Matemáticas

MATEMÁTICAS.

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Sesión No. 5

Nombre: Función lineal y cuadrática.

Contextualización En esta sesión aprenderás a interpretar el concepto de función, para que sirve

trabajar con funciones, que datos maneja y como se le llama a cada uno de los

datos que se manejan en ella.

Además se definirá la función lineal en forma de expresión matemática y se

aprenderá a usar su gráfica.

Aprenderás a interpretar la expresión que representa la función cuadrática y su

gráfica además se describirán las características más importantes que tiene esta

función tal como la obtención de su vértice, las raíces de la función o conocidas

también como los cortes con los ejes.

Extraído de: http://www.ieslanucia.com/imagenes/foto/big/Funcionesbsico_193_1125.jpg solo para fines educativos.

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Introducción al Tema En matemáticas es muy común trabajar con expresiones algebraicas, las cuales

se pueden utilizar como ecuaciones o como funciones, algunos

cuestionamientos que nos debemos hacer al introducirnos al concepto de

función, son:

• ¿Qué es una función?

• ¿Para qué son utilizadas las funciones en matemáticas?

• ¿Qué tipos de funciones existe?

• ¿La parábola es una función?

• ¿Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2?

Así como las expresiones algebraicas se reconocen por un nombre en particular

debido a su grado exponencial así también a las funciones se les define o

nombra.

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Explicación Funciones lineales.

Concepto de función. Se puede definir como una máquina que procesa datos de

entrada arrojando así datos de salida o lo que conocemos como resultados.

Por ejemplo:

Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/FunctionMachine.svg/220px-FunctionMachine.svg.png solo para fines educativos.

Una función es una expresión algebraica representada por la letra “f”. Esta

expresión está formada por términos numéricos y literales.

La función se debe de expresar con la letra que va a ser la dominante para el

proceso que se realice, por ejemplo:

F(x) se lee “F de x” esto significa que x será la variable independiente, la cual a

través de ella se realiza el proceso de la función.

Otro ejemplo: F(x) = x2+6x+9

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A esta función se le puede dar valores a la x, sustituyendo cada valor en la

función y nos dará un resultado diferente por cada evaluación. Consideremos los

valores de x = 1, 2, 3 sustituyendo en la función

F (1) = (1)2 + 6(1) +9 = 1+6+9 = 16 Se realizó el proceso de elevar al

cuadrado el primer término, luego se realizó la multiplicación del segundo

término y por último se sumó el tercer término. De esta manera es como se

evalúa una función para un valor de x, su variable.

F (2) = (2)2 + 6(2) +9 = 4 +12+9 = 25

F (3) = (3)2 + 6(3) +9 = 9 +18+9 = 36

Función Lineal

Una función f es lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)= mx + b,

en donde a y b son constantes y a≠0.

Suponga que f(x) = mx+b es una función lineal y que y = f(x). Entonces

y=mx+b, la cual es una ecuación de recta con pendiente m y b es la

intersección con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta.

Decimos que la función f(x)=mx+b tiene pendiente m.

Ejemplo 1: Graficación de funciones lineales.

a. Graficar f(x) = 6x – 7

Solución: Aquí f es una función lineal con pendiente m=6 de modo que su

grafica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, sólo

necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase

por ellos.

x y= f(x) 0 -7 1 -1 2 5

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El dominio de una función lineal son todos los valores que se le pueden dar a x,

estos valores son todos los números reales.

El rango de una función lineal son todos los valores que se tienen para y=f(x) y

éstos son todos los números reales.

Por lo tanto:

Dominio = (−∞,∞)

Rango = (−∞,∞)

Ejemplo 2: Determinación de una función lineal.

Suponer que f es una función lineal con pendiente m = -4 y f(2) = 6. Hallar f(x).

Solución: Ya que f es lineal tiene la forma f(x) = mx + b. la pendiente está

representada por a entonces m = -4 según los datos del problema.

Por lo tanto f(x) = -4x + b

Ahora determinaremos el valor de b. Como f(2) = 6 en la expresión de f

reemplazaremos el valor de x = 2 y resolvemos para b

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f(2) = -4(2) + b

6 = -8 + b

6+8 = b por lo tanto b = 14

De aquí que f(x) = -4x + 14

Función cuadrática.

Una función f es una función cuadrática si y sólo si f(x) puede ser escrita en la

forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a≠0.

Por ejemplo: f(x) = x2 – 6x +9 y f(t) = 4t2 son funciones cuadráticas. Sin embargo

ℎ(𝑥) = 6𝑥2

no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma que se

definió.

La grafica de la función cuadrática se llama parábola. Si a > 0 la gráfica se abre

hacia arriba y si a < 0 la gráfica abre hacia abajo.

La siguiente grafica nos muestra la concavidad o abertura de una parábola.

Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/-38Jwg_WmrwQ/UJbS8MqGu-I/AAAAAAAAABw/6B94omgw13s/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulop.png solo para fines

educativos.

Cada parábola es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de

simetría. Esto es, si la página fuera doblada en una de estas rectas, las dos

mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje no es parte de la

parábola pero ayuda para su bosquejo.

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En esta gráfica puedes distinguir cada el eje de simetría y el vértice.

Extraído de: http://4.bp.blogspot.com/_rkrGtnWk4m8/SwalpMuPgrI/AAAAAAAAACk/ww3pYPa9Q50/s1600/parabola01.png solo para fines educativos.

Gráfica de una función cuadrática.

La grpafica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es una parábola.

1. Si a>0, la parábola abre hacia arriba.

Si a<0, abre hacia abajo.

2. El vértice es �− 𝑏2𝑎

, 𝑓 �− 𝑏2𝑎��

3. La intercepción y es c.

Ejemplo: Graficación de una función cuadrática.

Graficar y = f(x) = x2 – 11x +28

Solución: aquí a= 1, b= -11y c=28. Como a>0, la parábola abre hacia arriba y por

lo tanto tiene un punto mínimo. La coordenada del vértice es:

Para x: − 𝑏2𝑎

= − −112(1)

= 112

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Para y: 4928

21111

211

211 2

=+

−

=

f así el vértice es

49,

211 y también es el punto

mínimo de la parábola.

Ya que c=28, la intercepción en y = 28.

Para encontrar las intercepciones en x, hacemos la función igual a cero y

factorizamos para resolver la expresión:

x2 -11x +28 = 0

(x - 7)(x - 4) = 0 así que x = 7 y x= 4.

Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intercepciones en “y” y en “x”.

Y la gráfica queda de la siguiente manera:

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Conclusión Recordemos que una función es una correspondencia entre los datos de un

conjunto de salida, llamado Rango, y los datos de un conjunto de entrada,

llamado Dominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde

uno, y sólo uno, en el rango.

La función lineal puede ser trazada a partir de conocer la pendiente de la recta y

un punto por el que pasa.

En resumen una función cuadrática es una ecuación de segundo grado que

tiene 2 raíces reales. Para hacer su gráfica necesitamos conocer el vértice, el eje

de simetría y las intercepciones con los ejes x e y.

La parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo el signo que

tiene su coeficiente a.

La siguiente sesión se trabajara con el estudio de las Funciones exponenciales y

logarítmicas.

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Videos relacionados con la función lineal y cuadrática:

• Khanacademy. La ecuación de una recta. Consultado el día 10 de abril

del 2014 de: https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-equations-

and-inequalitie/more-analytic-geometry/v/algebra--equation-of-a-line

• Khanacademy. Graficando una parábola con tabla de valores. Consultado

el día 10 de abril del

201: https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving_graphin

g_quadratics/v/graphing-a-quadratic-function

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión:

I.- Determina la pendiente y la intercepción con el eje vertical de la función lineal;

bosquejar la gráfica.

1. f(x) = -5x.

2. f(x) = 2x + 9

3. ℎ(𝑞) = 1−𝑞2

II.- Grafique cada función obteniendo el vértice y las intercepciones.

1. y=f(x)= x2 -6x + 5

2. y=f(x)= -2x2 –6x

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma.

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Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales

y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.