Hemos intentado establecer la peculiaridad de laFsica frente a las dems ciencias a travs de la nocin de "proceso fundamental". Acontinuacin, vamos a destacar algo que es comn a la Fsica y a cualquier actividad:su mtodo de trabajo. Las formas en que un bilogo o un astrnomo atacan unproblema que les sea propio son muy distintas en ciertos aspectos, pero hay undenominador comn, que constituye lo que se ha venido a denominar el mtodocientfico. Al igual que el grado de fundamentalidad de un proceso distingue entres a las distintas ciencias, el mtodo cientfico marca una neta separacin entre laCiencia y otras formas de estudio de la realidad, como la Filosofa, la Historia, laEconoma o la Sociologa. Estas ltimas sern "ciencias", y se hablar as de"Ciencias Econmicas" o "Ciencias Sociales" en la medida en que utilicen el mtodocientfico para tratar cuestiones de sus campos respectivos.

Aunque las races de la Ciencia son tan profundas como las de la Religin y lasdel Arte, sus tradiciones son mucho ms recientes. Slo a partir de los tres ltimossiglos se han desarrollado mtodos para estudiar sistemticamente la Naturaleza.Como dice John G. TAYLOR en su libro La Nueva Fsica (1971):

"Para todos los que vivimos en una sociedad cientfica el mtodo cientfico constituye el nicomedio vlido de adquirir un conocimiento cada vez ms completo de la Naturaleza; un medioque, adems, ha demostrado su vala al proporcionar a la humanidad poderes sobrecogedores.Hemos de hacer notar, sin embargo, que slo durante los tres ltimos siglos ha sido utilizadode forma consciente y eficaz. Antes de la revolucin cientfica, acaecida en el siglo XVII, eraalgo as como un juego de azar".

El estudio de un problema lleva consigo un esfuerzo descriptivo, un esfuerzocreativo y un esfuerzo cognoscitivo. Veamos, pues, sucesivamente a la ciencia comodescripcin, creacin y comprensin.

6. La ciencia como descripcin.- Desde la Antigedad, numerososfenmenos han llamado la atencin de los hombres por su espectacularidad o por suscaractersticas peculiares. Un ejemplo es el movimiento de los cuerpos celestes, esdecir, la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas. Los movimientos de los astros enel firmamento se intentaron relacionar con el conocimiento del futuro y ciertosplanetas y estrellas fueron identificados con divinidades diversas por las distintascivilizaciones del pasado. Un primer paso para el conocimiento de los movimientosde los cuerpos celestes fue la cuidadosa observacin de sus posiciones en las distintashoras de la noche a lo largo del ao. Se lleg as a establecer que los movimientosde las estrellas eran regulares y los de los planetas extraamente caprichosos. Durantesiglos, numerosos astrlogos y astrnomos confeccionaron cartas celestes que fueroncreciendo en complejidad y exactitud. Paralelamente se intentaron explicaciones mso menos ingeniosas de los movimientos de los astros. Las primeras teoras serias nofueron enunciadas hasta el siglo XVI e Isaac Newton resolvi la cuestin casicompletamente en el siglo XVII con su teora de Gravitacin Universal. COPRNICO,KEPLER, GALILEO y NEWTON pudieron resolver el tremendo problema delmovimiento de los planetas gracias a las cuidadosas observaciones y medidas de losque les haban precedido y a las que ellos mismos realizaron. Dispusieron de unmaterial pacientemente acumulado, con el que pudieron trabajar. Sus contribucionesa una mejor comprensin del Universo fueron posibles gracias a la descripcin de un

6.- La ciencia como descripcin. 7

fenmeno natural realizada tras cuidadosas observaciones del mismo. Los que lesprecedieron no acertaron a explicar el fenmeno o dieron explicaciones de carcterfantstico, como la afirmacin de PLATN (siglo IV a.C.) de que el movimientoperfecto e inmutable de las estrellas se deba a su "sustancia divina". Sin embargo,los resultados de sus observaciones, convenientemente transmitidos, permitieronllegar a la solucin del misterio.

As pues, en el estudio de un proceso natural es indispensable la observacin yla expresin de las observaciones en un lenguaje transmisible y coherente. Por eso,la Fsica y la Ciencia en general es, en primer lugar, descripcin.

7. La ciencia como creacin.- Adems del movimiento de los cuerposcelestes, tambin el movimiento de los objetos sobre la superficie de la Tierra, suscausas y su naturaleza, haba preocupado a los pensadores desde tiempos antiguos.A diferencia del movimiento de los astros, que por su periodicidad regular y lentituda los ojos del observador terrestre, admita una descripcin relativamente fcil, en laque los nicos requerimientos eran una vista aguda y paciencia, los movimientos delos cuerpos sobre la superficie de la Tierra eran de tal variedad y complejidad quesu observacin sistemtica pareca una tarea abrumadora. Una piedra arrojada desdeuna ventana, las olas del ocano, el viento, un caballo al galope, ... Por dndeempezar? Los filsofos especularon durante la Antigedad Clsica y la Edad Mediasobre el movimiento y sus causas. Pero el progreso en el conocimiento real delfenmeno fue nulo hasta el Renacimiento. En la segunda mitad del siglo XVI,Galileo realiz la siguiente experiencia: Tom objetos pesados y los abandon encada libre desde cierta altura. Comprob, realizando medidas de espacio y de tiempo,que los espacios recorridos eran proporcionales a los cuadrados de los tiempostranscurridos. Atac el problema creativamente; hizo experimentos.

Cuando la Naturaleza ofrece una situacin enormemente compleja, los fsicos,y los cientficos en general, tratan de reducirla al caso ms sencillo posible yobservan y miden. Realizan lo que conocemos como un experimento. Si arrojamosen una direccin cualquiera una cadena, sta describir antes de caer al suelo unacierta trayectoria al tiempo que se doblar y girar de manera aparentementeimprevisible. Reduzcamos la situacin a su mxima simplicidad. Tomemos un nicoeslabn, subamos a una azotea, y dejmoslo caer libremente. Obtendremos elresultado que obtuvo Galileo. Intentemos comprender este movimiento sencillo y silo conseguimos habremos dado un paso importante en el conocimiento delmovimiento de la cadena, el viento o las olas del ocano. Este es el lado creativo dela ciencia: la realizacin de experimentos.

Los cientficos no se conforman con la observacin y descripcin del mundo;sino que imitan las situaciones reales en los laboratorios, simplificndolas yadaptndolas a las preguntas que les preocupan. Pero no solo imitan a la Naturaleza,sino que llevan a cabo experiencias nuevas con el fin de hallar respuestas rpidas yprecisas a las incgnitas que intentan esclarecer. Para que un experimento sea vlido,reproducido en las mismas condiciones, debe conducir a idnticos resultados cadavez que se realice.

La experimentacin ocupa gran parte de los esfuerzos de los fsicos en subsqueda de una comprensin ms clara del mundo. Gracias a ella se han establecido

8 Prolegmenos.

o confirmado las leyes fsicas que constituyen la expresin condensada de nuestrosconocimientos sobre los procesos fundamentales de la Naturaleza.

8. La ciencia como comprensin.- La observacin y la experimentacinllevan a los cientficos y a los fsicos en particular a establecer con claridad yconcisin ciertos hechos, ciertas leyes que rigen el comportamiento de la Naturaleza:Dos cargas elctricas de igual signo se repelen con una fuerza inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que las separa; si sobre un cuerpo enmovimiento no acta ninguna fuerza su trayectoria es rectilnea; cuando se mantieneconstante la temperatura de un gas, su presin es inversamente proporcional a suvolumen, ... El paso siguiente es buscar una explicacin a estos hechos y a estasleyes. Para una comprensin ms completa del mundo, los fsicos construyen teorasque respondan a los resultados de sus observaciones y experiencias. Este es unterreno resbaladizo. Si bien los resultados de las mediciones y observaciones admitenpoca discusin (cualquiera que repita lo mismo en las mismas condiciones debeobtener idntico resultado), no sucede lo mismo con las teoras.

En ocasiones, ms de una teora ha intentado la explicacin de un mismofenmeno, originndose apasionadas polmicas. Es interesante preguntarse: culesson las caractersticas de una buena y una mala teora?, cules son los mtodos paradecidir si una teora es correcta o falsa? La dilatacin de los slidos, as como otrosmuchos fenmenos relacionados con el calor, fue explicada en un principio mediantela teora del calrico. Segn esta teora, el calor es un fluido que penetra y sale delos cuerpos. Si un cuerpo contiene mucho calor, su temperatura es alta, y si contienepoco, baja. Al poner en contacto un cuerpo caliente con otro fro, el calrico pasa deluno al otro y al penetrar en el ms fro provoca el desplazamiento de unas partes deste respecto de las otras, dando lugar a su dilatacin. Sin embargo, adems deaumentar de tamao, el cuerpo que se ha dilatado debera aumentar de peso, ya queen su interior existira un fluido en mayor proporcin que antes de ser calentado. Lasdeterminaciones rigurosas de la masa de los cuerpos a distintas temperaturas dieroncomo resultado indiscutible que la masa era independiente de la temperatura. Este yotros experimentos hicieron que la teora del calrico fuese rechazada por estar encontradiccin con la experiencia. Ninguna teora correcta puede llevar aconsecuencias que contradigan a la experiencia. La teora actual sobre la dilatacinde los slidos se sita en un marco general en el que se explican otras muchaspropiedades elctricas y magnticas de los slidos, la fusin y los sistemas cristalinos.Utilizando un punto de vista similar para los lquidos y gases aparecen clarasnumerosas leyes a las que se ajustan la presin y la temperatura, la viscosidad y latensin superficial.

La validez de una teora se comprueba cuando un pequeo nmero dehiptesis permite explicar gran nmero de fenmenos sin relacin aparente.Por ltimo, una de las comprobaciones ms espectaculares de la bondad de una

teora es su capacidad para predecir fenmenos an no observados. Cuando estos sedetectan y sus caractersticas responden a lo que la teora haba enunciado, aportanun slido fundamento a su validez.

El examen de los hechos experimentales y el ensayo de diversas hiptesis hastaencontrar las adecuadas no es la nica forma de construir una buena teora. Existe

8.- La ciencia como comprensin. 9

un mtodo ms directo, relacionado con lo que podramos llamar intuicin genial ogenio creador. Cuando en los aos 1920 los mejores fsicos tericos se concentrabanen los problemas suscitados por los nuevos experimentos a nivel atmico, WernerHEISENBERG (1901-1976) se desvi del procedimiento normal de reunin de datos ybsqueda de relaciones entre ellos para construir una teora que fuera esttica en elsentido matemtico. Esta persecucin de la belleza y de la simplicidad, como en elantiguo Canon griego, llev a Heisenberg a establecer la que se denomin MecnicaMatricial, base de la moderna Teora Cuntica. El tratamiento paralelo de losfenmenos cunticos que hizo Erwin SCHRDINGER (1881-1961), en todo equivalenteal de Heisenberg en cuanto a resultados de los clculos, no tuvo la mismasimplicidad y belleza, y no ha conducido a consecuencias tan profundas sobre elconocimiento de la estructura ntima de la materia como la formulacin deHeisenberg.

9. Los modelos.- Es interesante destacar que, en su estado embrionario, unateora se apoya frecuentemente en un modelo. En un modelo se intenta la descripcinde un sistema fsico en el espritu de que las cosas pasan "como si ...". As, porejemplo, ciertos fenmenos nucleares se explican asimilando el ncleo a una gotalquida de materia nuclear que vibra y gira. Otros aspectos de la estructura nuclearson explicados, en cambio, mediante un modelo de filosofa radicalmente opuesta,en la que cada nuclen se mueve independientemente de los dems. Este ejemploilustra el lmite de validez de los modelos, que no suelen explicar todos losfenmenos observados, sino que suelen estar especializados en una cierta parcela deaqullos.

Los modelos que utilizan los fsicos suelen ser matemticos o bsicamentemecnicos. Muchos fsicos piensan con mayor claridad en trminos concretos que entrminos abstractos. Una caracterstica de la mente humana es su ansia por loconcreto, lo que la incita a una constante preocupacin por los modelos mecnicosen el campo de la ciencia, ya que este tipo de modelo, que cabe considerarlo comoel tipo ms primitivo de explicacin, le permite aprehender intuitivamente la realidadde las cosas. Recordemos la famosa expresin de Lord KELVIN (1824-1907):

"Nunca estoy satisfecho hasta que consigo el modelo mecnico de una cosa. Si puedo construirun modelo mecnico, entiendo el fenmeno."

En efecto, un modelo mecnico afortunado puede ser muy clarificador en laformulacin incipiente de una teora y resulta ser una ayuda considerable en lostanteos preliminares del fsico para establecerla. Recordemos la primera teora deltomo que tuvo xito, la de Niels BOHR en 1913: los tomos se describen como sifuesen pequeos sistemas solares en miniatura, en los que las fuerzas gravitatoriasson sustituidas por las fuerzas elctricas. Los electrones giraran alrededor del ncleoen rbitas circulares o elpticas, como se deduca directamente de las leyes deNewton de la Mecnica.

Pero aunque los modelos mecnicos pueden ser de una gran ayuda en laformulacin de las teoras hay que recurrir a ellos con ciertas reservas. Hay ejemplosfamosos en los que se pone de manifiesto que una fe demasiado firme en un modelopuede llevar a conclusiones errneas y ser un obstculo serio en el progresocientfico. Por ejemplo, es mucho ms fcil imaginar un haz luminoso como una

10 Prolegmenos.

vibracin mecnica que se propaga en un medio material (el ter postulado por losantiguos) que como una energa inmaterial propagndose en el vaco, ya que estasegunda forma de representar el fenmeno es menos intuitiva que la primera. Porello, hubo que esperar mucho tiempo, hasta finales del siglo XIX, para desechar elmodelo del ter, por no encontrarse de acuerdo con las observaciones experimentales.

El desarrollo de la Fsica, desde Newton (siglo XVII) y hasta finales del sigloXIX, ha estado guiado por modelos mecanicistas. Pero conforme la Fsica Modernase ha enfrentado con problemas que han ido escapando ms y ms del marco denuestra experiencia comn, los fsicos han debido recurrir a modelos abstractos ymatemticos. Pero tampoco este tipo de modelos est libre de los peligros inherentesa los modelos mecanicistas. Sin embargo, y a pesar de ello, no podemos prescindirde los modelos y debemos reconocer la importancia capital que han jugado y jueganen el desarrollo del conocimiento cientfico.

10. Los conceptos fsicos.- Una caracterstica de la actividad cientfica esel rigor en la definicin de los conceptos. En la Fsica se manejan conceptos talescomo temperatura, energa, velocidad, longitud de onda ... y otros muchos. Estosconceptos deben ser definidos con rigor y existe un aspecto en la definicin de losconceptos fsicos que es muy caracterstico y determina una neta diferencia entre laforma en que un fsico define el concepto de "temperatura" y un filsofo el de"trascendencia" o el de "libertad".

La definicin del concepto fsico de "temperatura" debe reflejar el hecho deobservacin diaria de que unos cuerpos estn ms calientes que otros y debe hacerloen forma cuantitativa, simple y precisa, sin dejar margen alguno a la ambigedado a la interpretacin subjetiva.

Decir, por ejemplo, que "la temperatura es la propiedad de los cuerpos que reflejasu mayor o menor capacidad para transmitir calor", no respondera a las exigenciasmencionadas. Un termmetro est formado por una ampolla (o bulbo) de paredesmuy delgadas que contiene un lquido (mercurio, alcohol coloreado ...) y quecomunica con un tubo capilar, en el que previamente se ha hecho el vaco. Cuandocolocamos el bulbo del termmetro en contacto con un cuerpo, la altura de lacolumna lquida en el tubo capilar es una medida de la temperatura del cuerpo. Paraello es preciso que calibremos el termmetro, marcando un cero y un cien (como sehace en la escala de Celsius) en los puntos que corresponden a la fusin del hielo ya la ebullicin del agua a presin normal, y dividiendo dicha distancia en cien partesiguales. De este modo, podemos expresar la temperatura de un cuerpo mediante unnmero. Nos aparece as claramente el aspecto operacional del concepto detemperatura y, por extensin el de cualquier otro concepto fsico. La temperatura esalgo definido a travs de una serie de operaciones que tienen como resultadoasignar un nmero a un estado del cuerpo. La temperatura es esa serie deoperaciones. El "cmo" y el "qu" se confunden. Podramos pensar que estadefinicin no nos dice realmente qu es la temperatura, sino que nos dice simple-mente cmo medirla de acuerdo a unos convenios preestablecidos. Eso es cierto, ydebemos aceptar las limitaciones de la Fsica y de la Ciencia en general, cuya tareano es hallar lo que las cosas son realmente. Recordemos como el gran matemticoy filsofo de la ciencia, Henri POINCAR (1854-1912) explicaba la actitud operacionalfrente a los conceptos fsicos:

10.- Los conceptos fsicos. 11

"Cuando decimos que la fuerza es la causa del movimiento, hablamos en trminos metafsicos,y esta definicin, si nos satisficiera, sera completamente estril. Pues una definicin til debeensearnos cmo medir la fuerza; esto nos basta; no es absolutamente necesario que nos digalo que la fuerza es en s, ni si es la causa o el efecto del movimiento".

Podra objetarse que la definicin operacional de los conceptos fsicos est, enmuchos casos, lejos del significado que comnmente damos a las palabras que loexpresan. Puede servirnos como ejemplo la definicin operacional que hemos dadodel concepto de temperatura que nos puede parecer desligada de la significacinordinaria que le damos, relacionada con la sensacin de "caliente" o de "fro". Parececomo si los conceptos de la vida corriente fueran ms claros que los conceptoscientficos, que se nos podran antojar como misteriosos o enigmticos, cuando enrealidad ocurre todo lo contrario. El carcter operacional de los conceptos cientficoslos hace unvocos e inequvocos en su significado, en tanto que las palabras queusamos en la vida corriente son, frecuentemente, flexibles y poco definidas ysusceptibles de matices emocionales y subjetivos. En este sentido, vale la penadestacar que una de las caractersticas ms notables de la Ciencia, y de la Fsica enparticular, es la facilidad con que desaparecen posibles desacuerdos, a diferencia delo que ocurre con otras disciplinas donde el ncleo de acuerdo general esextraordinariamente ms reducido que en la Fsica. Como ejemplo de lo queacabamos de decir nos permitimos entresacar el siguiente prrafo del libro de VONWEIZSCKER titulado La importancia de la Ciencia (1959):

"Que la Fsica es ciencia y el materialismo dialctico no lo es, por ejemplo, se hizo claro en1955, en la primera Conferencia de Ginebra sobre el uso pacfico de la energa atmica. Enaquella reunin muchos fsicos occidentales y soviticos se encontraron por primera vez, yentonces se hizo pblica una gran masa de informacin clasificada. Fue una valiosa experienciacomprobar que los valores de las mismas constantes atmicas, medidos en el ms rigurososecreto en diferentes pases, bajo sistemas y credos polticos opuestos, al ser comparados,resultaron idnticos hasta la ltima cifra decimal. Nada parecido ocurri respecto de las teorassobre la sociedad. El fsico sovitico y su colega del Oeste se encuentran unidos por un vnculoque ninguna disensin puede alterar; estn unidos por una verdad comn."

De cuanto hemos dicho se desprende que un concepto que no pueda ser definidooperacionalmente carecer de significado, al menos desde el punto de vista cientfico.Esto es realmente as. Uno de los resultados del trabajo de Einstein fue despertar enlos cientficos el sentimiento de que los conceptos fsicos de los que se sirven en susargumentaciones deben tener una base operacional, ya que de no ser as se puedellegar a serias contradicciones. Como ejemplo de esto podemos referirnos a lasdefiniciones de tiempo y espacio absolutos que aparecen en los Principia de Newton:

"El tiempo matemtico, verdadero, absoluto, transcurre en s y por su propia naturaleza de modouniforme sin relacin a nada externo, y se llama, por otro nombre, duracin."

"El espacio absoluto, por su propia naturaleza, permanece siempre igual e inmutable, y sinrelacin a nada externo."

Para que estos conceptos adquieran un sentido fsico es necesario quedispongamos de una experiencia de medida con la que puedan ser comprobados; peroobservemos que, en ambas definiciones aparece la expresin "sin relacin a nadaexterno", esto es, que debemos descartar "las manecillas de un reloj" o una "reglagraduada". Hoy en da, a estas definiciones sin ningn significado operacional

12 Prolegmenos.

inherente se les llama "sin sentido", un trmino que nos puede parecer excesivamenteriguroso, pero necesario desde el punto de vista cientfico.

En cambio, Einstein se preocupa de dar definiciones precisas y operacionales delos conceptos de tiempo y espacio, definiendo con todo rigor el proceso de medidadel tiempo y de las longitudes. Y el resultado es inesperado y sorprendente: lalongitud de un cuerpo depende de la velocidad con que se mueve con respecto alobservador, hecho que explica algunas cosas que no podan explicarse hasta entonces.

Debemos pensar que la ciencia de Newton estaba invalidada por el hecho departir de unos postulados bsicos "sin significado" cientfico? No, porque realmenteNewton no hizo uso explcito de dichos postulados; su formulacin obedeca msbien a una inquietud filosfica que a una necesidad cientfica.

11. Las ramas de la fsica.- En los ltimos aos la Fsica ha vuelto aconvertirse en una disciplina unificada. Parece ser que los mismos principios bsicospermiten explicar tanto los procesos que tienen lugar en las nfimas dimensiones delncleo atmico como aqullos que tienen lugar a escala galctica. Sin embargo, nosiempre ha sido as, y la Fsica se ha presentado, hasta fechas muy recientes, divididaen unas pocas ciencias o ramas con muy poca o ninguna conexin entre ellas.

Esta divisin de la Fsica en diversas ramas ha sido consecuencia de los diversosconductos cognoscitivos de que se ha servido el hombre para indagar sobre elsignificado de los fenmenos naturales. Se comprende que, inicialmente, el hombreslo dispuso de sus sentidos para recabar informacin del mundo natural y clasificaselos fenmenos naturales de acuerdo con el sentido con que los perciba. As, la luzfue relacionada con la visin y la ptica se desarroll como una ciencia ms omenos independiente ligada con ella. El sonido fue relacionado con el sentido delodo y la Acstica fue otra ciencia que se desarroll con una cierta autonoma. Lomismo podemos decir del calor, relacionado con otra sensacin fsica, que dio lugaral desarrollo de otra ciencia, la Termologa, con muy pocas conexiones con lasdems. Naturalmente, el fenmeno ms familiar, el ms corrientemente observadofue, desde un principio, el del movimiento, de cuyo estudio se ocup otra ciencia, laMecnica, que fue de las primeras en desarrollarse y en adquirir una cierta madurez.El movimiento de los planetas y el de cada de los cuerpos pudo ser explicadosatisfactoriamente por las leyes de la Mecnica y, por ello, la Gravitacin ha sidoconsiderada tradicionalmente como un captulo de la Mecnica. ElElectromagnetismo, al no estar relacionado directamente con ninguna experienciasensorial, y a pesar de que los fenmenos elctricos y magnticos ya haban sidoobservados en la Antigedad Clsica, no apareci como una ciencia organizada hastaentrado el siglo XIX.

De esta manera en el siglo XIX, la Fsica aparece dividida en las llamadas ramasclsicas o tradicionales: Mecnica, Acstica, Termologa, Electromagnetismo yptica. Las descripciones tericas de estas reas parecan esencialmente completasal terminar el siglo y se crea que todos los descubrimientos bsicos estaban yahechos. Incluso se haban establecido unos nexos o puentes entre estas reas o ramasclsicas de modo que, aunque la Fsica se segua enseando dividida en esas ramas,se reconoca que esa divisin atenda tan slo a aspectos diferentes del mismo campogeneral de la Fsica. El cuerpo de doctrina firmemente reconocido hasta esa fechasuele conocerse como FSICA CLSICA.

11.- Las ramas de la fsica. 13

En los ltimos aos del siglo XIX y en las tres primeras dcadas del siglo XXsurgen una serie de ideas nuevas y sorprendentes en el campo de la Fsica. Sedescubre la Radiactividad y se comienza a explorar el ncleo atmico. El desarrollode la teora de la Relatividad exigi que los conceptos de espacio y tiempo fueranreexaminados y modificados. Se formul la teora cuntica, que pudo explicar laestructura atmica y molecular con enorme precisin. Durante estos aos decisivostodo el edificio de la Fsica fue remodelado y ampliado, conocindose este periodocomo el de la FSICA MODERNA.

La dcada de 1930 vio las primeras observaciones de la radioemisin estelar yel descubrimiento del neutrn, de la fisin nuclear y de las primeras partculaselementales no existentes en los tomos. Todos estos resultados dieron lugar a untremendo estallido de resultados y de nuevos campos de investigacin que seencuentran en plena actividad, constituyendo lo que se conoce como FSICACONTEMPORNEA.

12. La Fsica y las otras Ciencias.- Ya hemos establecido anteriormente queuna disciplina ser cientfica si ha adoptado el mtodo cientfico para tratar losproblemas que le son propios. Pero aqu precisamente, en saber cules son losproblemas inherentes a cada una de las ciencias, nos encontramos ante una ciertaindeterminacin. En principio, la Ciencia estudia la Naturaleza, los fenmenosnaturales, y su divisin en distintas disciplinas o ciencias obedece, principalmente,a una motivacin de ndole prctica. Anteriormente hemos caracterizado la Fsica porsu grado de fundamentalidad: su objetivo es el estudio de los componentes bsicoso elementales de la materia y sus interacciones mutuas, explicando los fenmenosnaturales y las propiedades de la materia en su conjunto. La Qumica se ocupa tanslo de un aspecto parcial de ese vasto intento; el estudio de los elementos y loscompuestos que resultan de combinarlos y de las leyes que rigen esas combinaciones.Para ello utiliza las leyes de la Fsica para comprender la formacin de las molculasy los variados mtodos prcticos que llevan a la transformacin de unas molculasen otras. La Biologa estudia la vida y los seres vivientes; se basa fundamentalmenteen las leyes de la Fsica y de la Qumica para explicar los procesos vitales. LaGeologa estudia la composicin, estructura y evolucin de la Tierra; para ello sesirve de las leyes y mtodos de la Fsica y de la Qumica. Vemos pues que la Fsica,como ciencia fundamental, aparece en la base de las otras Ciencias Naturales,proporcionndoles una soporte conceptual y una estructura terica, adems de unaserie de tcnicas. As, el gelogo utiliza en sus investigaciones mtodosgravimtricos, acsticos, nucleares y mecnicos; un moderno laboratorio de biologautiliza un instrumental sofisticado apoyado en las ms refinadas tcnicas de la Fsica.Podemos asegurar que hoy da sera difcil avanzar en cualquier actividad cientfica,terica o experimental, sin recurrir al uso de las refinadas tcnicas de la Fsica.

Decamos en el artculo anterior que la Fsica est encontrando en los ltimosaos su unidad. Esta idea la podemos hacer extensiva a las Ciencias de la Naturalezaen general, ya que cada da resulta ms difcil delimitar con precisin los campos delas diferentes Ciencias Naturales. Y ello se debe a la aplicacin de un mtodo comnen todas ellas (el mtodo cientfico) y a la utilizacin de unas tcnicas comunes(pensemos en las tcnicas microscpicas o electrnicas que se utilizan en Biologa,Geologa, Qumica, Fsica ...). Que las fronteras entre las diferentes ciencias naturales

14 Prolegmenos.

van borrndose ms y ms, lo demuestra el hecho de que cada da vayan aumentandoel nmero de cientficos y de revistas especializadas en temas interdisciplinares, comoson la Qumica-Fsica, la Biofsica, la Bioqumica, la Geofsica, la Astrofsica, ... Hoyda sabemos que ninguna de las ciencias naturales es completamente independientede las dems y que es necesario que un cientfico, sea cual sea su campo deespecializacin, est familiarizado, cuanto menos, con las otras disciplinas. Estainterdependencia entre las diferentes disciplinas de la Ciencia Natural ha sidomaravillosamente expresada por el poeta ingls Francis THOMPSON en los siguientesversos:

"Todas las cosas por fuerza inmortal,cerca o lejos,ocultamente,

estn ligadas entre s de tal maneraque no se puede agitar una flor

sin perturbar una estrella."

13. La Ciencia y la Tecnologa.- La aplicacin de los principios de la Fsicay de la Qumica a los problemas prcticos han dado lugar a las diferentes ramas dela Ingeniera. Muchos de los trabajos de investigacin en Ingeniera pueden serconsiderados como cientficos, por cuanto se utiliza el mtodo cientfico; sinembargo, la prctica de la ingeniera debe ser considerada como una cienciaaplicada, esto es, como la aplicacin de unos conocimientos cientficos a unassituaciones prcticas, acompaada de un arte, o sea, un saber hacer (construir,manejar, ...). Por la misma razn, podemos decir que la prctica de la Medicina esuna ciencia biolgica aplicada, acompaada de un arte (a veces en un grado mayorque la Ingeniera).

La Ciencia y la Tecnologa se necesitan y se apoyan mutuamente. La una nopodra existir sin la otra. Es verdad que el desarrollo cientfico ha posibilitado eldesarrollo tecnolgico, pero no es menos cierto que la Ciencia moderna necesita dela tecnologa tanto como sta de aqulla. Ciencia y Tecnologa pueden compararsea dos rboles gemelos, brotados de distintas semillas y que mantienen an algunasraces y algunas ramificaciones separadas, pero cuyos troncos se han juntado y cuyashojas forman una nica e inmensa copa.

14. La Fsica y las Matemticas.- El lenguaje es un ingrediente esencial delpensamiento abstracto. Las Matemticas, que permiten expresar los conceptos y leyesfsicas en una forma compacta, concisa y fcilmente comunicable, constituyen ellenguaje natural de la Fsica.

Las Matemticas constituyen una forma de razonamiento altamente organizadoque emplea ciertos smbolos estipulados y ciertas convenciones con el fin depotenciar la facultad intelectual de que hemos sido dotados por la Naturaleza. ParaGalileo, para algunos de sus contemporneos y para los fsicos modernos, lasMatemticas son la herramienta por excelencia para ordenar y comprender laNaturaleza. Esta conviccin la expresaba Galileo del modo siguiente:

14.- La Fsica y las Matemticas. 15

"La filosofa (ahora decimos la Ciencia) est escrita en este gran libro que tenemos ante los ojos- quiero decir, el Universo -, pero no podemos comprenderlo si no aprendemos su lenguaje yel significado de los smbolos en que est escrito. Su lenguaje es el de las matemticas, y sussmbolos, tringulos, crculos y otras figuras geomtricas (ahora aadimos otros smbolosmatemticos) sin cuya ayuda es imposible comprender ni una sola palabra, y en vanointentaramos atravesar este oscuro laberinto."

En la medida en que en el Universo existe un orden susceptible de sercomprendido, este orden aparecer bajo la forma de estructuras matemticas. Ningnfsico puede desenvolverse cmodamente sin un considerable bagaje matemtico.

Las relaciones existentes entre las magnitudes fsicas u observables puedenexpresarse en forma funcional. En algunas ocasiones, las leyes fsicas establecen quealguna combinacin funcional de las magnitudes fsicas relacionadas con unfenmeno presenta un valor constante (por ejemplo, el cociente s/t2, entre el espaciorecorrido por un cuerpo en cada libre, partiendo el reposo, y el cuadrado del tiempoempleado, tiene un valor constante). En otras ocasiones, algunas combinacionesfuncionales de los observables tienden a alcanzar un valor mximo o mnimo(principio de Fermat del camino ptico, por ejemplo). El alto aprecio que sienten losfsicos hacia estos tipos de leyes o postulados se debe a que combinan dos de lascaractersticas ms sobresalientes de la ciencia: la formulacin matemtica de losconceptos y el descubrimiento de caractersticas permanentes en el caos de laexperiencia.

La formulacin matemtica del trabajo cientfico impone a ste ciertascondiciones. Una relacin entre magnitudes observables no debe considerarse comouna relacin causa-efecto. As, una relacin matemtica entre los observables X, Yy Z de la forma Z = XY es totalmente equivalente a expresar que Y = Z/X o queX = Z/Y; esto es, no cabe asignar a ninguno de los observables un papel especial. As,la primera de las relaciones, Z = XY, debemos interpretarla en el sentido de que elobservable Z est relacionado con los X e Y, y no en el de pensar que los observablesX e Y sean la causa del Z.

Expresar las ideas, conceptos y leyes cientficas en trminos matemticos es degran ayuda para la comprensin rpida de esos mismos conceptos y leyes, sinambigedad alguna, y es una invitacin a buscar nuevas relaciones entre las distintasmagnitudes.

En definitiva, la Fsica es una ciencia experimental en la que el progreso haciauna comprensin ms profunda de la Naturaleza se realiza mediante la aplicacin delmtodo cientfico a los procesos ms fundamentales.

Los modelos y las teoras fsicas se constituyen para relacionar entre s, de formacoherente, los distintos hechos que han sido descubiertos sobre el mundo real.Ninguna teora es verdadera, sino que tan slo representa en un cierto momentonuestro grado de comprensin de determinados fenmenos naturales. Toda teorafsica debe estar abierta a modificaciones o a su total desaparicin cuando laaparicin de nuevos hechos experimentales as lo exijan.

La Fsica es un intento de aprehensin de la Naturaleza de manera precisa yordenada, mediante la reduccin de las observaciones y las teoras a nmeros quepueden ser comparados entre s.

16 Prolegmenos.

Captulo I.

Vectores.

1.- lgebra vectorial. 192.- Vectores deslizantes. 41

3.- Anlisis vectorial. 61

Manuel R. Ortega Girn 17

18 Lecciones de Fsica

1.- lgebra vectorial.

1.1. Escalares y vectores (19); 1.2. Formulacin vectorial (20); 1.3. Suma y diferenciade vectores (21); 1.4. Producto de un vector por un escalar (22); 1.5. Versores (22);1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); 1.7. Producto escalar de dos vectores(24); 1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); 1.9. Representacin vectorial desuperficies (29); 1.10. Producto mixto de tres vectores (30); 1.11. Doble productovectorial (32); 1.12. Definicin axiomtica del vector (32); 1.13. Cambio de basevectorial (34); 1.14. Vector de posicin. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)

1.1. Escalares y vectores.- Frente a aquellas magnitudes fsicas, tales comola masa, la presin, el volumen, la energa, la temperatura, ... que quedan completa-mente definidas por un nmero y las unidades utilizadas en su medida, aparecenotras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin, la fuerza, el campoelctrico, ... que no quedan completamente definidas dando un dato numrico, sinoque llevan asociadas una direccin y un sentido. Estas ltimas magnitudes sonllamadas vectoriales en contraposicin a las primeras que son llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemtico mssimple; por un nmero. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un entematemtico que recibe el nombre de vector.

En un espacio euclidiano, de no ms de tres dimensiones, un vector se representapor un segmento orientado1. As, un vector queda caracterizado por los siguienteselementos: su longitud o mdulo, siempre positivo por definicin; su direccin,determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, quepodr ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la direccinantes mencionada. As pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud que tienen mdulo, direccin y sentido.

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras ennegrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares. En la pizarra representaremoslas magnitudes vectoriales colocando una flechita sobre la letra que designa su

1 Este significado de la palabra vector es una ampliacin natural de su utilizacin inicial enla astronoma, hoy en desuso: "recta imaginaria que une a un planeta, movindose alrededor delcentro o foco de una circunferencia o elipse, con dicho centro o foco".

Manuel R. Ortega Girn 19

20 Lec. 1.- lgebra vectorial.

mdulo (que es un escalar). As, por ejemplo; A, V, W, ... representan, respectiva-mente, las magnitudes vectoriales de mdulos A, V, W, ... Tambin representaremosel mdulo de una magnitud vectorial encerrando entre barras la notacin correspon-diente al vector: A , V , W , ... Cuando nos convenga, representaremos lamagnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientadoque la representa geomtricamente; as, designaremos los vectores representados enla Figura 1.1 en la forma A=MN, B=OP, ... resultando muy til esta notacin para losvectores desplazamiento.

Para que dos vectores sean iguales (equipolentes) no basta que tengan el mismo

Figura 1.1

mdulo, sino que adems es preciso que acten segn la misma direccin y sentido.En lo que sigue, mientras que no se advierta otra cosa, consideraremos los llamadosvectores libres, para los cuales dos direcciones son equivalentes con tal de que sean

paralelas. Por consiguiente, diremos que dosvectores libres son iguales si tienen el mismomdulo, la misma direccin y el mismo sentido,aunque sus rectas de accin (directrices) seandiferentes. De este modo, en la Figura 1.1 esA = B = C = D = E.

Por el contrario, en los llamados vectoresdeslizantes, el criterio de igualdad exige que losvectores tengan el mismo mdulo y que acten enun mismo sentido sobre una misma recta de accin,siendo indiferente el punto de la recta en que estnaplicados. As, en la Figura 1.1, tan slo es C = D.

Veremos ms adelante que las fuerzas queactan sobre un slido rgido tienen carcter de vectores deslizantes, mientras que losmomentos de tales fuerzas son vectores libres.

1.2. Formulacin vectorial.- La formulacin vectorial de la Fsica presentados grandes ventajas:

(a) La formulacin de una ley fsica en forma vectorial es independiente delos ejes coordenados que se escojan. La notacin vectorial ofrece unaterminologa en la que los enunciados tienen un significado fsico claro sinnecesidad de introducir en ningn caso un sistema coordenado.

As, la relacin existente entre la fuerza F aplicada a un cuerpo de masa m y la aceleracin a que dichocuerpo adquiere, dada por la segunda ley de Newton, F = ma, es una ecuacin intrnseca, vlida encualquier sistema de coordenadas.

(b) La notacin vectorial es compacta y concisa. Muchas leyes fsicas tienenformulaciones sencillas y difanas que se desfiguran cuando se escribenreferidas a un sistema coordenado particular.

As, La segunda ley de Newton, F=ma, cuando se escribe en coordenadas polares planas, toma la formade las dos ecuaciones siguientes: Fr=m(r-r2) y F=m(r+2r ).

Aunque al resolver un problema fsico concreto puede convenir la utilizacin desistemas coordenados particulares, siempre que sea posible deberemos establecer laleyes de la fsica en notacin vectorial.

1.2.- Formulacin vectorial. 21

La utilidad y aplicacin de los vectores a los problemas fsicos est basadaesencialmente en la Geometra Euclidiana, de modo que el enunciado de una leyfsica en trminos vectoriales conlleva la hiptesis de la validez de dicha geometra2.Si la geometra no es euclidiana no es posible sumar dos vectores de un modosencillo y sin ambigedad. Para el espacio curvo existe otra formulacin mucho msgeneral, la Geometra Mtrica Diferencial, que es el lenguaje de la RelatividadGeneralizada, dominio de la Fsica en el que la Geometra Euclidiana no tiene validezgeneral.

1.3. Suma y diferencia de vectores.- Dados dos vectores A y B, llamamos

Figura 1.2

suma o resultante de los mismos, y la designaremos por A+B, al vector obtenidocomo diagonal del paralelogramo formado por losvectores A y B (Figura 1.2). Evidentemente, el mismoresultado se obtiene si se sitan los vectores uno acontinuacin de otro y se define la suma de amboscomo el vector que va desde el origen del primeroal extremo del segundo. Para ms de dos vectores,la generalizacin de estas reglas es inmediata.

De la definicin geomtrica de la suma se siguenlas siguientes propiedades de esta operacin:(1) Propiedad conmutativa (Figura 1.2):

Figura 1.3

[1.1]A B B A

(2) Propiedad asociativa (Figura 1.3):[1.2](A B ) C A (B C )

(3) Existencia del vector opuesto:[1.3]A ( A) 0

En virtud del teorema del coseno, el mdulo dela suma es,

[1.4]A B A 2 B 2 2 AB cos

siendo el ngulo que forman entre s las direcciones de los vectores A y B.Dados dos vectores A y B, definimos la diferencia entre el primero y el segundo,

y la designamos por A - B, como el vector obtenido como suma del vector A con elvector opuesto de B (mismo mdulo y direccin, pero sentido opuesto) (Figura 1.4):

[1.5]A B A ( B)

2 El anlisis vectorial, tal como lo conocemos hoy, es fundamentalmente el resultado deltrabajo realizado hacia finales del siglo XIX por el fsico-ingeniero electrotcnico ingls Josiah W.GIBBS (1839-1903) y por el matemtico americano Oliver HEAVISIDE (1850-1925).

22 Lec. 1.- lgebra vectorial.

Si llevamos los vectores A y B a un mismo origen,

Figura 1.4

el vector A - B es el que va desde el extremo de B alextremo de A, y su mdulo viene dado por

[1.6]A B A 2 B 2 2 AB cos

1.4. Producto de un vector por un escalar.-Dado un escalar p y un vector A, llamaremos productode los dos, y lo representaremos por pA, a un vector

cuyo mdulo es el producto del valor absoluto del escalar p por el mdulo del vectorA, de la misma direccin que el vector A y de sentido coincidente u opuesto al delvector A segn que el escalar p sea positivo o negativo (Figura 1.5). Este productotienen las siguientes propiedades:

(1) Propiedad asociativa:

Figura 1.5

[1.7]p (qA) (pq )A q (pA)

(2) Propiedad distributiva respecto a la suma de escala-res:

[1.8](p q)A pA qA

(3) Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:[1.9]p (A B) pA pB

El cociente de un vector por un escalar es, por definicin, el producto del vectorA por el escalar 1/p, de modo que

[1.10]Ap

1p

A

y tiene las mismas propiedades (1) y (3) enunciadas anteriormente, aunque no lapropiedad (2).

1.5. Versores.- Si dividimos un vector por su propio mdulo se obtiene unvector de mdulo unidad, al que llamaremos vector unitario o versor, cuya direcciny sentido coinciden con la direccin y sentido del vector de partida. Existirninfinitos versores, correspondientes a las infinitas direcciones que podemos consideraren el espacio. Un vector cualquiera A puede expresarse como el producto de sumdulo A por el versor de su misma direccin y sentido, esto es,

[1.11]eAA

y A Ae

1.6. Componentes de un vector. Base vectorial.- Dadas tres rectasconcurrentes no coplanarias siempre es posible descomponer un vector dado A en tresvectores, A1, A2, y A3, de forma que cada uno de ellos sea paralelo a una de las tres

1.6.- Componentes de un vector. Base vectorial. 23

rectas dadas, y que sumados tengan al vector A como resultante. Esta descomposicines nica y se obtiene construyendo un paraleleppedo cuyas aristas sean paralelas alas tres rectas dadas y del cual es diagonal el vector A que descomponemos(Figura 1.6). Definidos tres versores, e1, e2, e3, en las direcciones de las tres rectasdadas, podemos escribir

[1.12]A A1 A2 A3 A1 e1 A2 e2 A3 e3

siendo Ai los vectores componentes de A y

Figura 1.6

Ai las componentes del vector A en la basevectorial3 definida por los versores e1, e2,e3.

Tomando las tres rectas anteriores per-

Figura 1.7

pendiculares entre s (ortogonales) y esco-giendo los versores e1, e2 y e3, de formaque constituyan un triedro directo, es decirde tal modo que un tornillo que gire deuno de ellos al siguiente en orden crecientede permutacin circular avance en el senti-

do del otro vector (regla de tornillo, Figura 1.7, o de la manoderecha, Figura 1.12), entonces, a cada vector A corresponder unadescomposicin nica en la forma expresada en [1.12]. Si ahoratomamos las tres rectas anteriores como ejes coordenados x, y, z,y llamamos i, j, k, a los correspondientes versores e1, e2, e3,segn convenio prcticamente universal, entonces la descomposi-cin anterior la escribiremos en la forma

[1.13]A Axi Ay j Az k

siendo Ax, Ay, Az las componentes cartesianas del vector A

Figura 1.8

(Figura 1.8). De este modo vemos que una magnitud vectorial, adiferencia de una magnitudescalar, requiere el conoci-miento de tres nmeros para

quedar completamente definida. Para el vectortridimensional A = (Ax, Ay, Az) cada una de lascantidades contenidas en el parntesis representauna de sus componentes. Obsrvese que esimportante el orden en que demos las com-ponentes del vector, ya que la terna numrica(m,n,p) no representa el mismo vector que laterna (n,p,m).

Resulta conveniente escribir las componentes

3 Obsrvese que una base vectorial queda definida exclusivamente por las direcciones de tresvectores no coplanarios; i.e., no hacemos mencin a algn punto del espacio, por lo que no cabehablar del "origen" de la base vectorial.

24 Lec. 1.- lgebra vectorial.

del vector A utilizando la notacin matricial; esto es, en forma de matriz columna o dematriz fila:

[1.14]A

A

x

AyA

z i jk

o A Ax

Ay Az i jk

donde los subndices aadidos a las matrices indican (cuando sea necesario evitar am-bigedades) la base vectorial en la que estn expresadas las componentes del vector A.

Dada la ortogonalidad del triedro cartesiano definido por los versores i, j, k, esfcil comprobar que el mdulo del vector A viene dado por

[1.15]A A 2x A2y A

2z

y que, dados los vectores A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k, de acuerdocon la propiedad asociativa para la suma (y diferencia) vectorial, es

[1.16]AB (AxB

x) i (AyBy ) j (AzBz ) k

y que, de acuerdo con la propiedad distributiva del producto de un escalar respectoa la suma de vectores, tenemos

[1.17]pA pAxi p Ay j pAz k

quedando definida tanto la suma (y diferencia) vectorial como el producto de unvector por un escalar en forma analtica, i.e., en funcin de sus componentescartesianas, con independencia de la correspondiente representacin geomtrica.

Con notacin matricial escribiremos:

[1.18]A B

A

x

AyA

z

B

x

ByB

z

A

xB

x

AyByA

zB

z

y [1.19]pA p

A

x

AyA

z

pA

x

pAypA

z

1.7. Producto escalar de dos vectores.- Se define el producto escalar delos vectores A y B, y lo representaremos por A B, como el escalar que se obtienemultiplicando el mdulo del vector A por el mdulo del vector B y por el coseno delngulo que forman entre s los dos vectores. Esto es (Figura 1.9):

[1.20]A B A B cos

siendo esta definicin de naturaleza puramente geomtrica y, por lo tanto, indepen-diente del sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es unnmero (escalar) y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto ser un

1.7.- Producto escalar de dos vectores. 25

nmero positivo, nulo o negativo, segn que el

Figura 1.9

ngulo formado por los dos vectores (0) seaagudo, recto u obtuso.

Puesto que B cos representa el mdulo de laproyeccin del vector B sobre la direccin del vectorA, esto es B cos = proyA B, ser

[1.21]A B A proy A B

de modo que el producto escalar de dos vectores tambinpuede definirse como el producto del mdulo de uno deellos por la proyeccin del otro sobre l.

Se puede demostrar fcilmente que el producto escalar de dos vectores tiene lassiguientes propiedades:(1) Propiedad conmutativa:

]]A B B A(2) Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial:

[1.23]A (B C ) (A B ) (A C )

(3) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:[1.24]p (A B ) (pA ) B A (pB )

(4) Ya que (A B) C no se ha definido (el signo se usa slo entre vectores) lapropiedad asociativa no ha lugar a considerarla. Obsrvese, sin embargo, que engeneral es

[1.25](A B ) C A (B C )

(5) Si los vectores A y B son perpendiculares entre s, ser cos =0, y resulta[1.26]A B 0

Esta relacin expresa la condicin de perpendicularidad entre dos vectores.Obsrvese, que el producto escalar de dos vectores puede ser nulo sin que lo seanuno ni otro vector.(6) En particular, para los vectores cartesianos i, j, k, tenemos

[1.27]i i j j k k 1i j i k j k 0

(7) Expresin analtica del producto escalar: Si los vectores A y B se expresan enfuncin de sus componentes cartesianas rectangulares, o sea, A = Axi + Ayj + Azk yB = Bx i + By j + Bz k, entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, setiene

[1.28]A B AxB

xAy By Az Bz

26 Lec. 1.- lgebra vectorial.

de modo que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productosde las componentes cartesianas rectangulares correspondientes.

Con notacin matricial, el producto escalar A B es, simplemente, el productomatricial de la matriz fila de A por la matriz columna de B; esto es,

[1.29]A B

A

x

AyA

z

B

x

ByB

z

Ax

Ay Az

B

x

ByBZ

AxB

xAy By Az Bz

Ejemplo I.- Calcular el producto escalar de los vectores A = i + 2j + 3k y B = 4i - 5j + 6k.

123

45

61 2 3

45

61 4 2 ( 5) 3 6 4 10 18 12

(8) Mdulo de un vector: Para el vector A = Ax i + Ay j + Az k se tiene[1.30]A A A 2 A 2x A

2y A

2z

(9) ngulo formado por dos vectores: De la definicin del producto escalar se sigue

[1.31]cos A BAB

e A e B

expresin que nos permite determinar el ngulo formado por dos vectores dados.(10) Cosenos directores: Se llaman cosenos

Figura 1.10

directores a los cosenos de los ngulos direc-tores formados por el vector con los ejescoordenados (Figura 1.10). Tenemos

[1.32]

cos A iA

Ax

A

cos A jA

AyA

cos A kA

Az

A

de modo que es [1.33]A A (cos i cos j cos k)

con [1.34]e A cos i cos j cos ksiendo eA el versor en la direccin del vector A. Evidentemente, se verifica que la

1.7.- Producto escalar de dos vectores. 27

suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a la unidad; esto es,

[1.35]cos2 cos2 cos2 1(11) El producto escalar de dos vectores no tienen operacin inversa; esto es,si A X = c, no existe una solucin nica para X. Dividir por un vector es unaoperacin sin definir y carente de sentido (Problema 1.17).

1.8. Producto vectorial de dos vectores.- Existe otro tipo de producto de

Figura 1.11

dos vectores ampliamente utilizado en la Fsica. Este producto no es un escalar sinoms bien un vector; i.e., un vector encierto sentido restringido. El productovectorial de A y B, que representare-mos por A B, es un vector cuyomdulo se define como el producto delos mdulos de A y B por el seno delngulo que forman entre s los dosvectores, cuya direccin es perpendicu-lar al plano determinado por ambosvectores, y cuyo sentido es tal que losvectores A, B y A B constituyan untriedro directo (regla del tornillo,Figura 1.7, o de la mano derecha, Figu-ra 1.12). Escribiremos

Figura 1.12

[1.36]AB A B sen e

siendo e el versor normal al plano determinado por losvectores A y B. Por ser esta definicin de naturaleza pura-mente geomtrica, el producto vectorial es independiente delsistema coordenado elegido4.

Se demuestra fcilmente que el producto vectorial dedos vectores tiene las siguientes propiedades:(1) Propiedad anticonmutativa:

[1.37]A B B A

(2) Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial:[1.38]A (B C ) (AB ) (AC )

(3) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:

4 En un sistema de coordenadas inverso (-i,-j,-k), las componentes de los vectores A y Bcambian de signo. Sin embargo, las componentes del vector AB no cambian de signo en lainversin. A los vectores que no cambian de signo en la inversin del sistema coordenado se lesllama seudovectores o vectores axiales. As pues, el producto vectorial es un vector axial.

28 Lec. 1.- lgebra vectorial.

[1.39]p (A B ) (p A ) B A (p B )

(4) Como veremos ms adelante (1.11), el producto vectorial no tienen la propiedadasociativa; esto es, en general ser

[1.40]A(BC ) (AB )C

(5) Si los vectores A y B son mutuamente paralelos, entonces, por ser sen =0, ser[1.41]A B 0

relacin que expresa la condicin de paralelismo entre dos vectores. Obsrvese queel producto vectorial de dos vectores puede ser nulo sin que lo sea ninguno de ellos.(6) En particular, para los versores i, j, k, tenemos

[1.42]

i i 0 i j k ik jj i k j j 0 jk ik i j k j i kk 0

(7) Expresin analtica del producto vectorial: Si los vectores A y B se expresan enfuncin de sus componentes cartesianas, esto es A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i+ By j + Bz k , entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, ser

[1.43]A B (Ay Bz Az By) i (Az Bx Ax Bz) j (Ax By Ay Bx) kexpresin que puede escribirse de un modo ms compacto en forma de determinante

[1.44]A B

i j kA

xAy Az

Bx

By Bz

o bien con notacin matricial

[1.45]A B

Ax

AyA

z

Bx

ByB

z

Ay Bz Az ByA

zB

xA

xB

z

AxBy Ay Bx

pudindose encontrar directamente las componentes del vector A B, sin necesidadde escribir el determinante, mediante la regla operativa que se ilustra en el esquema

1.8.- Producto vectorial de dos vectores. 29

siguiente, donde los crculos oscuros ( ) indican productos con signo positivo y loscrculos claros ( ) indican productos con signo negativo:

Ejemplo II.- Calcular el producto vectorial de los vectores A = i + 2j + 3k y B = 4i - 5j + 6k.

123

45

6

2 6 3 ( 5)3 4 1 6

1 ( 5) 2 4

12 1512 6

5 8

27613

(8) De la definicin del producto vectorial

Figura 1.13

[1.36] se sigue una importante propiedad geo-mtrica del mismo: El mdulo del productovectorial A B representa el rea del paralelo-gramo determinado por los vectores A y B. Enefecto, como se apreciar en la Figura 1.13, es

[1.46]AB A B sen

A h rea del paralelogramo

(9) El producto vectorial no tiene operacin inversa; esto es, si A X=C, no existe unasolucin nica para X. Dividir por un vector es una operacin sin definir y carente desentido (Problema 1.18).

1.9. Representacin vectorial de superficies.- Hemos visto anteriormente que

Figura 1.14

el mdulo de A B representa el rea del paralelogramo definido por los vectores A y B.Esta propiedad nos permite representar el rea del paralelogramo por un vector S perpen-dicular a su plano cuyo mdulo S sea igual a surea. Esta representacin puede extenderse a cual-quier superficie plana (Figura 1.14), ya que siempre lapodremos imaginar descompuesta en un ciertonmero de paralelogramos.

Una vez definido el mdulo y la direccin delvector superficie S, slo nos queda fijar su sentidoque ser el del avance de un tornillo que girase enel sentido atribuido al contorno de la superficie(regla de la mano derecha).

Las componentes del vector S tienen unsignificado simple. Supongamos que el plano de la superficie S forma un ngulo con elplano coordenado xy (Figura 1.15). La proyeccin de la superficie S sobre el plano coordena-do xy es S cos . Pero la direccin normal al plano de la superficie S tambin forma unngulo con el eje z. Por consiguiente, la componente del vector S en la direccin del ejez es Sz = S cos. De este modo, podemos asegurar que las componentes del vector S sobrelos ejes coordenados representan las proyecciones de la superficie plana S sobre los tres

30 Lec. 1.- lgebra vectorial.

planos coordenados respectivos.

Figura 1.15

Si la superficie no es plana (Figura 1.16),siempre ser posible dividirla en un nmeromuy grande de pequeas superficies elemen-tales, cada una de las cuales podr ser consi-derada como plana y representable por unvector Si. De este modo, el vector S querepresenta a una superficie curva ser:

[1.47]S S1 S2 ... S iObsrvese que, en este caso, el mdulo

de S no es igual al rea de la superficiecurva, ya que dicha rea es Si ; sin

emba