Prof. Esteban Hernández Álgebra de Matrices. Justificación Las matrices son una herramienta...

Prof. Esteban Hernández

Álgebra de Matrices

Justificación

Las matrices son una herramienta importante en las representación de ideas matemáticas. Sus aplicacionesalcanzan todas las ramas de matemáticas y ciencias.El conceptos de matriz es tan importante que existe todauna rama de las matemáticas que trata exclusivamenteel estudio de las matrices, esta se conoce como el álgebra lineal. Veremos en este módulo los conceptos generalesde matrices y las aplicaciones a la solución de sistemasde ecuaciones lineales.

Pre-prueba

1. Suma las matrices

2 1 2 3 0 1

0 4 1 4 3 3

3 3 5 0 0 4

2. Resta las matrices

2 0 0 3 0 1

0 3 1 1 3 1

3 1 2 0 0 1

3. Multiplica las matrices

1 1 0 3 0 1

0 2 1 . 4 1 0

3 3 1 0 0 4

4. Encuentra la multiplicación ecalar

2 1 2

5 0 4 1

3 3 5

5. Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el resto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento de manera que obtenga un 8% de interés anual? Resuelve usando matrices.

Objetivos:

1. Definir el concepto de matriz.2. Definir los conceptos de matrices cuadradas, matriz identidad, matriz transpuesta, matriz inversa,

vectores fila y columna y matrices triangularizadas.3. Definir las operaciones entre matrices.4. Resolver ejercicios de aplicación usando matrices.

Definición:Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números que forman la matriz se llaman entradas o elementos y se escriben dentro de paréntesis.Las matrices se identifican con letras mayúsculas.Ejemplos de matrices:

2 3

4 5A

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

3 2 0

4 1 3C

Las líneas horizontales de números se conoce como filas y las verticales como columnas.

fila

columna

3 2 0

4 1 3C

Al número de filas por el número de columnas de una matriz se le llama el orden o tamaño de la matriz.

2 3

4 5A

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

3 2 0

4 1 3C

Matriz 2x2

Matriz 3x3

Matriz 2x3

Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

Definición de matriz mxn:Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n columnas se conoce como una matriz m x n.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33

:

:

1 2 3

....

...

... :

: : ... :

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a aA

a a a a

Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i

corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición

de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma

general abreviada,

o ij ijmxnA a A a

1 2 0 1A

Definición de un vector columna:Una matriz que tiene una sola columna se llama vector columna.Ejemplo:

Definición de un vector fila:Una matriz que tiene una sola fila se llama vector fila.

Ejemplo:

2

0

1

B

vector columna 3x1

vector fila 1x4

Aclaración: No confunda la notación aij de un elemento con la notación de una matriz.

1 2 3 ... nA a a a a

ij ija = a

Definición :Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y losmismos elementos. Ejemplo:

1 1 3 1Si entonces 1; 3;

1 5 4 1

4; 5

x yx y

z v

z v

Definición :La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota por AT Ejemplo:

0 40 3 1

Si A= entonces 3 14 1 4

1 4

TA

Matrices especiales:1. La matriz cero Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0. Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el número cero. Ejemplo: La matriz cero 2x3 es;

2. Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de

filas que de columnas. Ejemplo:

Matrices especiales:

2x3

0 0 0 0 =

0 0 0

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

Matriz cuadrada 3x3

4 1

3 6A

Matriz cuadrada 2x2

3. Matriz diagonal Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros

excepto las entradas de la diagonal se llama matriz diagonal.

Ejemplo: Una matriz diagonal 2x2 es;

Una matriz diagonal 3x3 es;

3 0 0

0 2 0

0 0 5

B

4 0

0 6A


4. Matrices triangularizadas Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si

todas las entradas bajo la diagonal principal son cero. Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si

todas las entradas sobre la diagonal principal son cero. Ejemplos:

Una matriz triangularizada por arriba es;

Una matriz triangularizada por abajo es;

3 1 3

0 2 0

0 0 5

A

3 0 0

3 2 0

1 0 5

B


5. Matriz identidad Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la

diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad.

Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn. Ejemplos: La matriz identidad 2x2 es;

La matriz identidad 3x3 es;

La matriz identidad 4x4 es;

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

1 0

0 1I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I


Operaciones con matrices:1. Suma de matrices

La suma de matrices se obtiene sumando las entradas correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma está bién definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño.

Ejemplos: Encuentra la suma las matrices.

Si y B son dos matrices mxn entonces

definimos la suma de y por,

ij ij

ij ij ij ij

A a b

A B

A B a b a b

3 0 2 5 3 61. Si y B entonces

2 1 4 0 2 5

3 0 2 5 3 6 3 5 0 3 2 6

2 1 4 0 2 5 2 0 1 2 4 4

A

A B

8 3 4

2 1 8A B

1 2 7 2

2. Si 3 4 y B 6 4 entonces

5 6 3 0

1 2 7 2 1 7 2 2 8 0

3 4 6 4 3 6 4 4 3 8

5 6 3 0 5 3 6 0 8 6

A

A B

Operaciones con Matrices :

Propiedades de matrices nxm: 1. A + B = B + A, propiedad conmutativa. 2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa 3. A + 0 = 0 + A , propiedad de identidad 4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestasEjemplos:

1 2 1 0 1 2 2 1 1Si , , ,

2 0 1 1 3 1 0 2 1

0 0 0

0 0 0

A B C

D

a. Demuestra que A + B = B + A.

1 2 1 0 1 2 1 3 3

2 0 1 1 3 1 1 3 2A B

Propiedades de matrices nxm:

0 1 2 1 2 1 1 3 3

1 3 1 2 0 1 1 3 2B A

Por lo tanto .A B B A

b. Demuestra que A + (B + C) = (A +B) + C.

1 2 1 2 2 1 1 4 2

2 0 1 1 5 2 1 5 3A B C

1 2 3 2 1 1 1 4 2

1 3 2 0 2 1 1 5 3A B C

Por lo tanto .A B C A B C


c. Demuestra que A + 0 = A.

1 2 1 0 0 0 1 2 10

2 0 1 0 0 0 2 0 1A

Definición de la multiplicación escalar:Si es una matriz mxn y k es un número real (un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar de A y k por, .

ij ijkA k a ka

ijA a

La multiplicación escalar se obtiene multiplicando cada entradao elemento de la matriz A por el escalar k.


Definición del producto interno de vectores

El producto interno de un vector fila de tamaño, 1xp, por un vector columna de tamaño, px1, se denota y define por,

La multiplicación de matrices

Para definir la multiplicación de dos matrices necesitamos definir la multiplicación de un vector fila por un vector columna y determinar los tamaños de las matrices que se pueden multiplicar.

11 12 13 1. ... .pU V u u u u

11

21

31

1p

v

v

v

v

11 11 12 21 13 31 1 1. . . ... .p pu v u v u v u v

Observa que el producto interno de un vector fila por un vector columna produce un número real.

La multiplicación de matrices :

Ejemplo:Encuentra el producto interno de los siguientes vectores.

1. 2 1 3 4 1 .

3

1

4

5

6

2 3 1 1 3 4 4 5 1 6

6 1 12 20 6 7

2. 3 4 0 1 . 3 1 4 5 0 1 1 0

3 20 0 0 23

1

5

1

0

Ojo: El resultado del producto interno es un número real y el número de columnas del primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.


Definición de la multiplicación de matrices

Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y B por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j.Ejemplo:

Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices. 1 3

6 2 81. 5 0

1 4 52 7

A y B

1 22 5 0

2. 3 14 1 1

0 1

A y B


1 36 2 8

1. . 5 01 4 5

2 7

AB

1 3

6 2 8 5 6 2 8 0

3 7

1 3

1 4 5 5 1 4 5 0

3 7

6 10 24 18 0 56

1 20 15 3 0 35

20 74

36 38


1 36 2 8

5 01 4 5

2 7

BA

9 10 23

30 10 40

19 24 51

1 22 5 3 0

2. 3 14 1 2 1

0 1

AB

6 7 1 2

10 14 11 1

4 1 2 1

no está definida pues los tamaños no coinciden.

No se puede multiplicar una matriz 2 3 por otra 4 2

BA


Propiedades de la multiplicación de matrices

Si AB y C son matrices para las cuales la multiplicación esta definida y k es un número real (escalar):

1. A(BC) = (AB)C propiedad asociativa

2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva

3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva

4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar

Ejemplo:Demuestra las siguientes igualdades.

5

1. 3 3 1 1 10

2

3

2. 5 0 1 9 15

0


1

13. 0 1 1 2 3

2

2

0 1 1 3 0 24.

3 2 0 2 3 5

3 1 4 1 3 55.

3 2 5 0 2 1 no está definida

1 3 9 2 230 1 5

6. 0 2 6 2 123 1 6

6 0 0 6 30

1 3

2 0 2 1 1 0 5 77.

2 3 1 1 1 5 3 14

1 3

La multiplicación de matrices:

1 3 4 9 5 4

1 0 2 0 2 1 2 0 2 18.

1 5 2 3 1 1 12 15 3 4

1 3 8 9 1 2

Ejemplos:9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 3x4 y B es una matriz 4x3?

10. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 5x4 y B es una matriz 3x5?


La matriz identidadLa matriz cuadrada diagonal nxn cuyas entradas en la diagonal principal son todas 1 y las demás entradas son todas 0 se conoce como la matriz identidad nxn.

La inversa de una matrizSea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B, nxn tal que AB = BA = In, decimos que B es la matriz inversa de A y la denotamos por B = A-1.

1 0 ... 0

0 1 ... 0

0 0 0 1

nI =

2

1 0

0 1I =

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I =

La inversa de una matriz:

Ejemplos:1. Verifica que la matriz inversa de es .

2. Verifica que la matriz inversa de es .

1 0

2 2

1 0

11

2

1 0 2

4 2 1

1 2 10

9 2 2

41 94

2 25 1 1

Procedimiento para encontrar la inversa de una matrizSi A es una matriz invertible nxn construya la matriz aumentada . La matriz inversa A-1, nxn, se obtiene reduciendo la matriz mediante operaciones elementales de filas hasta obtenerla matriz .

nA I

1nI A

Ejemplos:1. Encuentra la matriz inversa de .

2 4

3 1A

2 41 0

3 10 1

1 11

2f f

1

21 2 0

3 10 1


Verifica que AA-1 = I2 .

1 2 23 f f f 1

21 2 0

3 10 1

12

01 2

30 5 12

2 21

5f f

1

201 2

30 1 110 5

110

21 2 5

30 1 110 5

2 1 12 f f f

1

110

25

3 110 5

A

1 41

3 210


2. Encuentra la matriz inversa de .2 3

3 5

2 3 1 0

3 5 0 1

1 1

1

2f f

12

301

20 13 5

1 2 23 f f f

12

301

23 1190 22

2 22

19f f

12

3 012

3 20 1 19 19

2 1 13

2f f f

519

31 0 190 1 3 2

19 19


1

519

319

3 219 19

A

31

3 219

5

3. Encuentra la matriz inversa de .4 2

2 1

4 2 1 0

2 1 0 1

1 2 22f f f 14 2 0

0 0 0 1

No es posible tener la matriz inversa en el lado izquierdo por lotanto la matriz no es invertible, la matriz inversa no existe.

La iversa de una matriz:

Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.

Si tenemos un sistemas de ecuaciones 2x2,

podemos definir los siguientes conceptos,

a. La matriz de los coeficientes,

b. El vector variable,

c. El vector constante,

d. La ecuación matricial del sistema,

11 12 1

21 22 2

a x a y k

a x a y k

11 12

21 22

.a a

Aa a

.x

Xy

1

2

.k

Kk

11 12 1

21 22 2

. .a a kx

a a ky

.A X K

La ecuación matricial del sistema se puede resolver multiplicandoambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de loscoeficientes.

1 1.A A X A K 1X A K

Se puede demostrar que la matriz inversa 2x2, es

a b

c d

11

.a b d b

c d c aad bc

Ejemplo:Resuelve el sistema usando la ecuación

2 3 71.

3 5 20

x y

x y


2 3 7

3 5 20

x y

x y

2 3 7

3 5 20

x

y

12 3 5 31

3 5 3 22 5 3 3

5 31

3 219

2 3 5 3 71

3 5 3 2 2019

x

y

5 31

3 219

1 0 951

0 1 1919

x

y

5

1

x

y

5, 1x y . . 5,1C S

Solución:


Ejemplo 2:Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el resto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento de manera que obtenga un, a. 8% de interés anual? b. 10% de interés anual? c. 10.5% de interés anual?

Escribe la ecuación matricial y resuelve el sistema.

Solución:Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%.

10000

..06 .12 .08 10000

x ya

x y

10000

.06 .12 800

x y

x y

Las ecuación matricial es :

1 1 10000

.06 .10 800

x

y


150

21 1 3

.06 .10 501

3

La inversa de la matriz de coeficientes es,

50 502 2

1 1 100003 350 .06 .10 50 800

1 13 3

x

y

1 0 6666.67

0 1 3333.33

x

y

$6666.67 $3333.33x y


10000

..06 .12 .10 10000

x yb

x y

10000

.06 .12 1000

x y

x y

50 502 2

1 1 100003 350 .06 .10 50 1000

1 13 3

x

y

1 0 3333.33

0 1 6666.67

x

y

$3333.33 $6666.67x y


1 1 10000

.06 .10 1050

x

y

50 50

2 21 1 100003 3

50 .06 .10 50 10501 1

3 3

x

y

1 0 2500

0 1 7500

x

y

$2500 $7500x y

10000

..06 .12 .105 10000

x yc

x y

10000

.06 .12 1050

x y

x y


Post-prueba1. Suma las matrices

2 1 2 3 0 1

0 4 1 4 3 3

3 3 5 0 0 4


2 0 0 3 0 1

0 3 1 1 3 1

3 1 2 0 0 1


1 1 0 3 0 1

0 2 1 . 4 1 0

3 3 1 0 0 4


2 1 2

5 0 4 1

3 3 5


Respuesta de la pre y post pruebas

1. Suma las matrices

2 1 2 3 0 1 1 1 3

0 4 1 4 3 3 4 7 4

3 3 5 0 0 4 3 3 9


2 0 0 3 0 1 5 0 1

0 3 1 1 3 1 1 0 0

3 1 2 0 0 1 3 1 1


1 1 0 3 0 1 7 1 4

0 2 1 . 4 1 0 2 2 4

3 3 1 0 0 4 21 3 7


2 1 2 10 5 10

5 0 4 1 0 20 5

3 3 5 15 15 25


Solución:Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%.

10000

.06 .12 .08 10000

x y

x y

10000

.06 .12 800

x y

x y

Las ecuación matricial es :

1 1 10000

.06 .10 800

x

y

150

21 1 3

.06 .10 501

3

La inversa de la matriz de coeficientes es,

50 502 2

1 1 100003 350 .06 .10 50 800

1 13 3

x

y

1 0 6666.67

0 1 3333.33

x

y

$6666.67 $3333.33x y

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