Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2n BAT€¦ · -Alacant- Tema: Matrius i...

Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 1

Matrices y Determinantes para Matemáticas II.

2n BAT

* Definición de matriz

* Tipos de matrices

* Operaciones con matrices

* Matriz inversa

* Rango de una matriz

* Determinante de una matriz

* Propiedades

* PROBLEMAS RESUELTOS

* TEST DE COMPRENSIÓN

Prof. Ximo Beneyto

IES Sant Blai

Alacant

-Alacant-


MATRICES

MATRIZ

A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, ·), el cuerpo de los números reales

(ú , +, ·), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente

"elementos de la matriz", en nuestro caso serán números reales.

NOTACIÓN NOTACIÓN NOTACIÓN NOTACIÓN

Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le

llamamos Mmxn (ú) o simplemente Mmxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es CUADRADA,

notamos Mn.

Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y

cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( aij ) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n. Donde

"i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento..

Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos

DIME�SIO�ES o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición:

fila "i" columna "j" le representamos por aij.

Ejemplo: A =

2 1 &3

5 4 6

4 1 2

0 0 0 4×3

COLUM�AS9999 9999 9999 9999 9999

FILAS

6666

6666

6666

6666

6666

a11 a12 a13 ··· a1n

a21 a22 a23 ··· a2n

a31 a32 a33 ··· a3n

!!!! !!!! !!!! !!!! !!!!

am1

am2

am3

··· amn

Definición:

Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m · n elementos de un cuerpo (K, +, ·),

dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma:

-Alacant-


A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son:

a11=2

a23= 6

a42= 0

* Los elementos de una matriz de la forma aii se dice que forman la DIAGO�AL PRI�CIPAL

de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por los números, 2,

4 y 2.

* Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIME�SIO�ALES.

* Dos matrices EQUIDIME�SIO�ALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos

elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices.

Ejemplo : Para que A =1 2

3 4y B =

1 2

3 asean iguales, a = 4

* Asociado a toda matriz cuadrada tenemos su DETERMI�A�TE obtenido mediante reglas

y propiedades que veremos más adelante de, notaremos, det(A) ó * A *.

TIPOS DE MATRICES

* Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices*.

1.-MATRIZ FILA

También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz 1 x n.

Ejemplo :

A = 1 2 3 4 7 1x5

B = -1 2 3 1x3 son MATRICES FILA.

* Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices,

producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación.

1.-MATRIZ COLUM�A

También se le llama VECTOR COLUMNA, y es una matriz m x 1.

-Alacant-


Ejemplo: A =

1

-1

3

5 4x1

; B =

1

2

3

4

5 5x1

son matrices columna.

3.-MATRIZ �ULA

Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la

representamos por Omxn.

Ejemplo:

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Es la matriz nula 3x5

4.- MATRIZ OPUESTA

Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos

cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( aij ) Y

- A = ( -aij )

Ejemplo: Si A =1 2 3

&4 &5 &6su matriz opuesta es & A =

-1 -2 -3

4 5 6

-Alacant-


Ejemplo: A '

2 7 1

9 2 4

1 3 &1

es una matriz cuadrada de orden 3. A 0 M3

5.- MATRIZ TRASPUESTA

Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos At , a la matriz que

obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( aij ) Y

At = ( aji )

5.1.- Propiedades de la trasposición de matrices:

i) (At)t = A

ii) ( A + B)t = At + Bt

iii) ( A · B )t = Bt · At ( Si el producto A·B está definido )

iv) (a · A)t = a · At, a0ú0ú0ú0ú

Ejemplo: Si A =

&2 7 1

9 1 2

0 3 1

la matriz traspuesta A t =

-2 9 0

7 1 3

1 2 1

Observa, que al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables

6.- MATRIZ CUADRADA

Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número

de filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz

cuadrada se le llama ORDE� de la matriz.

-Alacant-


Dentro del conjunto de las matrices cuadradas, vamos a citar alguno de los tipos m á s

importantes:

6.1 MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 Mn es una matriz simétrica si es igual

que su matriz traspuesta, es decir:

A 0 Mn es SIMÉTRICA ] At = A

Ejemplo: A '

2 5 7

5 1 3

7 3 0

es una matriz simétrica

6.2 MATRIZ A�TISIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 Mn es antisimétrica si es igual que su matriz

opuesta, es decir:

A 0 Mn es ANTISIMÉTRICA ] At = - A

Ejemplo: A '

0 2 &1

&2 0 3

1 &3 0

es una matriz antisimétrica

Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen

invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por

ceros. Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz

SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+At ) + ½( A - At ))

6.3 MATRIZ TRIA�GULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn es triangular inferior/superior si todos los

elementos de la misma situados por encima/debajo de la diagonal principal

son

-Alacant-


Ejemplo: A '

2 3 0 1

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

es una matriz TRIA)GULAR SUPERIOR.

6.4 MATRIZ DIAGO�AL

Una matriz cuadrada A 0 Mn es diagonal, si todos sus elementos son

nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal.

Ejemplo: A '

2 0 0

0 1 0

0 0 &2

es una matriz diagonal.

6.5 MATRIZ U�IDAD

Llamamos matriz unidad de orden n y notamos In, a la matriz diagonal,

cuya diagonal está formada por unos.

Ejemplo: A '

1 0 0

0 1 0

0 0 1

es la matriz unidad de orden 3.

-Alacant-


6.6 MATRIZ REGULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn, es regular, si su determinante es distinto de

cero.

A 0 Mn es regular si det(A) … 0.

[Las matrices regulares tienen gran importancia en el estudio matricial y sus

aplicaciones, al ser las únicas que admiten matriz inversa ]

Ejemplo: A '

2 1 3

1 1 1

0 0 1

es una matriz regular ( det (A) ' 1 Y … 0 ) .

6.7 MATRIZ SI�GULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn, es singular, si su determinante es cero.

A 0 Mn es singular si det(A) = 0.

Ejemplo: A '2 4

&1 &2es una matriz singular ( det (A) ' 0 )

-Alacant-


6.8 MATRIZ I�VERSA

Dada una matriz regular A 0 Mn ( det(A) … 0 ), llamamos matriz inversa de A

y notamos A-1 a la única matriz de Mn, que cumple:

A · A-1 = A-1 · A = In

Propiedades de la inversión de matrices:

i) ( A-1)-1 = A

ii) ( A · B )-1 = B-1 · A-1

iii) ( I )-1 = I

iv) ( At)-1 = ( A-1)-t

v) ( 8888A)-1 = 8888A-1

Ejemplo: Sea A '

2 1 3

1 1 1

0 0 1

su MATRIZ I)VERSA es: A &1 '

1 &1 &2

&1 2 1

0 0 1

6.9 MATRIZ ORTOGO�AL

Una matriz cuadrada A, es ortogonal, si su inversa coincide con su traspuesta

A-1 = At

Ejemplo: A '

2

6

1

30

&1

6

1

3

1

2

&1

6

1

3

&1

2

es una MATRIZ ORTOGO)AL A &1 ' A t.

-Alacant-


6.10 MATRICES SEMEJA�TES

Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A,B, decimos que A y B son

SEMEJA�TES, si existe una matriz regular P /

B = P-1 · A · P.

Propiedades: Si A y B son matrices SEMEJA�TES YYYY

i) Tienen el mismo determinante.

ii) Tienen el mismo rango.

iii) Tienen el mismo polinomio característico.

Ejemplo:

Sea B '

2 0 0

0 3 0

0 0 1

6 A '

2 3 1

0 1 4

0 0 3

es SEMEJA)TE a B

pues existe la matriz P '

1 &3 &7

0 1 4

0 0 2Tal que B ' P &1 · A · P

6.11 MATRIZ ADJU�TA

Dada una matriz A, llamamos matriz adjunta de A, y notamos adj(A), a la matriz que

obtenemos reemplazando cada elemento de la matriz A , por el determinante que resulta de

suprimir la fila y la columna en la que se encuentra el elemento aij , multiplicado por (-1)i+j.

Notamos Aij al adjunto de aij en la matriz A.

-Alacant-


Ejemplo: Sea A '

1 6 3

0 1 3

&1 1 0

Y adj(A)'

&3 &3 1

3 3 &7

15 &3 1

ADJU)TOS:

A11 ' (&1)1%1 /000

/0001 3

1 0' &3 ; A12 ' (&1)

1%2 /000/000

0 3

&1 0' &3 ; A13 ' (&1)

1%3 /000/000

0 1

&1 1' 1

A21 ' (&1)2%1 /000

/0006 3

1 0' 3 ; A22 ' (&1)

2%2 /000/000

1 3

&1 0' 3 ; A23 ' (&1)

2%3 /000/000

1 6

&1 1' &7 ;

A31 ' (&1)3%1 /000

/0006 3

1 3' 15 ; A32 ' (&1)

3%2 /000/000

1 3

0 3' &3 ; A33 ' (&1)

3%3 /000/000

1 6

0 1' 1

En particular, empleando esta matriz, podemos definir la matriz inversa A-1 = adj(A)/det(A),

como veremos más adelante.

OPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES

A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las

matrices de "m" filas y "n" columnas, Mmxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, ·).

1. SUMA DE MATRICES

Sean A = ( aij ) 0 Mmxn y B = ( b i j ) 0 Mmxn, definimos la SUMA DE

MATRICES A + B, a la matriz

A+B = ( aij + bij ) 0000 Mmxn.

Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas

matrices situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí

matrices EQUIDIMENSIONALES.

-Alacant-


Ejemplo :

2 3 4 1

1 2 0 1

0 1 1 2

%

1 1 0 &1

0 0 1 0

1 2 1 3

'

3 4 4 0

1 2 1 1

1 3 2 5

PROPIEDADES:

1. ASOCIATIVA ( A + B ) + C = A + ( B + C ). œœœœ A, B, C 0000 Mmxn

2. CO�MUTATIVA A + B = B + A œœœœ A, B 0000 Mmxn

3. ELEME�TO �EUTRO œœœœ A 0000 Mmxn ›››› O 0000 Mmxn / A + O = O + A = A.

( Pues claro !! la matriz nula de Mmxn.)

4. ELEME�TO SIMÉTRICO œœœœ A 0000 Mmxn ››››(-A) 0000 Mmxn / A + (-A) = (-A) + A = O

( Sí, sí, la matriz opuesta )

Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de

matrices), el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de GRUPO

ABELIA�O.

( Mmxn, + ) GRUPO ABELIA�O ( o Grupo Conmutativo )

PRODUCTO DE U� �UMERO REAL POR U�A MATRIZ

Sea A = ( aij ) 0000 Mmxn y a 0 ú

Definimos el PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ a·A

a·A = ( a · aij) 0000 Mmxn

Es decir, el producto de un número real por una matriz se efectúa multiplicando por

dicho número todos los elementos de la matriz.

( �ota: Observa que hemos definido a· A y no A ·a, con lo cual, un producto tipo

A· ( a· v ) debemos expresarlo como a· (A · v) )

Ejemplo: 4 ·2 3 4

1 2 0'

8 12 16

4 8 0

PROPIEDADES

1. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO POR U� �ÚMERO RESPECTO DE LA SUMA DE

MATRICES a · ( A + B ) = a · A + a · B œ A, B 0 Mmxn y œ a 0 ú

-Alacant-


2. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA E� úúúú RESPECTO DEL PRODUCTO DE U� �UMERO

POR U�A MATRIZ

( a + b ) · A = a · A + b · A œ A 0 Mmxn y œ a , b 0 ú

3. ASOCIATIVIDAD MIXTA .. a · ( b · A ) = ( a · b ) · A œ A 0 Mmxn y œ a , b 0 ú

4. �EUTRALIDAD.. 1 · A = A œ A 0 Mmxn y 1 0 ú

Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (SUMA DE

MATRICES) junto con las de la ley de composición externa ( PRODUCTO DE U� �ÚMERO

REAL POR U�A MATRIZ ) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene

estructura de ESPACIO VECTORIAL REAL.

( Mmxn(úúúú) , + , · ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real

À Condición para poder multiplicar A · Bnº de COLUM)AS de A ' nº de FILAS de B

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ..... a2n

.. .. .. ... ..

.. .. .. ... ..

am1

am2

am3... a

mn

·

b11 b12 b13 ... b1p

b21 b22 b23 ..... b2p

.. .. .. ... ..

.. .. .. ... ..

bn1

bn2

bn3... b

np

'

'n

j'1a1jbj1 '

n

j'1a1jbj2 ..... '

n

j'1a1jbjp

'n

j'1a2jbj1 '

n

j'1a2jbj2 ... '

n

j'1a2jbjp

.. .. ... ..

.. .. ... ..

'n

j'1amjbj1

'n

j'1amjbj2... '

n

j'1amjbjp

3. PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas

condiciones dimensionales para que el producto de las mismas sea factible.

Dos matrices: A 0 Mmxn , A = ( aij ) y B 0 Mnxp , B = ( bjk ) , se pueden multiplicar en este

orden ,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B

En este caso definimos el producto de matrices: A·B (En este orden ), de la siguiente

forma:

-Alacant-


Ejemplo: Sean las matrices :

A '1 2

4 5

B '2 1

1 3

A · B '1 2

4 5·2 1

1 3'

4 7

13 19

B · A '2 1

1 3·1 2

4 5'

6 9

13 17

Observamos que son

matrices distintas.

Por tanto A · B … B · A

Observa, que en el ejemplo anterior, el producto B·A no se podría hallar. El producto de dos matrices no

es conmutativo, es decir, aunque se puedan multiplicar A·B y B·A, el resultado no siempre es el mismo.

En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre Mn, es decir, matrices

CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades:

I. PROPIEDAD ASOCIATIVA (A · B) · C = A · (B · C) œœœœ A, B, C 0000 Mn

II. ELEME�TO �EUTRO œœœœ A 0000 Mn, ›››› I 0000 Mn / A · I = I · A = A

Y junto con la suma de matrices definida anteriormente:

I. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA RESPECTO DEL PRODUCTO

(A+B)·C = A·C+B·C œ A, B, C 0 Mn

II. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA

A·(B + C) = A·B + A·C œ A, B, C 0 Mn

Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES:

( Mn, + , · ) tiene estructura de A�ILLO U�ITARIO y no CO�MUTATIVO.

[ No debes confundir el producto (·) de Matrices con el producto por un número real (·), a pesar

de que empleemos el mismo símbolo].

POTE�CIA n.SIMA DE U�A MATRIZ

Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar

potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como

-Alacant-


Ejemplo: Dada la matriz A '

1 0 1

0 1 0

1 0 1

Hallar A n

A 2 '

1 0 1

0 1 0

1 0 1

·

1 0 1

0 1 0

1 0 1

'

2 0 2

0 1 0

2 0 2

A 3 ' A 2 · A '

2 0 2

0 1 0

2 0 2

·

1 0 1

0 1 0

1 0 1

'

4 0 4

0 1 0

4 0 4

'

22 0 22

0 12 0

22 0 22

A 4 ' A 3 · A '

4 0 4

0 1 0

4 0 4

·

1 0 1

0 1 0

1 0 1

'

8 0 8

0 1 0

8 0 8

'

23 0 23

0 1 0

23 0 23

indique el exponente, así:

A2 = A · A, A3 = A · A · A = A2 · A, etc.

En ocasiones, podemos encontrar una relación entre An y sus elementos mediante una fórmula,

lo cual nos da lugar a la potencia n.sima de una matriz.

A n '

2n&1 0 2n&1

0 1 0

2n&1 0 2n&1

-Alacant-


Proceso

de Inversa

1.& Trasponer. ( Hallar A t )

2.& Adjunta. (Hallar la adjunta de la traspuesta ¡ Ojo con los signos ! )

3.& Dividir por el Determinante.

Podemos establecer, pues, el proceso de cálculo de la matriz inversa

MATRIZ I�VERSA

Dada una matriz regular ( det(A) … 0 ), A 0000 Mn, decimos que A es una matriz

INVERTIBLE ( o que tiene matriz inversa), si existe una matriz A-1 0000 Mn, :

/ A · A-1 = A-1 · A = In.

Para obtener la matriz A-1, hay varios procedimientos ( Método de Gauss, Lange-

Gale, etc. ), en este apartado , vamos a obtener la matriz inversa tal como

definimos en la introducción.

A &1 'adj (A t)det(A)

Inversa = Adjunta de la traspuesta dividida por el determinante.

En la práctica consideraremos invertibles aquellas matrices cuyo

determinante sea distinto de cero (Matrices regulares).

-Alacant-


Ejemplo: Hallar la matriz inversa de :

1 2 3

4 &1 1

1 0 1

; det(A) ' &4

Traspuesta '

1 4 1

2 &1 0

3 1 1

Adjunta '

%(&1) &(2) %(5)

&(3) %(&2) &(&11)

%(1) &(2) %(&9)

Á

/000/000

&1 0

1 1&/000

/0002 0

3 1/000

/0002 &1

3 1

&/000/000

4 1

1 1/000

/0001 1

3 1&/000

/0001 4

3 1

/000/000

4 1

&1 0&/000

/0001 1

2 0/000

/0001 4

2 &1

A &1 '

&1&4

&2&4

5&4

&3&4

&2&4

11&4

1&4

2&4

&9&4

'

14

12

&54

34

12

&114

&14

&12

94

Comprobamos el resultado :

14

12

&54

34

12

&114

&14

&12

94

1 2 3

4 &1 1

1 0 1

'

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Resolviendo una ecuación matricial con la matriz inversa

-Alacant-


Ejemplo: Resolver matricialmente :

x %2y &z ' 1

2x %y %3z ' 14

x %y %z ' 6

La expresión matricial del sistema, será :

1 2 &1

2 1 3

1 1 1

·

x

y

z

'

1

14

6

y como observamos que la matriz es REGULAR :

x

y

z

'

1 2 &1

2 1 3

1 1 1

&1

·

1

14

6I)VERSA:

66Traspuesta '

1 2 1

2 1 1

&1 3 1

6 Adjunta '

&2 &3 7

1 2 &5

1 1 3

6adj

det6 A &1 '

2 3 &7

&1 &2 5

&1 &1 3

x

y

z

'

2 3 &7

&1 &2 5

&1 &1 3

·

1

14

6

'

2

1

3

6/00000000

x'2

y'1

z'3

Ejemplo : Dadas las matrices A, B, C 0 Mn ,todas ellas regulares, hallar la matriz X 0

Mn / A · X · B · C-1 = B·A

Paso a paso : A · X · B · C-1 = B · A

( Multiplicamos por A-1 (izquierda) ) A-1 · A · X · B · C-1 = A-1 · B · A

( Ordenamos ) X · B · C-1 = A-1 · B · A

( Multiplicamos por C (derecha) ) X · B · C-1 · C = A-1 · B · A · C

( Ordenamos ) X · B = A-1 · B · A · C

( Multiplicamos por B-1 (derecha) ) X · B · B-1 = A-1 · B · A · C · B-1

( Ordenamos ) X = A-1 · B · A · C · B-1

SOLUCIÓN : X = A-1 · B · A · C · B-1

A primera vista, da la impresión de poderse simplificar aún más el resultado, pero, al no poder

colocar las matrices en el orden deseado para multiplicarlas, debido a la no conmutatividad del

producto de matrices, hemos de dejarlo así.

Fundamental: El lado por el cual multiplicamos la matriz correspondiente en la ecuación

-Alacant-


RA�GO DE U�A MATRIZ

Llamamos rango de una matriz dada A 0000 Mmxn, al número de vectores fila/columna

linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO

de una matriz A:

Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A).

Propiedades:

i. El RA�GO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra

u otras filas/columnas multiplicadas por constantes.

ii. El RA�GO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas

( Rango (A) = Rango (At) )

iii. El RA�GO de una matriz es el ORDE� DEL MAYOR ME�OR no nulo

de la matriz A.

iv. El RA�GO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de

ceros.

v. El RA�GO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea

combinación lineal de otras filas/columnas.

-Alacant-


Ejemplos: De una forma intuitiva podemos establecer el Rango de estas matrices :

A '

1 &1 0 1

1 &1 0 1

1 &1 0 1

1 &1 0 1

1 &1 0 1

6 Rang(A) ' 1Hay una única fila

Linealmente Independiente

B '

1 0 0

0 1 0

0 0 1

6 Rang(B) ' 3 ( Las tres filas son Independientes. )

C'

0 0 0

0 0 0

0 0 0

6 Rang(C) ' 0

MÉTODOS DE CALCULO DEL RA�GO DE U�A MATRIZ

1) Método del PIVOTE

2) Método de MENORES ORLADOS

1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE

Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir

efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones

lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango.

De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal

principal, pivotando sobre los elementos a11 , a22, así sucesivamente.

El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado

e interpretado el proceso.

No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre

filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del

cálculo de determinantes :

Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera. Eso

sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el valor del

RANGO de la matriz.

-Alacant-


Ejemplo:

Hallar el rango de la matriz :

2 &1 0 1

1 2 1 2

&1 1 3 1

3 1 1 3

2 2 4 4Pivotando sobre el elemento a11 ' 2,Convertimos en ceros los restantes

elementos situados por debajo de a11 en la primera columna

/00000000000000000

2 &1 0 1

1 2 1 2

&1 1 3 1

3 1 1 3

2 2 4 4

2 &1 0 1

0 &5 &2 &3 &2F2 % F1

0 1 6 3 2F3 % F1

0 5 2 3 %2F4 & 3F1

0 3 4 3 F5 & F1

Pivotando sobre el elemento a22' &5

Convertimos en ceros los restantes elementossituados por debajo de a22 en la segunda columna

/00000000000000000

2 &1 0 1

0 &5 &2 &3

0 1 6 3

0 5 2 3

0 3 4 3

2 &1 0 1

0 &5 &2 &3

0 0 28 12 5F3 % F2

0 0 0 0 F4 % F2

0 0 14 6 5F5 % 3F2

Pivotando sobre el elemento a33'28

Convertimos en ceros los restanteselementos situados por debajo de a33 en la tercera columna

/00000000000000000

2 &1 0 1

0 &5 &2 &3

0 0 28 12

0 0 0 0

0 0 14 6

2 &1 0 1 7

0 &5 &2 &3 7

0 0 28 12 7

0 0 0 0

0 0 0 0 &2F5 % F3Por lo tanto, el rango de la matriz es 3.

Ya que quedan tres filas con algún elemento … 0.

Observa con detalle los siguientes ejemplos

-Alacant-


Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A , según valores de a 0 ú

A '

2 &1 0 1

&1 1 3 1

3 &2 &3 a

/0000000000

F1 2 &1 0 1

F2 &1 1 3 1

F3 3 &2 &3 a

/0000000000

F1 2 &1 0 1

2F2%F1 0 1 6 3

2F3&3F1 0 &1 &6 2a&3

F1 2 &1 0 1

F2 0 1 6 3

F2%F3 0 0 0 2a

Si a ' 0 6 2a ' 0, la última fila es toda ceros, por tanto el rango es 2.

Si 2a … 0 6 a …0, hay tres filas con algún elemento no nulo,por lo tanto el rango es 3.

Si a ' 0 6 Rang(A) ' 2

Si a … 0 6 Rang(A) ' 3

2) MÉTODO DE ME�ORES ORLADOS

Se apoya este método en ir buscando progresivamente el número de filas linealmente

independientes que forman parte de la matriz de una forma ordenada y a la vez eficaz.

Recordemos que un ME�OR de una matriz dada A 0 Mn, es un determinante que se construye

a partir de los elementos de la matriz, suprimiendo filas y columnas en ésta. El ORDE� de un

ME�OR, es el número de filas/columnas que tiene. Si un MENOR es distinto de cero, entonces

las filas que forman parte del mismo son Linealmente Independientes.

Dado un ME�OR de orden "n", entenderemos por ME�OR ORLADO de dicho MENOR, a un

MENOR de orden "n+1" obtenido a partir de éste añadiendo elementos de una fila y una columna

de la matriz.

-Alacant-


Ejemplo: Sea la matriz A '

2 3 4 &1

1 2 0 1

0 1 1 2 3x4

/000/000

2 3

1 2; /000

/0003 &1

2 1son ME)ORES DE ORDE) 2.

/000/000

2 4

0 2no es un ME)OR.

/00000000

/00000000

2 3 &1

1 2 1

0 1 2

;/00000000

/00000000

3 4 &1

2 0 1

1 1 2

son ME)ORES DE ORDE) 3.

/00000000

/00000000

2 3 &1

1 2 1

0 1 2

;/00000000

/00000000

2 3 4

1 2 0

1 1 1

son ME)ORES ORLADOS del menor /000/000

2 3

1 2

Anota que en este ejemplo, no pueden haber menores de orden 4.

Puesto que hemos definido el rango de A como el ORDE� del mayor ME�OR �O �ULO

de la matriz A, vamos a organizar la búsqueda de uno MENOR que marque el RANGO de la

matriz. Claro !!!, sin indicar un camino de búsqueda, localizar el mayor MENOR distinto de cero,

nos puede llevar a un interminable "paseo" entre los menores de la matriz, hasta conseguir el

mayor de ellos no nulo. Pensemos en una matriz 3x6, por ejemplo, en la que habría que analizar

20 MENORES de orden 3.

ME�ORES ORLADOS (M.M.O.)

1. Si la MATRIZ es CUADRADA

Hallar su DETERMINANTE y :

1.1 Si el determinante es distinto de cero Y El orden de la matriz es el RANGO de la

misma.

1.2 Si el determinante vale cero Y Empezar el proceso de orlación.

2. Si la matriz no es cuadrada ( Proceso de ORLACIÓ� )

2.1 Seleccionar un MENOR de ORDEN 2, no nulo ( Si no es posible, el rango será 1

ó 0 )

2.2 Efectuar mediante ORLACIÓN, todos los MENORES de orden 3.

2.2.1 Si todos son NULOS Y El RANGO será 2

2.2.2 Si alguno es NO NULO Y El RANGO será mayor o igual que tres.

2.3 Efectuar mediante ORLACIÓN del MENOR de orden 3,no nulo, todos los

MENORES de orden 4.

-Alacant-


Ejemplo:

Hallar el rango de la matriz A '

3 &1 1 1

&1 1 2 1

2 0 3 2

por ME)ORES ORLADOS

Como /000/000

3 &1

&1 1es … 0 YRang(A) $ 2

ORLEMOS este ME)OR

/00000000

/00000000

3 &1 1

&1 1 2

2 0 3

' 0

/00000000

/00000000

3 &1 1

&1 1 1

2 0 2

' 0

Puesto que los dos únicos ME)ORES ORLADOS son nulos Y Rang(A) ' 2.

* Si alguno de ellos hubiera sido … 0 Y Rang(A) ' 3 *

Ejemplo: Hallar según valores de a 0 ú el rango de la matriz

A '

a 1 1

1 a 1

1 1 a

2.3.1 Si todos son nulos Y El RANGO es 3

2.3.2 Si alguno es NO NULO Y El Rango es mayor o igual que 4

Y así sucesivamente.

Para matrices de grandes dimensiones ésta técnica puede resultar un poco engorrosa y tal vez sea

conveniente emplear el método del PIVOTE, aunque en cualquier discusión del rango de una

matriz en la que intervengan parámetros, es, con mucho, más rigurosa y eficaz, al hacer depender

el RANGO de la matriz de los MENORES ORLADOS exclusivamente.

Como la matriz es cuadrada, tal como sugerimos, hallamos su determinante: det(A) = a3 - 3a +

2. Veamos qué valores lo anulan.

a3 - 3a + 2 = 0, aplicando la regla de Ruffini nos da : a = 1 ( raíz doble )

a = -2 ( raíz simple )

Obviamente si a … 1, -2 Y det(A) … 0 y, por tanto Rang(A) = 3

Si a = 1.

-Alacant-


A '

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Y Rang(A) ' 1

Hay una única

fila Linealmente Independiente

Sustituyendo en la matriz nos queda:

Si a = -2.

Sustituyendo en la matriz:

A '

&2 1 1

1 &2 1

1 1 &2

Y Como /000/000

&2 1

1 &2es … 0 Y Rang(A) ' 2

[ No habiendo necesidad de calcular el determinante de orden ? ]

Y ordenando la solución, tenemos:

Si a = 1 Y Rang(A) = 1

Si a = -2 Y Rang(A) = 2

Si a … 1, -2 Y Rang(A) = 3

CO�EXIÓ� MATRICES/ESPACIO VECTORIAL

1.1 Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores.

Sea ( Rn(R), +, · ) , y un Sistema de vectores, sean S ' { Pv1 , Pv2 , ... ,Pvp } Pv1 , Pv2 , ... ,Pvp

las matrices columna formadas con las componentes de cada vector. Si llamamos A = (v1 v2 ...

vp ) a la matriz cuyas columnas/filas son las matrices anteriores, el rango de la matriz nos indica

el número máximo de vectores del Sistema linealmente independientes, y el MENOR que

determina el rango, nos indica cuales de ellos, por ejemplo, son. Puesto que según tomemos un

MENOR u otro tendremos unos vectores u otros.

Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el

rango es el mismo.

-Alacant-


Ejemplo: Estudiar la dependencia lineal de los vectores(1,2,1,3) , (1,2,1,1) , (0,0,0,2)

Operemos por filas :

sea la matriz A '

1 2 1 3

1 2 1 1

0 0 0 2

. El orden no importa .

Vamos a obtener su rango por ME)ORES ORLADOS /000/000

1 3

1 1… 0

ORLEMOS este ME)OR

/00000000

/00000000

2 1 3

2 1 1

0 0 2

' 0

/00000000

/00000000

1 1 3

1 1 1

0 0 2

' 0

Por lo tanto Y Rang(A) ' 2 6 Los vectores son Linealmente Dependientes

Hay dos vectores LI)EALME)TE I)DEPE)DIE)TES. Por ejemplo : (1,2,1,3) , (1,2,1,1) .

Ximo.

Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2n BAT€¦ · -Alacant- Tema: Matrius i...

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