Mtro. Javier Solis Noyola

Objetivos

Conocer los antecedentes u orígenes del Álgebra Lineal desde la perspectiva de su aplicación.

Conocer y comprender el concepto de Matriz y sus tipos.

Desarrollar operaciones con matrices.

¿Qué es un Modelo Matemático?

• Es una representación abstracta de la realidad. La representación abstracta hace uso del simbolismo matemático; ésta involucra datos conocidos y variables por conocer.

• Los Modelos matemáticos, buscan describir la realidad mediante el simbolismo: numérico o gráfico. Esta realidad puede ser estática o dinámica.

• La finalidad del uso de los modelos matemáticos es, encontrar una descripción de un fenómeno (sistema físico o un proceso), y orientar la solución a un equilibrio matemático, y que posteriormente sea aplicada en el campo real .

Modelo Matemático

V = IR

P = VI cosθ

R = ρL

A

a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1

a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2

a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3

L d2q + R dq + 1 q = E (t)

dt2 dt C

SISTEMA FÍSICO

Álgebra Lineal

¿Qué es el Álgebra Lineal?

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como: análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas (renglones) y columnas.

¿Qué es una Matriz?

x1

x2

x3::xn

Para encontrar las soluciones (x1, x2,...xn) un sistema de ecuaciones lineales, se utilizan conceptos y procedimientos de matrices y determinantes.

Matriz

Determinante

Sistema de ecuaciones lineales

Las matrices se utilizan en cálculo numérico, solución de sistemas de

ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales.

Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones

lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría,

estadística, economía, informática, física, etc.

 Las matrices son utilizadas por primera vez

hacia el año 1850 por James Joseph

Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría

matricial se debe al matemático británico

William Rowan Hamilton en 1853. En 1857 el

matemático Arthur Cayley introduce la

notación matricial como una forma abreviada

de escribir un sistema de m ecuaciones

lineales con n incógnitas.

Matrices: aumentada y de coeficientes

Matriz de

coeficientes

Matriz aumentada

Las x1, x2,...xn de un sistema de ecuaciones lineales son las incógnitas. Las a1, a2…an; y los b1, b2.. bm, son valores conocidos.

Sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo de Matrices: aumentada y de coeficientes

1 2 3 0

3 4 7 2

6 5 9 11

1 2 3

3 4 7

6 5 9

Matriz Aumentada

Matriz de Coeficientes

Sistema de ecuaciones lineales concreto

Tamaño o dimensión de una Matriz

• aij es el elemento de la matriz que ocupa el renglón i y la columna j.

• Se llama tamaño o dimensión de la matriz al número de filas por el de columnas y se representa como m × n. Si  m = n se dice que la matriz es cuadrada y de orden n.

• El número total de elementos que tiene la matriz A es    m x n.

i = renglón o fila

j= Columna

Ejemplos de dimensión (tamaño)

1)   Dada la siguiente siguiente matriz    A    calcula su dimensión ,   su elemento    3,2  ,  su columna   2    y su fila   3 :

2)   Dada la siguiente siguiente matriz   B    calcula su dimensión ,   su elemento    1,3  ,  su columna   1    y su fila   2 :

Matriz cuadrada

Matriz cuadrada: Matriz que tiene el mismo número de filas (renglones) que de columnas, es decir, m = n.

Se denomina diagonal principal de la matriz cuadrada A = ( aij ) a los elementos aii, es decir: a11, a22, a33,..., ann.

Matriz cuadrada de 2x2

Elementos de la diagonal principal:

a11= 1; a22= 1

Matriz cuadrada de 3x3

Elementos de la diagonal principal:

a11= 1; a22= -3; a33=4

Matrices: triangular superior y triangular inferior

Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos (matriz A).

Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos (matriz B).

Ejemplos de matrices triangular superior e inferior

Las matrices triangulares superiores e inferiores tienen que ser cuadradas

Matriz Diagonal

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos, es decir, para A = ( aij )

Matriz Identidad (unitaria o unidad)

Matriz unitaria, unidad o identidad: Es una matriz escalar (cantidad conocida y no vectorial ) en la que todos la diagonal principal son iguales a 1.

Para cada n representaremos a la matriz identidad de orden n como In.

La matriz Identidad debe ser cuadrada.

Matriz Transpuesta At

• Dada una matriz A = ( aij ) de tamaño o dimensión m × n, la matriz traspuesta será la obtenida al intercambiar sus filas (renglones) por sus columnas.

• A la matriz traspuesta la representaremos por At. At=(aji )

• La matriz At tiene dimensión n × m.

Ejemplos de Matrices Transpuestas

Operaciones con Matrices: SUMA (A+B)

La suma de dos matrices    A = ( aij )    y    B = ( bij )    de la mismo tamaño o dimensión m × n, es otra matriz que representamos como    A + B,    de la misma dimensión que A y B, cuyos elementos son la suma de los elementos situados en las mismas posiciones, es decir, A + B = (aij + bij).

Ejemplos de Suma de matrices (A+B)

Sumar las matrices A y B:

Ambas matrices tienen el

Mismo tamaño

Las matrices NO tienen el Mismo

tamaño

Resta o Diferencia de Matrices (A-B)

La diferencia de dos matrices    A = ( aij )    y    B = ( bij ) de la mismo tamño o dimensión m × n, es otra matriz que representamos como A - B , de la misma dimensión que A y B, y que se define como A - B = A + ( -B ), es decir:

 A - B = (aij - bij ).  Siendo -B    la matriz opuesta de B.

Ejemplo de Diferencia de Matrices (A-B)

Multiplicación de un escalar por una Matriz: kA

Ejemplo: Multiplicar kA, si k=3

El producto de una matriz  A = ( aij )   por un número real k es otra matriz, que representaremos por   kB,    de la misma dimensión que A y cuyos elementos son el producto de los mismos por k, es decir, kA = ( kaij ).

Producto de una Matriz columna o Renglón por una Matriz Columna

El producto de una matriz fila por una matriz columna  es un número que se obtiene multiplicando término a término los elementos y sumando los resultados.

Ejemplo:

Multiplicación o Producto de Matrices (A*B)

El producto de una matriz  A = ( aij ) de orden m × n  y otra matriz A  B = ( bij )

de dimensiones n × p es una matriz C = ( cij ) de orden m × p, de manera que

cada elemento  cij   se obtiene multiplicando la fila  i de A por la columna  j  de B,

es decir:

Consideración para multiplicar matrices

Para poder multiplicar dos matrices es obligatorio que el número de columnas de la primera (A) coincida con el número de filas o renglones de la segunda (B).

El Tamaño o dimensión de la nueva matriz C, será de mxp

Ejemplo de Multiplicación de matrices

REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):

•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.

•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.

•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill

Sitio WEB:http://calculo.cc/temas/temas_algebra/ind_matriz.html