Matemáticas Sesión #12 Tipos de anualidades y amortización.

Contextualización

En esta sesión se identificará, definirá y explicarán los diferentes tipos de anualidades tales como las vencidas, anticipadas y diferidas.

Se plantearán y resolverán problemas con estos tipos de anualidades y se encontrará el monto.

Se explicará el concepto de amortización e identificar situaciones en las que se aplica este concepto, construir tablas de amortización. Se calculara el valor de los depósitos, la tasa de interés o el plazo en operaciones de fondo de amortización.

Y de manera generalizada se verá el concepto de Perpetuidad.

Extraído de: http://dinsa.com.mx/wp-

content/uploads/2011/07/enganche-240x300.jpg solo para fines

educativos.

Introducción.

En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pagos.

¿Cuál es la diferencia entre una anualidad vencida y una anticipada?

¿Los montos y valores actuales son calculados de la misma manera en todos los tipos de anualidades?

En el área financiera, amortización significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos iguales.

Los fondos de amortización son acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.

Explicación

Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

Vencidas.

La variación de elementos que intervienen en las anualidades hace que

existan diferentes tipos de ellas son tiempo, interés, pagos e iniciación.

La anualidad más común es la anualidad vencida (ASCVI) y éstas

ocurren al final de cada periodo, su representación gráfica es:

Extraído de: http://matfinadm.files.wordpress.com/2011/08/matematicas-financieras_3.pdf solo para fines educativos.

Explicación

Monto.

𝑀 = 𝑅1+𝑖 𝑛−1

𝑖

Esta ecuación relaciona el Monto o Valor futuro (M) con la renta o pago por periodo(R), una determinada cantidad de periodos en el tiempo(n) y una tasa de interés (i) .

Ejemplo: ¿Cuál es el monto de $75 000 semestrales depositados durante 4 años en una cuenta bancaria que rinde 2% capitalizable semestralmente?

Solución: R = 75000, 𝑖 =0.02

2= 0.01, n= (4)(2) = 8

𝑀 = 750001+0.01 8−1

0.01= 621,425.30

Explicación

Anticipadas.

Anualidades simples, ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI)

Monto y Valor actual

Fórmulas:

Concepto Formula

Monto 𝑀 = 𝑅

1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖1 + 𝑖

Valor actual o Capital 𝐶 = 𝑅 1 +

1 − 1 + 𝑖 −𝑛+1

𝑖

Explicación

Ejemplo1: Encuentre el monto de 5 pagos semestrales anticipados de

$15 500 si el interés es de 18% convertible semestralmente?

Solución: n = 5, 𝑖 =0.18

2= 0.09 , R = 15500

𝑀 = 155001+0.09 5−1

0.091 + 0.09 = 101,111.68

Explicación

Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos se pospone para un periodo posterior al de la formalización de la operación.

Calculo del Monto y Valor Actual.

Concepto Formula

Valor actual 𝐶 = 𝑅

1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

Monto 𝑀 = 𝑅

1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

Explicación

Amortización y fondos de amortización

Ejemplo1: Importe de los pagos en una amortización.

Rodolfo Ramírez contrae hoy una deuda de $75,000 a 12%

convertible semestralmente que amortizara mediante 6 pagos

semestrales iguales, R; el primero de los cuales vence dentro de 6

meses. ¿Cuál es el valor de R?

Explicación

Solución: los pagos construyen una anualidad simple, cierta, vencida e

inmediata con valor actual de $75,000.

R =?, C = 75,000, i = 0.12/2= 0.06, n = 6

𝐶 = 𝑅1− 1+𝑖 −𝑛

𝑖 Despejando R, sea 𝑅 =

𝐶𝑖

1− 1+𝑖 −𝑛

Sustituyendo valores: 𝑅 =75000 0.06

1− 1.06 −6 = 15,252.20

Seis pagos semestrales vencidos de $15,252.20 amortizan una deuda

con valor actual de $75,000 con interés de 6% semestral.

Explicación

Ejemplo de un fondo de amortización.

Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $400,000.

Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la

empresa, acumular un fondo mediante depósitos mensuales a una

cuenta que paga 9% convertible mensualmente.

a) ¿De cuánto deben ser los depósitos?

b) hacer una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo.

Solución: a) En este caso, los $400,000 son un monto, ya que su valor

es a futuro, por lo tanto: M = 400,000 R=? i=0.09/12=0.0075 n=6

Se utilizará la ecuación: 𝑀 = 𝑅1+𝑖 𝑛−1

𝑖, despejando 𝑅 =

𝑀𝑖

1+𝑖 𝑛−1

Explicación

Sustituyendo valores: 𝑅 =400,000 0.0075

1.0075 6−1= 65,427.56

b) Tabla:

Observe que se incrementó el último depósito mensual en dos centavos

para ajustar el fondo exactamente a $400,000.

Fecha Deposito por periodo Intereses Total que se suma al

fondo Saldo

Fin de mes 1 65,427.56 ------ 65,427.56 65,427.56

Fin de mes 2 65,427.56 490.71 65,918.27 131,345.83

Fin de mes 3 65,427.56 985.09 66,412.65 197,758.48

Fin de mes 4 65,427.56 1,483.19 66,910.75 264,669.23

Fin de mes 5 65,427.56 1,985.02 67,412.58 332,081.81

Fin de mes 6 65,427.56 2,490.61 67,918.19 400,000.00

Totales 392,565.38 7,434.62 400,000.00 ------

Explicación

Perpetuidad.

Corriente de pagos iguales que se espera que continúe para siempre.

El valor presente de una perpetuidad (VPP) se calcula a través de: 𝑉𝑃𝑃 =𝑅

𝑖

Ejemplo4. Calcular el valor presente de una renta perpetua de $7500 al

año, a una tasa del 12 % anual.

𝑉𝑃𝑃 =7500

.12= $62,500

Conclusión

En esta sesión se introdujo el concepto de anualidades, se mencionó

que resulta más conveniente identificar los diferentes tipos de ellas,

clasificándolas de acuerdo a los criterios de tiempo, interés, pagos e

iniciación.

La combinación de estas características da lugar a los diversos tipos

de anualidades.

Amortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos.

Aplicamos el concepto de amortización y se calcularon los importes

de pago, el número de pagos y la tasa de interés en una

amortización.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Video donde se explica el concepto de anualidad y sus fórmulas.

Recuperado el día 11 de abril del 2014 de: https://www.youtube.com/watch?v=yD7wZddGp6g

Video donde se explica el concepto de amortización:

Recuperado el día 11 de abril del 2014 de: https://www.youtube.com/watch?v=uFSQggSga-0

Video donde se explica el concepto de perpetuidad:

Recuperado el día 11 de abril del 2014 de: https://www.youtube.com/watch?v=9BulC8RKiHo

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México:

McGraw Hill.