Determinar, de manera totalmente general, la inversa de una matriz 2x2.Solucin:Sea

A =

a bc d

una matriz 2x2 totalmente general.Denotemos a la inversa por la derecha comox1 x2x3 x4

Debemos tenera bc d

x1 x2x3 x4

=

ax1 + bx3 ax2 + bx4cx1 + dx3 cx2 + dx4

=

1 00 1

que nos da un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas0BB@a 0 b 00 a 0 bc 0 d 00 c 0 d

1CCA0BB@x1x2x3x4

1CCA =0BB@1001

1CCAEste sistema lo podemos resolver con el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan,0BB@a 0 b 0 10 a 0 b 0c 0 d 0 00 c 0 d 1

1CCA caR1 +R3!0BBB@

a 0 b 0 10 a 0 b 0

caa+ c 0 c

ab+ d 0 c=a

0 c 0 d 1

1CCCA0BB@a 0 b 0 10 a 0 b 00 0 d bc=a 0 c=a0 c 0 d 1

1CCA caR2 +R4!0BBB@a 0 b 0 10 a 0 b 00 0 d bc=a 0 c=a0 c

aa+ c 0 c

ab+ d 1

1CCCA0BB@a 0 b 0 10 a 0 b 00 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCA bd bc=aR4 +R2!0BBBB@a 0 b 0 1

0 a 0 bd bc=a (d bc=a) + b

b

d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCCCA0BBBB@a 0 b 0 1

0 a 0 0 bd bc=a

0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCCCA bd bc=aR3 +R1!

0BBBBB@a 0 b

d bc=a (d bc=a) + b 0 b

d bc=a (c=a) + 1

0 a 0 0 bd bc=a

0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCCCCA0BBBBB@a 0 0 0 a

d

ad bc0 a 0 0 b

d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCCCCAR1

a;R2

a!

0BBBBB@1 0 0 0

d

ad bc0 1 0 0 b

a

1

d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCCCCA0BBBBB@1 0 0 0

d

ad bc0 1 0 0 b

a

1

d bc=a0 0 d bc=a 0 c=a0 0 0 d bc=a 1

1CCCCCAR3

d bc=a ;R4

d bc=a!

0BBBBBBBBB@

1 0 0 0d

ad bc0 1 0 0 b

a

1

d bc=a0 0 1 0

c=ad bc=a

0 0 0 11

d bc=a

1CCCCCCCCCA0BBBBBBB@

1 0 0 0d

ad bc0 1 0 0 b

ad bc0 0 1 0 c

ad bc0 0 0 1

a

ad bc

1CCCCCCCA

1

Por tanto,

x1 =d

ad bcx2 =

bad bc

x3 =c

ad bcx4 =

a

ad bcEs claro que

detA = det

a bc d

= ad bc

as que

x1 =d

detA

x2 =bdetA

x3 =cdetA

x4 =a

detAy nalmente tenemos la matriz inversa

A1 =1

detA

d bc a

Es fcil vericar que esta matriz es tambin la inversa por la izquierda,

A1A =1

detA

d bc a

a bc d

=

1 00 1

2