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INTEGRALES INDEFINIDASINTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales

Profesor: Jorge EscribanoColegio Inmaculada Niña

Granadawww.coleinmaculadanina.org

Departamento de MatemáticasColegio Inmaculada Niña de Granada

1Matemáticas Aplicadas CCSS I:

Integrales Indefinidas

TEMA 5.- INTEGRALES INDEFINIDAS

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA

Hasta ahora hemos estudiado el proceso de cómo calcular la función derivada de otra.Ahora vamos a dedicarnos al proceso inverso, es decir, dada una función, encontrar otracuya derivada sea dicha función.A este proceso se le llama integración, y es, en cierta medida, el proceso recíproco al dederivación.

Sean f(x) y F(x) dos funciones definidas en un mismo dominio D.

Se dice que F(x) es una primitiva de f(x) '( ) ( ) ,F x f x x D

Por ejemplo, una primitiva de la función ( ) 2f x x será la función 2( )F x x

Ahora bien. Las funciones2 2 2 2( ) 1 ; ( ) 2 ; ( ) 5 ; ( ) 2009F x x F x x F x x F x x …..

también son primitivas de ( ) 2f x x .

Teorema

Sean F(x) y G(x) dos primitivas de la función f(x) F(x) = G(x) + C

Es decir, todas las primitivas de una función (que son infinitas) son iguales salvo unaconstante.

Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas sus primitivas:

( ) ( ) / '( ) ( )f x dx F x C F x f x

El término dx, llamado diferencial de x, indica que la derivada de la función F(x) se hahecho respecto a la variable x. (En nuestro caso es lo normal, aunque si la variable tuvieseotro nombre, se cambiaría también el término del diferencial)

Así, por ejemplo:

2

5 5

6 3

cos

dx x C

xdx x C

xdx senx C

Gráficamente, el hecho de que todas las primitivas de una función se diferencien en unaconstante significa que son traslaciones de la misma función.




Ejemplo: Calcular la primitiva de la función f(x) = 4x que pasa por el punto (1,5)

Como 24 2xdx x C , todas sus gráficas serán de la forma:

De todas ellas buscamos la que pasa por (1,5), es decir,

(1) 5 2 1 5 3F C C

Luego la primitiva que buscábamos es 2( ) 2 3F x x

Ejercicio: Calcular la primitiva de la función1

( )f xx que pase por el punto (e,3)

2.- PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN

Las propiedades que enunciamos a continuación son consecuencia directa de laspropiedades de derivación.

1. ( ) ( ) ( )f g x dx f x dx f x dx 2. ( ) ( )k f x dx k f x dx

De la obtención conjunta de estas propiedades se obtiene:

3. ( ) ( ) ( )a f b g x dx a f x dx b f x dx

3.- INTEGRALES INMEDIATAS

De las reglas de derivación se obtienen de forma directa una serie de reglas de integraciónque se llaman integrales inmediatas. Éstas son:




Integrales Inmediatas

1. 0dx C

2. 1dx x C

3.1

, 11

nn x

x dx C nn

4.1

dx Ln x Cx

5. x xe dx e C

6.x

x aa dx C

Lna

Aplicando estas reglas y la propiedad 3 de integración (llamado método dedescomposición) podemos empezar a hacer algunas integrales.

Ejemplos:

3

2

3

xx dx C

8 4 8 4

7 3 7 3 7 32 2 2 28 4 8 2

x x x xx x dx x dx x dx x dx x dx C

3 2 3

1 2 2

3 2 3

x xxdx x dx C

1

22

1 1

1

xdx x dx C

x x

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a) 52x dx b) 33 5 2x x dx c) 3x dxd) 42

3x dxx e)

1dx

x f) 3 25 x dx

g)4

3dx

x h) 3 1x dx i)32 3

5

xdx




j)3

23

x xe dx

k) 23 3x dx l)

12 5

2x x dx

m)3

1dx

x n) 455

3x dx

x

A partir de estas reglas se puede aplicar, al revés, la regla de la cadena para derivadas, yobtenemos las reglas de integración en forma compuesta, llamadas integrales cuasi-inmediatas fundamentales para el manejo del cálculo integral:

Integrales Inmediatas (Forma Compuesta)

1.1

' , 11

nn f

f f dx C nn

2.'fdx Ln f C

f

3. 'f fe f dx e C

4. 'f

f aa f dx C

Lna

Ejemplos:

2 21 12 x xxe dx e C (Regla 3: 2( ) 1f x x )

5

4 (3 2)3 3 2

5

xx dx C

(Regla 1: ( ) 3 2f x x )

2

2 12 1

5

xdx Ln x C

x x

(Regla 2: 2( ) 5f x x x )

3 321

22 2 12 1

2 2 1 2 2 13 3

2

xxx dx x dx C

(Regla1: f(x)=2x-1)




A veces hay que “preparar” las integrales para poder aplicar las reglas introduciendo osacando números (propiedad lineal de integración 2). Así:

53 1x dx (falta un 3 multiplicando para poder aplicar la regla 1, así que

introducimos un 3 y sacamos otro dividiendo) =

6 65 3 1 3 11 1

3 3 13 3 6 18

x xx dx C

Vemos otros ejemplos:

2 2

xdx

x

(falta un 2 multiplicando para poder aplicar la regla 2, así que

introducimos un 2 y sacamos otro dividiendo) =

22

22

2

xdx Ln x C

x

23 xe dx (sacamos el 3 y metemos un 2 multiplicando para poder aplicar la

regla 3 y sacamos otro 2 dividiendo) =2 23 3

22 2

x xe dx e C

Ejercicio:


a) 323 7x x dx b)2

3

2

6 1

xdx

x x

c) 2 13 xe dx

d)2

2

1

xdx

x e) 32 1x dx f)1

x

x

edx

e

g)23 5xx e dx h) 12 x dx i)

2

21

x

x

edx

e

j) 2

1

2 1dx

x k) 41 3 3x x dx l)3

41

xdx

x




EJERCICIOS

1.- Calcula una primitiva de la función 4 5f x x que pase por el punto (-1,3)

2.- Calcula una primitiva de la función 1xf x e x que pase por el punto (0,2)

3.- Calcula una primitiva de la función 2

1f x

x

que pase por el punto (2,1)

4.- Calcula una primitiva de la función 33 1f x x que pase por el punto (0,1)

5.- Resuelve las siguientes integrales:

1) dxx3 2) dx3x3

3) dx6x4

4) dx3)+x( 3 e)

5) dx)x

1-2x+x( 2 6)

x

dx2 7)

x

dx5 8) dx

3

x4 3

9) 2 54x x dx 10) 3 22 10 6x x x dx 11) 2xe x dx

12)4 x

dx 13) dxx3+x

3

8 3

14) dx

x

1+ex

15) dxx

1+x

16) x dx5 17) 2+3x

dx

18)x-3

dx 19)

x+2

dxx2

20))1+(x

dx23 21)

x+1

dxx3

2

22) dxe+2e xx 23) dx1+xx 32 24)1+6x-x

dx3)-(x2

25) dxex x4 5 26) dxe7x 27) dx)e+e( -xx

28) dx)5+(2x 9 29) 31xx e dxe 30) dxex x-3 4

31) dx1+e2-e

ex2x

x

32) dxx+1x 2 33)2

3

3 3

xdx

x



Integrales Definidas

TEMA 6.- INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS

1.- INTRODUCCIÓN

El origen del cálculo integral se remonta a la época de matemático griegoArquímedes (siglo III a. C.), que obtuvo el área encerrada por algunos recintos curvos(círculo, segmento de parábola,…). De forma similar, Kepler (siglo XVII) obtuvolongitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. Otros muchos matemáticosresolvieron problemas similares, pero cada uno de ellos necesitó un procedimientoespecífico de resolución.

Las derivadas aparecieron veinte siglos después de Arquímedes y para resolverproblemas que en principio nada tenían en común con el cálculo integral.

El descubrimiento más importante (Newton y Leibniz) fue establecer la relaciónexistente entre la derivada y la integral definida (Teorema Fundamental del CálculoIntegral) y su correspondiente aplicación práctica (Regla de Barrow), a pesar de haberseguido caminos completamente diferentes durante veinte siglos.

La idea a tener en cuenta para llegar al concepto de integral definida es la mismaque en esencia utilizó Arquímedes: dado una región del plano, su área puede calcularsepor medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma, tales que alaumentar el número de lados, el área de esos rectángulos tiende a aproximarse al áreabuscada. La integral definida es la generalización práctica y sutil de este proceso.

2.- ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA

Sea : ,f a b una función continua en el intervalo [a,b].

Se trata de calcular el área comprendida entre la curva y = f(x), el eje OX y lasdos abscisas x = a y x = b




Dividimos el intervalo [a,b] en n trozos, no necesariamente iguales, formando lo que sellama una partición del intervalo:

0 1 2 3 ... na x x x x x b

Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en un intervalo, existen dos puntos de dicho intervalodonde la función alcanza el máximo y el mínimo

Usando este teorema, llamamos im al mínimo de la función en el intervalo 1,i ix x y

tomando como base cada uno de estos intervalos formamos rectángulos cuya altura es esevalor mínimo:

El área de la región rayada será por tanto la suma de las áreas de todos esos rectángulos:

1 1 0 2 2 1 3 3 2 1... n n nm x x m x x m x x m x x

Esta suma se llama suma inferior y se expresa como: 11

n

n i i ii

s m x x

, que

obviamente es menor que el área buscada.

De la misma manera, llamamos iM al máximo de la función en el intervalo 1,i ix x y

tomando como base cada uno de estos intervalos formamos rectángulos cuya altura es esevalor máximo:




El área de la región rayada será ahora:

1 1 0 2 2 1 3 3 2 1... n n nM x x M x x M x x M x x

Esta suma se llama suma superior y se expresa como: 11

n

n i i ii

S m x x

, que

obviamente es mayor que el área buscada.

Si llamamos A al área que queremos calcular, hasta ahora tenemos la relación:

n ns A S

Evidentemente, si ahora tomamos rectángulos cada vez más finos, es decir, si los puntos

ix los tomamos cada uno más cerca del siguiente, ambas sumas superior e inferior se

irán aproximando cada vez más entre sí y al área que queremos calcular.Es decir, si n se hace cada vez más grande n , tenemos que:

lim limn nn n

s S A

Definición

Dada una función f(x) continua en [a,b], llamaremos integral definida de f(x) en[a,b] al límite común de las sumas superiores e inferiores:

( ) lim limb

n nn n

a

f x dx s S

Llamaremos a = límite inferior, b = límite superior

Nota: la integral definida de una función es un número, y no tiene nada que ver con aintegral indefinida, que era un conjunto de funciones

Ejercicio: Comprobar que4

0

2 16xdx




3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Todas las propiedades que vemos a continuación son muy intuitivas y fáciles de entenderteniendo en cuenta el concepto de integral definida que acabamos de ver:

1. ( ) 0a

a

f x dx

2. ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

3. ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

4. ( ) ( )b b

a a

k f x dx k f x dx

(Estas dos últimas propiedades coinciden con las ya vistas para integrales indefinidas)

5. Si f es continua en [a,b] y a < c < b , entonces

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

6. Si ( ) ( ) , ( ) ( )b b

a a

f x g x x a b f x dx g x dx

7. ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx

8. Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0b

a

f x f x dx

Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0b

a

f x f x dx

Prestamos especial atención a esta última propiedad. Si hemos asociado la integraldefinida al cálculo de áreas, esta propiedad nos dice que si la gráfica de f está por debajodel eje OX (f(x)<0), entonces la integral definida correspondiente es negativa.

Pero, ¡El área no puede ser negativa!Somos nosotros los que, cuando apliquemos la integral definida al cálculo de áreas,tendremos que cambiar el signo en aquellos trozos en los que la gráfica de la función estépor debajo del eje OX.




Es decir, para la función

El área será 27 4 1 7 4 1 12A u

Pero si no estuviésemos interesados en el área sino sólo en la integral definida sería:

( ) 7 4 1 4b

a

f x dx

4.- REGLA DE BARROW

Si f es una función continua en [a,b] y G(x) es una primitiva de f, entonces:

( ) ( ) ( )b

a

f x dx G b G a

Este teorema relaciona las integrales definidas con las integrales indefinidas y permitecalcularlas usando el cálculo de primitivas.

Ejemplos:

1.- 2

1

2 1x dxCalculamos una primitiva haciendo la integral indefinida:

2( ) 2 1G x x dx x x Si sustituimos: G(2) = 6, G(1) = 2, y por tanto:

2

1

2 1 6 2 4x dx

Normalmente estos cálculos se expresan así:

2

22

11

2 1 4 2 (1 1) 4x dx x x

2.-1

1

11 1

ee

dx Ln x Lne Lnx




Ejercicio:


a) 4

2

3 2x dx b)1

20

2

1

xdx

x c) 1

2

1

1x x dx

d) 3

2

2

3x dx e)2

1

0

xxe dx f) 1

1

4 xe x dx

5.- CÁLCULO DE ÁREAS

La integral definida tiene múltiples aplicaciones, no sólo en el cálculo, sinotambién en Física, Química, Estadística, Astronomía, Estadística, Ciencias Sociales,…

Dentro del cálculo se puede aplicar al cálculo de áreas, de volúmenes, delongitudes de curvas, etc.

En este curso sólo veremos su aplicación al cálculo de áreas, y distinguiremos enel proceso varios casos:

I. Área comprendida entre la gráfica de una función (que no corta al eje OX entrea y b), el eje OX y las abscisas x = a y x = b

En este caso:

( )b

a

A f x dx

El valor absoluto es por si la función estuviese por debajo del eje OX en lugar depor encima.

II. Área comprendida entre la gráfica de una función (que corta al eje OX entre a yb en uno o más puntos), el eje OX y las abscisas x = a y x = b




En este caso:

( ) ( )c b

a c

A f x dx f x dx

Ponemos el valor absoluto en los dos sitiosporque si no tenemos el dibujo no sabemosa priori en qué trozo es positiva y en cuáles negativa

III. Área comprendida entre la gráfica de dos funciones entre a y b

En este caso:

( ) ( ) ( ) ( )c b

a c

A f x g x dx f x g x dx

Sin tener el dibujo no sabemos en cada trozo cuál de las dos funciones está porencima y cuál por debajo. De ahí los valores absolutos

En todos los casos lo primero será calcular los puntos de corte (entre la función y el ejeOX o entre las dos funciones) para descomponer el área en trozos.

Si tenemos que calcular un área que no corresponda a ninguno de estos casos, lo primeroserá hacer el dibujo y después dividir el área total en áreas más pequeñas que si se puedancalcular según los casos anteriores.

Ejemplo 1:

Hallar el área comprendida entre la curva 3y x x , el eje X y las abscisasx = 0 y x = 2

En primer lugar calculamos los puntos de corte de la curva con el eje OX:

3 20 1 0 0 , 1 , 1x x x x x x x




De esos puntos de corte nos interesan los que estén dentro del intervalo [0,2], es decir,sólo el 1, y por tanto el área será:

1 2

3 3

0 1

A x x dx x x dx

Calculamos cada trozo:

11 4 23

0 0

22 4 23

1 1

1 1 10

4 2 4 2 4

1 1 1 1 94 2 2 2

4 2 4 2 4 4 4

x xx x dx

x xx x dx

Y por tanto el área pedida será:

21 9 1 9 5

4 4 4 4 2A u

Gráficamente (aunque no hace falta para resolver el ejercicio):

Ejemplo 2:

Halla el área limitada por las gráficas de las funciones2

( )2

xf x y ( ) 2g x x

Como no hay intervalo, el área se calcula entre los puntos de corte más alejados entre sí.Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones igualándolas:

2 4

4 32 2 8 0 8 0 0 , 22 4

x xx x x x x x x x




Luego el área será: 2 2 2

0 0

( ) ( ) 22

xA f x g x dx x dx

Calculamos la integral indefinida:

21 12 22 2

3 33 32

1 1 12 2 2 2

2 2 2 2

221 132 3 2 6 3

2

xx dx x dx x dx x dx x dx

xxx x

Y por tanto:

2

32 2 3

00

2 8 8 8 42

2 6 3 6 3 6 3

xx xx dx

(El que haya salido negativa nos dice de paso que la función f está por debajo de lafunción g en ese intervalo.

El área será entonces: 24 4

3 3A u

Ejemplo 3:

Halla el área del recinto comprendido entre la parábola 2 1y x , la recta5y x y el eje de abscisas

Como no corresponde a ninguno de los casos habituales, dibujamos el recinto:




Como podemos ver, el recinto se puede dividir en dos partes cada una de las cuales sepuede calcular como área entre una función y el eje X.

Lo primero es calcular los puntos de corte entre las gráficas:

2 21 5 6 0 2 , 3x x x x x x

En el trozo que nos ocupa sólo nos importa el 2.

Tenemos que calcular también los puntos de corte de cada función con el eje X, aunqueen este caso es fácil ver que los puntos que nos interesan son el 1 y el 5.

Por tanto el área será:

2 5

2

1 2

1 5A x dx x dx

Calculamos cada trozo por separado:

22 32

1 1

55 2

2 2

8 1 41 2 1

3 3 3 3

25 95 5 25 10 2

2 2 2

xx dx x

xx dx x

Y tenemos entonces:

24 9 35

3 2 6A u




Ejercicios:

1.- Calcula el área que determina la curva 2 2y x x con el eje X entre lasabscisas -1 y 4

2.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones:3( ) 2f x x x ; 2( ) 2g x x x

3.- Halla el área del recinto limitado por las rectas , 2y x y x y la parábola2y x

4.- Calcular el área de la región limitada por el eje Y, la recta y = e y la curva xy e




EJERCICIOS

1.- Calcula las siguientes integrales:

a) 2

3 2

1

4 3 1x x x dx b)3

3

2

xe dx c)2

20 1

xdx

x

d)

2

220

2 1

1

xdx

x x

e)

232

1

1x x dx f)0

1

2 x dx

g)1

1e

dxx h)

1

0 2

xx dx

i)

22

1

3 5x dx

2.- Calcula el área comprendida entre las funciones 2y x e 2y x

3.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones3 2( ) 2 , ( ) 2f x x x g x x x

4.- Representar el recinto limitado por las parábolas 2 2 3y x x e22 4 3y x x y calcular su área

5.- Hallar el área delimitada por la curva 3 26 8y x x x y el eje OX

6.- Hallar el área de la región delimitada por las siguientes funciones:a) 3 23 3f x x x x e y x

b) 2 2f x x x y 2 4g x x x

c) 3y x y 2 3f x x x

7.- Dada la función 2 1

xf x

x

a) Represéntala gráficamente calculando sus puntos de corte con los ejes,asíntotas y monotonía

b) Calcula el área delimitada por la gráfica de f y las rectas x = 2 y x = 4

8.- Determina el área del recinto delimitado por la curva f x x , la recta y = 1

y el eje OY




9.- Dada la función 2

3

2

xf x

x

a) Calcula sus asíntotasb) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = 1

c) Calcula 3

2

f x dx

10.- Dada la función 3 22 6f x x ax bx a) Calcula a y b para que tenga un máximo relativo en x = 1 y un mínimo

relativo en x = 2b) Para a = b = 0, calcula el área del recinto delimitado por la gráfica de f

y la recta y = 8x – 6

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