1. Mtodo Gauss Jordan 2. IntroduccinMatriz inversa: Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de Ay se denota A-1 a una matriz del mismo orden que Aque verifica la siguiente igualdad: 1 1(Siendo I la matriz identidadA. A A .AI de igual orden que A) Si una matriz posee inversa se dice que es invertible encaso contrario se llama singular, debido a que no todaslas matrices cuadradas pueden tener inversa. 3. Ejemplo: Sea A=21 1 1 , hallar si es posible A-1 Multiplico los elementos de 1 las filas de la primer matriz A. A Ipor los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos: 21 a b 1 0.Para la fila 1, columna 1: 1 1c d 0 12.a+(-1).c=2.a-c Para la fila 1, columna 2: 2.b+(-1).d=2.b-d 2a c 2b d 1 0 Para la fila 2, columna 1: 1.a+1.c=a+ca c b d0 1 Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+dAhora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1 4. Ejemplo: Sea A=21 1 1 , hallar si es posible A-1 A partir de esta igualdad podemos 2a c 2b d1 0deducir las siguientes ecuaciones: 2.a-c=1 2b-d=0 a c b d0 1a+c=0 b+d=12a c 1 2b d0 Armar estos sistemas de ecuacionesa c 0b d 12a c 12b d 0 b d 1Y resolverlos por alguno de los mtodos vistos a c 0(suma, resta, igualacin, sustitucin, etc) 3a 0c 1 3b 0d 1 3a 13b 1a 1/ 3 b 1/ 3 En este caso fue resuelto por la suma de cad 1 b las ecuaciones del sistema y el posterior d 1 1/ 3despeje de las incgnitas. c1/ 3 d 2/3 5. Ejemplo:Sea A= 2 1 11, hallar si es posible A-1Ahora que se el valor de mis incgnitas las ubico en la matriz y verifico que sea lamatriz inversa de A 1A. A IPara la fila 1, columna 1:2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1Para la fila 1, columna 2:21 a b2.(1/3)+(-1).(2/3)=0 .Para la fila 2, columna 1:11 cd 1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+d 1121 33 1 0 El resultado coincide con .1 1 1 2 0 1 los valores de la identidad3 3 6. Ejemplo:Sea A= 2 1 11, hallar si es posible A-1 lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A 11 1 33 A1 23 3 7. El mtodo recin explicado resulta sencillo con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incgnitas. es por ello que veremos el mtodo Gauss Jordan. 8. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 Preparacin de la matriz:A=1 2 2 2 1 1Para facilitar el entendimiento del mtodo utilizaremos una grilla1. En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra matriz en orden y respetando su ubicacin original10 110 012 201 02 1 1 00 12. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad 9. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento: 1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de lamatriz dada, y se divide por l la fila correspondiente.En este caso elijo el 1 paraahorrar cuentas, ya quedebo dividir cada elemento 1 011 0 0de la fila por el numeroque elijo. 1 2 2 0 1 0 21 10 0 1Por lo tanto, debido a queeleg el 1 se mantienen losvalores de la fila 1 0 1 1 0 0 10. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:2. Los restantes elementos de la columna del pivote setransforman en cero.1 01 1 0 01 2 20 1 021 1 0 0 11 0 11 0 000 11. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo Seleccionamos elQue consiste enelemento a transformar restarle a dicho1 011 0 0 elemento el producto Entre el pivote y elcontra diagonalelemento seleccionado 1 2 2 0 1 0 hay un rectngulodividido por el pivote21 10 0 1imaginarioEntonces, para determinar Siendo la diagonal la1 0 1 1 0 0lnea que va del pivoteeste elemento debemos al 2 la contra 0 2hacer la sig. cuenta diagonal seria la que2-(1.0)/1= 2va del 0 al 1 0 Y lo ubicamos en la tabla 12. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectnguloAhora seleccionamosotro elemento atransformar1 011 0 01 2 2 -2 - [1.(-1)]/1 =Armamos el rectngulo 0 1 0imaginario-2 - (-1) =21 10 0 1 -2 + 1 = -1 Y determinamos los 1 0 1 1 0 0Y as sucesivamente elementos de la hasta completar la contra diagonal para 0 2-1tabla hacer la transformacin 0 13. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 0-( 1 . 1 )/1= -110110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-10 14. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 1-( 1 . 0 )/1= 110110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-110 15. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 0-( 1 . 0 )/1=010110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-1100 16. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo -1-( 2 . 0 )/1=-110110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-11 00 -1 17. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 1-( 2 . -1 )/1=310110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-11 00 -1 3 18. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 0-( 2 . 1 )/1=-210110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-11 00 -1 3-2 19. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 0-( 2 . 0 )/1=010110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-11 00 -1 3-20 20. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en lacolumna del pivote se determina por la regla del rectngulo 1-( 2 . 0 )/1=110110 012 2 01 02 1 100 11 01 10002-1-11 00 -1 3-20 1 21. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 1 Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la1 0 1 10 0 fila ni a la columna del pivote anterior, y se02 -1 -1 1 0 divide por l la fila correspondiente. 0 -13 -2 0 1Los restantes0 elementos de lacolumna del pivote se 01 - - 0transforman en cero. 0 22. Mtodo Gauss Jordan.Seleccionamos el 1 0110 0El transformado de todo elemento a 1 2 2 elemento que no figuretransformar01 0en la fila ni en la 21 100 1columna del pivote se Entre el pivote y eldetermina por la reglaelemento seleccionado1 0 1 10 0del rectngulo hay un rectnguloimaginario 02 -1 -1 1 0 0 -13 -2 0 1 Entonces, para determinar este elemento debemosSiendo la diagonal la lnea que va del pivote 10hacer la sig. cuenta1-(0.0)/1= 1 al 1 la contra diagonalseria la que va del 0 al 0 01 - - 0 Y lo ubicamos en la tabla0 23. Mtodo Gauss Jordan. 1 0110 0 1 2 2 01 0 Y ahora se repitenlos pasos hasta que 21 100 1 se completa la 1 0 1tabla. 10 0 02 -1 -1 1 0 0 -13 -2 0 10-(0.-1)/2= 0 10 01 - - 0 00 24. Mtodo Gauss Jordan. 1 01 10 0 1 2 201 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 1 00 1 se completa la 1 0 1 tabla.10 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 1 3-(-1.-1)/2= 5/2 10 01 -- 0 00 5/2 25. Mtodo Gauss Jordan. 1 011 0 0 1 2 2 0 1 0Y ahora se repitenlos pasos hasta que 21 10 0 1se completa la 1 0 1tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 1 -2-(-1.-1)/2= -5/2 10 01 -- 0 00 5/2 -5/2 26. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 10 0 1 se completa la 1 0 1 tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 1 0-(-1.1)/2= 1/2 10 01 -- 0 00 5/2 -5/2 27. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 10 0 1 se completa la 1 0 1 tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 11-(-1.0)/2= 1 10 01 -- 0 00 5/2 -5/2 1 28. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 10 0 1 se completa la 1 0 1 tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 10-(0.0)/2= 0 100 01 -- 0 00 5/2 -5/2 1 29. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 10 0 1 se completa la 1 0 1 tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 10-(1.0)/2= 0 100 0 01 -- 0 00 5/2 -5/2 1 30. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 10 0 1 se completa la 1 0 1 tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 11-(-1.0)/2= 1 101 0 0 01 -- 0 00 5/2 -5/2 1 31. Mtodo Gauss Jordan. 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten los pasos hasta que 21 10 0 1 se completa la 1 0 1 tabla. 1 0 0 02 -1-1 1 0 0 -13-2 0 1 -1-(-1.0)/2= -1 10 -1 1 0 0 01 -- 0 00 5/2 -5/2 1 32. Mtodo Gauss Jordan. Una vez completa, 1 0 1 1 0 0 repito los pasos hasta obtener una 1 2 2 0 1 0 matriz identidad 21 10 0 1 en la columna A y la inversa de A en 1 0 1 1 0 0 la columna I 02 -1-1 1 0 Como puede verse aqu aun hace falta 0 -13-2 0 1 otro cuadrante para cumplir con la 10 -1 1 0 0 condicin 01 -- 0 00 5/2 -5/2 1 33. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 0Una vez completa,21 100 1repito los pasoshasta obtener una1 0 1 10 0matriz identidad Elijo mi tercerY aplico laen la columna A y pivote02 -1-110 regla della inversa de A en0 -1301 cuadrado alla columna I Divido los resto de losComo puede verse elementos de 10 -1 1 00elementosaqu aun hace falta su fila por el otro cuadrante pivote01 -- 0para cumplir con la Reemplazo por 000 5/2 -5/2 1condicin los elementos de 10 la columna1-(-1.0)/5/2= 1 000 1 -1 1/5 2/5 34. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 1 los elementos de0 la columna100-(-1.0)/5/2= 0 000 1 -1 1/5 2/5 35. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercerY aplico la pivote02 -1-110 regla del0 -1301 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 10 -1 1 00elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 1 los elementos de0 la columna101-(-1/2.0)/5/2= 1 1 000 1 -1 1/5 2/5 36. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercerY aplico la pivote02 -1-110 regla del0 -1301 cuadrado al Divido los resto de los elementos de 10 -1 1 00elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 1 los elementos de0 la columna101-(-1/2.0)/5/2= 101 000 1 -1 1/5 2/5 37. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 1-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1 los elementos de0 la columna1001 0 -100 1 -1 1/5 2/5 38. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 11/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5 los elementos de0 la columna1001 0 -1 3/500 1 -1 1/5 2/5 39. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 10-(-1/2.1)/5/2= 1/5 los elementos de0 la columna1001 0 -1 3/5 1/500 1 -1 1/5 2/5 40. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 11-(-1.-5/2)/5/2= 0 los elementos de0 la columna10001 0 -1 3/5 1/500 1 -1 1/5 2/5 41. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 10-(1/2.-1)/5/2= 1/5 los elementos de0 la columna100 1/501 0 -1 3/5 1/500 1 -1 1/5 2/5 42. Mtodo Gauss Jordan.1 0110 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 0 Elijo mi tercer Y aplico la pivote02 -1-110regla del0 -1301cuadrado al Divido losresto de los elementos de 10 -1 1 00 elementos su fila por el pivote01 -- 0 Reemplazo por 000 5/2 -5/2 10-(-1.1)/5/2= 2/5 los elementos de0 la columna100 1/5 2/501 0 -1 3/5 1/500 1 -1 1/5 2/5 43. Mtodo Gauss Jordan.1 0 1 10 01 2 2 01 021 100 11 0 1 10 002 -1-1100 -130110 -1 1 0001 -- 000 5/2 -5/2 110 00 1/5 2/5 Esta seria nuestra01 0 -1 3/5 1/5 matriz inversa00 1 -1 1/5 2/5 44. Mtodo Gauss Jordan.Entonces, resulta que la inversa de A es: 01/ 5 2 / 51 3 / 5 1/ 51 1/ 5 2 / 5