Algebra Lineal

M1 - FIB

Continguts:

5. Matrius, sistemes i determinants

6. Espais vectorials

7. Aplicacions lineals

8. Diagonalitzacio

Anna de MierMontserrat Maureso

Dept. Matematica Aplicada IIFebrer 2012

5. Matrius, sistemes i determinants5.1 Matrius: operacions basiques i matrius escalonades

1

Repas de l’algebra de matrius

2

Els escalars

Per un cos d’escalars K entendrem un conjunt de nombres ambdues operacions (suma i producte) tals que

- es satisfan les propietats habituals (commutativa, associativa,distributiva, elements neutres)

- son invertibles (podem restar i dividir)

Exemples: R,Q,Zp,C

3

Matrius

Siguin m, n ≥ 1 enters. Una matriu de tipus m × n ambelements al cos K consisteix en mn elements de K arranjats enuna taula de m files i n columnesDenotarem per aij l’element que es troba a la fila i , columna jUna matriu generica la representem aixı:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

Farem servir tambe la notacio A = (aij)m×n

El conjunt de totes les matrius m × n el denotarem per Mm×n(K)

4

Tipus de matrius

I Una matriu de tipus 1× n s’anomena matriu fila

I Una matriu de tipus m × 1 s’anomena matriu columna

I La matriu nul.la Om,n (o simplement O) es la matriu tipusm × n on tots els elements son iguals a 0

I Una matriu de tipus n× n s’anomena quadrada. El conjunt detotes les matrius quadrades n × n amb elements a K esdenota per Mn(K). Una matriu quadrada (aij)n×n es

I triangular superior si aij = 0 per tot i > jI triangular inferior si aij = 0 per tot i < jI diagonal si es triangular superior i inferior simultaniament

I La matriu Diag(λ1, . . . , λn) es la matriu diagonal (dij)n×n

amb dii = λi per tot i

I La matriu identitat In es la matriu diagonal Diag(1, 1, . . . , 1)

5

Suma de matrius

Siguin A,B ∈Mm×n(K) amb A = (aij) i B = (bij)

La seva suma es la matriu A + B = (cij) ∈Mm×n(K) definida per

cij = aij + bij

PropietatsSi A,B,C ∈Mm×n(K), es compleix:

I (Associativa) (A + B) + C = A + (B + C )

I (Commutativa) A + B = B + A

I (Element neutre) A + O = O + A = A

I (Element oposat) Existeix una matriu B tal queA + B = B + A = O

(a aquesta B l’anomenem −A)

6

Producte per escalars

Siguin A ∈Mm×n(K) amb A = (aij) i λ ∈ K un escalar

El producte d’A per l’escalar λ es la matriuλA = (bij) ∈Mm×n(K) definida per

bij = λaij

PropietatsSi λ, µ ∈ K i A,B ∈Mm×n(K), es compleix:

I (Pseudoassociativa) λ(µA) = (λµ)A

I (Distributiva 1) λ(A + B) = λA + λB

I (Distributiva 2) (λ+ µ)A = λA + µA

I (Identitat) 1A = A

Fixem-nos que (−1)A = −A

7

Transposicio

Sigui A = (aij)m×n ∈Mm×n(K)

La seva transposada es la matriu At = (bij)n×m ∈M(K)n×m

definida per bij = aji

Clarament (At)t = A

Una matriu quadrada A essimetrica si At = Aantisimetrica si At = −A

8

Producte de matrius

Siguin A = (aij)m×n ∈Mm×n(K) i B = (bij)n×p ∈Mn×p(K)

El seu producte es la matriu AB = (cij)m×p ∈Mm×p(K) amb

cij =n∑

k=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

Observacions

I El producte de dues matrius qualssevol no te per que estardefinit

I AB pot estar definit pero BA no

I Encara que AB i BA estiguin definits, en general AB 6= BA

I El producte es una operacio interna dins de Mn(K)

9

Propietats del producte de matrius

Si A,B,C son matrius i les operacions seguents estan definides, escompleix:

I (Associativa) (AB)C = A(BC )

I (Distributives) A(B + C ) = AB + AC i (A + B)C = AC + BC

I (Element unitat) IA = A = AI , on I es la matriu identitat deltipus que convingui

I (Relacio amb la transposada) (AB)t = BtAt

Si A ∈Mn(K), denotarem per Ak el producte AA · · ·A(es a dir, A2 = AA,A3 = AAA, etc.)

10

Matriu inversa

Siguin A,B ∈Mn(K). Diem que B es la matriu inversa d’A si

AB = BA = In

Si aixo es compleix diem que A es invertible i denotem per A−1 lamatriu inversa

Observacions

I Si existeix la inversa, es unica

I No tota matriu te inversa

I Les matrius invertibles no tenen files ni columnes nul·les

11

Propietats de la matriu inversa

Si A i B son matrius invertibles del mateix tipus i λ es un escalarno nul, es compleix:

I la matriu A−1 es invertible i (A−1)−1 = A

I la matriu Ak es invertible i (Ak)−1 = (A−1)k

I la matriu λA es invertible i (λA)−1 = (λ)−1A−1

I la matriu At es invertible i (At)−1 = (A−1)t

I el producte AB es invertible i (AB)−1 = B−1A−1

12

Transformacions elementals i matrius escalonades

13

Transformacions elementals

Sigui A ∈Mm×n(K)

Una transformacio elemental per files d’A consisteix en una deles tres operacions seguents:

(I) intercanviar dues files d’A

(II) multiplicar una fila d’A per un escalar no nul

(III) sumar a una fila d’A el resultat de multiplicar una altra filaper un escalar no nul

Una matriu es elemental (per files) si es pot obtenir a partird’una matriu identitat mitjancant una unica transformacioelemental per files

14

Matrius equivalents

TeoremaSigui T una transformacio elemental i sigui M ∈Mm×n(K). Elresultat d’aplicar la transformacio T a la matriu M es EM, on E esla matriu elemental resultant d’aplicar T a la identitat Im

Una matriu B es equivalent (per files) a una matriu A si B espot obtenir a partir d’A fent una sequencia finita detransformacions elementals

Per tant, si B es equivalent a A podem escriure

B = ErEr−1 · · ·E2E1A,

on les Ei son matrius elementals

15

Matrius escalonades

Una matriu es escalonada (per files) si

- si una fila es nul.la (composta enterament per zeros), totes lesque estan per sota d’ella tambe son nul.les

- en cada fila no nul.la, el primer element no nul es un 1(anomenat l’1 dominant o el pivot de la fila)

- el pivot d’una fila sempre es troba mes a la dreta que el pivotde la fila anterior

TeoremaTota matriu es equivalent a una matriu escalonada per files

El rang d’una matriu A es el nombre de files no nul.les de qualsevolmatriu escalonada equivalent a A

16

Aplicacio al calcul de la inversa (I)

LemaSi E es una matriu elemental, aleshores E es invertible i la sevainversa E−1 tambe es una matriu elemental

Comprovacio:

(I) Si B es una matriu elemental corresponent a unatransformacio de tipus (I) (intercanvi files i i j), tenim BB = I

(II) Si Cλ es la matriu elemental corresponent a una transformaciode tipus (II) (multiplicar una fila per λ 6= 0), tenimCλCλ−1 = I = Cλ−1Cλ

(II) Si Dk es la matriu elemental corresponent a una transformaciode tipus (III) (sumar a la fila i la fila j multiplicada per k),tenim DkD−k = I = D−kDk

17

Aplicacio al calcul de la inversa (II)

TeoremaSiguin A ∈Mn(K) i M una matriu escalonada equivalent a A.Aleshores A es invertible si i nomes si tots els elements de ladiagonal de M son iguals a 1

Corol·lariSiguin A ∈Mn(K), aleshores A es invertible si i nomes si el rangd’A es n

18

Metode de Gauss-Jordan per al calcul de la inversa

Sigui A ∈Mn(K)

La demostracio del teorema anterior implica quesi In = Er · · ·E2E1A, aleshores A−1 = Er · · ·E2E1

Donada A, podem seguir els passos seguents per trobar A−1, siexisteix:

I Comencem amb la matriu (A|In)

I Apliquem transformacions elementals a (A|In), amb l’objectiud’arribar a (In|B)

I Si ho aconseguim, A−1 = B

I Altrament, A no es invertible

19

5. Matrius, sistemes i determinants5.2 Sistemes d’equacions lineals

20

Sistemes d’equacions lineals

Una equacio lineal en les variables x1, . . . , xn es una expressio deltipus

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

on a1, . . . , an, b pertanyen al cos d’escalars K

Una solucio es (s1, . . . , sn) ∈ Kn tal que

a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b

(Obs. Una equacio lineal pot tenir entre zero i infinites solucions)

21

Sistemes d’equacions lineals

Un sistema d’equacions lineals es un conjunt d’equacions lineals(totes amb les mateixes variables x1, . . . , xn)

La forma generica d’un sistema d’equacions lineals seria doncs:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

Una solucio del sistema es una n-upla (s1, . . . , sn) ∈ Kn que essolucio de totes les equacions del sistema

22

Solucions d’un sistema

Direm que un sistema es

I incompatible si no te cap solucio

I compatible determinat si te una unica solucio

I compatible indeterminat si te mes d’una solucio

La solucio general d’un sistema es el conjunt de totes les sevessolucions

Dos sistemes son equivalents si tenen la mateixa solucio general

23

Sistemes equivalents

Dos sistemes amb les mateixes equacions pero ordenades demanera diferent son equivalents

I si en un sistema

I multipliquem una equacio per un escalar (no nul), o be

I a una equacio li sumem un multiple d’una altra

el sistema resultant es equivalent al primer

24

Matriu associada a un sistemaDonat el sistema

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

la seva matriu associada i les matrius de variables i de termesindependents son

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

x =

x1x2...xn

b =

b1b2...bm

Podem escriure el sistema com un producte de matrius:

Ax = b

25

Matriu ampliada

La matriu ampliada es la matriu (A|b), es a dir,

(A|b) =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 · · · amn bm

Obs. Si es realitzen transformacions elementals a la matriuampliada d’un sistema, el sistema resultant es equivalent al primer

Per tant, tot sistema d’equacions lineals es equivalent a un en quela matriu ampliada es escalonada

26

Sistemes escalonatsUn sistema escalonat generic seria

x1 + c12x2 + c13x3 + · · ·+ c1rxr + · · ·+ c1nxn = d1x2 + c23x3 + · · ·+ c2rxr + · · ·+ c2nxn = d2

......

xr + · · ·+ crnxn = dr

(si cal reordenem les variables)

Les variables x1, . . . , xr les anomenarem principals i la resta lesanomenarem lliures

Podem resoldre el sistema aıllant “cap amunt”

La variable principal xr la podem aıllar en termes de les variableslliures:

xr = dr − cr ,r+1xr+1 − · · · − crnxn

Ara podem aıllar xr−1 en termes de xr i de les variables lliures, etc27

Solucio general d’un sistema escalonat

En un sistema escalonat podem expressar totes les variablesprincipals en termes de les lliures (i de constants escalars):

x1 = f1 + e1,r+1xr+1 + · · ·+ e1,nxn

x2 = f2 + e2,r+1xr+1 + · · ·+ e2,nxn...

...

xr = fr + er ,r+1xr+1 + · · ·+ er ,nxn

Aquesta es la solucio general del sistema

Obs. Per a cada assignacio de valors que donem a les variableslliures xr+1, . . . , xn obtindrem una solucio particular del sistema

Diem que el sistema te n − r graus de llibertat

28

Forma parametrica de la solucio generalSi la solucio general d’un sistema es

x1 = f1 + e1,r+1xr+1 + · · ·+ e1,nxn

x2 = f2 + e2,r+1xr+1 + · · ·+ e2,nxn...

...

xr = fr + er ,r+1xr+1 + · · ·+ er ,nxn

anomenarem forma parametrica de la solucio a l’expressio

x1x2...xrxr+1

...xn

=

f1f2...fr0...0

+ xr+1

e1,r+1

e2,r+1...

er ,r+1

1...0

+ · · ·+ xn

e1,ne2,n

...er ,n

0...1

29

Discussio de sistemes: el teorema de Rouche-Frobenius

TeoremaConsiderem un sistema d’equacions lineals que te matriu associadaA ∈Mm×n(K) i matriu ampliada (A|b)

Sigui r el rang d’A i sigui r ′ el rang de (A|b)

Aleshores,

I si r < r ′, el sistema es incompatible (SI)

I si r = r ′ = n, el sistema es compatible determinat (SCD)

I si r = r ′ < n, el sistema es compatible indeterminat (SCI)amb n − r graus de llibertat

Anomenarem rang d’un sistema lineal compatible al rang de lamatriu associada

30

Sistemes homogenis

Un sistema d’equacions lineals es homogeni si tots els termesindependents son iguals a 0

Obs. Un sistema homogeni sempre es compatible (ja que tenim lasolucio trivial x1 = · · · = xn = 0)

Corol.lariSigui A la matriu associada a un sistema homogeni en n variables;sigui r el rang d’A. Aleshores

I si r = n, el sistema es compatible determinat i l’unica solucioes la trivial

I si r < n, el sistema es compatible indeterminat i te algunasolucio diferent de la trivial

31

Resolucio de sistemes: eliminacio gaussiana

Per trobar la solucio general d’un sistema d’equacions linealsqualsevol fem el seguent:

1. Cerquem la matriu ampliada (A|b)

2. Cerquem la matriu escalonada M equivalent a (A|b)

3. Apliquem el teorema de Rouche-Frobenius per determinar si elsistema es compatible

4. Cas que el sistema sigui compatible, trobem la solucio generala partir del sistema equivalent amb matriu ampliada M

32

5. Matrius, sistemes i determinants5.3 Determinants

33

Definicio de determinant

Sigui A = (aij) ∈Mn(K). Un menor d’A es qualsevol matriuformada a partir d’A eliminant un cert nombre de files i el mateixnombre de columnes

El menor associat a l’element aij es la matriu Aij obtinguda eneliminar la fila i i la columna j de la matriu A.El menor Aij es una matriu quadrada de tipus (n − 1)× (n − 1)

El determinant d’A es defineix recursivament com

- si n = 1, aleshores det(A) = a11

- si n ≥ 2, aleshores

det(A) = a11 det(A11)− a12 det(A12) + · · ·+(−1)1+ja1j det(A1j) + · · ·+ (−1)n+1a1n det(A1n)

34

TeoremaSiguin A ∈Mn(K) i i , j ∈ [n]. Aleshores

det(A) =n∑

k=1

aik(−1)i+k det(Aik)

(Calcul del determinant desenvolupant per la fila i)

det(A) =n∑

k=1

akj(−1)k+j det(Akj)

(Calcul del determinant desenvolupant per la columna j)

35

Calcul de determinants

(Enlloc de det(A), a vegades escriurem |A|)

I Matrius 2× 2 i 3× 3:∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = a det((d))− b det((c)) = ad − bc

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= a

∣∣∣∣e fh i

∣∣∣∣− b

∣∣∣∣d fg i

∣∣∣∣+ c

∣∣∣∣d eg h

∣∣∣∣

= a(ei − fh)− b(di − fg) + c(dh − eg)

= aei + cdh + bfg − ceg − afh − bdi

I Si A te una fila o una columna nul.la llavors det(A) = 0Si A = Diag(a1, a2, . . . , an), llavors det(A) = a1a2 . . . an

36

Determinants i transformacions elementals

Siguin A,B ∈Mn(K). Si B es la matriu que s’obte d’A

I intercanviant dues files, aleshores det(B) = − det(A)(transformacio tipus (I))

I multiplicant la fila i-esima d’A per λ, aleshoresdet(B) = λ det(A) (transformacio tipus (II))

I sumant-li a una fila un multiple d’una altra, aleshoresdet(B) = det(A) (transformacio tipus (III))

Corol.lariSi M s’obte a partir d’A fent transformacions elementals,

det(M) = K det(A), on K 6= 0

Per tant, si A i M son matrius equivalents aleshores,

det(A) 6= 0 ⇔ det(M) 6= 0

37

Caracteritzacio de matrius invertibles

TeoremaUna matriu A ∈Mn(K) es invertible si i nomes si det(A) 6= 0

Corol.lariUna matriu A ∈Mn(K) te rang n si i nomes si det(A) 6= 0

TeoremaSigui A ∈Mm×n(K). El rang d’A es r si i nomes si el mes granmenor d’A amb determinant no nul es r × r

38

Determinants i operacions amb matrius

Si A,B ∈Mn(K), aleshores

I det(AB) = det(A) det(B)

I det(At) = det(A)

I si A es invertible, det(A−1) = det(A)−1

Pero en general, det(A + B) 6= det(A) + det(B)

39

6. Espais vectorials

40

Rn i les seves operacions

Rn = {

x1x2...xn

: xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}

Siguin x =

x1x2...xn

i y =

y1y2...yn

elements de Rn i λ ∈ R

Suma a Rn:

x + y =

x1 + y1x2 + y2

...xn + yn

Producte per escalars a Rn:

λx =

λx1λx2

...λxn

(Es a dir, les dues operacions son “component a component”)41

PropietatsLa suma a Rn satisfa les propietats seguents:

s1) (associativa) x + (y + z) = (x + y) + z

s2) (commutativa) x + y = y + x

s3) (element neutre) x + 0 = x on 0 = (0, 0, . . . , 0)

s4) (element oposats) per tot x existeix x ′ tal que x + x ′ = 0

El producte per escalars a Rn satisfa:

p1) λ(µx) = (λµ)x

p2) λ(x + y) = λx + λy

p3) (λ+ µ)x = λx + µx

p4) 1x = x

(Totes les propietats son certes perque ho son a R i les operacionsson component a component)

42

6.2 Espais vectorialsUn espai vectorial sobre un cos K consisteix en

1. un conjunt no buit E

2. una operacio interna E × E → E (suma +) i

3. una aplicacio K× E → E (producte per escalars ·)de manera que per a tot u, v ,w ∈ E i tot λ, µ ∈ K es satisfa:

e1) (associativa) u + (v + w) = (u + v) + w

e2) (commutativa) u + v = v + u

e3) (element neutre) existeix un unic element 0E ∈ E tal queu + 0E = u

e4) (element oposat) per cada u ∈ E existeix un unic u′ ∈ E talque u + u′ = 0E

e5) λ(µu) = (λµ)u

e6) λ(u + v) = λu + λv

e7) (λ+ µ)u = λu + µu

e8) 1u = u, on 1 es el neutre del producte de K43

Alguns exemples d’espais vectorials

I Rn

I Zn2: cadenes de n bits

La suma es bit a bit: p. ex.,

(0, 1, 1, 0) + (1, 1, 1, 0) = (1, 0, 0, 0)

Producte per escalars: 0u = 0Zn2

i 1u = u

I Mm×n(K) (les matrius m × n amb entrades en el cos K)

I Les matrius de Mn(R) que son triangulars superiors

I P(R): el conjunt dels polinomis amb coeficients a RI Pd(R): els polinomis de grau com a molt d i coeficients a RI L’espai vectorial trivial format per un unic element: {0E}I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni

44

PropietatsSi v pertany a l’espai vectorial E i λ es un escalar, es satisfa:

I 0v = 0E

I λ 0E = 0E

I Si λ v = 0E , aleshores λ = 0 o v = 0E

I L’element oposat de v es (−1)v ; normalment escriurem −v

45

6.3 Subespais vectorials i combinacions lineals

Un subconjunt S ⊆ E es un subespai vectorial (SEV) si compleix

(s1) S 6= ∅(s2) per tot u, v ∈ S , u + v ∈ S

(s3) per tot u ∈ S i tot λ ∈ K, λu ∈ S

El vector 0E pertany a tots els subespais vectorials

Alguns exemples de subespais espais vectorials

I Rd [x ] es un subespai vectorial de l’espai de polinomis R[x ]

I Les matrius triangulars superiors de Mn(R) formen un SEVde Mn(R)

I Les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogeni ambn variables i coeficients a K es un SEV de Kn

46

Interseccio de subespais

Lema Si S i S ′ son subespais vectorials d’E , aleshores S ∩ S ′

tambe ho es

La unio de subespais vectorials no es normalment un subespaivectorial, com es el cas per exemple de S = {(x , x) : x ∈ R} iS ′ = {(x ,−x) : x ∈ R} ((1, 1) + (2,−2) 6∈ S ∪ S ′)

Combinacio lineal

Donats u1, . . . , uk vectors d’E , una combinacio lineal deu1, . . . , uk es una expressio del tipus

λ1u1 + · · ·+ λkuk ,

on λ1, . . . , λk son escalars

El vector v es combinacio lineal de u1, . . . , uk si existeixenescalars α1, . . . , αk tals que

v = α1u1 + · · ·+ αkuk

47

Subespai generat

Siguin u1, . . . , uk vectors d’E . El subespai generat per u1, . . . , ukes el conjunt

〈u1, . . . , uk〉 = {λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk : λ1, . . . , λk ∈ K},

es a dir, el conjunt de totes les combinacions lineals de u1, . . . , uk

ProposicioEl subespai generat 〈u1, . . . , uk〉 es, com el seu nom indica, unsubespai vectorial. A mes, es el subespai mes petit que conteu1, . . . , uk

Si un espai S el podem escriure com S = 〈u1, . . . , u`〉, direm que{u1, . . . , u`} es un conjunt de generadors de S . El conjunt degeneradors d’un espai no es unic

Observem que v es combinacio lineal de u1, . . . , uk si i nomes siv ∈ 〈u1, . . . , uk〉

48

Exemples de subespais generats

I Rn = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ R}= 〈(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)〉

I L’espai de les matrius Mm×n(K) esta generat per les matriusMij que tenen totes les entrades iguals a 0, excepte la de laposicio i , j , que es igual a 1, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ mPer exemple, M2(R) =< M11,M12,M21,M22 >, on

M11 =

(1 00 0

),M12 =

(0 10 0

),M21 =

(0 01 0

),M22 =

(0 00 1

)

49

I Si volguessim generar les matrius triangulars superiors,agafarıem de les matrius Mij anteriors nomes les que teneni ≤ j

I Subespai donant els vectors en funcio de parametres

{a + (b − a)x + (c − b)x2 + (a− c)x3 : a, b, c ∈ R}= {a(1− x + x3) + b(x − x2) + c(x2 − x3) : a, b, c ∈ R}= 〈1− x + x3, x − x2, x2 − x3〉

50

6.4 Independencia linealSiguin u1, . . . , uk ∈ E . L’equacio

λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk = 0E

sempre te la solucio λ1 = · · · = λk = 0.Si aquesta es l’unica solucio direm que els vectors u1, . . . , uk sonlinealment independents (LI)

Si hi ha alguna solucio amb un λi 6= 0, direm que els vectors sonlinealment dependents (LD)

(Tambe direm que el conjunt {u1, . . . , uk} es LI o LD, resp.)

Exemples:

I El vector 0E es linealment dependent

I Donat un vector u 6= 0E , el vector u es linealment independent

I Si u es un vector qualsevol i λ es un escalar, {u, λu} es LD51

Per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , uk de Rn sonlinealment independents seguim els passos seguents:

(1) formem una matriu A amb els vectors donats, posant-los percolumnes

(2) calculem el rang r d’A

(3) I si r = k , aleshores els k vectors son LII si r < k , aleshores son LD; si hem calculat el rang escalonant la

matriu A, aleshores els vectors que corresponen a les columneson hi ha els uns dominants son un subconjunt LI el mes granpossible; si hem calculat el rang per menors, els vectors quecorresponent a les columnes del menor d’A mes gran ambdeterminant no nul son un subconjunt LI el mes gran possible

52

En general, per determinar si un conjunt de vectors u1, u2, . . . , ukd’un K-espai vectorial E son linealment independents seguim elspassos seguents:

(1) a partir de l’equacio vectorial

λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk = 0E

obtenim un sistema homogeni amb incognites λ1, λ2, . . . , λk(2) discutim el sistema, si es

I compatible determinat els vectors u1, u2, . . . , uk son LII compatible indeterminat els vectors u1, u2, . . . , uk son LD

53

Propietats

Sigui S = {u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’un K-espaivectorial E

I Si 0E es a S , llavors u1, . . . , uk son LD

I Si u1, . . . , uk son LI, llavors 0E no es a S

I Si u1, . . . , uk son LI, tot subconjunt de S es LI

I Si u1, . . . , uk son LD, tot conjunt que conte S es LD

TeoremaSi u1, . . . , uk son LD i u1 es combinacio lineal dels altres vectors deS , aleshores

〈u1, u2, . . . , uk〉 = 〈u2, . . . , uk〉

54

Caracteritzacions

TeoremaUn conjunt de vectors S es LD si, i nomes si, hi ha un vector v a Sque es combinacio lineal de la resta de vectors de S

Corol.lariSigui v ∈ E . Si u1, . . . , uk son LI, aleshoresv , u1, . . . , uk son LI si, i nomes si, v 6∈ 〈u1, . . . , uk〉

55

6.5 Bases i dimensio

Sigui E un K-espai vectorial. Un conjunt de vectorsB = {b1, b2, . . . , bn} es una base d’E si

(b1) B es linealment independent

(b2) E = 〈b1, b2, . . . , bn〉, es a dir, b1, b2, . . . , bn generen E

La base canonica

I de Kn es {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}I de Mm×n(K) es la formada per les mn matrius Mij que tenen

totes les entrades nul.les excepte la i , j , que es igual a 1

I de Kd [x ] es {1, x , x2, . . . , xd}(tambe a {xd , xd−1, . . . , 1} li direm base canonica, caldraespecificar quina usem)

56

Sigui B = {b1, . . . , bn} una base d’E

ProposicioTot vector d’E s’escriu de manera unica com a combinacio linealdels vectors de B

Sigui v ∈ E . Si v = α1b1 + · · ·+ αnbn, diem que

vB = (α1, . . . , αn)

es el vector de coordenades de v en la base B

ProposicioSigui {u1, . . . , uk} un conjunt de vectors d’E que son LI. Aleshoresk ≤ n

Corol.lariTota base d’E te n elements

57

Dimensio

Al cardinal de les bases d’un espai vectorial E (o d’un SEV)l’anomenem la dimensio de l’espai, denotada dim(E)

I Les dimensions dels espais amb els que treballemhabitualment son:dim(Kn) = n, dim(Mm×n(K)) = nm, i dim(Pd(K)) = d + 1

I La dimensio del subespai {0E} es 0

I La dimensio del subespai 〈u1, . . . , uk〉 donat per generadors esel nombre maxim de vectors LI entre {u1, . . . , uk} (que esigual al rang de la matriu que te per columnes les coordenadesde u1, . . . , uk)

I La dimensio d’un subespai donat com a solucio d’un sistemad’equacions homogeni es el nombre de graus de llibertat delsistema

58

Suposem que la dimensio d’E es n i sigui W = {w1, . . . ,wn} unsubconjunt d’E

I si W es un conjunt LI, aleshores W es una base d’E

I si W genera E , aleshores W es una base d’E

Si S es un subespai d’E aleshores

I dim(S) ≤ dim(E )

I si dim(S) = dim(E ), S = E

59

Canvi de base

Siguin B = {b1, · · · , bn} i B ′ = {b′1, · · · , b

′n} dues bases d’un

K-espai vectorial E . Sigui u un vector d’EVeiem com es relacionen els vectors de coordenades uB i uB′

Anomenem matriu del canvi de la base B a la base B′ a lamatriu que te per columnes els vectors de coordenades(b1)B′ , . . . , (bn)B′ . La denotem per PB

B′

PBB′ =

......

...(b1)B′ (b2)B′ . . . (bn)B′

......

...

Aleshores

I uB′ = PBB′uB , expressant els vectors de coordenades en

columna

I PB′B =

(PBB′)−1

60

7. Aplicacions Lineals

61

7.1 Definicions, exemples i propietats

Siguin E i F dos K-espais vectorials. Una aplicacio f : E → F eslineal si satisfa:

(a1) per tot u, v ∈ E , f (u + v) = f (u) + f (v)

(a2) per tot u ∈ E i tot λ ∈ K, f (λu) = λf (u)

Si E = F , direm que f es un endomorfisme

Exemples

I Aplicacio trivial. f : E → F on f (u) = 0F , u ∈ E , es lineal

I Aplicacio identitat. IE : E → E on IE (u) = u, u ∈ E , es lineal

I L’aplicacio seguent no es lineal

f :M2×2(R)→ R2[x ], f

((a bc d

))= x2−(a+d)x+(2c−b)

I L’aplicacio f : R2 → R2, f (x , y) = (x2y2, x + y) no es lineal

62

PropietatsSigui f : E → F una aplicacio lineal. Aleshores

I f (0E ) = 0F

I f (−u) = −f (u), per a tot u ∈ E

I si S es un subespai d’E , f (S) es un subespai d’F

I si S ′ es un subespai d’F , f −1(S ′) es un subespai d’E

ProposicioSigui B = {b1, . . . , bn} una base d’E . Aleshores f estaunıvocament determinada per f (b1), . . . , f (bn)

Es a dir, a partir de la imatge d’una base podem obtenir la imatgede qualsevol vector d’E :si u = α1b1 + · · ·+αnbn, aleshores f (u) = α1f (b1) + · · ·+αnf (bn)

Corol.lariSi S = 〈v1, . . . , vk〉 es un subespai d’E , aleshores

f (S) = 〈f (v1), . . . , f (vk)〉63

Siguin B = {b1, . . . , bn} una base d’E , W una base de F i m ladimensio de F

La matriu associada a f en les bases B i W es la matriu que teper columnes les imatges dels vectors de la base B expressades encoordenades en la base W . La denotem per MB

W(f)

MBW (f ) =

......

...f (b1)W f (b2)W . . . f (bn)W

......

...

∈Mm×n(K)

Per trobar el vector de coordenades de la imatge d’un vector u ∈ En’hi ha prou en fer el seguent producte matricial:

f (u)W = MBW (f )uB ,

posant els vectors de coordenades en columna

64

7.2 Nucli i imatge

Sigui f : E → F una aplicacio lineal

El nucli d’f es

Ker(f ) = {u ∈ E : f (u) = 0F}

La imatge d’f es

Im(f ) = {v ∈ F : v = f (u) per algun u ∈ E} = {f (u) : u ∈ E}

ProposicioKer(f ) i Im(f ) son subespais vectorials d’E i F , respectivament

65

Calcul efectiu del nucli i de la imatge

Siguin B = {b1, . . . , bn} i W = {w1, . . . ,wm} bases d’E i F , resp.,i sigui M = MB

W (f ) la matriu associada a f en aquestes bases

I Nucli: treballant amb coordenades, els vectors del nucli son lessolucions del sistema homogeni de m equacions i n incognites

M

x1...xn

=

0...0

La dimensio del nucli es n − rang(M)

I Imatge: Im(f ) = 〈f (b1), . . . , f (bn)〉La dimensio de la imatge es el rang de MConsiderant una matriu escalonada equivalent a M, lescolumnes on hi ha els pivots corresponen a les columnes de Mque son vectors LI, i per tant formen una base de la imatge

66

Sigui f : E → f una aplicacio lineal i M una matriu associada a f

Teoremadim(E ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f ))

Les aplicacions lineals bijectives s’anomenen isomorfismes

Caracteritzacio del tipus d’aplicacio

I f es injectiva ⇔ Ker(f ) = {0E} ⇔ rang(M) = dim(E )

I f es exhaustiva⇔ dim(Im(f )) = dim(F )⇔ rang(M) = dim(F )

I f es un isomorfisme ⇔ rang(M) = dim(E ) = dim(F )

I Si E i F tenen la mateixa dimensio, llavorsf es un isomorfisme ⇔ f es injectiva ⇔ f es exhaustiva

67

7.3 Composicio d’aplicacions lineals

Proposicio

Si f : E → F i g : F → G son aplicacions lineals, l’aplicaciocomposicio g ◦ f : E → G tambe es lineal

Proposicio

Si f : E → F es un isomorfisme, f −1 : F → E tambe ho es

Si les bases d’E , F i G son B,W i V respectivament, tenim:

MBV (g ◦ f ) = MW

V (g)MBW (f )

MWB (f −1) = (MB

W (f ))−1

68

7.4 Canvi de base

Veiem com es relacionen dues matrius associades a una mateixaaplicacio lineal fixant bases diferents a l’espai de sortida i/o al’espai d’arribada.

Siguin f : E → F una aplicacio lineal, B i B ′ bases d’E , i W i W ′

bases d’F

EBf−−−−→

MBW (f )

FW

IE

xPB′B

PWW ′

yIF

EB′f−−−−−→

MB′W ′ (f )

FW ′

f = IF ◦ f ◦ IEMB′

W ′(f ) = PWW ′ MB

W (f ) PB′B

69

8. Diagonalitzacio

70

El problema de la diagonalitzacio

Sigui f : E → E un endomorfisme. Hi ha alguna base B d’E enque la matriu MB(f ) sigui senzilla? Mes concretament, diagonal?

DefUn endomorfisme f : E → E es diagonalitzable si existeix algunabase B d’E tal que MB(f ) sigui diagonal.

Obs. Suposem que la matriu MB(f ) no es diagonal, pero sabemque l’endomorfisme f diagonalitza en una altra base B ′. Aleshoresla matriu

(PB′B )−1MB(f )PB′

B

es diagonal.Per tant, ser diagonalitzable es equivalent a que existeixi unamatriu P invertible tal que P−1MB(f )P sigui diagonal.

71

Valors i vectors propis

DefL’escalar λ es un valor propi de l’endomorfisme f si existeix algunvector v 6= 0E tal que f (v) = λv .

Tots els vectors v 6= 0E que compleixen f (v) = λv s’anomenenvectors propis de valor propi λ.

TeoremaL’endomorfisme f : E → E diagonalitza si i nomes si hi ha algunabase d’E formada per vectors propis.

72

Calcul dels valors propisSigui M la matriu associada a f : E → E en una base B

DefEl polinomi caracterıstic de l’endomorfisme f es

pf (x) = det(M − xIn)

TeoremaEls valors propis d’f son les arrels del polinomi caracterıstic

La multiplicitat algebraica d’un valor propi λ es la multiplicitatde λ com a arrel de pf (x) i es denota mλ

L’equacio pf (x) = 0 s’anomena equacio caracterıstica

TeoremaEl polinomi caracterıstic no depen de la base en la que calculem lamatriu associada M

73

Espais de vectors propis

Sigui ara λ un valor propi de l’endomorfisme f : E → EL’espai propi del valor propi λ es el conjunt

Eλ = {u ∈ E : f (u)− λu = 0E}

Propietats

I Eλ es un subespai vectorial d’E

I 1 ≤ dim(Eλ) ≤ mλ

La dimensio d’Eλ s’anomena multiplicitat geometrica de λ

74

Caracteritzacio dels endomorfismes diagonalitzables

Sigui f : E → E un endomorfisme d’un espai vectorial E dedimensio n.

TeoremaL’endomorfisme f es diagonalitzable si i nomes si te n valors propis(comptant multiplicitats) i per a cada valor propi les multiplicitatsalgebraica i geometrica coincideixen.

Corol.lariSi f te n valors propis diferents, aleshores es diagonalitzable.

75

Algorisme de diagonalitzacio

Per a decidir si l’endomorfisme f : E → E es diagonalitzable,podem seguir els passos seguents:

(1) Trobem la matriu associada a f en una base qualsevol icalculem el polinomi caracterıstic pf (x).

(2) Trobem els valors propis i les seves multiplicitats resolentpf (x) = 0.

(3) Si les multiplicitats dels valors propis sumen menys de dim(E ),l’endomorfisme no diagonalitza. Altrament anem a (4).

(4) Per a cada valor propi λ, trobem l’espai propi Eλ i la sevadimensio dim(Eλ).

(5) Si per a tot λ es compleix mλ = dim(Eλ), l’endomorfismediagonalitza. Altrament no diagonalitza.

Si l’endomorfisme diagonalitza, per trobar una base en quediagonalitzi nomes cal prendre la unio de les bases dels espais Eλ.

76