Analysis

Progresiones. Problemas

OpenUepc.com 1.1.4.1.2 Ver 01:05/02/2010

NOTA

La clasíficación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.1.2 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.1 SUCESIONES

1.1.4.1.2 PROGRESIÓNES

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Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

22/11/2009

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COMO SOLUCIONAR PROBLEMAS DE PROGRESIÓNES

En la resolución de problemas relacionados con sucesiones ten en cuenta las siguientes

etapas:

1. Lee con atención el enunciado hasta que estés familiarizado con él.

2. Haz una tabla con a1, ai, an, n, r y Sn Según los términos que sí conozcas y los que no,

podrás relacionarlos mediante las fórmulas del término general y la de la suma de los n

primeros términos, o infinitos (si se tratase de geométricas).

3. Como en cualquier problema matemático, busca una estrategia que pueda servirte.

Aquí te damos alguna idea:

• Empieza por los casos sencillos.

• Experimenta con el problema.

• Busca regularidades, pautas.

• Realiza figuras o diagramas.

• Escoge una notación apropiada.

• Busca semejanzas con otras situaciones .

4. Lleva adelante las ideas de la etapa anterior, procurando no mezclarlas, de una en una.

Procura organizar la información que vas obteniendo en una tabla, gráfica, etc.

5. Cuando consideres que has llegado a la solución, revisa todo el proceso que has

seguido y, si es posible, estudia el problema cambiando alguna de las condiciones del

enunciado.

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1 .- De las siguientes sucesiones de números reales, indicar cuales constituyen

progresiónes aritméticas y cuales geométricas, calculando en cada una:

a) la razón,

b) el término general

c) el décimo término de la sucesión

d) la suma de los diez primeros términos,

e) e1 producto de los ocho primeros cuando sean geométricas,

f) En el caso de que alguna sea geométrica decreciente, calcular la suma de sus

infinitos términos

i. -10, -5, 0,….

ii. -1/2, 1/2, 3/2,…

iii. 1, -1, 1, -1,….

iv. 4/5, 2/5, 1/5, 1/10, ….

v. 1/√2, 1, √2, …

vi. 1/√2, √2, 3/√2, 4/√2, ….

vii. 100, 20, 4, ….

viii. 81/16, 27/8, 9/4, 3/2, ….

ix. 1/2, 5/6, 7/6, ….

x. x2, x, 1, ….

xi. x/2, 3x/2, 5x/2, ….

xii. -3/4, -1/4, 1/4, …..

xiii. 2, 3/2, 1, ….

xiv. 2/5,-1/10, -6/10, …..

xv. 1/4, √2/2, 2, …

xvi. 0, √2, 2/√2, ….

xvii. 2, 2/3, 2/9, …

xviii. 3, 10/3, 11/3, …

xix. 1, 5/2, 25/4, …

xx. 5, 1, 1/5, …

xxi. 1, 1'3, 1’6, 1’9, ….

xxii. 0’6, 0’73, 0’86, …

xxiii. 8, 4/√2, 2, …

xxiv. e·π , e, e/π , …

2 .- ¿Cuál es la suma de los 100 primeros numeros naturales?

3 .- Dadas las sucesiones siguientes, determina a) si es PA o PG; b) si lo es, calcula la

razón; c) el término siguiente; d) el término general y e) las suma de los 20 primeros

términos de cada sucesión:

1 5 7, , ,...

2 6 6

3 1 1, , ,...

4 4 4

− −

1 1, ,1,...

4 2

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4 .- Hallar la suma de todos los pares comprendidos entre el 1.161 y el 1.643.

5 .- ¿Cuántos números impares consecutivos hay que sumar a partir del 1 para que su

suma sea 900?.

6 .- ¿Cuantos impares consecutivos a partir de 1 suman 7744?

7 .- La suma de n números naturales a partir de 11 es 1715. Calcula n.

8 .- En una plantación de frutales hay 63 filas de árboles. Cada fila tiene tres árboles

más que la anterior. La fila decimoséptima tiene 50 árboles. Hallar el número de árboles

que hay en la primera fila y en la última. Hallar también el número total de árboles de la

plantación.

9 .- Calcula a20 en la sucesión de números primos

10 .- Sabiendo que la presión atmosférica desciende en progresión geométrica cuando la

altura a la que nos elevamos crece en progresión aritmética, y que a los 5500 metros de

altitud la presión es la mitad que al nivel del mar, calcular el milímetros de mercurio la

presión que reinará a 20.000 metros de altura. (Presión a nivel del mar 760 mlm Hg)

11 .- En una sala de teatro la primera fila de butacas dista de la pantalla 8’6 metros y la

sexta fila está a 13’4 metros. ¿En qué fila estará una persona si su distancia de la

pantalla es de 23 metros?

12 .- Halla los ángulos de un triángulo rectángulo cuando los tres forman progresión

aritmética.

13 .- De una progresión aritmética se sabe que el quinto término, a5, es 14, y la razón es

5. Hallar los ocho primeros términos de esa progresión y su suma.

14 .- Un coronel manda 5.050 soldados, y quiere formar con ellos un triángulo de modo

que en la primera fila tenga un solo soldado; la segunda fila 2, la tercera, tres; etc.

¿Cuántas filas habrá?

15 .- Se hizo un pozo de 30 m de profundidad pagando 320 pts. por el primer metro y

por cada uno de los demás 40 pts. más que por el anterior. Hallar el coste del pozo.

16 .- ¿Cuantas campanadas da un reloj en 24 horas si no suena más que a las horas?

17 .- ¿Cuál es la suma de los 100 primeros números impares?

18 .- Una vieja comunica un secreto a diez comadres. Diez minutos después el secreto es

comunicado por cada una de ellas a otras tres. A su vez, cada una de las nuevas

poseedoras del secreto lo comunican a otras tres. Así, sucesivamente. ¿Cuántas

personas conocerán el secreto al cabo de dos horas?

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19 .- Una rana da saltos en línea recta, hacia delante, cada vez salta la mitad del salto

anterior. Parte del extremo de una charca circular de 5 metros de radio. En el primer

salto se coloca a 3 metros del centro. ¿Llegara la rana al centro del estanque?

20 .- Un campesino propone a otro utilizar durante treinta días una pequeña parcela de

su propiedad, prometiendo hacerle en ella algunas mejoras. Se propone pagarle una

peseta el primer día , dos el segundo, tres el tercero, y así sucesivamente por el uso de

la parcela. En cambio, el propietario le dará 0'1 peseta el primer día, 0’2 el segundo, 0’4

el tercero, y así sucesivamente hasta el último día por las mejoras introducidas. Halla el

resultado de la liquidación , una vez pasados treinta días.

21 .- Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un

decalitro semanal para cada una. Esto se hacía en el supuesto de que el número de

gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una el

número de aves, la comida preparada duró doble tiempo del proyectado. ¿Qué cantidad

de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue calculada?

22 .- E1 tercer término de una progresión aritmética es 0 y la razón vale -3. Calcular los

diez primeros términos y su suma.

23 .- En una progresión aritmética a2 vale -3 y el a9 vale 11. Calcular la suma de los diez

primeros términos y la razón de esta progresión.

24 .- Calcular los lados de un triangulo rectángulo sabiendo que sus longitudes están en

progresión aritmética y que el cateto menor mide 8 cm.

25 .- En una progresión aritmética de diez términos, el cuarto junto con el séptimo

suman 3/2. Calcular la suma de los diez términos. Si además nos dicen que el término

décimo vale 3, escribir toda la sucesión.

26 .- La suma de los 11 términos de una progresión aritmética es 11. Escribir dicha

progresión sabiendo que la razón es 1/2.

27 .- Calcular la suma de los n primeros múltiplos de m.

28 .- La suma de cuatro términos consecutivos de una progresión aritmética es 2 y la

suma de sus cuadrados 46. Hallar dichos términos y la razón de la progresión.

29 .- Halla un número x, comprendido entre 6 y 294, de tal forma que la progresión 6, x, 294 sea geométrica.

30 .- A una cuerda de 700 metros se le dan dos cortes de modo que uno de los trozos

extremos tiene una longitud de 100 metros. Sabiendo que el largo de los trozos está en

progresión geométrica hallar la longitud de cada trozo.

31 .- En una progresión geométrica que tiene un número impar de términos , el término

central es 48. Calcula el producto de los términos extremos.

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32 .- Un jardinero tiene que echar un cubo de agua al pie de cada uno de los 30 árboles

que hay a un lado de un camino. Los árboles están a 6 metros de distancia, y el pozo a 10

metros antes del primer árbol. Hallar el número de metros que habrá recorrido después

de terminar el riego y devolver el cubo al pozo.

33 .- Una progresión geométrica tiene razón 1/3 y su segundo término es 27. Calcular la

suma de los infinitos términos de esta progresión.

34 .- En una progresión aritmética la suma del quinto y el noveno término es cuatro

veces el octavo. Halla los términos citados y la diferencia sabiendo que el primer

termino es 12.

35 .- Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética. El

mayor mide 15 y el perímetro es 39. Halla los otros lados.

36 .- Escribe tres números en progresión aritmética tal que su suma sea 32 y la de sus

cuadrados 464.

37 .- Forma una progresión geométrica de cuatro términos si el segundo es 20 y la suma

de los cuatro términos 150.

38 .- Halla los términos de una progresión geométrica tal, que la suma de los tres

primeros sea 63 y la diferencia entre el tercero y el primero sea igual a cuatro.

39 .- La suma de los cuatro términos de una progresión geométrica, de razón 3, es 120.

Forma la progresión.

40 .- Calcula x para que la progresión x, x2, 4 x2, sea aritmética.

41 .- Los lados de un rectángulo vienen dados por números enteros. ¿Cuál será su

longitud si el perímetro y el área se expresan con la misma cantidad?

42 .- Disponemos de una moneda de 100 pesetas para comprar sellos de 1, 4 y 12

pesetas ¿Cuántos sellos de cada uno de estos precios podremos comprar?

43.- Hay un cierto tipo de bacterias que se reproducen de modo que en diez minutos

cada una da lugar a otras tres. Si partimos de una de ellas, ¿cuántas tendremos después

de hora y media?

44.- En una progresión geométrica se tiene que a1- a3 = 36 , sien do a4 = 24. Calcular el

quinto término de la progresión.

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Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεδδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘H⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×

ℕ