Matriz Inversa 2X2
2
Determinar, de manera totalmente general, la inversa de una matriz 2x2. Solucin: Sea A = a b c d una matriz 2x2 totalmente general. Denotemos a la inversa por la derecha como x 1 x 2 x 3 x 4 Debemos tener a b c d x 1 x 2 x 3 x 4 = ax 1 + bx 3 ax 2 + bx 4 cx 1 + dx 3 cx 2 + dx 4 = 1 0 0 1 que nos da un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas 0 B B @ a 0 b 0 0 a 0 b c 0 d 0 0 c 0 d 1 C C A 0 B B @ x 1 x 2 x 3 x 4 1 C C A = 0 B B @ 1 0 0 1 1 C C A Este sistema lo podemos resolver con el mØtodo de reduccin de Gauss-Jordan, 0 B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 b 0 c 0 d 0 0 0 c 0 d 1 1 C C A c a R1+ R3 ! 0 B B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 b 0 c a a + c 0 c a b + d 0 c=a 0 c 0 d 1 1 C C C A 0 B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 b 0 0 0 d bc=a 0 c=a 0 c 0 d 1 1 C C A c a R2+ R4 ! 0 B B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 b 0 0 0 d bc=a 0 c=a 0 c a a + c 0 c a b + d 1 1 C C C A 0 B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 b 0 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 1 C C A b d bc=a R4+ R2 ! 0 B B B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 b d bc=a (d bc=a)+ b b d bc=a 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 1 C C C C A 0 B B B B @ a 0 b 0 1 0 a 0 0 b d bc=a 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 1 C C C C A b d bc=a R3+ R1 ! 0 B B B B B @ a 0 b d bc=a (d bc=a)+ b 0 b d bc=a (c 0 a 0 0 b d bc= 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 0 B B B B B @ a 0 0 0 a d ad bc 0 a 0 0 b d bc=a 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 1 C C C C C A R1 a ; R2 a ! 0 B B B B B @ 1 0 0 0 d ad bc 0 1 0 0 b a 1 d bc=a 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 1 C C C C C A 0 B B B B B @ 1 0 0 0 d ad bc 0 1 0 0 b a 1 d bc=a 0 0 d bc=a 0 c=a 0 0 0 d bc=a 1 1 C C C C C A R3 d bc=a ; R4 d bc=a ! 0 B B B B B B B B B @ 1 0 0 0 d ad bc 0 1 0 0 b a 1 d bc=a 0 0 1 0 c=a d bc=a 0 0 0 1 1 d bc=a 1 C C C C C C C C C A 0 B B B B B B B @ 1 0 0 0 d ad bc 0 1 0 0 b ad bc 0 0 1 0 c ad bc 0 0 0 1 a ad bc 1 C C C C C C C A 1
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Matriz Inversa 2X2
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Determinar, de manera totalmente general, la inversa de una matriz 2x2.Solucin:Sea
A =
a bc d
una matriz 2x2 totalmente general.Denotemos a la inversa por la derecha comox1 x2x3 x4
Debemos tenera bc d
x1 x2x3 x4
=
ax1 + bx3 ax2 + bx4cx1 + dx3 cx2 + dx4
=
1 00 1
que nos da un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas0BB@a 0 b 00 a 0 bc 0 d 00 c 0 d
1CCA0BB@x1x2x3x4
1CCA =0BB@1001
1CCAEste sistema lo podemos resolver con el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan,0BB@a 0 b 0 10 a 0 b 0c 0 d 0 00 c 0 d 1
1CCA caR1 +R3!0BBB@
a 0 b 0 10 a 0 b 0
caa+ c 0 c
ab+ d 0 c=a
0 c 0 d 1
1CCCA0BB@a 0 b 0 10 a 0 b 00 0 d bc=a 0 c=a0 c 0 d 1
1CCA caR2 +R4!0BBB@a 0 b 0 10 a 0 b 00 0 d bc=a 0 c=a0 c
aa+ c 0 c
ab+ d 1
1CCCA0BB@a 0 b 0 10 a 0 b 00 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCA bd bc=aR4 +R2!0BBBB@a 0 b 0 1
0 a 0 bd bc=a (d bc=a) + b
b
d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCCCA0BBBB@a 0 b 0 1
0 a 0 0 bd bc=a
0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCCCA bd bc=aR3 +R1!
0BBBBB@a 0 b
d bc=a (d bc=a) + b 0 b
d bc=a (c=a) + 1
0 a 0 0 bd bc=a
0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCCCCA0BBBBB@a 0 0 0 a
d
ad bc0 a 0 0 b
d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCCCCAR1
a;R2
a!
0BBBBB@1 0 0 0
d
ad bc0 1 0 0 b
a
1
d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCCCCA0BBBBB@1 0 0 0
d
ad bc0 1 0 0 b
a
1
d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1
1CCCCCAR3
d bc=a ;R4
d bc=a!
0BBBBBBBBB@
1 0 0 0d
ad bc0 1 0 0 b
a
1
d bc=a0 0 1 0
c=ad bc=a
0 0 0 11
d bc=a
1CCCCCCCCCA0BBBBBBB@
1 0 0 0d
ad bc0 1 0 0 b
ad bc0 0 1 0 c
ad bc0 0 0 1
a
ad bc
1CCCCCCCA
1
-
Por tanto,
x1 =d
ad bcx2 =
bad bc
x3 =c
ad bcx4 =
a
ad bcEs claro que
detA = det
a bc d
= ad bc
as que
x1 =d
detA
x2 =bdetA
x3 =cdetA
x4 =a
detAy nalmente tenemos la matriz inversa
A1 =1
detA
d bc a
Es fcil vericar que esta matriz es tambin la inversa por la izquierda,
A1A =1
detA
d bc a
a bc d
=
1 00 1
2
