I.E. Leonardo de Vinci

Mes: NoviembreI.E. Leonardo de Vinci

Mes: Noviembre

DEFINICIN

Se define una matriz como un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.

As una matriz tiene la siguiente forma general:

Columnas

Donde:

Se llaman elementos de la matriz A.

aij es el elemento ubicado en la fila i, columna j.

Orden de Matriz

Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces se dice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (no se efecta).

As la matriz A, se puede denotar:

A = (aij)m x nDonde:

m, n ( Z+i = {1; 2; 3; .......; m}j = {1; 2; 3; .......; n}

Ejemplo:

Escribir explcitamente la matriz:

A = (aij)2x3 / aij = 2i j

Tipos de matrices

1. Matriz columna: Es aquella matriz, que tiene una sola columna, es decir de orden m x 1.

Ejemplo:

2. Matriz fila: Es aquella matriz, que tiene una sola fila, es decir es de orden 1 x n

Ejemplo:

B = (2 4 6) 1 x 3

3. Matriz nula: Es aquella matriz, cuyos elementos son iguales a cero y se denota por (.

Ejemplo:

( =

4. Matriz cuadrada: Es aquella matriz, cuyo nmero de filas es igual al nmero de columnas, y se denota: A = (aij)n x n A = (aij)nEjemplo:

Traza de una matriz cuadrada:

Es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Sea la matriz:

A = (aij) ( Traz(A) =

As en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6

CASOS PARTICULARES DE UNA MATRIZ CUADRADA a. Matriz triangular superior: Es aquella matriz, cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal, son iguales a cero. Es decir:

A = (aij)n es una matriz triangular superior, si aij = 0; ( i > j

Ejemplos:

b. Matriz triangular inferior: Es aquella matriz, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal, son iguales a cero. Es decir:

A = (aij)n es una matriz triangular inferior.

Si: aij ) 0; ( i < j

Ejemplos:

c. Matriz diagonal: Es aquella matriz que simultneamente es triangular superior e inferior, es decir todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.

A = (aij)n es una matriz diagonal, si: aij = 0; ( i ( j

Ejemplos:

d. Matriz escalar: Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales, es decir: A = (aij)n es una matriz escalar,

si: aij = k; i = j

0; i ( j

Ejemplos:

e. Matriz identidad: Es una matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por In.

In = (aij) / aij = 1; i= j

0; i ( j

Ejemplos:

RELACIONES ENTRE MATRICES a. Igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si y slo si son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales.

As, dadas las matrices:

A = (aij)m x n ; B = (bij) m x n

A = B (aij = bij : ( i; ( j

Ejemplo:

Calcular x y, si las matrices son iguales.

b. Transpuesta de una matriz: La transpuesta de una matriz A (de orden m x n), es una matriz denotada por At (de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas de la matriz A.

Ejemplo:

c. Matrices Opuestas: Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y adems sus respectivos elementos son opuestos.

d. Matriz simtrica: Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simtrica.

Ejemplo:

Como: A = -At ( A es antisimtrica.

OPERACIONES CON MATRICES

1. Adicin de matrices

Sean las matrices:

A = (aij)mxn ;B = (bij)mxn

Luego la matriz suma de A y B es:

A + B = (aij + bij)mxn

Ejemplo:

Sean:

Observacin:

- A B = A + (-B)

- A + B = B + A

- A + ( = ( + A = A

- (A + B) + C = A + (B + C)

2. Multiplicacin de matrices

a. Multiplicacin de un escalar por una matriz

Sea:

A = (aij)mxn(kA = (kaij)mxn

Ejemplo:

b. Multiplicacin de una matriz fila por una matriz columna.

Sean las matrices:

( A x B = (a1.b1+a2.b2 + ..... + an bn) =

Ejemplo:

Sean:

A = (1 3 2); B =

( A x B = 1 x 4 + 3 (-2) + 2 x 5 = 8

c. Multiplicacin de matrices

Sean las matrices:

A = (aij)mxn; B = (bij)nxp

Entonces se define:

A x B = (cij)mxp

Donde cij resulta de multiplicar la i-sima fila de A por la j-sima columna de B.

Observacin: Slo se puede hallar el producto A.B si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B.

Ejemplo:

( C = A x B =

C11 = 3.4 + 2(-1) = 10 C21 = (-1) (4) + 4(-1) = -8

C12 = 3.3 + 2.2 = 13 C22 = (-1) (3) + 4.2 = 5

C13 = 3.1+ 2.2 = 7 C23 = (-1) (1) + 4.2= 7

Entonces:

A x B =

PROPIEDADES:

1. (A ( B)t = At ( Bt2. (At)t = A

3. (AB)t = BtAt4. (KA)t = KAt5. K(A+B) = KA + KB

6. A (B + C) = AB + AC

(B + C)A = BA + CA

7. (AB)C = A(BC)

8. En general AB no es necesariamente igual a BA.

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden entonces:

A y B conmutan o son conmutativos ( AB = BA

A y B son anticonmutativos ( AB = -BA

9. AI = IA = A

10. In = I

11. Si: AB = AC, no implica que: B = C

12. A es una matriz idempotente, si: A2 = A

13. A es una matriz involutativa, si: A2 = I

14. A es una matriz nilpotente, si: A2 = (

1. Escribir explcitamente la matriz A.

A = [aij] ( K3x2 / aij = i + 2j

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

2. Sean las matrices:

;

Hallar (xy), si: A = B

a) 1b) 2c) 6

d) 12e) N.A.

3. Sean las matrices:

;

Hallar (A + C); si: A = B

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

4. Sean las matrices:

;

Si: A B, hallar : (3A +2C)

a)

b)

c)

d)

e)

5. Resolver el sistema:

x 2y = A

2x + 3y = B

Donde: x, y ( K2x2Adems:

(

Hallar:

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

6. Sean las matrices:

y

Hallar AB

a) b)

c)

d)

e) N.A.

7. Hallar la matriz A de segundo orden tal que a22 = 5 y A22 = segn ello. Hallar la suma de todos los elementos de la matriz A.

a) 2b) 1c) 3

d) 11e) N.A.

8. Hallar la matriz x que resuelve:

. x =

Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a) 2b) 1c) 3

d) 7e) N.A.

1. Construir la matriz:

A = [aij]2x3 / aij = i + j; si: i > j

aij = ij; si: i < j

a)

b)

c)

d)

e)

2. Hallar:

(x y) (z w)

si:

a) 1b) 2c) 4

d) 6e) 3

3. Dada:

-1 2 1

A = 3 2 1

1 -2 0

Calcular: 3A - 2I

a)

b)

c)

d)

e)

4. Dados:

Si:

P(x, y) = 2x y + 3

Determinar: P(A, B)a)

b)

c)

d)

e)

5. Dados:

Determinar: AB

a)

b)

c)

d)

e)

6. Dada la matriz A, calcular: A3 6A

A =

a) Ab) 2Ac) 2I

d) 3Ie) 4I

7. Si:

Hallar: Xta)

b)

c)

d)

e)

8. Hallar la suma de los elementos de X, tal que:

a) 2b) 0c) 1

d) 3e) 5

MATRICES

ACTIVIDAD EN AULA

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

8

Sub rea: lgebra

5 Secundaria7

Sub rea: lgebra

5 Secundaria

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