Material 2 Integración Inmediata

7/23/2019 Material 2 Integracin Inmediata

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I n t e g r a l e s i n m e d i a t a s c o n t i n u a c i n )

F u n c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s i n v e r s a s

1 . F r m u l a s d e i n t e g r a c i n d e f u n c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s i n v e r s a s

f

du u

. J 2 2 =

arc sen -

+

e

a

-u

a

f

du 1 u

--- -~ = -

arc tan -

+ e

a

2

+

u

2

a a

f

du

1

u

-----==;;===;;::

= -

arc sec -

+ e

- u u2-a2 a a

2 . A l g u n o s p r o c e d i m i e n t o s d e i n t e g r a c i n d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s i n v e r s a s

Ejemplo:

Integrar.

1.

f~~

x

2

x

Sol.

are sen

3 +

e

Para aplicar la frmula f :::a~~f~Cen ~

+ e

es necesario

identificar los valores de

a

2

,

a, u

2

, u y calcular

u(x) y

d~

a

2

= 9

a=3

u=x

u(x)

=

x

du(x)

=

/

El integrando est completo pues

incluye laJuncin multiplicada por

su

diferencial, en consecuencia podemos aplicar la frmula de integracin citada.

f dx - f du

J g

X2 -

J a

2 -

u2

integrando

u

=

arc sen -

+ e

a


2/7

56 CAPTULO6. Integrales inmediatas continuacin). Funciones trigonomtricas inversas

Al sustituir los valores de a y de u

=

are sen ~

+

C

3

f

dx

=

2

3

+

4x

2

1 2x

Sol r;:;

arc tan .

r;:; +

C

2 13 13

, f

du 1 u

Para aplicar la formula

2 2 = -

are tan -

+

C se identifican los valores

a u a a

de

a

2

, a, u

2

, u

y se calculan

u(x)

y

du(x)

a

2

= 3

a =..f3

u

2

= 4x

2

u-=

2x

u(xp=-

2x

du(x) =

2

dx

En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicar

y dividir por 2. Con ello no se altera el valor del integrando porque de hecho

se est multiplicando por uno.

= f

2dx

23 4x

2

Sustituyendo en el integrando

= 1 . . f du

2 a

2

+

u

2

integrando

=

1 . . 1 . .

are tan

u

2

a a

con los valores de a y de u queda

1

2x

= -- arc tan -

+

C

2-5 -5

-dx

=

X2

2

3 x

Sol J2

are tan

J2 +

C

Identificamos a

2

, a

u

2

,

u

y calculamos

u(x),

y

du(x)

a

2

=

2

a = J2

u=x

- u(x) = x

.du(x) = dx

sustituimos en el integrando

=

3 f du

u

2

+a

2


3/7

El integrando se expresa como la suma de dos cocientes

integramos

= 3 ( ) are tan ~ + C

Con los valores de a y u queda

x

= -arc tan- + C

..f2 ..f2

De hecho. estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las

frmulas de integracin. En el segundo de ellos nicamente fue necesario

completar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de los

procedimientos que se citan aconttnuactn.

3 . E l i n t e g r a n d o s e e x p r e s a c o m o l a s u m a d e d o s c o c i e n t e s

Ejemplo:

Sol. -

; 9- X2 + 4 are seni C

Comn denominador

u = 9 -

X2

a

2

= 9

u(x)

=

9 -

X2

a

=

3

du(x) = - 2x dx

u=x

u(x) = x

du(x)

=

dx

multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral

1 J

2 _1.

J dx

= - -

x 9 - x )

2 -2

dx

+

4 --

2 9

x

2

Para el resultado de la segunda integral. tomamos el del ejercco nmero

uno de este apartado

1

_ 1 .

x

= - -

U

2 du + 4 arc sen - + C

integrando

I

1 u

2

x

= -

2

-1-

+

4

are sen

e

2

con el valor de u queda

1 X

= -

(9 - X2 2 + 4 are sen 3 + C


4/7

8 CAPTULO6. Integrales inmediatas continuacin). Funciones trigonomtricas inversas

Este resultado se puede expresar en la forma siguiente

= - J 9 x2 + 4 are sen ~ + C

4 . E l i n t e g r a n d o e s u n a f r a c c i n d o n d e e l n u m e r a d o r e s

d x

e l d e n o m i n a d o r e s d e

l a f o r m a a x

b x c . s t e d e n t r o o f u e r a d e u n r a d i c a l d e n d i c e d o s

Algunos de estos casos pueden integrarse

completando el cuadrado ax

2

+ bx.

La integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

J du

. . . J u

2 a2

J du

a

2

- u

2

J

du

u

2

a

2

Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad

cuando el integrando incluyeJunciones cuadrticas. En el curso deAritmtica

y lgebra

se indic que para completar el cuadrado se suma a la expresin el

cuadrado de la mitad del coeficiente de x.

x+ bx + c ~ x + bx +

J ~ ~J

+ c

Observa que para conservar la

Igualdad

hemos sumado

y

restado

J

Ejemplo:

} 6dx dx=

x2 - 4x+ 8

x-2

Sol.

3 are tan -2- + C

Al completar el cuadrado del denominador, se tiene

X2 4x 8 = (x

2

4x 4 - 4 8

=

(x -

2 2

+

4

= 6} dx

(x - 22 + 4

u

2

= (x -

2 2

u=x-2

a

2

= 4

a=2

u(x)

=

x -

2

du(x) = dx


5/7

E l in teg ra nd o es u na f ra cc in 9

sustituyendo en el integrando

integrando


6 x 2

= -

arc tan -- + C

2 2

x

=

3 are tan -- + C

2

4 . 1 C o m p l e t a r e l c u a d r a d o c u a n d o e l c o e f i c i e n t e d e e s n e g a t i v o .

Ejemplo:

f dx =

3x -x

2

_

2x - 3

Sol. are sen 3 + C

Si se completa el cuadrado del denominador se tiene

3x - X2 = - (x

2

- 3x)

- [ X - 3 X + ~ )

- ~ n

~ _ [ x _ ~ ) _ ~ ) ]

Observa el signo menos que precede al parntesis rectangular.

~ ~ J+ - ~ J

a ~

~ J

u

- ~ J

3

a=

2

3

u(x) = x --

2

du(x)

=

dx


6/7

6

CAPTULO6. Integrales inmediatas continuacin). Funciones trigonomtricas inversas

Al sustituir en el integrando

- f du

} a

2

- u

2

integrando

u

= are sen - + C

a


3

x 2

=

are sen --

+

C

. 3

2

2x-3

= are sen = + C

3

2

= are sen ~ (2x - 3) + C

j . 3

(2x - 3)

=

are sen 3 + C

4 . 2 C o m p l e t a r e l c u a d r a d o c u a n d o e l c o e f i c i e n t e d e x 2 n o e s l a u n i d a d

/

Ejemplo:

f dx =

2x

2

-8x+9

1

Sol.

.. . J 2

are tan

.. .J 2

(x - 2) + C

Se factortza la expresin 2x

2

- 8x antes de completar el cuadrado.

2x

2

-

8x

+

9

=

2(x~ - 4x)

+

9

= = 2 X ~ .4x +

4)- ,4)

+

9 r

Observa que el factor 2 afecta a toda la expresin que est entre parntesis.

= 2(x

2

-

4x + 4 - 2 ~ + 9

= 2(x - 2)2 + 1


7/7

Sustituyendo en el integrando

= J dx

2 x - 2 2 +

l

r

u

2

=

2 x -

2 2

U =

V2

(x -

2

u(x)

=

V2 (x - 2

du(x)

=

V2 dx

El integrando es una frac cin

6

a

2

=

l

a = 1

multiplicando y dividiendo en el integrando por

V2

sustituyendo

integrando

__ 1 J

V2dx

J 2 [V2

(x - 2 2 + 1

__ 1

J

du

V2 u

2

+ a

2

=

_1_ l J are tan u + e

V2 a

con el valor de u queda

Ejemplos:

Integrar.

J

dx

1. ...)9

16x2

d

2

=

9

a=

1

=

v2

are tan

v2 (x -

2)

+

e

u

2

=

16x

2

U

= 4x

u(x)

=

4x

du(x) = 4 dx

Se multiplica y divide el integrando por 4

sustituyendo

integrando

_ l J 4dx

- 4 9- 16x

2

-lf du

- 4

2

-

u

2

1 u

= -

are sen -

+

e

4

a

1

4x

Sol. -

are sen - +

e

4 3

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