MATRICESMATRICES

1. Concepto de matriz.

Se llama matriz de dimensión mxn a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

Las matrices suelen escribirse con letras mayúsculas A,B,C,... El símbolo (aij) designa la matriz completa, mientras que aij

representa un elemento cualquiera de la misma. El número de filas y columnas recibe el nombre de dimensión de la

matriz, y se designa por mxn. Si m=n se dice que la matriz es de orden n El número total de elementos de la matriz (aij) es m·n

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a ... a

a a a ... a

a a a ... a

... ... ... ... ...

a a a ... a

1. Concepto de matriz.

Las matrices cuadradas son las que tienen el mismo número de filas que de columnas.

La diagonal principal está formada por los elementos de la forma aii

La diagonal secundaria está formada por los elementos aij tales que i + j = n + 1

11 12 13 1514

21 22 23 2524

31 32 33 3534

41 42 43 44 45

51 52 53 5554

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

Diagonal principalDiagonal secundaria

2. Tipos de matrices.Matrices rectangulares

Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m n)

Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de

dimensión 1 x n

Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimensión m x 1

Matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por 0.

2. Tipos de matrices.Matrices rectangulares

matriz nula 3x2

matriz columna 2x1

matriz rectangular 2x3

matriz fila 1x4

1 2 3A

0 4 5

B (0 1 1 2)

1C

4

0 0

0 0 0

0 0

2. Tipos de matrices.Matrices cuadradas

Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n)

Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los términos por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos

los términos por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los

elementos no situados en la diagonal principal son ceros. Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos

de la diagonal principal son iguales. Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal

principal son todos unos. Se designa por I

2. Tipos de matrices.Matrices cuadradas

matriz cuadrada de orden 2

matriz triangular superior de orden 3

matriz triangular inferior de orden 3

matriz diagonal de orden 3

matriz escalar de orden 2

matriz unidad de orden 3

1 0 0

E 2 3 0

4 5 6

1 2C

3 4

4 0G

0 4

2 0 5

D 0 4 6

0 0 3

1 0 0

F 0 2 0

0 0 3

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

2. Tipos de matrices.

Matriz traspuesta de A, y se representa por At, es la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas.Si A tiene dimensión m x n, At tendrá dimensión n x m.

Matriz simétrica es toda matriz cuadrada tal que aij = aji

Matriz antisimétrica o hemisimétrica es toda matriz cuadrada tal que aij = - aji (coincide con su traspuesta)

2 0 1 7

A 3 0 0 1

5 1 1 2

t

2 3 5

0 0 1A

1 0 1

7 1 2

1 2 1

B 2 1 5

1 5 3

0 4 1

C 4 0 3

1 3 0

3. Operaciones.

Igualdad de matricesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Suma de matrices.La suma de dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimensión, es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico

sij = aij + bij

La suma de las matrices A y B se designa por A + B.

3. Operaciones.

Ejemplo.

Las dimensiones de A y B han de ser iguales

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

a a a b b bA B

a a a b b b

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

a b a b a b

a b a b a b

2x3 2x3

2x3

3. Operaciones.

La adición de matrices tiene las siguientes propiedades:

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos

los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya

que A + (-A) = 0

3. Operaciones.

Diferencia de matrices.

La diferencia de las matrices A y B se representa por A - B, y se

define así

A - B = A + (-B)

Si D=(dij) es la matriz diferencia de A y B entonces

dij = aij - bij

3. Operaciones.

Producto de matrices por un número.

El producto de una matriz A=(aij) por un número real k es otra

matriz B=(bij) de la misma dimensión que A tal que

bij = k·aij

El producto de la matriz A por el número real k se designa por

kA o k·A

3. Operaciones.

Ejemplo.

El resultado tiene la misma dimensión que la matriz inicial

11 12 11 12

21 22 21 22

31 32 31 32

a a k·a k·a

k·A k· a a k·a k·a

a a k·a k·a

3x2 3x2

3. Operaciones.

El producto de un número por una matriz verifica las siguientes propiedades:

1. k·(A + B) = k·A + k·B (propiedad distributiva)2. (k + h)·A = k·A + h·A (propiedad distributiva)3. k·(h·A) = (k·h)·A (propiedad asociativa)4. 1·A = A (elemento neutro)

Propiedades simplificativas.

1. A + C = B + C es equivalente a A = B2. k·A = k·B es equivalente a A = B si k es distinto de cero3. k·A = h·A es equivalente a h = k si A es distinta de cero

4. Producto de matrices.

Producto de dos matrices.

La multiplicación de dos matrices cualesquiera no tiene por qué estar definida, e incluso aunque lo esté, no tiene por que ser conmutativa. Por tanto hay que precisar el orden de los dos factores de un producto de matrices.

Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz.

El producto de la matriz A=(aij) de dimensión mxn por la matriz B=(bij) de dimensión nxq, es otra matriz P=(pij) de dimensión mxq que se obtiene

n

ij ik kjk 1

p a a

4. Producto de matrices.

Ejemplos.1 2 3 1

4 5 6 · 0

7 8 9 1

1·1 2·0 3·( 1)

4·1 5·0 6·( 1)

7·1 8·0 9·( 1)

2

2

2

3x3 3x1 3x1

1 01 2 3

· 1 24 5 6

3 4

1·1 2·( 1) 3·3 1·0 2·2 3·( 4)

4·1 5·( 1) 6·3 4·0 5·2 6·( 4)

8 8

17 14

2x3 3x2 2x2

4. Producto de matrices.

El producto de matrices verifica las siguientes propiedades:

A·(B·C) = (A·B)·C ( propiedad asociativa) A·B B·A (no es conmutativa) Si A es una matriz cuadrada de orden n

A·In = In·A = A

Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra B tal que

A·B = B·A = In

Si existe la matriz B se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A-1

5. Matrices inversibles.

Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la

matriz unidad de orden n.

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es

inversible o regular; en caso contrario se dice singular.

Se puede obtener la matriz inversa, planteando un sistema de

ecuaciones a partir de la definición.

5. Matrices inversibles.

Ejemplo:

Dada para obtener

se ha de cumplir:

2 1A

1 1

1x y

Az t

x y2 1 1 0·

z t1 1 0 1

2x z 2y t 1 0

x z y t 0 1

2x z 1

x z 0

2y t 0

y t 1

x 1/ 3

y 1/ 3

z 1/ 3

t 2/ 3

1

1 13 3A1 23 3

¡ ¡ C U I D A D O ! !

A·B = 0 no quiere decir que A = 0 o B = 0

A·B = A·C no quiere decir que B = C

(A + B)2 no quiere decir que sea A2 + B2 +

2A·B

(A - B)2 no quiere decir que sea A2 + B2 - 2A·B

(A + B)·(A – B) no quiere decir que sea A2 – B2

6. Rango de una matriz.

Una fila (o columna), I, no nula, depende linealmente de sus paralelas, I1, I2, I3, ... ,In, si existen unos números reales, a1, a2, a3, ..., an, no todos nulos, tales que

I = a1I1 + a2I2 + a3I3 + … + anIn

Una fila (o columna), I, no nula, es linealmente independiente de las filas o columnas si no se pueden escribir en la forma anterior.

Se demuestra que en una matriz el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de la matriz.

6. Rango de una matriz.

Cálculo del rango de una matriz por el método de reducción, cascada, o de Gauss.

Para realizar este cálculo: Se pueden suprimir sin que varíe el rango:

• Las filas o columnas nulas• Las filas o columnas proporcionales a otras• Las filas o columnas dependientes de otras

Se pueden realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango.

• Multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero

• Sumar o restar una fila o columna a otra

Aplicando estos procesos se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas independientes.

6. Rango de una matriz.

Este es un esquema de lo explicado anteriormente (los asteriscos indican cualquier número).

rango 4 rango 3 rango 2 rango 1

*****

*****

*****

*****

* * * * *

0 * * * *

0 0 * * *

0 0 0 * *

* * * * *

0 * * * *

0 0 * * *

* * * * *

0 * * * *

* * * * *

7. Matriz inversa por el método de Gauss.

Se parte del siguiente esquema inicial, siendo A=(aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad.

A I3

Y se llega a la expresión:

I3 A-1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a | 1 0 0

a a a | 0 1 0

a a a | 0 0 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0 | b b b

0 1 0 | b b b

0 0 1 | b b b

7. Matriz inversa por el método de Gauss.

Para ello se utilizan las siguientes reglas:

Regla 1 : Multiplicar una fila por un número distinto de cero

Regla 2: Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número

Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A alguna fila nula, la

matriz no tiene inversa.

Una matriz cuadrada es inversible o regular cuando su rango

coincide con su orden, es decir cuando las filas son linealmente

independientes.

7. Matriz inversa por el método de Gauss.

Ejemplo. Calcular la inversa de

Por tanto

1 2A

3 7

1 2 1 0

3 7 0 1

2 2 1F F 3F 1 2 1 0

0 1 3 1

1 1 2F F 2F 1 0 7 2

0 1 3 1

1 7 2A

3 1

Ejemplo. Calcular la inversa de

Por tanto

1 0 0

B 1 2 3

0 1 2

1 0 0 1 0 0

1 2 3 0 1 0

0 1 2 0 0 1

2 1 2F F F 1 0 0 1 0 0

0 2 3 1 1 0

0 1 2 0 0 1

3 2 3F F 2F

1 0 0 1 0 0

0 2 3 1 1 0

0 0 1 1 1 2

1

1 0 0

B 2 2 3

1 1 2

3 3F F 1 0 0 1 0 0

0 2 3 1 1 0

0 0 1 1 1 2

2 2 3F F 3F

1 0 0 1 0 0

0 2 0 4 4 6

0 0 1 1 1 2

2 21

F F2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 2 2 3

0 0 1 1 1 2