Matrices y DeterminantesMatrices y Determinantes

Conceptos básicos.Conceptos básicos.

MatricesMatrices

Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas encerrados entre paréntesis

Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con dos subíndices aij, que indican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento

Tipos de matricesTipos de matrices

Matriz fila :Matriz fila :Una Una matriz filamatriz fila está constituida por una está constituida por una

sola fila.sola fila.

n=1

Matriz columna:Matriz columna:La La matriz columnamatriz columna tiene una sola tiene una sola

columnacolumna

m=1

Tipos de matricesTipos de matrices

Matriz cuadrada : : La La matriz cuadradamatriz cuadrada tiene el mismo número de filas que tiene el mismo número de filas que

de columnas.de columnas. Los elementos de la forma Los elementos de la forma aiiaii constituyen la constituyen la diagonal diagonal

principalprincipal. . La La diagonal secundariadiagonal secundaria la forman los elementos con la forman los elementos con i+j i+j

= n+1= n+1..

n=m

Matriz rectangular: Matriz en la cual m no es igual a n

Matriz nula:Matriz nula:En una En una matriz nulamatriz nula todos los elementos todos los elementos

son ceros.son ceros.

a) n = m

b) aij=0 si  i  j  y aij = 1 si i =j�

Matriz triangular superior:Matriz triangular superior:En una En una matriz triangular superiormatriz triangular superior los los

elementos situados por debajo de la elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.diagonal principal son ceros.

a)n = m

b) aij = 0 si  i  >= j

Matriz triangular inferior:Matriz triangular inferior:En una En una matriz triangular inferiormatriz triangular inferior los los

elementos situados por encima de la elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.diagonal principal son ceros.

a)n = m

b) aij = 0 si i <= j

Matriz diagonal:Matriz diagonal:En una En una matriz diagonalmatriz diagonal todos los todos los

elementos situados por encima y por elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.debajo de la diagonal principal son nulos.

a)  n = m

b)  aij=0 si  i  j  �

Matriz escalar:Matriz escalar:Una Una matriz escalarmatriz escalar es una matriz es una matriz

diagonal en la que los elementos de la diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:Matriz identidad o unidad:Una Una matriz identidadmatriz identidad es una matriz es una matriz

diagonal en la que los elementos de la diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:Matriz traspuesta:Dada una matriz A, se llama Dada una matriz A, se llama matriz matriz

traspuestatraspuesta de A a la matriz que se de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnasfilas por las columnas

(At)t = A(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At(A ·  B)t = Bt · At

Matriz regular:Matriz regular:Una Una matriz regularmatriz regular es una matriz es una matriz

cuadrada que tiene inversa.cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:Matriz singular:Una Una matriz singularmatriz singular no tiene matriz no tiene matriz

inversa. inversa.

Matriz idempotenteMatriz idempotente::Una matriz, A, es idempotente si:Una matriz, A, es idempotente si:

A2= A.

Matriz involutiva:Matriz involutiva:Una matriz, A, es involutiva si:Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica:Matriz simétrica:Una Una matriz simétricamatriz simétrica es una matriz es una matriz

cuadrada que verifica:cuadrada que verifica:

a)n = m

b) aij = aji

A = At

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:Matriz antisimétrica o hemisimétrica:Una Una matriz antisimétrica o matriz antisimétrica o

hemisimétricahemisimétrica es una matriz cuadrada es una matriz cuadrada que verifica:que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal:Matriz ortogonal: Una matriz es ortogonal si verifica que:Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·At = I

Aplicaciones Aplicaciones de matrices de matrices

en otras áreas del en otras áreas del conocimientoconocimiento

Matrices en la computación:Matrices en la computación:Las matrices son utilizadas ampliamente Las matrices son utilizadas ampliamente

en la computación, por su facilidad y en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para este contexto, son la mejor forma para representar representar grafos, y son muy utilizadas , y son muy utilizadas en el en el cálculo numérico. .

Ya en el año 450 a.C. los espartanos de Grecia enviaban mensajes codificados. Para

ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un cilindro, se escribía el mensaje

y al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo estaba adornada con marcas

inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje arrollaba nuevamente la banda

alrededor de un cilindro similar al utilizado cuando se escribió dicho mensaje, éste

podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema de codificación por

transposición.

La máquina Enigma era un dispositivo para codificar mensajes

empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial.

DeterminantesDeterminantes

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

Propiedades de las determinantesPropiedades de las determinantes

1. 1. El determinante no varía si se traspone la matriz. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es Es decir: decir: det A = det At .det A = det At .

(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).filas o columnas).

2. 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.determinante cambia de signo.

3. 3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho un número el determinante queda multiplicado por dicho número.número.

(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en (Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)un determinante)

4. 4. Si todos los elementos de una fila (o Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante columna) son nulos, el determinante también lo es.también lo es.

5.5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0.proporcionales)el determinante es 0.

6. Si todos los elementos de una línea se 6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse el determinante puede descomponerse también como suma de dos también como suma de dos determinantes.determinantes.

7. 7. Si una fila o columna es c.l. de las otras Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero.su determinante es cero.

8. 8. Si a una fila (columna) de una matriz se Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía.por un nºel determinante no varía.

9. 9. Si una matriz cuadrada es triangular Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su igual al producto de los elementos de su diagonal principal.diagonal principal.

ConsecuenciaConsecuencia: Si: Si I I es la matriz identidad es la matriz identidad su determinante vale 1.su determinante vale 1.

10.10. El determinante de un producto de El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes.producto de sus determinantes.

Es decir Es decir det AB = det A. det B.det AB = det A. det B.

11. 11. Si  $ A-1 entonces Si  $ A-1 entonces ½A½-1 = 1/|A|½A½-1 = 1/|A|En efecto,  A.A-1= I  , luego |A·A-1| = |En efecto,  A.A-1= I  , luego |A·A-1| = |

I| = 1I| = 1