MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 1

Unitat 2: Polinomis i fraccions algebraiques

Operacions amb polinomis (recordatori)

1) )132()65( 22 xxxx

2) )322()35( 22 yyyy

3)

4

3

2

3

4

1

2

22

xx

xx

4) )6,127,0()4,023,0( 33 xxxx

5)

2

1

43

41

4

3

3

baba

6)

2

1

34

32

22 ab

aaba

7) )274()65()123( 222 mmmmmm

8)

3

5

23

1

23

2

22

2 xxx

xxx

9)

15

8

6

7

6

5

5

1

223

1

3

2

3

yxyxyx

10)

2

22

222

4

3

2

1

45

8

6

1

4

3

5

2

3

2

8

5bab

abab

ababa

11)

222

222 23

3

2

32 yxyxyxy

xyxyx

12) ababab 22 32

13)

yxyx

5

4

3

2

2

1

4

3

14) )23(1273 xxxx

15) yyyyyy 23)1(124321 2

16) yxxyxyyxx 633

142

2

1

17) )3(3 bababbabaa

18) yxyx 7474

19) xyxxyx 77 22

20) xyxxyx 22 22

21) yxyx 6868

22) yxyx 5252

23) 22 74 xyx

24) 232 23 yx

25) yxyxyxyx 22·22222

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 2

Divisió de polinomis. Efectua les següents divisions:

4 3 2

2 5 6 4 2

5 4 3 2 3

3 2

4 2 3

3 2 2

2 3 2

3 2 2

5 2

6 3 2

1) 12 4 8 16 : 4

2) 3 5 4 3 2 :

3) 20 5 15 8 : 5

4) 3 2 4 5 :

5) 2 3 5 3 : 2

6) 4 3 2 1 : 3

7) 3 1 : 1

8) 4 2 3 : 2 3

9) 2 3 : 2 4

10) 3 3 :

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x

x x

x x x x

5 3 2 2

4 2 3 2

2

4 3 4

4 3 2 2

5 4 3 2 2

3

11) 3 1 : 2 1

2 212) 3 :

3 3

1 313) 2 1 : 1

2 2

3 2 9 314) : 1

2 5 4 5

3 19 11 2 115) 3 : 3

2 8 12 3 2

16) 2 3 7 11 9 6 :

x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x

6 2 5 3 3

6 4

4

17) 7 10 2 4 : 1

18) 2 : 1

x x x x x

x x x

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 3

Divisió de polinomis mitjançant el mètode de Ruffini.

Exemple:34 5 3 2x x x

-2

4 0 -8

-5 16

3 -22

4 -8 11 -19

L’última suma obtinguda (-19) és el residu de la divisió. La resta de nombres (4,-8 i 11) són els coeficients del polinomi quocient:

2( ) 4 8 11C x x x , ( ) 19R x

1. Efectua les següents divisions mitjançant la regla de Ruffini:

a) 3 2( 4 3 5) : ( 2)x x x x

b) 3 2(2 9 11 7) : ( 3)x x x x

c) 6 5 4 3 2( 2 8 7 29 5) : ( 4)x x x x x x x

d) 6 5 4 3 2(4 4 3 4 6) : ( 1)x x x x x x x

2. Fes servir la regla de Ruffini per a trobar el quocient i el residu de les

següents divisions:

a) 3 2( 6 11 5) : ( 3)x x x x

b) 4 3 2( 7 13 17) : ( 4)x x x x x

c) 7 6 5 4 3 2( 9 19 12 3 19 37 37) : ( 5)x x x x x x x x

3. Determina el residu de les divisions següents, utilitzant la regla de Ruffini:

a) 3 22 5 3 dividit per 2x x x

b) 4 33 1 dividit per 2x x x

c) 4 1 dividit per 1x x

d) 3 1 dividit per 1x x x

e) 4 3 2 1 dividit per 1x x x x x

f) 2 3 4-6 17 -5 -3 dividit per 3x x x x x

g) 4 3 25 17 4

2 dividit per 22 3 3

x x x x x

Solucions: 1. a) Residu: 3 b) Residu: 1 c) Residu: 7 d) Residu: 7

2. a) 2( ) 3 2, ( ) 1Q x x x R x b)

3 2( ) 3 5, ( ) 3Q x x x x R x

c) 6 5 4 3 2( ) 4 7 2 9 8, ( ) 3Q x x x x x x x R x

3. a) 15 b) 41 c) 2 d) 1 e) 5 f) 0 g) 0

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 4

4. Donat 4 2( ) 3 3 2p x x mx x , sabem que (2) 10p . Calcula el valor de m.

(Sol: m=21/2)

5. Dividint el polinomi 2x bx c per 3x obtenim 2 de residu. Quant valen b i

c si aquest polinomi és divisible per 2x ?

(Sol: b=-3, c=2)

6. Quin valor cal donar a k perquè el residu de la divisió de 3 24 3x x kx

entre 1

2x sigui 3?

(Sol: k=-3/2)

7. Calcula a i b de manera que el residu de la divisió 3 23 2x x ax b per

2 1x x sigui 0.

(Sol: a=-2, b=5)

8. Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de 2 6x x k per

2x sigui 2.

(Sol: k=10)

9. El polinomi 2( )p x x bx c és divisible per 1x . Sabem també que,

dividint-lo per 1x i per 3x , dóna el mateix residu. Troba c i b.

(Sol: b=-4, c=-5)

10. Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de 2 4

3x x k per

1

3x

sigui 6

9.

(Sol: k=1)

11. Calcula el valor de c perquè el polinomi 25 7x x c sigui divisible per 2x .

(Sol: c=-34)

12. Calcula el valor de n perquè el polinomi 3 23 7x nx sigui divisible per 1x .

(Sol: n=10)

13. Considerem el polinomi 2( ) 6p x x x m

a) Per a quin valor de m és p(x) divisible per 2x ?

b) Per a quin valor de m s’obté 3 de residu, en dividir-lo per 1x ?

c) Per a quins valors de m l’equació 2 6 0x x m no té arrels reals?

(Sol: a) m=8; b) m=8; c) m>9)

14. El residu de dividir el polinomi 2x bx c per 3x és 2. Quant valen b i c, si

aquest polinomi és divisible per 2x ?

(Sol: b=-3, c=2)

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 5

Factorització de polinomis. Exemples (polinomis de grau 2 mònics):

a) )1)(28(28272 xxxx

b) )2)(18(36202 xxxx

c) )4)(9(36132 xxxx

d) )10)(12(12022 xxxx

Factoritza:

1) 652 xx

2) 1072 xx

3) 1582 xx

4) 232 xx

5) 452 xx

6) 652 xx

7) 862 xx

8) 1072 xx

9) 1582 xx

10) 1072 xx

11) 62 xx

12) 822 xx

13) 1032 xx

14) 1522 xx

15) 2142 xx

16) 762 xx

17) 62 xx

18) 822 xx

19) 1032 xx

20) 822 xx

21) 872 xx

22) 542 xx

23) 1582 xx

24) 1072 xx

25) 1032 xx

26) 1452 xx

27) 562 xx

28) 1282 xx

29) 2422 xx

30) 202 xx

31) 4032 xx

32) 24112 xx

33) 24102 xx

34) 302 xx

35) 12132 xx

36) 22 xx

37) 1892 xx

38) 5432 xx

39) 5432 xx

40) 45182 xx

41) 85122 xx

42) 28112 xx

Exemples (polinomis de grau 2 no mònics):

a) )10)(4(2)4014(280282 22 xxxxxx

b) )2)(18()3620(3108603 22 xxxxxx

c) )4)(9()3613(3613 22 xxxxxx

d) )10)(12(2)1202(224042 22 xxxxxx

e) )1(5

15145 2

xxxx

f)

2

1

3

16156 2 xxxx

g)

4

1

7

1281328 2 xxxx

Nota històrica: Les fórmules per resoldre equacions de grau 3 que a desenvolupar

Cardano ens ocuparien tota una pàgina i dubto que cap matemàtic del món sigui

capaç d’aprendre-les. L’italià Paolo Ruffini (1765-1822) va desenvolupar un mètode

per trobar solucions enteres d’equacions de grau més gran que 2.

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 6

Factoritza:

1) 12153 2 xx

2) 2062 2 xx

3) 422 2 xx

4) 44262 2 xx

5) aaxax 1242

6) aaxax 1293 2

7) 2482 2 xx

8) 8062 2 xx

9) 72333 2 xx

10) 6022 2 xx

11) 36123 2 xx

12) 1682 xx

13) 1072 xx

14) 28272 xx

15) 36152 xx

16) 80282 2 xx

17) 2832 xx

18) 24262 2 xx

19) aaxax 3093 2

20) xxx 422 23

21) 132 2 xx

22) 143 2 xx

23) 154 2 xx

24) 165 2 xx

25) 134 2 xx

26) 143 2 xx

27) 1712 2 xx

28) 11312 2 xx

29) 1412 2 xx

30) 11128 2 xx

Regla de Ruffini

Exemple 1:

Calcula les arrels i factoritza el polinomi 45)( 24 xxxP .

Si )(xP té arrels enteres, han de ser alguns dels divisors de 4, en aquest cas

4,2,1 .

Provem d’aplicar la regla de Ruffini quan x=1.

1 0 -5 0 4 1 1 1 -4 -4

1 1 -4 -4 0 Com que l’últim número és zero, vol dir que x=1 és una solució del polinomi. Ara tornem a aplicar Ruffini amb els coeficients que ens han resultat. Provem x=-1:

1 1 -4 -4 -1 -1 0 4

1 0 -4 0 Com l’últim número dóna zero, això vol dir que x=-1 també és solució de l’equació. Ara amb els coeficients resultants podem resoldre una equació de 2n grau:

042 x

Les solucions d’aquesta equació són x=2 i x=-2. Ara ja tenim totes les solucions de l’equació de 4rt grau: x=1, x=-1, x=2, x=-2.

I factoritzant: )2)(2)(1)(1(45)( 24 xxxxxxxP

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 7

Exemple 2:

Factoritzem ara xxxxP 6206)( 23 . Aquí abans d’aplicar Ruffini observem

que es pot treure factor comú i aleshores ja ens quedarà una equació de 2n grau.

)6206(6206 223 xxxxxx amb la qual cosa una solució serà x=0 i

només ens cal resoldre 06206 2 xx

12

1620

6·2

6·6·42020 2

x , per tant,

3

11 x , x2=2.

La factorització serà:

3

1)2(66206)( 23 xxxxxxxP

Factoritza els següents polinomis:

1) xxx 65 23

2) 2976 23 xxx

3) 22 3x

4) xxx 67 23

5) 22 23 xxx

6) 224 xx

7) 14x

8) 145 xxx

9) 234 44 xxx

10) 29 30 25x x

11) 99

2x

12) 61133 234 xxxx

13) 15133 23 xxx

14) xxx 862 34

15) 4

333 2 xx

16) 3 23 6 8x x x

17) 3 22 2 18 18x x x

18) 6 281x x

19) 3 23 7 5x x x

20) 4 3 25 6x x x x

Fraccions algebraiques.

Redueix les següents fraccions:

1) 23

5

9

6

ba

ab

2) 53

43

35

28

xa

xa

3) 32 xa

ax

4) 5

3

24

18

a

a

5) 2

2

6

2

yz

yx

6)

103

252

2

xx

x

7)

127

652

2

xx

xx

8)

1572

202

2

xx

xx

15)

aca

ca

64

942

22

16) 27

7

xx

x

17)

)3)(( xba

ab

18)

2

2

4

145

x

xx

19)

127

652

2

xx

xx

20)

)(

)(2

2

xaab

axba

21)

)5)(5(

)5( 2

xx

x

22)

122 xx

mxm

29)

byxybxx

cxcyxyx2

2

30)

22

22

)(

)(

bac

acb

31) 3 2

2

3 3

1

x x x

x

32) 2

2

1 2

1

x x

x

33) 2

2 3

4 9

x

x

34) 2 3

8 12

x

x

35) 2 4

2

4

4 4

x x

x x

36) 2x x

x

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 8

9)

2

12 xx

x

10)

2

22 xx

x

11)

6

962

2

xx

xx

12)

44

632

2

aa

aa

13)

10116

25122

2

xx

xx

14)

xax

aa 2

23)

2

2

)1(

1

x

x

24)

3

2

)(180

)()(72

ab

baba

25) 4310

725

147

63

rnm

rnm

26)

42

23

2 xx

xx

27)

4)(

22yx

yx

28)

22

22

)(

)(

yzx

zyx

37) 3 4

2 3

xy x

ax bx

38) 2 3

2 5

3 6

x y

y x

39) 2

5 5x

x x

40)

2

2

2 1

1

x x

x

41) 2 4 3

1

x x

x

42)

2 2

1xy x

y x

Producte i quocient de fraccions algebraiques.

1)

3011

96:

5

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx

2)

1

5:

152 2

2

2

x

xx

xx

xx

3)

2

2

)32(

3·

96

94

xx

x

4)

4

3:

4

45·

16

652

2

2

2

x

x

x

xx

x

xx

5)

x

x

x

x

2

2·

42

3

6)

a

a

a

a

5

12:

3

24

7)

x

x

x

x

7

6015:

3

520 2

3

2

8) 2

2:

12

2

x

x

x

x

9)

yx

yxy

xyx

yx 2

2:

10)

96

3011:

5

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx

12)

xx

xx

xx

xx

xx

xx

7

5:

2110

209·

45

342

2

2

2

2

2

13)

23

6:

23

32·

34

652

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

14)

xx

xx

xx

x

x

xx

2

473:

2

156:

4

20762

2

22

2

15)

3

)1(:

96

2·

44

1 2

22 x

x

xx

x

xx

x

16)

3

44

22

22

2 )(··

)( ax

ax

ax

ax

ax

ax

17)

22

3

44

222

2

2 )(:

)(·

)(

)(

yx

yx

yx

yx

yx

yx

18)

22

22

22

22

)(

)(·

)(

)(

cba

cba

cba

cba

19)

8

)2(·

23

423

2

2

2

x

x

xx

xx

20)

aa

aa

aa

a

28

252:

86

142

2

2

2

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 9

11)

aaa

a

aa

aa

121812

14·

12

61223

2

2

2

21)

4 2 2

4 2 3 2

16 4 2 4 1: · ·

8 16 8 4 4 2

x x x x

x x x x x x

22)

8

4·

23

232:

12

423

2

2

2

2

23

a

a

aa

aa

aa

aaa

Operacions amb fraccions algebraiques.

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 2 3

2

2

2 2

2

2 2

2 3)

5 6 2 3

2 3)

6 4 3

1 1 1)

10 25 255

2 3 4 5)

5 4 3

4 3 2) :

3 3 3

3 2 2) :

5 25

1)

5 6 4

4 2 3) : )

1)

4

xa

x x x x

x xb

x x x x

cx x xx

x x x xd

x x x x

x x xe

x x x x x

x x xf

x x

x xg

x x x

x x x xh i

x x xy x y

j

2 2 2

1 3 5 2 7)

2 8

xk

xy x y xy x y y xy

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 10

Solucionari:

Exercicis de repàs de polinomis:

1) 2 8 5x x 2)

2 7y y 3) 2 2 1x x 4)

3 2x

5) 3

2a b 6)

27 1

3 4

a 7) 3 8)

231

2

x

9) 0 10) 2 211

8 4

a b 11) 0 12)

3 2 2 36a b a b ab

13) 21 4 2

2 15 5x xy y 14)

29 14 2x x 15) 8 2y 16) 22y

17) 3 2 2 35a a b ab b 18)

2 216 49x y 19) 4 2 249x x y

20) 4 2 24x x y 21)

2 264 36x y 22) 2 24 25x y

23) 4 3 2 216 56 49x x y x y 24)

4 2 3 69 12 4x x y y 25) 24y

Divisió de polinomis:

3 2

4 3 2

2 2

2

3 2

3

1) ( ) 3 2 4

2) ( ) 3 5 2 3; ( ) 4

3) ( ) 4 3; ( ) 8

4) ( ) 3 2 4

3 5 35) ( )

2 2 2

6) ( ) 4 3; ( ) 14 10

7) ( ) 2; ( ) 2 1

8) ( ) 2 1; ( ) 6

9) ( ) 2 ; ( ) 8

Q x x x x

Q x x x x R x x

Q x x x R x x x

Q x x x

Q x x x x

Q x x R x x

Q x x R x x

Q x x R x x

Q x x x R x

4 3 2

3 2

2

3

2

3 2

3

10) ( ) 3 9 28 84; ( ) 249 3

11) ( ) 2 6 9; ( ) 12 8

3 912) ( ) 1

2 2

1 10 113) ( ) ; ( )

3 9 9

2 2 2 214) ( ) ; ( )

3 3 5 3

19 119 163 11315) ( ) 3 ; ( )

4 6 12 2

16) ( ) 2 3

x

Q x x x x x R x x

Q x x x x R x x

Q x x x

Q x x R x

Q x R x x x

Q x x x R x x

Q x x x

3 2 2

2 2

1; ( ) 13 10

17) ( ) 2 3; ( ) 9 7

18) ( ) ; ( ) 2

x R x x

Q x x x R x x

Q x x R x x x

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 11

Factorització de polinomis:

1) ( 3)( 2)x x

2) ( 5)( 2)x x

3) ( 3)( 5)x x

4) ( 2)( 1)x x

5) ( 4)( 1)x x

6) ( 3)( 2)x x

7) ( 4)( 2)x x

8) ( 5)( 2)x x

9) ( 3)( 5)x x

10) ( 5)( 2)x x

11) ( 3)( 2)x x

12) ( 4)( 2)x x

13) ( 5)( 2)x x

14) ( 5)( 3)x x

15) ( 7)( 3)x x

16) ( 7)( 1)x x

17) ( 3)( 2)x x

18) ( 4)( 2)x x

19) ( 5)( 2)x x

20) ( 4)( 2)x x

21) ( 8)( 1)x x

22) ( 5)( 1)x x

23) ( 5)( 3)x x

24) ( 5)( 2)x x

25) ( 5)( 2)x x

26) ( 7)( 2)x x

27) ( 8)( 7)x x

28) ( 6)( 2)x x

29) ( 6)( 4)x x

30) ( 5)( 4)x x

31) ( 8)( 5)x x

32) ( 8)( 3)x x

33) ( 6)( 4)x x

34) ( 6)( 5)x x

35) ( 12)( 1)x x

36) ( 2)( 1)x x

37) ( 6)( 3)x x

38) ( 9)( 6)x x

39) ( 9)( 6)x x

40) ( 15)( 3)x x

41) ( 17)( 5)x x

42) ( 4)( 7)x x

1) 3( 4)( 1)x x

2) 2( 5)( 2)x x

3) 2( 2)( 1)x x

4) 2( 2)( 11)x x

5) ( 6)( 2)a x x

6) 3 ( 1)( 4)a x x

7) 2( 2)( 6)x x

8) 2( 5)( 8)x x

9) 3( 3)( 8)x x

10) 2( 5)( 6)x x

11) 3( 6)( 2)x x

12) 2( 4)x

13) ( 5)( 2)x x

14) ( 1)( 28)x x

15) ( 12)( 3)x x

16) 2( 4)( 10)x x

17) ( 7)( 4)x x

18) 2( 1)( 12)x x

19) 3 ( 5)( 2)a x x

20) 2 ( 2)( 1)x x x

21) 1

2( 1) ( 1)(2 1)2

x x x x

22) 1

3( 1) ( 1)(3 1)3

x x x x

23) 1

4( 1) ( 1)(4 1)4

x x x x

24) 1

5( 1) ( 1)(5 1)5

x x x x

25) 1

4( 1) ( 1)(4 1)4

x x x x

26) 1

3( 1) ( 1)(3 1)3

x x x x

27) 1 1

12 (4 1)(3 1)4 3

x x x x

28) 1

12( 1) ( 1)(12 1)12

x x x x

29) 1 1

12 (6 1)(2 1)6 2

x x x x

30) 1 1

28 (4 1)(7 1)4 7

x x x x

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 12

Regla de Ruffini:

1) ( 2)( 3)x x x

2) 1 1

6( 2) ( 2)(2 1)(3 1)2 3

x x x x x x

3) 22( 1)( 1)x x x

4) ( 6)( 1)x x x

5) 2( 2)( 1)x x

6) 2( 2)( 1)( 1)x x x

7) 2( 1)( 1)( 1)x x x

8) 2 2( 1) ( 1)( 1)x x x

9) 2 2( 2)x x

10) 2(3 5)x

11) 3 33 3

x x

12) 2( 2)( 1) ( 3)x x x

13) ( 5)( 1)( 3)x x x

14) 22 ( 2) ( 1)x x x

15)

21

32

x

16) ( 4)( 2)( 1)x x x

17) 22( 3) ( 1)x x

18) 2 2 9 3 3x x x x

19) 2( 1) (3 5)x x

20) 2( 2)( 3)( 1)x x x

Exercicis de fraccions algebraiques:

1) 3

2

2

3

b

a

2) 4

5x

3) 2

1

ax

4) 2

3

4a

5) 2

23

x

z

6) 5

2

x

x

7) 2

4

x

x

8) 4

2 3

x

x

9) 1

2x

10) 1

1x

11) 3

2

x

x

12) 3

2

a

a 13)

12

4

5

2

x

x

14) a

x

15) 2 3

2

a c

a

16) 7

7 x

17) 1

( 3)x

18) 7

2

x

x

19) 3

5

x

x

20) a

b

21) ( 5)

(5 )

x

x

22) 1

m

x

23) 1

(1 )

x

x

24) 2( )

5( )

a b

b a

25) 3

5

3

7

r

m n

26) 2

1

2

x

x

27) 1

2x y

28) x y z

x y z

29) x c

x b

30) a b c

a b c

31) 3x

32) 1

1

x

x

33) 1

2 3x

34) 1

4

35) 2 ( 2)

2

x x

x

36) 1x

37) 3 3

2 3

y x

a b

38) 2

5

9yx

39) 5

x

40) 1

41) 3x 42) 1x

yx

MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN

4rt d’ESO LLEIDA

www.mirasan.org 13

Exercicis de productes i quocients de fraccions algebraiques:

1) 6

3

x

x

2) 2

3x

x

3) 1

2 3x

4) 1

2

x

x

5) 3

4

6) 10

3

7) 2

7

9x

8) 2

2 1

x

x

9) 1

xy

10) 3

2

( 3)

( 5) ( 6)

x

x x

11) 2 1

( 1)( 2)

a

a a

12) 1

13) 1

14) 3 ( 3)( 2)

( 2)( 1)

x x x

x x

15) 1

( 2)( 3)( 1)x x x

16) 1

17) 1

x y

18) 1

19) 1

( 1)x

20) 2 1

2

a

a

21) 1

22) 2

( 2)

2 1

a a

a a

3

4 2

2

2

2 2

2

2

2

3 2

2

3

2 2 2 2

2 12)

13 36

4)

4 3

75)

5 5

( 1))

( 1)

( 2))

( 1)

) 4 5

4 2)

3 4 12

3 1) 2 )

3 2 4 5 2 7 5 2 7) )

8

x xa

x x

bx x

xc

x x

xd

x x

x xe

x

f x x

xg

x x x

xh x x i

xy

xy x y x x xj k

x y x y y xy x y