5Integrales inmediatas.Funciones trigonomtricasdirectas

1. Recordatorio de trigonometra

En el libro de Matemticas 11. Geometra y trigonometra del autor. se com-prueban las funciones e identidades siguientes: 1

1 cos xsen x = -- = 1/1 - cos- X = tan x cos x = --cot x cotx1 sen xeos x = -- = 1/1 - sen- x = cot x sen x = --secx tan x1tan x = -- = -'sec2x - 1

cotxsenxcosx

1 cos xcotx =-- = I/csc2x-l =--tanx senx

1see x = -- = -,1 + tan- xcosx

1esc x = -- = -,1+ cot2 xsenx

Funciones trgonomtrtcas recprocas

sen x ese x = 11

sen x = cscx1

ese x = senx

cos x sec x = 11

cos x = seex1

sec x = cosx

1 Fuenlabrada, Samuel. Matemticas lI. Geometra y trigonometra. McGraw-Hill. Mxico, 1995.pgs. 77. 79 Y 119.

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36 CAPTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonomtricas directas

tan x cot x = 1

1tan x = cotx

cot x = tan x1

Identidades trtgonomtrtcas del Teorema de Pitgoras (Ptagrtcas).

sen- x + cos- X = 1

sen? x = 1 - cos- X

cos- x = 1 - sen- x

sec- x - tan? x = 1

tan- x = sec- x - 1

sec- x = 1 + tan- x

ese- x - cot- x = 1

ese- x = 1 + cot- x

cot- x = ese- x - 1

2. Frmulas de integracin de las funciones trigonomtricas directas

f sen u du = - cos u + e

feos u du = sen u + e

f sec u tan u du = see u + ef sec- u du = tan u + e

f ese u eot u du = - ese u + e

f ese- u du = - cot u + e

Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas 37

3. Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas

3.1 El integrando es el producto de la potencia de una funcin trigonomtrica por su diferencial.

Ejemplo:

3 sen- x cos x dx = Sol. sen" x + e

Si la funcin es

u = sen xu(x) = sen x

du(x) = cos x dx

Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando. se tiene

= 3 f u2 duintegrando

u3= 3-+ e3

con el valor de u queda

= sen ' x + e

3.2 Sustituyendo el integrando por una identidad pitagrica.

Ejemplo:

f tan- 7x dx = 1Sol. - tan Zx:> + e7

como tan- x = sec- x - 1

Sustituyendo en el integrando

= f (sec- 7x - 1) dxcompletamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7.

= ..!. f (sec? 7x - 1) 7 dx7

= t f sec- 7x (7) dx - t f 7 dxintegrando

1= "7 tan 7x - x + e

38 CAPTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonomtricas directas

3.3 El integrando se sustituye por una identidad trigonomtrica recproca.

Ejemplos:

1.

1como csc x = --senx

al elevar al cuadrado ambos miembros

1csc- x = ---sen- x

y sustituyendo en el integrando

= -3 J ese- x dxintegrando

= 3 cot x + e

J dx -2. cos- x ..Jtanx + 2 -

1como sec x = --cosx

al elevar al cuadrado ambos miembros

1sec- x = ---cos? X

se sustituye en el integrando

_ J sec2 x dx- ..Jtanx+ 2

= J (tan x + 2f ~sec- x dxSi la funcin es

u=tanx+2

ux) = tan x + 2du (x) = sec- x dx

se sustituye en el integrando

Sol. 3 cot x + e

Sol. 2 ..Jtanx + 2 + e

Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas 39

integrando1

u212

1

= 2 u2

con el valor de u queda

1

= 2(tan x + 2)2

= 2 ...Jtanx + 2 + C

3. f sen 3x dx =(1 - cos 3X)3

Sol. - 1 + C6(1 - eos 3x)2

= f (1 - eos 3X)-3 sen 3x dxSi la funcin es

u = 1 - cos 3xu(x) = 1 - eos 3x!

du (x) = sen 3x (3) dxI ,,~ , ;