Microsoft Word - portadacontnew.docUNIVERSIDAD DE SEVILLA ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS Grupo de Elasticidad y Resistencia de MaterialesINTRODUCCION AL ANALISIS Y DISEO CON MATERIALES COMPUESTOSF. Pars J. Caas J.C. MarnUNIVERSIDAD DE SEVILLAESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALESGrupo de Elasticidad y Resistencia de MaterialesINTRODUCCIN AL ANLISIS Y DISEO CON MATERIALES COMPUESTOSFEDERICO PARIS CARBALLO Dr. Ingeniero Industrial Catedrtico de UniversidadJOSE CAAS DELGADO Dr. Ingeniero Industrial Catedrtico de UniversidadJUAN CARLOS MARIN VALLEJO Dr. Ingeniero Industrial Profesor ColaboradorGRUPO DE ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES, ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS,DEPARTAMENTO DE MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS, TEORIA DE ESTRUCTURAS E INGENIERIA DEL TERRENO.Sevilla, 2006TITULO:INTRODUCCIONALANALISISYDISEOCON MATERIALES COMPUESTOSAUTORES: Federico Pars Carballo, Jos Caas Delgado, Juan CarlosMarnFECHA: 2006 Es propiedad. Reservado todos los derechos (1993, 2002 y 2006)Prohibida su reproduccin total y parcial por cualquier medio sin autorizacin expresa del autorInscrito en el Registro General de la Propiedad Intelectual con el nmero :I.S.B.N : INDICE INDICE Introduccin al Anlisis y Diseo con Materiales CompuestosIntroduccin al Anlisis y Diseo con Materiales CompuestosNDICE:CAPTULO I: INTRODUCCIN A LOS MATERIALES COMPUESTOS11.1.- DEFINICIN DE MATERIAL COMPUESTO21.2.- CLASIFICACIN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS21.3.- FIBRAS Y MATRICES61.3.1.- Fibras61.3.2.- Matrices91.3.3.- Unin Fibra-Matriz111.4.- FABRICACIN DE MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA111.5.- COMPORTAMIENTO MECNICO DE MATERIALESCOMPUESTOS REFORZADOS CON FIBRA131.6.-APLICACIONES DE LOS MATERIALES COMPUESTOSDE FIBRA15CAPTULO II: LEY DE COMPORTAMIENTO DE UNA LMINA 172.1.- INTRODUCCIN182.2.- LEY DE COMPORTAMIENTO PARA MATERIALESELSTICOS EN 3-D212.3.- VALOR DE LAS CONSTANTES312.3.1.- Materiales istropos312.3.2.- Materiales orttropos342.4.- RELACIN TENSIN-DEFORMACIN EN TENSIN PLANAEN MATERIALES ORTTROPOS372.4.1.- Direcciones principales del material372.4.2.- Direcciones cualesquiera39CAPTULO III: COMPORTAMIENTO MECANICO DE UNA LMINA 453.1.- INTRODUCCIN463.2.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DE LA RIGIDEZDE UNA LMINA473.2.1.- Determinacin de E11, E22 , 12 503.2.2.- Determinacin de G12543.2.2.1.- Ensayos sobre lminas con fibras orientadas(Off-Axis Tension Test)543.2.2.2.- Ensayos sobre laminados equiangulares 45593.2.2.3.- Ensayo de cortadura con railes (Rail Shear Test)603.2.2.4.- Ensayo de cortadura sobre probetas con doble muesca.623.2.2.5.- Ensayo de torsin sobre tubos.673.3.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIADE UNA LMINA683.3.1.- Resistencias a la traccin en las dos direcciones de ortotropade la lmina.683.3.2.- Resistencias a compresin en las dos direcciones de ortotropade la lmina.703.3.3.- Resistencia a cortadura de la lmina723.4.- CRITERIOS DE RESISTENCIA BIAXIAL DE UNA LMINA723.4.1.- Teora de la mxima tensin733.4.2.- Teora de la mxima deformacin743.4.3.- Criterio de Tsai-Hill763.4.4.- Criterio de Tsai-Wu783.4.5.- Criterios de Hashin803.4.6.- Criterio de Puck833.5.- MICROMECANICA DE MATERIALES COMPUESTOS913.5.1.- Determinacin de las caractersticas de rigidez913.5.1.1.- Determinacin de E11913.5.1.2.- Determinacin de E22933.5.1.3.- Determinacin de 12 953.5.1.4.- Determinacin de G12963.5.2.- Determinacin de caractersticas de resistencia97APENDICE 3.I: DETERMINACIN DEL TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO A PARTIR DE LA LECTURA DE TRESBANDAS EXTENSOMTRICAS101CAPTULO IV: COMPORTAMIENTO MECNICO DE UN LAMINADO 1054.1.- TEORA GENERAL DEL LAMINADO1064.2.- CASOS PARTICULARES1114.2.1.- Configuraciones de una sola capa1114.2.1.1.- Capa istropa1114.2.1.2.- Capa orttropa en ejes principales1114.2.1.3.- Capa orttropa en ejes no-principales1124.2.1.4.- Capa anistropa1124.2.2.- Configuraciones de varias capas simtricas1124.2.2.1.- Varias capas istropas1134.2.2.2.- Varias capas especialmente orttropas1134.2.2.3.- Varias capas generalmente orttropas1144.2.2.4.- Varias capas anistropas1154.2.3.- Configuraciones de varias capas antisimtricas1154.2.3.1.- Laminados cruzados antisimtricos1164.2.3.2.- Laminados angulados antisimtricos1164.3.- RESISTENCIA DE LAMINADOS1174.4.- EFECTO DE LA TEMPERATURA DE CURADO1214.5.- EJEMPLOS1244.5.1. - Ejemplo 11244.5.2.- Ejemplo 21314.5.3.- Ejemplo 31454.6.- ANLISIS TRAS EL FALLO A PRIMERA LMINA.MODELOS DE DEGRADACIN1484.6.1. - Modelos de degradacin total.1504.6.2. - Modelo de dao progresivo.1514.6.3. - Aplicacin de los modelos de degradacin.1524.7.- TENSIONES INTERLAMINARES159CAPTULO V: ANLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES DEMATERIAL COMPUESTO1675.1.- ANLISIS DE VIGAS1685.1.1.- Vigas de seccin rectangular1685.1.1.1.- Ejemplos1745.1.1.2.- Resumen de frmulas para vigas de seccin rectangular1815.1.2.- Vigas con seccin de pared delgada1835.2.- ANLISIS DE PLACAS1885.2.1.- Aplicacin191BIBLIOGRAFA 195Introducci6n al An81isis y Disefio con Materiales CompuestosIntroduccin al Anlisis y Diseo con Materiales Compuestos105 Introduccin a los Materiales Compuestos CAPITULO ICAPITULO I Introduccin a los Materiales Compuestos CAPTULO IINTRODUCCIN A LOS MATERIALES COMPUESTOS1.1.- DEFINICIN DEL MATERIAL COMPUESTO1.2.- CLASIFICACIN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS1.3.- FIBRAS Y MATRICES1.4.- FABRICACIN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA1.5.- COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA1.6.- APLICACIN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRAIntroduccin al Anlisis y Diseo con Materiales CompuestosIntroduccin al Anlisis y Diseo con Materiales Compuestos1.1.- DEFINICIN DE MATERIAL COMPUESTO.La definicin de material compuesto ha sufrido sucesivas revisiones para poder incorporar nuevos productos y mantener diferencias con los existentes que no se consideran dentro de esta definicin. Se suele definir el material compuesto como la combinacin a escala macroscpica de dos o ms materiales con interfases de separacin entre ellos para formar un nuevo material.El material compuesto, tiene como objetivo tanto el obtener propiedades que no pueden ser alcanzadas por ninguno de los constituyentes actuando aisladamente, como aunar las propiedades individuales de dichos constituyentes en un solo material.Las propiedades que suelen ser de inters en estos materiales son:- Resistencia Mecnica- Rigidez- Resistencia a corrosin- Resistencia a la abrasin- Peso- Vida a fatiga- Aislamiento trmico- Aislamiento acsticoAunque en el contexto que aqu se utiliza el material compuesto guarda como caracterstica adicional el ser un producto fabricado, existen tambin en la naturaleza ejemplos de asociaciones de diferentes elementos que funcionan como un conjunto. As, los msculos y ciertos tejidos humanos se componen de una fibra muy resistente embebida en una matriz de menor rigidez pero que aporta consistencia al conjunto. El bamb y la madera, en otro apartado de la Naturaleza, son tambin ejemplos de materiales compuestos que no han sido concebidos y fabricados por el hombre.1.2.- CLASIFICACION DE LOS MATERIALES COMPUESTOS.Existe tal variedad de materiales compuestos que resulta difcil realizar una clasificacin de aceptacin general sobre todo teniendo en cuenta que cualquier clasificacin si bien ayuda a resaltar aspectos comunes no es menos cierto que oculta otros.La primera cuestin es acordar con respecto a qu factor se va a realizar la clasificacin. Dado que la mayora de los materiales compuestos fabricados lo han sido para mejorar propiedades mecnicas tales como resistencia, rigidez, tenacidad o propiedades a alta temperatura, parece razonable realizar la clasificacin sobre el mecanismo que produce sta mejora, el cul depende en gran medida de la geometra del refuerzo que se introduce dentro de un material base que se denomina matriz. Con esta idea se obtiene la clasificacin que aparece en la Fig. I.1., siendo preciso inicialmente realizar la distincin entre fibra y partcula. Una fibra se distingue porque una dimensin, su longitud, es mucho mayor que las otras dos (las caractersticas de la seccin transversal). El resto de los refuerzos estn agrupados como partculas pudiendo ser esfricos, cbicos, laminares o irregulares. La Fig. I.2. da una imagen de algunos de los materiales que aparecen en la Fig. I.1., haciendo referencia a cada uno de ellos ms adelante.En los compuestos de partcula, Fig. I.2.a , el refuerzo puede tener objetivos diferentes. En general, y a diferencia de lo que sucede en los compuestos de fibras, las partculas no tiendena absorber una parte importante de la carga que soporta el material compuesto por lo que apenas si se mejora la resistencia del material base que forma la matriz.MATERIALES COMPUESTOSREFORZADOS CON FIBRAS REFORZADOS CON PARTICULASUNA SOLA CAPA ( o varias igualmente orientadas y con las mismas propiedades) MULTICAPALAMINADOSHIBRIDOS ORIENTACION ALEATORIAORIENTACION PREFERENTEFIBRA CONTINUA FIBRA DISCONTINUAORIENTACION PREFERENTEORIENTACION ALEATORIAREFUERZO UNIDIRECCIONALREFUERZO BIDIRECCIONAL (fibra entrecruzada)Figura I.1.- Clasificacin de los materiales compuestos.Incluso puede aparecer una disminucin de resistencia cual es el caso de la introduccin de partculas duras en matrices frgiles, dado que aquellas provocan concentraciones de tensin que afectan a la resistencia de stas.El refuerzo con partculas es, sin embargo, ampliamente usado para mejorar ciertas propiedades de los materiales bases que forman las matrices tales como conductividades trmicas y elctricas, comportamiento a alta temperatura, reducir friccin, aumentar resistencia a la abrasin, maquinabilidad, dureza, etc., y en ciertos casos simplemente para reducir el costo de fabricacin. Como ejemplo de estos fines puede citarse la inclusin del plomo en el acero y de aleaciones de cobre para mejorar su maquinabilidad. El plomo es tambin un lubricante natural en cojinetes hechos de aleaciones de cobre. Partculas de metales frgiles como el tungsteno, el cromo y el molibdeno son incorporados en metales dctiles para mejorar sus propiedades a alta temperatura sin alterar sensiblemente su tenacidad a temperatura ambiente. Partculas inorgnicas son muy usadas para mejorar ciertas propiedades de los plsticos como la dureza superficial.El uso de partculas en forma de lminas delgadas resulta atractivo por impartir de manera natural propiedades idnticas en todas las direcciones de un plano, lo que no resulta inmediatocon el uso de fibras. Adicionalmente, cuando las lminas se sitan paralelas pueden alcanzar una participacin en el volumen total del compuesto muy superior al caso de fibras y partculas con otra forma. Como ejemplo de aplicaciones de un compuesto de lminas delgadas puede citarse el uso de lminas de mica en aplicaciones de aislamiento trmico o elctrico. Las lminas de aluminio son comnmente empleadas en pinturas y capas de recubrimientos, orientndose paralelas a la capa.Compuesto de partculas(a)Laminado de fibra continua' reforzado en una direccin(c) Compuesto de fibra discontinua. (orientacin aleatoria)(b)Laminado de fibra continua reforzado en dos direcciones(d)Laminado de tres capas (e)Figura I.2.- Configuracin esquemtica de varios materiales compuestos.Los materiales compuestos reforzados con fibra, la otra gran rama de la clasificacin establecida en la Fig. I.1., van a constituir en lo que sigue el objetivo de mayor inters, por sus aplicaciones en base a sus excelentes propiedades mecnicas. Experimentalmente se comprueba que la resistencia real de la mayora de los materiales es sensiblemente inferior a la que tericamente debera poseer por el tipo de estructura que el material tiene. La razn de esta discrepancia est en la existencia de imperfecciones en el material, de manera que cualquier accin encaminada a la reduccin de stas tiene un efecto beneficioso sobre laresistencia . En particular, las grietas que aparecen en sentido perpendicular a la direccin de la carga son particularmente negativas para la resistencia, estando sta controlada en tales situaciones por tenacidad a fractura. Esto explica que un filamento de un material no polimrico exhiba una resistencia a la traccin en el sentido del filamento muy superior al mismo material pero con dimensiones del mismo orden en las tres direcciones, dado que se reduce la aparicin de defectos en el filamento debido a las pequeas dimensiones de la seccin transversal. En el caso de los materiales polimricos, es la orientacin de la estructura molecular la responsable de la resistencia y rigidez.Sin embargo, las fibras, debido principalmente a las pequeas dimensiones de la seccin transversal, no son directamente usables en las aplicaciones ingenieriles. Son por ello embebidas en matrices para formar los materiales compuestos reforzados con fibras. La matriz une las fibras transfiriendo la carga (sobre todo en el caso de fibras discontinuas o cortas) y las protege contra agentes exteriores as como frente al dao derivado de su uso y manipulacin.Siguiendo la clasificacin esbozada en la Fig. I.1. los compuestos de fibras pueden de forma amplia clasificarse en compuestos de una sola capa o multicapa. En realidad los compuestos de una sola capa estn generalmente formados tambin por mltiples capas, llamadas lminas, pero teniendo todas las mismas propiedades y orientacin por lo que el laminado (resultante de la unin de varias lminas) se suele llamar de una capa, dado que sus propiedades y su modelo de anlisis no se diferencia en nada del caso de una sola lmina. En general, los materiales compuestos que se usan en la mayora de las aplicaciones estructurales estn formados por diferentes lminas, dado que el espesor de cada una de ellas (del orden de 0,1 mm) hace inviable su uso aislado. Cuando todas las lminas son del mismo material (misma fibra y matriz y volumen relativo de ambos), si bien con orientaciones diferentes debido a las necesidades de diseo, el material compuesto recibe el nombre de laminado, Fig. I.2.e, siendo la situacin ms comn en Ingeniera. Dada la definicin de laminado, la clasificacin que afecta a las lminas (o laminados de una sola capa) afecta tambin a los laminados, tal y como se representa en la Fig. I.1.El nombre de laminado hbrido se reserva para el caso de que las lminas sean de diferentes materiales constituyentes. Por ejemplo que unas lminas sean de fibra de vidrio y resina epoxy y otras de fibra de carbono y resina epoxy. Es posible, aunque no usual, que en una misma lmina se mezclen dos tipos diferentes de fibra. Laminados hbridos se han usado con xito para la mejora de ciertas propiedades. As, los laminados de fibra de carbono y matriz epoxy mejoran significativamente su resistencia al impacto cuando se introduce una pequea cantidad de fibras de vidrio, con la ventaja adicional del bajo coste de stas en comparacin con las fibras de carbono.Otro de los conceptos que se vierten en la Fig. I.1. es el de fibra continua o discontinua. No es posible dar una definicin cuantitativa de cuando, en funcin de la longitud de la fibra, se est en una u otra situacin. Cualitativamente, por contra, la distincin es clara. Un material compuesto se dice de fibra discontinua o corta, cuando la longitud de la fibra afecta a las propiedades del material. En el material de fibra continua la carga es soportada funda- mentalmente por las fibras, siendo la principal funcin de la matriz el mantener unidas a las fibras y protegerlas. El modo de fallo en estos compuestos viene gobernado por las fibras, salvo para fracciones volumtricas de fibra muy bajas.Dentro de las lminas de fibra continua cabe que el refuerzo se produzca en una direccin, Fig. I.2.c, o en dos direcciones, Fig. I.2.d. Las de una direccin suelen aparecer comercialmente en cintas enrolladas de fibras pre-impregnadas de matriz (reciben el nombre de pre-preg). La cinta est adherida a un material de desecho, que se elimina en el instante de utilizarla para formar un laminado (o para su uso), que da una cierta rigidez a la cinta y al mismo tiempo impide el pegado de la cinta consigo misma al enrollarla. Los compuestos unidireccionales son muy rgidos y resistentes en la direccin de la fibra pero muy dbiles en la direccin perpendicular, por lo que su uso se reduce a aplicaciones en que trabajan estructuralmente como un tirante. Generalmente las lminas reforzadas en una direccin se usan para unirlas entre s con orientaciones diferentes y obtener un laminado de propiedades deseadas. En cualquier caso tambin se puede proceder a reforzar con fibras en dos direcciones cul es el caso de usar tejidos de fibra de vidrio entrelazados en direcciones perpendiculares, lo que proporciona similares caractersticas a la lmina en las dos direcciones.Cuando se usa fibra discontinua, Fig. I.2.b, resulta ms difcil controlar la orientacin de las fibras, por lo que en la mayora de los casos se supone que la fibra est orientada de forma aleatoria, teniendo el material compuesto propiedades cuasi-istropas.1.3.- FIBRAS Y MATRICES.En lo que concierne a los Materiales Compuestos reforzados con fibra, a continuacin se recogen las caractersticas mecnicas de los elementos que componen estos materiales: las fibras y las matrices.1.3.1. Fibras.Las ms usadas son las de carbono, vidrio, boro (en menor medida) y las orgnicas(registradas como Kevlar).Las fibras de carbono tienen un dimetro de 7 a 8 m y sus propiedades dependen del grado de perfeccin de la orientacin de los planos de las capas de grafito que deben estar orientadas paralelamente al eje de la fibra. Existen varios procedimientos de grafitizacin (conseguir el efecto anterior) que se realizan a una cierta temperatura que influye en las caractersticas de resistencia y rigidez de las fibras (ms detalles de los procesos de fabricacin pueden encontrarse en Hull). Vidrio E Vidrio C Vidrio SSiO252,464,464,4Al2,O3, Fe2O314,44,125,0Ca O17,213,4Mg O4,63,310,3Na2O, K20,89,60,3Ba2 O310,64,7Ba O0,9Tabla I.1. Composiciones de diferentes vidrios usados en la fabricacin de fibra.Las fibras de carbono son frgiles y muestran una recuperacin elstica del 100% cuando se someten a esfuerzos inferiores a los de rotura. Lgicamente las propiedades transversales de las fibras son muy inferiores a las longitudinales. Uno de los mayores problemas de las fibras de carbono es la variabilidad de sus propiedades, condicionadas en gran medida por su longitud ya que al aumentar sta aumenta tambin la posibilidad de existencia de un defecto.En lo que se refiere a las fibras de vidrio, se han usado muchas combinaciones de vidrios minerales . Todas tienen como base slice (Si O2) con adiciones de xidos de calcio, boro, sodio, hierro y aluminio. La Tabla I.1. da las composiciones de tres fibras de vidrio muy usadas.El vidrio E es el ms usado por sus buenas propiedades de resistencia, rigidez, elctricas y de desgaste. El C tiene una mayor resistencia a la corrosin qumica, pero es ms caro y de menor resistencia. El S es tambin ms caro que el E pero es ms rgido y ms resistente a la temperatura.El dimetro de las fibras de vidrio oscila entre 8 y 15 m. A diferencia de las fibras de carbono, las fibras de vidrio son istropas, consecuencia directa de la estructura tridimensional de la red del vidrio. La resistencia a la rotura del vidrio viene en gran medida condicionada por el dao superficial que pueden sufrir al rozar entre s durante su manipulacin. Por ello se les suele aplicar una capa protectora que adicionalmente puede generar una unin qumica entre la superficie del vidrio y la matriz, creando una interfase de alta resistencia.PropiedadesUnidadesCarbono BasePAN Tipo ICarbono BasePAN Tipo IIVidrio EKevlar 49PoliamidaDimetro m7,0-9,77,6-8,68-1411.9Densidad10 3 kgm -31.951.752.561.45Mdulo de Young E 11GPa39025076125Mdulo de Young E 22GPa122076Resistencia a traccinGPa2.22.71.4-2.5 (tpica)3.5 (estirada recientemente)2.8-3.6Alargamiento de rotura%0,51.01.8 - 3.22.2 - 2.8Coeficiente de dilatacin trmica (0 a 100 C)10 -6C -1-0.5 a -1.2 (paralelo)7-12 (radial)-0.1 a -0.5 (paralelo)7-12 (radial)4.9-2 (paralelo)59 (radial)Conductividad trmica(paralela al eje de la fibra)W m -1 C -1105241.040.04Tabla I.2. Propiedades de las fibras de Carbono, Vidrio y Kevlar 49 a 20 C.Tensin GPa3Carbono (Tipo 1) Carbono (Tipo 2) Kevlar 492vidrio E1deformacin (%)123Figura I.3. Diagramas tensin-deformacin de las fibras de carbono, vidrio y Kevlar 49.Las fibras orgnicas se fundamentan en la alta resistencia y rigidez terica que se puede obtener de polmeros completamente alineados. Los valores reales se ven reducidos por los alineamientos imperfectos, los pliegues de las cadenas y por el valor finito de la longitud de la cadena. Al igual que sucede en las fibras de carbono, las fibras orgnicas tienen propiedades transversales muy inferiores a las longitudinales.De las fibras orgnicas, la ms conocida y usada es la Kevlar de la que existen dos modelos, Kevlar 29 y 49, siendo ste ltimo el de mejores prestaciones, aunque ninguno de los dos tiene resistencia apreciable a compresin axial.La Tabla II.2 (tomada de Hull) establece una serie de valores comparativos entre diferentes propiedades de dos fibras de carbono, la fibra de vidrio E y la fibra de Kevlar 49. Los diagramas tensin deformacin de estas cuatro fibras se representan en la Fig. I.3 . Slo la fibra de Kevlar presenta una cierta ductilidad en la rotura con estrechamiento local en la zona de fractura.Desde el punto de vista de las propiedades absolutas puede decirse que la fibra de Kevlar es la ms resistente y la de carbono la ms rgida, siendo la de vidrio la menos resistente y la menos rgida, aunque la ms barata.Dado que una de las razones del uso de los materiales compuestos es su bajo peso, es tambin interesante comparar entre s los valores de resistencia y rigidez de las fibras en relacin a la densidad (valores especficos).La Tabla I.3. (Tomada de Agarwal y Broutman) incluye estos valores as como el de otros materiales convencionales: acero, aluminio, etc.Puede observarse que mientras en trminos absolutos los valores son del mismo orden, en trminos especficos los valores de las fibras son muy superiores a los de los materiales convencionales. De cualquier forma, dado que la fibra no se utiliza aisladamente es ms realista, como se har ms adelante, comparar valores de laminados dado que la matriz, comose ver a continuacin, tiene unas propiedades muy inferiores a las de las fibras lo que redunda en una disminucin general de las caractersticas mecnicas del material compuesto.(Mdulo deElasticidad Resistencia a la traccin DensidadResistencia3Especfica MduloEspecficoMATERIALFibrasVidrio - E....................... Vidrio - S....................... Grafito (Mdulo alto)............................... Grafito(alta resistenciaa la traccin)................. Boro................................ Silice.............................. Tungsteno....................... Berilio........................... Kevlar-49..................... E (GPa)72.485.5390.0240.0385.072.4414.0240.0130.0 u2.12.12.12.52.85.84.21.32.8 (GPa) (g/cm )2.542.481.901.902.632.1919.301.831.50 / u0.8260.8461.11.31.12.650.220.711.87 E / 28.534.5205.126.146.33.21.131.87.Materiales convencionalesAcero.............................. Aluminio aleado.............. Vidrio.............................. Tungsteno........................ Berilio............................ 210.070.070.0350.0300.0 0.34-2.10.14-0.620.7-2.11.1-4.10.7 7.82.72.519.301.83 0.043-0.270.052-0.230.28-0.840.057-0.210.38 26.925.928.018.1164Tabla I.3. Propiedades especficas de rigidez y resistencia.Adems de las propiedades puramente mecnicas, es necesario considerar el comportamiento ante otros efectos cual puede ser la estabilidad ante las variaciones de temperatura. La fibra de grafito mantiene inalterada sus propiedades hasta los 2000 C. Las de la fibra de vidrio comienzan a disminuir a partir de los 200 C y las del Kevlar an antes. No obstante el uso de todas es compatible con las matrices polimricas ya que stas pierden sus propiedades por encima de los 200 C.Adicionalmente, las fibras de Kevlar experimentan una cierta degradacin ante la exposicin a la luz por lo que es preciso recubrir el material compuesto de una capa que absorba la luz.1.3.2. Matrices.Las materias primas ms usadas como matrices en los materiales compuestos son las resinas epoxi y polister con gran variedad en sus propiedades mecnicas y qumicas. Su propiedad ms interesante, que les da nombre (termoestables), es su respuesta al calor ya que no se funden al calentarlas (a diferencia de los plsticos) si bien pierden propiedades de rigidez a partir de una cierta temperatura por lo que este valor ( hasta 300 C para las epoxi y110 para las de poliester) representa una limitacin real para su uso. La tabla I.4 (tomada deHull) recoge las principales propiedades de las resinas epoxi y polister, observndose queaquellas son en general superiores a stas, aunque ms caras, por lo que se usan en aplicaciones tecnolgicamente ms avanzadas mientras que las de polister se usan (generalmente con fibra de vidrio) en aplicaciones de menor nivel de exigencia en cuanto a resistencia estructural.PropiedadUnidadesResinas EpoxyResinas PolisterDensidadMg m-31.1-1.41.2-1.5Mdulo de YoungGPa3-62-4,5Coef. Poisson0.38-0.40.37-0.39Resist. TraccinMpa35-10040-90Resist. CompresinMpa100-20090-250Alarg. Rotura (Traccin)%1-62Conduct. TrmicaW m-1 C-10.10.2Coef. dilatacin10-6 C-160100-200Temp. distorsinC50-30050-110Contraccin Curado%1-24-8Absor. de Agua%0.1-0.40.1-0.3(24 h a 20 C)Tabla I.4. Propiedades tpicas de las resinas epoxi y polister usadas en los materiales compuestos.140 120Tensin (Mpa)10080604020 Traccin CompresinDeformacin (%)24681012Figura. I.4. Diagrama tensin-deformacin de resinas termoestables.Las resinas termoestables son materiales dctiles como puede apreciarse en las curvas tensin deformacin que se incluyen en la Fig. I.4. La lnea de trazos que aparece en el ensayo de traccin representa la evolucin que seguira en caso de no producirse las roturas prematuras debido a la concentracin e intensificacin de tensiones provocadas por los defectos superficiales y/o microfisuras, que no afectan al comportamiento a compresin, donde seaprecia una gran deformacin plstica antes de que aparezca la rotura. Esta caracterstica de ductilidad de las resinas junto a un comportamiento istropo justifican comportamientos no- lineales de los materiales compuestos, ante solicitaciones en que la matriz juegue un papel importante en el mecanismo de resistencia del material compuesto.Las matrices termoplsticas (polipropileno, nylon, policarbonatos) tambin se utilizan en aplicaciones con materiales compuestos pero donde no se vaya a producir incrementos de temperatura importantes. Se suelen usar con refuerzos de fibra corta y en cualquier caso en aplicaciones de baja exigencia en cuanto a resistencia, dado que sus propiedades mecnicas son muy inferiores a las de las resinas epoxi.1.3.3. Unin Fibra-Matriz.El comportamiento y propiedades del material compuesto, est no slo condicionado por las propiedades de cada uno de los elementos aislados que se acaban de indicar, sino tambin por la naturaleza y caractersticas de la interfase que se forma entre ambos elementos. La interfase es la responsable de la transmisin de cargas de la matriz a las fibras, lo que condiciona en gran medida la resistencia final del material compuesto. Por supuesto que el mecanismo de transferencia de carga es mucho ms importante en los compuestos de fibra corta debido a las concentraciones de tensin que aparecen en los extremos de la fibra.La naturaleza de la unin fibra-matriz junto a las caractersticas aisladas de estos dos componentes condicionan el modo de fisuracin del material compuesto. As, cuando la interfase es muy resistente, las grietas no se propagan a lo largo de las fibras (separando a stas de la matriz). De esta forma el refuerzo de la fibra permanece efectivo incluso despus de que la fibra, debido a la carga externa se haya roto en algunos puntos separados una cierta distancia a lo largo de su longitud.Una interfase resistente es tambin esencial para que el material compuesto experimente una buena resistencia ante acciones transversales as como para una buena defensa ante acciones de agresin ambiental.Por contra, la tenacidad a fractura de materiales compuestos puede verse disminuida por una unin fibra-matriz muy alta. La razn est en que esta propiedad limita la aparicin de nuevas superficies, que es uno de los mecanismos de absorcin de energa en un proceso de fractura, debido a que como se ha comentado anteriormente las fisuras no se propagarn a lo largo de la interfase.1.4.- FABRICACIN DE MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA.En cualquiera de los mltiples procesos existentes para la fabricacin de materiales compuestos reforzados con fibra se pueden distinguir dos fases: la configuracin del laminado y el curado. La primera incluye con carcter general el conjunto de acciones que es preciso realizar hasta obtener la configuracin final del material compuesto. As, podra para algunos materiales, constar de la disposicin de fibras en una matriz para obtener una lmina y a continuacin de la disposicin de una serie de lminas para obtener un determinado laminado.El curado es el proceso de secado o polimerizacin de la matriz para formar los enlaces permanentes entre la matriz y las fibras en una lmina y a su vez entre las propias lminas. El curado se puede producir de manera natural o puede requerir, para acelerar el proceso de polimerizacin, la aplicacin independiente o combinada de calor y presin en autoclaves, hornos, etc.La primera fase admite mltiples variantes, de las cuales se van a describir muy brevemente las ms difundidas. Una descripcin ms detallada de los procedimientos de fabricacin puede encontrarse en Schwartz y en Chretien.El mtodo de apilado manual (hand lay-up) consiste en disponer sobre un molde previamente elaborado las fibras que se impregnan de la resina con brocha o rodillo. Se van sucediendo capas de matriz y resina hasta alcanzar el espesor de diseo. Las fibras, cuando se utiliza este procedimiento suelen venir en fieltros enrollados pudiendo estar la fibra dispuesta en una o dos direcciones. Tambin, aunque ms raramente, puede estar la fibra dispuesta en mechas a las que se aplica la misma tcnica. En este mtodo, el curado se realiza al ambiente sin ayuda de presin ni calor. Es usual aplicar este mtodo a materiales compuestos de polister y fibra de vidrio con bajos requerimientos estructurales o en geometras que no permiten una mayor automatizacin.El mtodo de enrollado de filamentos (Filament winding) consiste en pasar hilos o mechas continuas de fibras por un bao de resina enrollndolos a continuacin sobre un molde giratorio que dispone del mecanismo adecuado para orientar la fibra con el ngulo adecuado de diseo con respecto al eje longitudinal. Este procedimiento se utiliza con los mismos materiales que en el caso anterior y en geometras de revolucin: tubos, depsitos, etc. Permite un mayor control y fiabilidad del producto final que el mtodo manual.En el mtodo de bolsa de vaco, presin o autoclave se suele utilizar como material base los pre-preg, aunque tambin se puede partir de las capas de fibras, ahora unidireccionales generalmente, impregnarlas y curarlas parcialmente. Las lminas se colocan en la superficie del molde en el orden de apilamiento y con las direcciones adecuadas para formar un laminado. Se cubren con un saco de presin para introducirlos en el autoclave a temperatura y presin adecuadas para provocar el curado final del conjunto. Esta es la tcnica mas difundida en materiales compuestos de fibra de carbono y resina epoxi que se utilizan para paneles y elementos de aviones.El mtodo de proyeccin (Spray-up) se usa en el caso de que el refuerzo no sea continuo ni tenga orientacin preferente. En este caso se proyectan simultneamente los hilos ya cortados y la resina a un molde, consolidando el compuesto con el rodillo. Se usa generalmente para compuestos de resina polister y fibra corta de vidrio.Todos los procedimientos indicados se realizan en molde abierto. Existen tambin muchos procedimientos basados en la utilizacin de un molde cerrado, inyectando la resina en el molde, donde previamente se ha dispuesto la fibra en las direcciones adecuadas, o mezclando previamente fibra y resina (para el caso de fibra corta) e inyectando el conjunto a alta presin en el molde.Dentro del proceso de fabricacin hay que indicar las operaciones finales de ensamblado que pueden incluir pegado despus del curado, procesos con mquinas herramientas paraconfigurar zonas difciles de realizar con el molde o simplemente ejecucin de orificios para proceder a realizacin de uniones atornilladas y finalmente el pintado.Las piezas fabricadas deben pasar un cierto control (inspeccin visual, rayos X, ultrasonidos y ensayos de resistencia) que permiten detectar los principales defectos que pueden presentarse:Discontinuidades entre lminas producidas por la existencia de aire atrapado, falta de resina o delaminaciones que aparecen durante el curado.Curado incompleto de la resina.Exceso de resina entre lminas.Porosidad y agujeros en la matriz.Orientacin incorrecta de las lminas para formar el laminado.Dao en las fibras.Inclusiones.Variaciones en el espesor.Uniones inaceptables.1.5.- COMPORTAMIENTO MECNICO DE MATERIALES COMPUESTOS REFORZADOS CON FIBRA.La estructura de los materiales compuestos reforzados con fibra es heterognea y anistropa. La heterogeneidad implica que las propiedades del material son funcin de punto y la anisotropa implica que adems es funcin de la direccin a la que se refiera. En algunos casos de apilamiento de lminas unidireccionales, se pueden producir situaciones particulares de ortotropa (tres planos principales de simetra del material) o incluso de cuasi-isotropa si por ejemplo las lminas se sitan con diferentes orientaciones relativas.La complejidad de un anlisis heterogneo ha hecho necesario el realizar algunas hiptesis de comportamiento cuyos buenos resultados justifican su mantenimiento. Estas hiptesis estn conectadas con una divisin clsica, aunque tiene aspectos distorsionantes, realizada en la mayora de los libros sobre composites, y que considera el anlisis de stos desde dos puntos de vista: Micromecnico y Macromecnico.En el anlisis Micromecnico se reconoce la existencia de dos componentes: fibra y matriz aunque sin considerar la estructura interna de cada uno de ellos. El objetivo de este anlisis sera, por ejemplo, el de definir las propiedades de una lmina homognea y orttropa que se comportara de forma equivalente, desde el punto de vista mecnico, que la lmina real de material compuesto formada por una cierta distribucin de fibras embebidas en una matriz. Para efectuar esta equivalencia es preciso realizar algunas hiptesis adicionales que permitan calcular unas propiedades representativas de la lmina a partir de las propiedades de los componentes y del porcentaje de ellos existente en el compuesto.En el anlisis Macromecnico se considera la lmina como un material homogneo con unas propiedades representativas que son las calculadas en el anlisis anteriormente descrito. Por consiguiente la microestructura de la lmina no es considerada salvo en el hecho de que existen propiedades diferentes en la direccin de la fibra y en la direccin perpendicular. La lmina orttropa se toma ahora como base para disear elementos laja, placa o lmina a los cuales se les aplica las teoras del clculo estructural. La Fig. I.5. recoge esquemticamente estas ideas.El funcionamiento como material compuesto que se acaba de esbozar incita a profundizar en dos aspectos que, en gran medida, han favorecido el uso extensivo de los materiales compuestos. El primer aspecto es el de las propiedades del material en relacin a su peso. Con anterioridad se han visto las excelentes propiedades de rigidez y resistencia de las fibras que se utilizan en los materiales compuestos en relacin a los materiales clsicos (acero, aluminios, etc). Resulta mucho ms real establecer esta comparacin entre el conjunto fibra- matriz y los materiales clsicos. La Tabla I.5. representa valores de rigidez y resistencia de varios laminados cruzados (con laminados unidireccionales se obtienen valores an mayores pero sus aplicaciones son mucho ms restringidas).A) MICROMECANICA LAMINA REFORZADA EN UNA DIRECCIONFIBRAMATRIZ Ef f GfEm m Gm EQUIVALENCIALAMINA HOMOGENEA ORTOTROPAE11E22212 G121B) MACROMECANICA212 LAMINADO22111Figura I.5.- Caracterizacin analtica de Materiales Compuestos.Como puede observarse, los materiales compuestos reforzados con fibra son muy superiores a los convencionales en rigidez y resistencia especfica (salvo los de fibra de vidrio y resina polister). Por consiguiente la comparacin entre los materiales convencionales y los compuestos a efectos de propiedades mecnicas est condicionada por el papel que el peso juegue en el diseo total de la estructura.El otro aspecto de inters es relativo al fcil control que se puede alcanzar sobre la anisotropa de las propiedades finales. De esta forma pueden disponerse "a medida" los refuerzos de fibra para soportar de la forma ms ptima posible el estado tensional que se va a producir. As, en un depsito cilndrico cerrado sometido a presin interna, la tensin longitudinal es la mitadde la tensin radial, lo que permite una distribucin racional de la fibra en las dos direcciones en que se va a reforzar la matriz.MaterialAceroAluminio 2024-T46061-T6 Fraccin de volumen deibraV f )%Elasticidad(E) (GPa )a la traccinu(GPa)(g/cm3)Mdulo especfico (E/ )Resistencia especfica( u )2100.45-0.83730.41690.265721.50.5760400.6558830.38601060.387.826.90.058-0.1062.727.00.1522.725.50.0961.9710.90.261.4029.00.461.5453.50.242.0053.00.19f( Mdulo de Resistencia DensidadE-Fibra de vidrio-EpoxyKevlar-49-epoxyFibra de carbono-EpoxiBoro-EpoxyTabla I.5.- Tabla de resistencias y rigideces (Tomada de Agarwall y Broutman).1.6.- APLICACIONES DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA.El uso de un material en aplicaciones ingenieriles est no tanto condicionado por sus propiedades mecnicas cuanto por el costo real de su fabricacin y puesta en servicio.Dado que ste es un aspecto cuyo refinamiento tecnolgico est muy condicionado por el tiempo, es lgico que los procedimientos de fabricacin de los materiales compuestos (de las fibras aisladamente y del conjunto, adicionalmente) hayan condicionado, por el elevado precio que confieren al producto, el uso extensivo de este tipo de materiales.Solamente en situaciones en que el factor peso juega un papel muy importante (ingeniera del espacio) o el precio no es un obstculo (aplicaciones deportivas), o el procedimiento de fabricacin est bastante afinado (elementos de revolucin), es cuando los materiales compuestos han irrumpido en el mercado con carcter extensivo.Adicionalmente a las ventajas o inconvenientes asociados al material existen aspectos educacionales asociados a los ingenieros que deciden el material a utilizar en una determinada aplicacin. En efecto, hasta ahora el ingeniero seleccionaba el material ms adecuado, de entre una lista de materiales con sus correspondientes propiedades, a una aplicacin determinada. Con las posibilidades que permiten los materiales compuestos el nuevo ingeniero debe ser capaz de disear el material adecuado a la aplicacin, eligiendo los elementos base, combinndolos correctamente y constituyendo el laminado ptimo. Naturalmente esta educacin es un proceso que requiere un tiempo que an se est muy lejos de alcanzar.En la actualidad, los materiales compuestos de alta tecnologa (resina epoxy con fibras de carbono, boro o Kevlar) se han utilizado en la industria aeronutica, fundamentalmente en las alas, fuselajes y tren de aterrizaje, de forma claramente incremental. As mientras en el Airbus300 (Ao 1974) el porcentaje del peso de la estructura de materiales compuestos al peso de laestructura total era del 6%, en el Airbus, 310-200 (Ao 1982) era del 8% y en el Airbus 320 (Ao 1988) se acerca al 20%.En la industria automovilstica se ha empleado para toda la carrocera slo en prototipos. En modelos de gran produccin se ha incluido en parrillas, parachoques, ballestas y bastidores de asiento. Slo muy aisladamente se ha utilizado en piezas del motor.En la ingeniera naval se han empleado sobre todo en cascos cubiertas y mstiles, sobre todo en embarcaciones deportivas donde se requieren grandes prestaciones de los materiales a emplear y poco peso.En la industria qumica se estn utilizando cada vez ms en conducciones y recipientes a presin, consiguiendo con capas internas de resinas de propiedades especficas las adecuadas resistencia a corrosin frente a agentes qumicos. En estas aplicaciones se suele utilizar fibra de vidrio con resina de polister.Dentro de la industria deportiva se ha aplicado profusamente en raquetas de tenis, caas de pescar, palos de golf, esques, canoas, prtigas, etc., con resultados sorprendentes.Una utilizacin menos conocida pero muy extensa la han alcanzado los materiales compuestos, debido a sus buenas propiedades aislantes, en la ingeniera elctrica, fabricndose con ellos paneles, cajas de interruptores, soportes, etc. Ley de Comportamiento de una Lmina CAPITULO IICAPITULO II Ley de Comportamiento de una Lmina CAPTULO IILEY DE COMPORTAMIENTO DE UNA LMINA2.1.-INTRODUCCIN2.2.-LEY DE COMPORTAMIENTO PARA MATERIALES ELSTICOS 3-D2.3.-VALOR DE LAS CONSTANTES2.4.-RELACIN TENSIN DEFORMACIN PARA TENSIN PLANA EN MATERIALES ORTTROPOS2.1.- INTRODUCCION.Los materiales compuestos, como todos los slidos deformables, se caracterizan porque al actuar sobre ellos un sistema de cargas exteriores en equilibrio, cambian las posiciones relativas de los diferentes puntos del material dando lugar a una nueva configuracin geomtrica que se denomina configuracin deformada. El sistema de fuerzas exteriores en equilibrio puede ser aplicado directamente, Fig. II.1.a, o indirectamente, Fig. II.1.b, aplicando un sistema de fuerzas cualesquiera en una zona del contorno pero limitando desplazamientos en otra zona de tal forma que en ella se generarn las fuerzas que necesariamente tienen que equilibrar el sistema exterior aplicado.Cargas exteriores en equilibrio configuraci n indeformadaconfiguraci n deformadaconfiguracin indeformada a) Desp lazamientosimpedidosb)Figura II.1.- Slido deformable.Las magnitudes fsicas que intervienen en el proceso de deformacin de un slido son las cargas exteriores (aplicadas en el dominio, Fi, y/o en el contorno, ti) y los desplazamientos ui del slido. Es habitual en la Mecnica de Medios Continuos definir variables internas (tensiones y deformaciones), de carcter tensorial, que estn relacionadas con las magnitudes de equilibrio.As, el tensor de tensiones ij (con i y j variando de1 a 3) en un punto caracteriza la transmisin de fuerzas por el interior del slido y representa en unos determinados ejes la accin que el resto del dominio hace sobre dicho punto al actuar las cargas exteriores. Dicha accin se visualiza a travs de tres planos perpendiculares, asociados a los ejes de referencia, tal como se indica en la Fig. II.2, donde se han representado las nueve componentes del tensor de tensiones.333323113 23 22211 12 211Figura II.2.- Tensor de tensiones en un punto.Estableciendo las condiciones de equilibrio en un punto material sobre el que pueden actuar unas cargas exteriores Xi (i = 1,3) por unidad de volumen se obtienen las siguientes ecuaciones.ji,j + Xi = 0(II.1)ji = ij (II.2)o lo que es lo mismo: ij,j + Xi = 0(II.3)que constituyen las ecuaciones de equilibrio interno del slido. Despus de II.2. son 6 las variables que definen el estado tensional en un punto de tal forma que a partir de dicho estado puede calcularse, el vector tensin en un plano orientado de forma cualquiera en relacin a los ejes de referencia tomados, lema de Cauchy, Fig. II.3:3Tnn21Figura II.3.- Vector tensin en un plano de orientacin arbitraria.Tni = ij nj(II.4)Hay que insistir en que las ecuaciones anteriores son vlidas para cualquier tipo de slidos independientemente de la forma de comportarse del mismo. La nica hiptesis que se realiza es la de plantear el equilibrio en la situacin indeformada por lo que nicamente dejan de ser vlidas cuando la magnitud del campo de desplazamientos, en relacin a las dimensiones del problema hace errnea esta hiptesis.En lo que respecta a las deformaciones ij (con i y j variando de 1 a 3) son magnitudes, que para el caso en que los desplazamientos sean pequeos frente a las dimensiones del slido, estn asociadas a los cambios de forma y de volumen que experimentan los puntos del slido. Su relacin con los desplazamientos, para este caso y despreciando trminos de orden superior (hiptesis de pequeas deformaciones), es:ij = 1/2 (ui,j +uj,i)(II.5.a) El tensor de deformaciones, al igual que el de tensiones, es un tensor de segundo ordensimtrico. Las componentes de la diagonal principal estn asociadas al cambio de volumen, Fig. II.4.a, y el resto al cambio de forma, Fig. II.4.b.u1 1 u1 u 2 11 = x 12 = 2 x+ x 1 2 1 u1xx12 dx1 u1x2 x 2 dx2dx2 11 = u1 dx2x1 u 2x1 dx1dx1 x1 dx1 x1a)b)Figura II.4.- Interpretacin geomtrica de las componentes del tensor de deformaciones.Las ecuaciones II.5.a se satisfacen automticamente si el campo de deformaciones cumple las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant.ij,kl + kl, ij - ik,jl- jl,ik = 0(II.5.b)Al igual que suceda con las ecuaciones de equilibrio interno las ecuaciones II.5a y b son independientes del material, lo que quiere decir que en ellas no aparecen valores de constantes asociadas al mismo. Se trata de relaciones geomtricas que, eso s, pueden alterarse tomando otras expresiones, tambin geomtricas, cuando segn el tipo de material que se est estudiando, los desplazamientos alcanzan unos ciertos valores frente a las dimensiones del dominio en estudio.El problema del medio continuo, con la introduccin de las variables tensiones y deformaciones, puede por tanto esquematizarse como se indica en la Fig. II.5.Fi ; t iEcuaciones de equilibrio u iRelaciones u(Ecuaciones de compatibilidad) ij Ley de comportamiento(Ecuaciones constitutivas) ijFigura II.5.- Esquema del Problema de medios deformables.Dado que las tensiones estn nicamente relacionadas con las cargas exteriores, al igual que las deformaciones con los desplazamientos y dada la relacin entre stos y las cargas, debe existir una relacin caracterstica de cada material entre las tensiones y las deformaciones. Esta relacin se conoce como ley de comportamiento o ecuaciones constitutivas del material.El conjunto de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad, y ley de comportamiento junto a las condiciones de contorno del problema permiten la correcta formulacin del medio continuo deformable.Por consiguiente, las peculiaridades de los materiales compuestos slo afectan a la ley de comportamiento, que va a ser estudiada con carcter general en este captulo. Una mayor profundizacin en las relaciones F, t - y u- o/y las propiedades de estos tensores puede obtenerse en cualquier Tratado de Elasticidad o de Mecnica de Medios Continuos.2.2.- LEY DE COMPORTAMIENTO PARA MATERIALES ELASTICOS LINEALES EN 3-D.El estudio de la ley de comportamiento se va a ceir al caso elstico (desaparicin de las deformaciones y tensiones cuando desaparecen las acciones exteriores) y lineal (proporcionalidad entre acciones y desplazamientos y por tanto entre tensiones y deformaciones). En este contexto la relacin ms general que puede plantearse entre el tensor de tensiones y el de deformaciones es:ij = Cijkl kl (II.6)con i,j,k y l variando de 1,3 y siendo Cijkl un tensor de cuarto orden que incluira 81 constantes de rigidez. Aprovechando la simetra de los tensores de tensin y deformacin, puede simplificarse la expresin anterior. Agrupando los seis valores independientes de los tensores tensin y deformacin en los vectores i y i (i = 1,6), con la siguiente equivalencia:1 = 11 ; 2 = 22 ; 3 = 33 ; 4 = 23 ; 5 = 13 ; 6 = 12;1 = 11 ; 2 = 22 ; 3 = 33 ; 4 = 23 ; 5 = 13 ; 6 = 12;La ley de comportamiento elstica lineal se pondra ahora:i = Cij j (II.7)con i y j variando ahora de 1 a 6, lo que reduce a 36 el nmero de constantes de rigidez. Este nmero puede reducirse introduciendo el concepto de energa de deformacin, funcin potencial del estado de deformacin, con la siguiente propiedad:U(ij )ij = ij (II.8)Aplicando esta propiedad con la nomenclatura introducida para II.7. Ui = i = Cij jY por tanto: 2 Ui j = Cij (II.9)Alternativamente:Ui = j = C ji iY por tanto: 2 U ji = C ji (II.10)Dada la indiferencia en el orden de las derivadas, de (II.9) y (II.10) se concluye que:Cij = Cji(II.11)Por lo que el tensor de rigidez de 2 orden que define la ley de comportamiento elstica lineal es simtrico y un material de esta clase se define por 21 constantes asociadas a un sistema de referencia determinado.La ley de comportamiento quedara:11 C11C12C13C14C15C16 11 22 C22C 23C24C25C 26 22 33 C 33C34C35C 36 33 (II.12) = 23 C44C45C 46 23 13 SimCC 13 5556 12 C 66 12 Es interesante observar en este tipo de material (anistropo) el acoplamiento existente entre componentes normales y tangenciales de la tensin y deformacin, producindose deformadas como la que aparece indicada en la Fig. II.6, (bastara invertir II.12).Figura II.6.-Acoplamiento entre componentes normales y tangenciales de tensin y deformacin.Hay que insistir en que las 21 constantes que definen un medio anistropo van asociadas a un determinado sistema de referencia. As, al igual que los tensores ij y ij (pseudovectores i y j en II.7) dependen de la orientacin de los ejes, el tensor de las constantes de rigidez tambin.La reduccin del nmero de constantes necesarias para definir un material slo se produce cuando ste tiene alguna simetra en su constitucin. En efecto, muchos medios elsticos tienen simetra geomtrica de la estructura interna (forma cristalogrfica, disposicin de fibras o partculas, etc). Esto puede hacer que sus propiedades elsticas sean idnticas en varias direcciones.Supongamos en primer lugar que un slido tiene una estructura interna con simetra respecto al plano 12. Para ver si este hecho condiciona el valor de alguna de las constantes del material razonaremos sobre un punto sometido a cualquier estado tensional referido a los ejes 1-2-3. Dado que el plano que contiene a los ejes 1-2 es de simetra, cualquier solicitacin que respete una simetra debe estar asociada a una deformada tambin simtrica.Consideremos una solicitacin 11 que mantiene la simetra respecto al plano 1-2. La relacin general de 11 con las deformaciones es:11 = C11 11 + C12 22 + C13 33 + C14 23 + C15 13 + C16 12Dado que las deformaciones 11, 22, 33 y 12 no rompen la simetra existente, las correspondientes constantes C11, C12, C13 y C16 pueden tomar valores cualesquiera. Ahora bien las deformaciones 23 y 13, como se aprecia en la Fig. II.7, no guardan simetra respecto al plano 1-2, por lo que los coeficientes asociados a estas deformaciones, C14 y C15, deben ser nulos para garantizar que en ningn caso existe acoplamiento entre 11 y 23 o 13. 323P.S12 3P.S1312P.S. Plano de simetraFigura II.7.- Deformadas 13 y 23.Un razonamiento anlogo para 22 llevara a:C24 = C25 = 0En el caso de 33 conducira a:C34 = C35 = 0Y en el caso de 12 conducira a:C64 = C65 = 0Dado que ni 13 ni 23 son simtricas respecto al plano 12 nada puede decirse de los coeficientes que relacionan estas componentes del tensor de tensiones con las deformaciones.Unas conclusiones anlogas, y que permiten una sistemtica ms fcil de aplicar para sucesivas posibilidades de simetra, se obtienen razonando de la siguiente forma. Si un plano es de simetra elstica, las constantes de rigidez no deben cambiar cuando se toma como tercer eje del sistema uno de los dos normales a dicho plano, Fig. II.8.3P.S2 231 1Figura II.8.-Transformacin de coordenadas cuando el plano 1-2 es de simetra.En el sistema 1-2-3 se cumple:i = Cij j (II.13) En el sistema 1- 2- 3 se cumple:i = Cij j (II.14) La simetra antes enunciada exige:Cij = Cij(II.15)Ahora bien entre las componentes del tensor de tensiones en los sistemas 1-2-3 y 1-2-3existe la relacin:kl = nki nlj ij (II.16)con i, j, k y l variando de 1 a 3 y siendo:nki = cos (xk, xi)nlj = cos (xl, xj)En el caso de la Fig. II.8:n11 = 1 n21 = 0 n31 = 0n12 = 0 n22 = 1 n32 = 0n13 = 0 n23 = 0 n33 = -1Aplicando la expresin (II.16):11 = 11 ; 22 = 22 ; 33 = 3 ;12 = 12 ; 13 = - 13 ; 23 = - 23 (II.17) Anlogamente, para el tensor de deformaciones:11 = 11 ; 22 = 22 ; 33 = 33 ;12 = 12 ; 13 = - 13 ; 23 = - 23(II.18) Explicitando para 11 la relacin de comportamiento en los sistemas 1-2-3 y 1-2-3:11 = C11 11 + C12 22 + C13 33 + C14 23 + C15 13 + C16 12(II.19)11 = C11 11 + C12 22 + C13 33 + C14 23 + C15 13 + C16 12(II.20) Si en (II.20), introducimos (II.15), (II.17) y (II.18):11 = C11 11 + C12 22 + C13 33 - C14 23 - C15 13 + C16 12(II.21) El cumplimiento de (II.19) y (II.21) para todo estado tensional exige:C14 = C15 = 0(II-22.a)Si lo mismo que se ha hecho para 11, se hace para los dems ( 22, 33, 12, 13, 23) se obtienen las siguientes relaciones:C24 = C25 = 0C34 = C35 = 0C46 = 0C56 = 0(II.22.b)resultados anlogos a los obtenidos anteriormente. Con lo que la ecuacin de comportamiento queda:11 C11C12C1300C16 11 22 C12C 22C2300C26 22 33 C13C 23C3300C36 33 (II.23) = 23 13 000C 44C 450 23455513 000CC0 12 C16C 26C3600C66 12 Este material se llama monoclnico y hay 13 constantes independientes del material.Si el material tiene tres planos de simetra elstica se pueden hacer dos operaciones equivalentes a la anterior (2 -2 y 1 -1). De esta forma:La relacin queda: C16 = C26 = C36 = C45 = 011 C11C12C13 0 11 22 C12C 22C23 0 22 33 C13C 23C33 0 33 (II.24)000000 = 23 13 000C 4400 235513 0000C0 Obsrvese: 12 00000C66 12 Hay 9 constantes que definen el material orttropo.No hay acoplamiento entre tensiones normales y deformaciones tangenciales, en los planos principales del material.No hay acoplamiento entre tensiones tangenciales y deformaciones normales en los planos principales del material, es consecuencia de lo anterior por la simetra.No hay acoplamiento entre tensiones tangenciales de un plano y deformaciones tangenciales de otro plano.Esto ya implica que en los ejes principales del material se producen las deformaciones bsicas de la Fig. II.9Mis ma forma: se mantienenlos ngulos Mis ma reaFigura II.9.- Configuraciones deformadas bsicas en ejes principales del material.Si existe un plano en el cual todas las direcciones son de comportamiento idntico, el material se llama de comportamiento istropo transversal.En principio caben hacer infinitas combinaciones de ejes 1-2-3 y 1-2-3 aunque muchas de ellas sern combinaciones lineales unas de otras. De hecho slo dos darn alguna relacin diferente de identidades. Supongamos que el plano es el 1-2.1.- Giro de 90 alrededor de 3, Fig. II.103 3 ' 2 ' 2 1 '1Figura II.10.- Sistemas de referencia equivalentes.Aplicando la transformacin (II.16).11 = 22 ; 22 = 11 ; 33 = 33 ; 12 = 12 ; 13 = 23; 23 = 1311 = 22 ; 22 = 11 ; 33 = 33 ; 12 = 12 ; 13 = 23; 23 = 13tomamos 1111 = C11 11 + C12 22 + C13 33transformando 22 = C11 22 + C12 11 + C13 33escribiendo la ecuacin de 22 en ejes 1-2-3.22 = C12 11 + C22 22 + C23 33Identificando ambas expresiones de 22C22 = C11 ; C23 = C13(II-25.a) Tomando ahora 1313 = C55 13y transformando23 = C55 23Por otra parte, escribiendo directamente 23 en 1-2-3.23 = C44 23luego C44 = C55(II-25.b)Las dems expresiones producen identidades.2.- Giro de 45 alrededor de 3, Fig. II.113 32211Figura II.11.- Sistemas de referencia equivalentes.Se toma en este caso la relacin:12 = C66 12Y en ejes 1-2 -3: 12 = C66 12Teniendo en cuenta, aplicando la transformaciones. II.16 con los valores de la Fig. II.11, que:12 = 1/2 (22 - 11)12 = (22 - 11)la ecuacin anterior queda:(22 - 11) = 2 C66 (22 - 11) Ahora bien, de acuerdo a los resultados obtenidos hasta ahora:22 = C12 11 + C11 22 + C13 3311 = C11 11 + C12 22 + C13 33Por lo que sustituyendo en la relacin anterior:(C12 11+ C11 22 + C13 33) - (C11 11+ C12 22 + C13 33)= 2 C66 (22 - 11) (C12 C11) 11 + (C11 - C12) 22 = 2 C66 (22 - 11)( 22 - 11 ) [ C11 - C12] = 2 C66 (22 - 11)de donde:2 C66 = C11 - C12(II.26)Con lo que la relacin - para un material transversalmente istropo ser, aplicando (II.25) y(II.26):11 C11C12C13000 11 000 22 000 33 22 C12C11C1333 23 13 C13C13C33 000C 440044 0000C0 23 13 (II.27) 12 00000 2 12 donde slo hay cinco constantes independientes.Si todas las direcciones son iguales, material istropo, bastara repetir las dos operaciones anteriores para los planos 1-3 y 2-3 hasta que se obtiene la siguiente relacin con dos constantes, donde ya no cabe ninguna simplificacin:11 C11C12C12000 11 000 22 22 C12C11C12 23 00020013 000C11 C122033 C12C12C110000 33 23 13 (II.28) C11 C1212 00000 2 12 Se pueden definir unas relaciones - para los diferentes materiales considerados, inversas a las anteriores, donde las constantes que aparecern ahora son coeficientes de flexibilidad. Las ms importantes son:Material orttropo:11 S11S12S13 0 11 22 S12S22S23 0 22 33 S13S23S33 0 33 (II.29)000000 = 23 000S4400 23000000013 S550 13 12 0 0S66 12 Material istropo:11 S11S12S12S12S11S12S12S12S11 000000 11 000 22 22 33 000 33 (II.30)2(S11 S12 )000002(S11 S12 )000002(S11 = 23 013 23 13 12 0 S12 ) 12 Las relaciones entre los coeficientes de las matrices C y S son, para materiales orttropos, las siguientes:C11 = ( S22 S33 - S223 ) / C12 = ( S13 S23 - S12 S33 ) / C22 = ( S33 S11 - S213 ) / C13 = ( S12 S23 - S13 S22 ) / C33 = ( S11 S22 - S212 ) / C23 = ( S12 S13 - S23 S11 ) / con = S11 S22 S33 - S11 S223 - S22 S213 - S33 S212 + 2 S12 S23 S13C44 = 1/S44;C55 = 1/S55;C66 = 1/S66(II.31)2.3. VALOR DE LAS CONSTANTES.2.3.1. Materiales istropos.Es usual en Ingeniera adoptar unas constantes diferentes (aunque iguales en nmero), a las que aparecen en las relaciones anteriores.As, en la relacin -, ecuacin (II.30), se suele tomar:S11 = 1/E ; S12 = - /E ; S11- S12 = 1/2 G(II.32) Como slo dos son independientes, debe cumplirse necesariamente que:G = E / 2(1 + ) (II.33)Con las definiciones II.32, las ecuaciones II.30, conocidas como ley de Hooke generalizada quedan:11 = 1/E (11 - (22 + 33)) 22 = 1/E (22 - (11 + 33)) 33 = 1/E (33 - (11 + 22)) 23 = 2 23 = 23/G13 = 2 13 = 13/G12 = 2 12 = 12/G (II.34)o en notacin matricial:ij = (1 + )/ E ij - / E kk ij (II.34) Las constantes introducidas tienen el siguiente significado:E llamado mdulo de elasticidad longitudinal (o de Young) representa la constante de proporcionalidad entre una tensin normal aplicada y la deformacin a ella asociada. Numricamente representara el valor de la tensin normal que hay que aplicar para que la deformacin normal a ella asociada alcance el valor unidad. llamado coeficiente de Poisson, representa la relacin entre la contraccin lateral unitaria y el alargamiento longitudinal unitario al aplicar una tensin longitudinal.G conocido como mdulo de elasticidad tangencial o de cizalladura, es la constante de proporcionalidad entre las tensiones y deformaciones tangenciales.En la relacin II.28, suele hacerse:C12 = yC11 - C12 = 2Gcon lo que las ecuaciones II.28, conocidas como ecuaciones de Lam, quedan:11 = 2 G 11 + 22 = 2 G 22 + 33 = 2 G 33 + 23 = 2 G 2313 = 2 G 1312 = 2 G 12 (II.35)con: = 11 + 22 + 33En notacin matricial:ij = 2 G ij + kk ij (II.35), conocida como constante de Lam, se puede relacionar con cualquier pareja de valores deE, o G.= = E 1+ 1 - 2 2 G 1 - 2 = G E - 2G3G - EE y se pueden medir de forma directa mediante un ensayo, por lo que son los dos valores habitualmente empleados para definir un material, calculndose los dems a partir de ellos.Atendiendo a algunas consideraciones empricas o conceptuales, pueden establecerse algunas cotas sobre los campos de validez de las constantes , G, E y .De la realizacin del ensayo de traccin se observa que:E 0y 0(II.36.a) La energa de deformacin en un slido elstico lineal es:U = 1 / 2 ij ijintroduciendo II.35: U = G ij ij + kk2 / 2Y dado el carcter definido positivo de U, se deduce que:G 0, 0(II.36.b) Finalmente, sumando las tres primeras expresiones de (II.35).kk = (3 + 2G) kk = (E / (1-2 )) kkSi a un slido se le somete a tricompresin (kk 0) disminuye su volumen (kk = V / V 0) por lo que:E / 1-2 0 luego necesariamente: 1 / 2(II.36.c)Las ecuaciones II.36 representan las cotas que pueden establecerse sobre el valor de las constantes asociadas a materiales istropos.2.3.2. Materiales orttropos.Las constantes ingenieriles de los materiales orttropos son una extensin de las definidas anteriormente en los istropos.As, la ecuacin (II.29) adopta la forma:112233 =231312 1 E11- 12E11- 13E11 - 21E22 1 E22- 23E220 - 31E33- 32E33 1 E33 1 G23 0 1 G31 1 G12 11 22 33 23 13 12 (.37)habiendo tomado: ij = 2 ij (II.38)En la matriz de constantes:Eii representan los mdulos de elasticidad longitudinales asociados a los ejes principales del material.Gij representan los mdulos de elasticidad tangenciales.ij representan los coeficientes de Poisson con el siguiente significado:ij = - ijj / iii (II.39)siendo ijj la deformacin en la direccin j provocada por una tensin en la direccin i, por lo que ij se define como el acortamiento unitario en la direccin j en relacin al alargamiento unitario en la direccin i provocado por una tensin en dicha direccin i.En la matriz S hay implicadas 12 constantes E11, E22, E33, G12, G13, G23, 12, 13, 23, 21,31, 32. Ahora bien, slo 9 son independientes ya que debido a la simetra de S: Sij = Sjies decir:ij / Eii = ji / Ejj(II.40)Usualmente y a efectos de determinacin de las constantes, E11, E22, E33; G12, G13, G23 son junto a 3 ij considerados como los valores independientes.En orden a profundizar un poco en la idea de la relacin entre ciertas constantes puede ser instructivo el siguiente anlisis. Sea una laja orttropa que sometemos a tensin en la direccin 1 y en la 2 independientemente, Fig. II.12.2 2L1112L1121LFigura II.12.- Estados elementales de deformacin.Las relaciones de comportamiento desarrolladas anteriormente, permiten establecer:1 1 12 2 2 2111 = ; 22E11 = - E11 ;22 = ; 11E22 = - E22 Y consecuentemente los alargamientos:1 =1E11 L ; 1 = - 12E11 L ;2 =E22 L ; 2 1= - 21 L E2222Obviamente si E22 E11, 11 22 (111 222); pero sin embargo 12 = 12 (211 = 122) independientemente de los valores de las constantes, debido a la simetra de S. Esta conclusin sera una clara extensin del Teorema de Betti o de reciprocidad aplicado a materiales compuestos.La matriz de rigidez se obtiene invirtiendo la matriz S con lo que las ecuaciones II.37 invertidas son:11 22 33 1-2332E22E3312+3213E11E3313+1223 12+3213E11E331-1331E11E3323+2113 13+1223E11E22023+2113 E11E221-1221 11 22 33 (.41)23 =1312 E11E2 2 E11E2 2 E11 E220 G23 G31 G12 231312donde: = 1 - 12 21 23 32 31 13 2 2132 13 E11E22E33Obsrvese que estas relaciones estn definidas en los ejes principales. Un material fabricado orttropo no presenta ninguna dificultad para determinar dichas direcciones. En caso de que sea un material no determinado pero supuesto orttropo, slo los desacoplamientos entre tensiones y deformaciones que se derivan de la configuracin de S pueden inducir la correcta orientacin de los ejes 1, 2 y 3, principales del material.Algunas cotas pueden ser establecidas para las constantes de los materiales orttropos, siguiendo razonamientos intuitivos.Si aplicamos slo una tensin, la correspondiente deformacin vendr asociada al trmino de la diagonal principal y como el trabajo desarrollado por la tensin aplicada debe ser positivo:Sii > 0Es decir:E11, E22, E33, G12, G13, G23 > 0(II.42.a) Anlogamente, si aplicamos una sola deformacin:Cii > 0(II.42.b)Ahora bien, dado que la energa se puede poner como:U == 12 = 1T2 T C > 0esto implica que la matriz C debe ser definida positiva. (La expresin anterior es justamente, salvo el 1/2, la definicin de matriz definida positiva). Las condiciones para que sea definidapositiva es que el determinante sea positivo y tambin los menores obtenidos a partir del primer elemento de la diagonal principal, orlando con filas y columnas.Dado que:C = / G12G23G31y teniendo en cuenta las restricciones anteriores sobre E11, E22, E33, G12, G13, G23:1 - 12 21 23 32 31 13 2 2132 13 > 0(II.42.c) Consecuentemente, de las relaciones anteriores (Cii > 0):1 - 12 21 > 01 - 23 32 > 01 - 13 31 > 0 (II.42.d)Las relaciones de simetra de la matriz S permiten encontrar, a partir de las restricciones indicadas, otras relaciones en que se ven implicadas constantes E y .En cualquier caso, estas cotas tienen como gran utilidad el poder servir de filtro a constantes medidas de ensayos experimentales, cuya fiabilidad no siempre es la deseable.Obsrvese que algunas restricciones tpicas de los materiales istropos desaparecen. As por ejemplo el valor de ij no queda acotado a 1/2, sino que depende de la relacin entre E11 y E22. Por ejemplo, si E11 = 9E22 (valor que puede representar el comportamiento de un compuesto epoxy-fibra de boro), se tendr que:1 - 12 21 >0y12 / E11 = 21 / E22 21 = E22 /E11 121 - 122 E22 /E11 > 0122 < E11 / E2212 < 3y21 < 1 / 12con los valores indicados de E11 y E22.2.4. RELACIN TENSIN-DEFORMACIN PARA TENSIN PLANA EN MATERIALES ORTTROPOS.2.4.1. Direcciones principales del material.El estado de tensin plana en una lmina viene caracterizado por (suponiendo la lmina en el plano 1-2):33 = 0 , 23 = 0 , 13 = 0(II.43)Para el caso de material orttropo, en las direcciones principales del material, esto implica que (II.29):33 = S13 11 + S23 2223 = 0y13 = 0(II.44) Por consiguiente la relacin - en ejes principales queda (poniendo 12 = (2 12), en lugar de12):11 22 12 S11S120= S12S22000S66 11 22 12 (.45)con: S11 = 1 E11 ; S22 = 1 E22 ; S66 = 1 G12 ; S12 = - 12E11 = - 21E22o bien en notacin matricial:12 = S12 12 (II.45)Obsrvese que si bien en la ley slo influyen cuatro variables independientes (E11, E22, G12, 12 (o 21), si se quisiera conocer 33 sera preciso determinar tambin 13 y 23. La relacin puede obtenerse invirtiendo las anteriores:11 22 12 Q11 Q120= Q12 Q22000Q66 11 22 12 (II.46)o bien en notacin matricial:12 = Q12 12 (II.46)donde: Q11 = S22 12S11 S22 - S2Q22 = S11 12S11 S22 - S2Q12 = - S12 12S11 S22 - S2Q66 = 1 S66 (II.47)o poniendo S en funcin de E, G y :Q11 = E11 1 - 1221Q22 = E22 1 - 1221 ( = E 1 - 2 para istropos)Q12 = 12E22 1 - 1221Q66 = G12 = 21E11 1 - 1221 ( = E 1 - 2 para istropos) (II.48)Estas relaciones tambin se podran haber obtenido particularizando los Cij para ciertos valores de ij que simulen la tensin plana (13, 31, 23 , 32 = 0).2.4.2. Direcciones cualesquiera.Las direcciones principales del material (direccin de comportamiento orttropo) no coinciden habitualmente con las direcciones utilizadas para definir la geometra del material, pudiendo incluso estar en sistemas de referencia diferentes. Dado que habitualmente los criterios de resistencia estn referidos a los ejes principales del material y las cargas a los ejes geomtricos, es preciso disponer de las relaciones anteriores en ejes cualesquiera.Los estados de tensiones referidos a los ejes geomtricos (x,y) y principales (1, 2) se pueden relacionar a travs de una matriz de giro, funcin del ngulo que forman ambos sistemas de ejes (segn se indica en la Fig. II.13).y21xxy =xy Figura II.13.- Sistemas de referencia.cos2sen22sen cossen2cos22sen cossen cos sen cos cos2 sen2 11 22 12 = 1 11 22 12(II.49)Puede observarse el carcter de pseudovector del estado tensional plano ya que aunque se estructura es la de un vector, su transformacin en otros ejes es diferente, como corresponde al verdadero carcter tensorial de sus componentes.En notacin matricial, II.49 queda:xy = T-1 12 ;12 = T xy (II.49)Una relacin idntica pudiera establecerse para las deformaciones, aunque con xy y 12 en lugar de xy y 12. Para incluir los componentes , basta hacer:11 22 12 1 0 0= 0 1 00 0 2 11 22 12 11= R 2212 (.50)Luego:R-1 xy = T-1 R-1 12o bien: xy = R T-1 R -1. 12 (II.51)12 = R T R -1 . xy (II.52)Sustituyendo en la ecuacin de comportamiento en ejes principales, II.46: T xy = Q12 R T R -1 xyxy = T-1 Q12 . R T R-1 xy = Qxy xy (II.53)llamando: Qxy = T-1 Q12 . R T R-1(II.54)las componentes de Qxy adoptan los siguientes valores:4224Q11 = Q11 cos + 2 (Q12 + 2 Q66 ) sen cos + Q22 sen 2244Q12 = (Q11 + Q22 -4 Q66 ) sen cos + Q12 (sen + cos )Q22 = Q11 sen4 + 2 (Q12 + 2 Q66 ) sen2 cos 2+ Q22 cos4 33 (II. 55)Q16 = (Q11 - Q12 - 2 Q66 ) sen cos3 + (Q12 - Q22 + 2Q66)sen cos3Q26 = (Q11 - Q12 - 2 Q66 ) sen cos + (Q12 - Q22 + 2Q66)sen cos 2244Q66 = (Q11 + Q22 - 2 Q12 - 2 Q66 ) sen cos + Q66 (sen + cos )Obsrvese que aunque Qxy es una matriz llena con 6 componentes (debido a la simetra) de valores diferentes, estos valores se obtienen a partir de los 4 linealmente independientes que definen Q12. Por supuesto, si = 0 , Qxy = Q12.Qxy no presenta ninguna diferencia con respecto a una matriz Q que relacionara y en un material anistropo, solamente que Qxy est asociada a un material que puede caracterizarsems fcilmente mediante ensayos de laboratorio, siempre que las direcciones principales del material puedan identificarse para proceder a los ensayos.Anlogamente se puede plantear la relacin inversa -, en ejes no principales, sin ms que invertir la relacin anterior:x y xy S11S12S16= S12S22S26S16S26S66 x y xy (.56)o bien en notacin matricial: xy =Sxy xy (II.56)donde:4224S 11 = S 11 cos + (2 S 12 + S 66 ) sen cos + S 22 sen S 12 = (S 11 + S 22 - S 66 ) sen2 cos2 + S 12 (sen4 + cos4 )4224S 22 = S 11 sen + (2 S 12 + S 66 ) sen cos3 + S 22 cos 3 (II. 57)S 16 = (2 S 11 - 2 S 12 - S 66 ) sen cos3 + (2 S 12 - 2 S 22 + S 66)sen cos3S 26 = (2 S 11 - 2 S 12 - S 66 ) sen cos + (2 S 12 - 2 S 22 + S 66)sen cos 2244S 66 = 2 (2 S 11 + 2 S 22 - 4 S 12 - S 66 ) sen cos + S 66 (sen + cos )Al igual que suceda con la relacin de Lam, no hay diferencia entre la matriz Sxy para un material orttropo y la matriz S para un material anistropo. Las nuevas componentes no nulas de Sxy en relacin a S12 pueden tener tambin una interpretacin ingenieril, a partir de la interpretacin que estas constantes tienen en materiales anistropos.yxyx xxyyFigura II.14.- Estado tensional.Siguiendo a Lekhnitski en cuanto a nomenclatura y las ideas expresadas anteriormente para definir los valores de Sij en funcin de constantes ingenieriles, tendremos para un punto sometido al estado tensional bidimensional de la Fig. II.14:x = x (x) + x (y) + x (xy)o bien: x = x /Ex - yx y (y) + x,xy xy (xy) (II.58)donde:yx: Acortamiento unitario transversal en la direccin x en relacin al alargamiento unitario longitudinal en la direccin y cuando acta y.x,xy: Alargamiento unitario en la direccin x en relacin a la deformacin tangencial unitaria xy en el plano xy cuando acta xy.La relacin anterior se puede poner como:x = x /Ex - (yx /Ey ) y + (x,xy /Gxy) xy (II.59) Si se considera ahora xy:xy = xy (x) + xy (y) + xy (xy)o bien:xy = xy,x x (x) + xy,y y (y) + xy /Gxyxy = xy,x x/ Ex + xy,y y/Ey + xy /Gxy(II.60)donde:xy,x: Deformacin tangencial unitaria en el plano xy en relacin al alargamiento unitario en direccin x provocado por x.Lgicamente debido a la simetra:x,xy/Gxy = xy,x/Ex ; y,xy/Gxy = xy,y/Ey (II.61)lo que se podra generalizar a:j,ij/Gij = ij,j/Ej i,j = 1,2(II.62) Con estos coeficientes de influencia, la matriz tendr la estructura siguiente:xy=xy 1 Ex- xyEx xy- Ex 1 Ey x,xy Gxy y,xyGxy x y xy (.63)xy,xEx xy,yEy 1 GxyEstas constantes ingenieriles de la lmina orttropa en ejes no principales, lo que hace que se comporte como aparentemente anistropa, se pueden calcular a partir de las constantes ingenieriles en ejes principales relacionando las matrices S en ambos ejes, lo que conduce a: 1 = 1 cos4 + ( 1 - 2 12 )cos2 sen2 + 1 sen4 ExE11 G12 E11 E22 1 = 1 sen4 + ( 1 - 2 12 )cos2 sen2 + 1 cos4 EyE11 G12 E11 E22 1 = 2 ( 2 + 2 + 4 12 - 1 ) cos2 sen 2 + 1 ( sen4 + cos4)Gxy E11 E22 E11 G12 G12xy = Ex 12 ( sen4 + cos4 ) - ( 1 + 1 - 1 ) cos2 sen2E11 E11 E22 G12x,xy = Gxy ( 2 + 212 - 1 ) cos3 sen + ( 1 - 2 - 212 ) cos sen3E11 E11 G12 G12 E22 E11y,xy = Gxy ( 2 + 212 - 1 ) cos sen3 + ( 1 - 2 - 212 ) cos3 senE11 E11 G12 G12 E22 E11 (II.64)Dado que las constantes que definen un material orttropo como aparentemente anistropo pueden representarse a partir de las constantes orttropas y el ngulo que relaciona la posicin de los ejes principales con los ejes de aparente anistropa, resulta instructivo el representar dicha variacin (Fig. II.15 y Fig. II.16 tomadas del libro de Jones).La conclusin ms importante (ver por ejemplo Ex /E22 para boro/epoxy) es que los valores extremos de las constantes (mximos o mnimos) no necesariamente se producen para los ejes principales del material.Figura II.15.- Mdulos normalizados y coeficientes para compuestos de fibra de vidrio-epoxy.Figura II.16.- Mdulos normalizados y coeficientes para compuestos de fibra de boro-epoxy. Comportamiento Mecnico de una Lmina CAPITULO IIICAPITULO III Comportamiento Mecnico de una Lmina CAPTULO III COMPORTAMIENTO MECNICO DE UNA LMINA3.1.- INTRODUCCIN3.2.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DE LA RIGIDEZ DE UNA LMINA3.3.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIA DE UNA LMINA3.4.- CRITERIOS DE RESISTENCIA BIAXIAL DE UNA LMINA3.5.- MICROMECNICAAPENDICE 3.1: DETERMINACIN DEL TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN PUNTOA PARTIR DE LA LECTURA DE TRES BANDAS EXTENSOMTRICAS3.1.- INTRODUCCIN.El objeto de este Captulo es el de caracterizar mecnicamente el material en orden a la realizacin del anlisis (determinacin de las propiedades de rigidez que se utilizan en l) y del diseo (determinacin de las caractersticas resistentes en direcciones principales y criterios de rotura ante cualquier tipo de solicitaciones). Esta caracterizacin sera equivalente en todo a la de los materiales istropos. En materiales orttropos cobra una especial importancia la contribucin de los elementos que conforman el material compuesto a las propiedades finales del conjunto. Esta parcela, que se conoce con el nombre de micromecnica, permite crear un material de manera que se pueda adaptar a las solicitaciones exteriores.En lo que respecta a los ensayos para establecer caractersticas de rigidez y resistencia, son en general una continuacin de los que se realizan para istropos, si bien es preciso tomar algunas precauciones que derivan de la existencia de acoplamiento entre tensiones y deformaciones normales y tangenciales.En cuanto a los criterios de resistencia, a diferencia de los materiales istropos, no tiene sentido plantearlos en trminos de tensiones o deformaciones principales, sino referidos a ejes de ortotropa de la lmina. Los cuales no tienen en general porqu coincidir con los ejes principales. De hecho, slo en el caso particular en que las direcciones principales de tensin o deformacin coincidan con las direcciones de ortotropa del material, se producir la coincidencia entre las direcciones principales de tensin y deformacin.En general, lo que se hace es comparar un estado real con un estado admisible del material. Ambos estn referidos a los ejes de ortotropa de la lmina. El real, en el caso de que la lmina tenga unas cargas que permitan la determinacin fcil de las tensiones en otras direcciones, se obtiene por simple rotacin del tensor, y el admisible est en funcin de las propiedades resistentes de la lmina en las propias direcciones de ortotropa.En principio sera necesario definir cinco caractersticas en el plano de la lmina: Xt =Resistencia longitudinal a traccin.Xc =Resistencia longitudinal a compresin.Yt =Resistencia transversal a traccin.Yc =Resistencia transversal a compresin.S =Resistencia a cortadura.Endirecciones principales del material, la resistencia a cortadura es nica, independientemente del sentido de la solicitacin, como se ve en la Fig. III.1, dado que las dos configuraciones en traccin-compresin son idnticas.En cambio, en direcciones no principales no sucede as, dado que la traccin acta en la configuracin (a) de la Fig. III.2 en el sentido de las fibras, y en la (b) en el sentido transversal a las mismas. Figura III.1.- Solicitacin segn los ejes principales.(a)(b) Figura III.2.- Solicitacin segn los ejes no principales.Aunque aparentemente los criterios de plastificacin para materiales istropos y los de rotura para orttropos (que veremos en este captulo), representan cosas diferentes, pueden verse con un significado comn: el fin del comportamiento elstico lineal. Por ello, no debe extraar que se hayan utilizado en algunos criterios de rotura de materiales orttropos ideas equivalentes a las usadas para la transicin a comportamiento plstico de materiales istropos dctiles. No obstante, en la actualidad, y a pesar de que la mayor parte de los criterios se siguen formulando sobre variables macromecnicas, es admitido que stos han de basarse en los mecanismos de funcionamiento interno del material, por lo que cobra cada vez ms importancia el estudio de la micromecnica.3.2.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DE LA RIGIDEZ DE UNA LMINA.Las constantes ingenieriles de rigidez se obtienen experimentalmente mediante unos ensayos adecuados. Conviene hacer notar que dichas constantes relacionan magnitudes sinentidad fsica inmediata (tensiones y deformaciones), lo que conlleva que los ensayos a realizar correspondan a problemas cuya resolucin analtica sea posible, con objeto de que las tensiones y deformaciones puedan ser obtenidas a partir de los datos experimentales (normalmente fuerzas y alargamientos).Tanto para materiales istropos como orttropos, el ensayo ms extendido para conocer el valor de las constantes es el ensayo de traccin. La razn de ello es doble, por una parte si a una pieza prismtica recta de seccin transversal arbitraria se la somete a un estado de traccin pura, la solucin analtica a dicho problema es conocida, por otro lado la realizacin experimental de tal ensayo resulta fcil. No obstante, para materiales orttropos, no basta en general el ensayo de traccin para obtener de forma fiable todas las constantes del material debindose acudir a otro de tipo de ensayos que sern objeto de un estudio detallado en el presente captulo.A modo de ilustracin, veamos cmo es posible obtener a partir del ensayo de traccin las constantes E y para un material istropo.Seccin Ftransversal3L21 FEstado tensional : = F;resto = 033ijCampo de deformaciones : = F ; = F ; = F ; i j = 011E 22E 33E ijCampo de desplazamientos :u = F x ; u= F x; u= F x1E 12E 23E 3(a) Esquema del ensayo detraccin(b) Solucin elsticaFigura III.3.- Ensayo de traccin y solucin anlitica para materiales istropos.Supongamos una probeta recta de longitud L y seccin transversal circular (ya dijimos antes que la seccin puede ser arbitraria, la eleccin de la seccin circular se ha adoptado por comodidad a la hora de realizar el ensayo) de rea transversal . Si mediante algn dispositivo (una mquina universal de ensayos mecnicos por ejemplo) sometemos la probeta en sus extremos a una traccin de resultante F, la solucin tensional en una zona suficientemente alejada de la zona de aplicacin de la carga (Principio de Saint-Venant) se ha uniformizado y resulta valer: 33 = F/, y el resto de las componentes de ij iguales a cero. El tensor de deformaciones puede obtenerse a partir de las ecuaciones constitutivas y por integracin de ste obtener el correspondiente campo de desplazamientos (vease Fig. III.3).Si antes de comenzar el ensayo realizamos en el slido 4 marcas, A y B en el sentido longitudinal y separadas inicialmente Lo y C y D en sentido diametral (do), los incrementosde distancia (L y d) que sufren estos puntos para un incremento de carga dado (F) son facilmente medibles en el laboratorio. A partir de dichas medidas, se obtienen las constantes buscadas (E y ), (Fig. III.4).* AB * DC ** * 2FF1L od oF / * (F2 ; L2) L = FLoE *(F1 ; L1) d = FdE o L/L oFigura III.4.- Resultados del ensayo de traccin para materiales istropos.Conviene hacer notar que el desarrollo realizado hasta ahora est basado en un comportamiento elstico lineal. Por ello, sera tambin conveniente comprobar que tal comportamiento se produce. Para ello es aconsejable comprobar:a) Al incrementar la carga, el incremento de longitud que sufre la probeta lo hace en la misma proporcin. Para realizar dicha comprobacin, lo mejor es trazar un grfico en el que se recojan la carga aplicada y el alargamiento que se origina en la probeta. Tal grfico deber ser una lnea recta (ntese que si representamos carga unitaria frente a alargamiento unitario, la pendiente de la recta es precisamente el Mdulo de Elasticidad del material).b) Al desaparecer la carga, el incremento de longitud sufrido por la probeta deber ser cero.El problema resulta algo ms complejo para materiales orttropos. As, para lminas reforzadas en una direccin y con el mismo comportamiento en traccin que en compresin las caractersticas que es preciso determinar mediante ensayos son:E11 = Mdulo de Elasticidad segn la direccin 1.E22 = Mdulo de Elasticidad segn la direccin 2.12 = - 22 (11) / 11 (11) con 11 = ; 22 = 12 = 0.21 = - 11 (22) / 22 (22) con 22 = ; 11 = 12 = 0.G12 = Mdulo de Elasticidad Tangencial o de cortadura en el plano 1-2. Naturalmente de los cuatro primeros valores slo tres son independientes.En toda la determinacin de propiedades y descripcin de experimentos que sigue, se supone que el comportamiento es lineal, lo cual es razonablemente cierto para fibras de vidrio y carbono y slo aproximado para compuestos de fibra de boro. En cualquier caso, el comportamiento ante solicitaciones tangenciales es no-lineal y el valor de G12 ser por tanto funcin de la carga a aplicar.3.2.1.- Determinacin de E11, E22 y 12.La determinacin de estas constantes experimentales se realiza mediante un simple ensayo de traccin haciendo uso de dos laminados unidireccionales, uno con orientacin 0 y otro con orientacin 90 (Fig. III.5).F F x FyProbeta con orientacin 0 FProbeta con orientacin 90 t bSeccin A = b x tFigura III. 5 .- Esquema de las probetas objeto de ensayo.A ambas probetas se les colocan bandas extensomtricas. En concreto a la probeta de orientacin 0 respecto al eje x se le colocan en la parte central dos galgas, una segn la direccin x y otra segn la direccin y. Ambas galgas permiten medir las deformaciones x y y cuando la probeta se somete a traccin. A partir de estas medidas, de la carga aplicada y de la geometra de la probeta, se determina E11 y 12.A la probeta cuyas fibras estn orientadas 90 respecto al eje x se le coloca una banda segn la direccin de x. A partir de la lectura de sta, de la carga aplicada y de las dimensiones de la probeta, se obtiene la otra constante E22.En efecto, cuando la probeta se somete a una traccin de valor F, el tensor de tensiones solucin del problema viene dado por x = F/A, donde A es la seccin transversal de laprobeta, y el resto de las componentes cero. Usando las ecuaciones constitutivas y las relaciones entre constantes en ejes arbitrarios y en ejes de ortotropa particularizadas para =0 llegamos a:x = x / E11 ; y = -( 12/E11) x ; xy = 0de donde se deduce: E11 = x /x y 12 = - y / xDe igual forma se procedera con la orientacin de 90, obteniendo ahora: E22 = x /xPor consiguiente los valores de E11, 12 y E22 son:Probeta con orientacin 0: E11 = F / (A x)12 = - y / xProbeta con orientacin 90: E22 = F / (A x) (III.1)Conviene notar, que la medida de 12 se efecta a partir de la probeta de orientacin 0 y no a partir de la de orientacin 90. La razn de ello es que la medida sobre la probeta de orientacin 90 conduce, normalmente, a obtener resultados no satisfactorios como consecuencia de la pequea deformacin transversal, debido a la orientacin de la fibra, que en dicha probeta se origina.Tejido Tipo HuesoCinta 0 Recta con tacosCinta 90 Recta con tacosFibra de carbonoFibra de vidrioFigura III.6.- Configuraciones de las probetas para el ensayo de traccin.Tanto la geometra de las probetas a emplear, el procedimiento o tcnica experimental a utilizar, las recomendaciones sobre el ensayo y los resultados a obtener del mismo se recogen en las diversas normas que regulan este ensayo, las cuales son especficas para cada tipo de material y de refuerzo (unidireccional o tejido). En la figura III.6 se muestran distintas configuraciones de las probetas empleadas para estos ensayos.A continuacin se recogen algunas de las recomendaciones de la norma ASTM D-3039 que regula los ensayos para los compuestos de fibra de carbono.a) Probetas.a.1.) Geometra. 6, como se puede observar en la Fig. III.12, donde se representa la evolucin*de la relacin 12/12 frente al ratio L/2h para los problemas ideal, aproximado (Pagano yHalpin), y empotrado (solucin numrica). Asi mismo, conviene hacer notar que losparmetros y que aparecen en el factor de correccin dependen de las propiedades del material, incluida G12, por lo que es preciso un anlisis iterativo para su correcto uso.1.21.00.8*12 /120.612/12*0.40.2 Pagano y HalpinEmpotradoIdeal0.0 0 2 4 6 8 10Ratio (L/2h)Figura III.12.- Comparacin de los estados tensionales de los distintos problemas en funcin del ratio del especimen.Como se ha comentado anteriormente, el mtodo de correccin propuesto por Pindera y Herakovich se basa en la solucin de un problema aproximado al empotrado, por lo que un mtodo de correccin ms ajustado se podra obtener si dispusiramos de la solucin del problema empotrado. Siguiendo esta idea, Caas y otros han usado el mtodo de los Elementos Finitos para obtener la solucin de tensiones en una probeta de dimensiones conocidas con condiciones de desplazamientos prescritos en los extremos. Se ha podido comprobar numricamente, que la tensin tangencial 12 se ve muy poco afectada al variarlas constantes E11, E22 y 12 vindose solamente afectada por la relacin L/2h, la orientacin de las fibras y el valor de G12. No obstante, la correccin es vlida si en la realizacin del ensayo se dan las condiciones de empotramiento consideradas.Los resultados numricos obtenidos, permiten la obtencin de curvas como la mostrada en la Fig. III.13 para una relacin L/2h = 10. En concreto, la curva mostrada resulta vlida para aquellos materiales cuyas constantes estn comprendidas entre los siguientes valores:100 GPa < E11 < 160 GPa5 GPa < E22 < 12 GPa0.2 < 12 < 0.4La forma de usar la curva se describe a continuacin. Del ensayo se determina a partir de las lecturas de las galgas 12 y o, y a partir de la carga, x . Conocidos estos valores se calcula12G * y el cociente 12/o . Con dicho cociente se entra en el grfico apropiado (orientacin **y ratio L/2h) y se determina el valor de G12/G12 , lo que permite una vez conocido G12determinar G12.1.51.25 ENSA YO OFF-AXIS T ENSION1G12/ G12*0.75 = 45 = 30 = 15 = 100.50.25 = 5.00 0.9 1.8 2.7 3.6 4.512 / oFigura III.13.- Grfica para determinar G12 en una probeta de relacin L/2h=10.3.2.2 2.- Ensayos sobre laminados equiangulares 45.Una manera de paliar los inconvenientes esbozados en el apartado anterior es utilizar un laminado simtrico equiangular cuyas lminas estn orientadas a 45. Dicho laminado est formado por lminas de las mismas caractersticas y espesor pero con orientacin cambiada de signo respecto al plano medio. Con esta disposicin se consigue que los efectos derivados de la deformacin angular se cancelen entre s. En la Fig. III.14 se muestra tal efecto.FFFFFFFigura III.14.- Deformacin de un laminado equiangular.En este caso, G12 puede ser evaluado directamente a partir de la medida tomada de dos galgas situadas ortogonalmente entre s, y orientadas de forma que una siga la direccin de la carga (eje x). A partir de estas dos medidas, la deformacin angular 12 puede ser obtenida mediante las ecuaciones de trasformacin del sistema x-y al sistema 1-2:12 = x - y (III.16) Por otro lado, la carga aplicada provocar una tensin normal de valor x = F/A donde A esel rea transversal del laminado, siendo cero el resto de las componentes del tensor. El pasode este tensor al sistema de ortotropa permite obtener el valor de 12 ( 12 = F/2A). Conocido 12 y 12, la ley constitutiva en el sistema orttropo nos da directamente el valor de G12:G12 =1212(.17)Aunque los ejes 1 y 2 son diferentes en cada lmina las frmulas anteriores son vlidas para ambas. En cualquier caso se trata de un laminado cuyo estado tensional se analizar en el Captulo correspondiente a la Teora general de laminados.El ensayo en cuestin viene recogido en la norma ASTM D-3518. Las condiciones generales de dicho ensayo son las mismas que las descritas en la norma ASTM-D-3039 y que fueron ya comentadas en el apartado 3.2.1.3.2.2.3.- Ensayo de cortadura con railes (Rail Shear Test).Es quizs este ensayo el ms extendido para evaluar el mdulo de cortadura G12. A grandes rasgos, el mtodo consiste en someter una lmina o un laminado unidirecional (normalmente =90) a un estado de deformacin t