Aplicacion de Las Integrales Indefinidas-1

7/25/2019 Aplicacion de Las Integrales Indefinidas-1

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1

INTEGRAL INDEFINIDA

YSUS APLICACIONES

Alumno: Mauricio Sign!a

Gru"o: #$#$

A%igna&ura: Calculo in&gralLA INTEGRAL INDEFINIDA


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$

No &o'a% la% (uncion% "o%n (unci)n "rimi&i*a+ ,a -u 'a'a una (unci)n "u' noE.i%&ir o&ra -u la &nga "or 'ri*a'a/

A0ora in+ cuan'o una (unci)n: 23.4+ "o% (unci)n "rimi&i*a: F3.4+ 5%&a no % 6nica+

Sino -u .i%&n in(ini&a% (uncion% "rimi&i*a%: &o'a% la% -u 'i(irn ' F3.4 n unacan&i'a' con%&an&/

En (c&o+ %i F3.4 % (unci)n "rimi&i*a ' 23.4+ % *ri(ica -u: F 73.4 8 23.4+ "u%9in+ la (unci)n F3.4 C+ 'on' C % un n6mro ral cual-uira+ &ami5n % una (unci)nPrimi&i*a ' 23.4+ ,a -u:

;F3.4 Cm"lo:

D&rminaci)n ' una in&gral in'(ini'a/ Encon&rar ? B './


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Soluci)n: Primro 'mo% ncon&rar una (unci)n cu,a 'ri*a'a %a B+ lugo aa'imo% la

con%&an& ' in&graci)n

Como %amo% -u la 'ri*a'a ' B. % B+ B. % la an&i'ri*a'a ' B 3* 8 B '* 8 '.4+ "or

lo &an&o+

? B './ 8 B. c

FORMULAS BSICAS DE INTEGRACIN:

1/ ? '. 8 . C$/ ? '. 8 . C % una con%&an&

? .H '. 8x

n+1

n+1 c n J1

K ? .'. 8 . C

? f 3.48k?f3.4'.+ % una con%&an&

# ? ;f3.4 g3.4< '. 8 ?f3.4 ? g3.4 '.

?1

xdx = Ln . c

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LAS FORMULAS


4/18

K

Integrales indefinidas de una constante y de una potencia de x

Encon&rar ? $ './

Solucin:

Por la ()rmula $ con 8 $+ k dx = Kx + C

? $ '. 8 $. C

Encon&rar ? .'. 8

Solucin:

Por la ()rmula con n 8 K+ x dx =x

n+1

n+1 + c

? '. 8x

4+1

4+1 c

=

5


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INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIN DE X

La in&gral 'l "ro'uc&o ' una con%&an& ' una (unci)n ' . % igual a la con%&an& "or la

in&gral ' la (unci)n/ E%&o %+ %i C % una con%&an&/

Encon&rar ? . '.

Solucin:

Por la frmula !o" k = # f$x% = x& kf (x)=kf(x)dx+

? . '. 8 ? . '.

' = x d' = dx

Como . % .Q+ "or la ()rmula &nmo% x dx =x

n+1

n+1 + c

? Q '. 8 c+ 'on' c+ % la con%&an& ' in&graci)n+ "or lo &an&o+

? . '. 8 ? . '. 8 x

1+1

1

+1 c

Con ma,or %ncill!+ %criimo% ' la %iguin& manra

? . '. 8 ? . '. 85x

2

2 c


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#

INTEGRAL DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIN DE

Encon&rar ? J3

5 .'./

Solucin:

Don'3

5 % la con%&an& ' in&graci)n "or lo &an&o

83

5 ? .'./ Por la ()rmula K exdx = ex+ C

&nmo%

? J3

5 .'.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA SUMA:

La in&gral ' la %uma ' 'o% (uncion% % igual a la %uma ' %u% in&gral%

Encon&rar ? 3. $.4 '.

Solucin: Por la ()rmula #+ [f(x) g(x)] dx = f(x) g(x) dx

? 3. $.4 '. 8 ? .'. ? $'./

E%& r%ul&a'o "u' .&n'r% a la 'i(rncia ' 'o% (uncion% o a cual-uir %uma

algraica ' un n6mro (ini&o ' (uncion% a0ora &nmo%+

=

3

ex


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? .H '. 8x

n+1

n+1 c

' =x d' = dx " = (

8 ? .'. 8 x

4+1 c =x

5

5 + c

? $. './8 Don' $ % la con%&an& ' in&graci)n

$? . './ 2x

1+1 c 82x

2 c = x + c ? 3. $.4 '.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA SUMA Y DIFERENCIA

ncontrar ?3$ 5

X4 J. 1= ex1dx

Por la ()rmula #+ [f(x) g(x)] dx = f(x) g(x) dx

Solucin: $? .K'. ?. '. 1= ? . '. J ? 1 '.

' = x d'= dx " =4

5 A"licamo% la (ormula x dx =

xn+1

n+1 + c

'8 . d'= dx " = )'8 . d'8 .dx

8 3$4x

9

5

9

5

34x

4

4+10exx+c A"licamo% la (ormula exdx = ex+ C

?3$ 5

X4

J. 1= ex1dx =

=

x5

10x9

5

-


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B

USO DE MANIPULACIONES ALGE9RAICAS PARA ENCONTRAR UNA

INTEGRAL INDEFINIDA

Encon&rar ? ,V 3, 2

3 4 ',/

Solucin: El in&gra'o no concur'a con ninguna (orma (amiliar ' in&graci)n %in

margo+ mul&i"lican'o lo% (ac&or% 'l in&gra'o o&nmo%

? ,V 3, 2

3 4 ', 8 Primramn& mul&i"licamo% , no% 'a: ? 3, 2

3 ,V4 ',

U&ili!amo% la (ormula ?[f(x) g(x)] dx = ?f(x) ?g(x) dx

Y no% r%ul&a ? , ', 2

3 ? ,V ',

'8 , d*8 d# "8 '8 , d' = d# "8 $

A"licamo% la (ormula x dx =x

n+1

n+1 + c

: ? 3, 2

3 ,V4 ', 8y

4

4+( 23 )y

3

3+c ? ,V 3,

2

3 4 ', 8

USO DE MANIPULACIN ALGE9RAICAS PARA ENCONTRAR UNA INTEGRAL

INDEFINIDA

y4

4+

2y3

9+c


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W

Encontrar ?(2x1 )(x+3)

6 '.

Solucin: Al (ac&ori!ar la con%&an&1

6 , mul&i"licar lo% inomio%+ o&nmo%:

81

6 ? 3$.V . J 4 '. U&ili!amo% la (ormula [f(x) g(x)] dx = f(x) g(x) dx

Don'1

6 % la con%&an& ' in&graci)n , a"lican'o la (ormula &nmo%:

81

6 ?$.V '. 1

6 ?. '. J1

6 ? '.

1

6 ?$.V '. 81

6 (2x3

3)+c 1

6 ?. '. 81

6 (5x2

2) c1

6 ?

'. 8

1

6 (3x )+c

'8 $. d'8 . dx " = $ ' 8 . d'8 . dx "8 1

Toman'o (ac&or com6n1

6tenemos 8

1

62x3

3+5

x2

23x+c

8

x3

9

+5x2

12

x

2

+c ) &ami5n 8 ?

(2x1 )(x+3)

6 '. 8

3 2


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1=

Encontrar ?x

31x

2 '.

Solucin: Po'mo% '%com"onr l in&gran'o n (raccion%+ 'i*i'in'o ca'a &5rmino 'l

numra'or n&r l 'nomina'or/

8 ? (x3

x2

1

x2 )dx 8 ? (xx2 ) '.

8 ?. '. J ? x2

'. 8?. '. 8x2

2 c 8 J ? x

2

'. 8x1

1

c

' 8 . '* 8 '. n 8 1 '8 x2

d'8 x1

dx

8x

2

2

x1

1 c ?x

31x

2 '.

APLICACIN DE LA REGLA DE POTENCIA PARA INTEGRACIN

ncontrar 3 . 14$='./

Como l in&gra'o % una "o&ncia ' la (unci)n . 1+ 0armo% u 8 .+ n&onc% 'u 8

'.+ , la 3 . 14$='. &in la (orma 3 u4$='u/ Por m'io ' la rgla ' la "o&ncia "ara

in&graci)n+

=

x2

1

+


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11

3 . 14$='. 8 u&ili!amo% la (ormula x dx =x

n+1

n+1 + c

Don'' =$ x*+% d' = dx "= ,-

3 u4$='u 8u

20+1

20+1 c

!"licacin con a#u$te al d%

ncontrar . ( x2+5 ) dx

Lo "o'mo% %criir &ami5n .

5

x2+

'.

u8 .$ du8 $. '. "81

2 no% 'amo% cun&a -u l *alor ' -u l (ac&or

con%&an& ' $ a"arc n l in&gra'o+ la mi%ma -u no &in la (orma ' u

ndu

& %inmargo "o'mo% "onr la in&gral 'a'a n %&a (orma "or m'io ' la mul&i"licaci)n $ ,

'i*i'in'o "or1

2 + -u'an'o ' la %iguin& manra

81

2

5

x2+

/3,x dx4 8

5

x2+

12

3

2 c

. ( x2+5 ) dx

=

(x+1)21+c

=


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1$

INTEGRACIN CON CONDICIONES INICIALES

Encon&rar una an&i'ri*a'a "ar&icular ' una (unci)n -u %a&i%(ac cir&a% con'icion%

im"lica la *aluaci)n ' una con%&an& ' in&graci)n/

Si conocmo% la ra!)n ' camio+ f. & ' la (unci)nf+ n&onc% la (unci)nf mi%ma % una

an&i'ri*a'a ' f 3,a -u la 'ri*a'a ' ( %f.%/ Por %u"u%&o 0a, muc0a% an&i'ri*a'a% '

f. , la m@% gnral % 'no&a'a "or la in&gral in'(ini'a/ E>m"lo

f.3.4 8 . n&onc%:

f3.4 8 ? (X 3.4 '. 8 ? . '. 8 x2

C (1)

E%&o %+ cual-uir (unci)n ' la (ormaf3.4 8 C &in %u 'ri*a'a igual a .+ -u 'i'o

a la con%&an& ' in&graci)n+ no conocmo%f 3.4 %"c(icamn&/ Sin margo+ %if '

&nr cir&o *alor "ara un *alor "ar&icular ' .+ "o'mo% '&rminar l *alor ' C ,

conocr a% %"c(icamn& af 3.4 / E>m"lo: Si ( 314 8 K+ ' la cuaci)n 314 o&nmo%/

f 314 8 1V C K 8 1 C

C 8 K 1 C 8

A% f3.4 8 .V

E%&o %+ a0ora la (unci)n "ar&icularf3.4 "ara la cualf3.48 . ,f314 8 8 K/ La con'ici)nf3148 K+ -u 'a un *alor %"ci(ico ' .+ % llama condicin inicial3 o 'alor 0" la fro"10ra4/

Ejemplo: Si # % una (unci)n 'x &al -u#.8 #. J ,#3$48 +

Solucin: a-u+#3$4 8 % la con'ici)n inicial/ Como#.8 #. + , % una an&i'ri*a'a '

#. J :


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1

#8 ?3#. 4 '. 8 8 .V J . (2)

Po'mo% '&rminar l *alor ' C "or m'io ' la con'ici)n inicial/ Como 8 cuan'o 8

$+ ' la cuaci)n 3$4 &nmo%

8 3$4V J 3$4 C+ 8 1$ # C

Al rm"la!ar C"or J n la cuaci)n 3$4 o&nmo% la (unci)n -u u%camo%

, 8 .V J . J 3)

Para ncon&rar#3K4+ 0acmo%x8 K n la cuaci)n 34

#3K4 8 3K4V J 3K4

E20m3lo: !ro"lema con condiciones in#ciales $ue implican

Da'o -u#4= x3

J 1$+#X3=4 8 $+ ,#314 8 J1+ ncon&rar#/

Solucin: "ara "a%ar '#4 a #%on nc%aria% 'o% in&gracion%+ la "rimra no% ll*a '

#4 a #+ , la o&ra '#. a #/ Por lo &an&o+ % &n'r@n 'o% con%&an&% ' in&graci)n+ -u

'no&armo% como c1y c2 .

Como #4 8ddx

(y')=x3 J 1$+#X % una an&i'ri*a'a ' x3

J 1$+ "or lo -u+

y'

= ? 3 x3

J 1$4 '. 8x

4

4 J 1$. c

1

A0ora y'

3=4 %igni(ica -u y'

8 $ cuan'ox = = "or &an&o+ ' la cuaci)n an&rior+

&nmo%

C= -3

= 48 -12 3 =


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1K

$ 8 80

4

4 1$3=4 c

1

D a-u+ c1 8 $+ ' mo'o -u

y'=

x4

4 J 1$. 2

Por in&graci)n "o'mo% ncon&rar:

# 8 ? (x4

412x+2)dx 8 ( 14 )x

5

512

x2

2+2x+c

2

A%: # =x

5

20 6x2+2x+c2

A0ora+ como#8 J1 cuan'ox8 1+ ' la cuaci)n an&rior &nmo%

J1 8

15

20 6 (1)2+2(1)+c2

A%+ c2 8 J1

10, + "or lo -u

TCNICAS DE INTEGRACIN

El o>&i*o % anali!ar la% &5cnica% 'l man>o ' "rolma% ' in&graci)n m@% com"l>a%+

a %ar+ "or m'io ' la mani"ulaci)n algraica , "or a>u%& 'l in&gran'o a una (orma

conoci'a/

y =x5

20


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1

Cuan'o % &in -u in&grar (raccion%+ % nc%ario a *c% (c&uar una 'i*i%i)n "r*ia

"ara o&nr (orma% ' in&graci)n conoci'a% E>m"lo/

Encontrar ?x3x

x

2 '.

Soluci)n: Po'mo% '%com"onr l in&gran'o n (raccion%+ 'i*i'in'o ca'a &5rmino 'l

numra'or n&r l 'nomina'or/

8 ? (x3

x2

x

x2 )dx 8 ?(X1X)dx La '%com"onmo% ' la %iguin&

manra:

8 ?. '. J ?1

X '. a-u a"licamo% "ara l "rimr in&gral la

Formula ? .H '. 8x

n+1

n+1 c + , n %gun'o ca%o la (ormula ?1

x dx = ln . c

/ En&onc% &nmo% -u:

? x3

xx

2 '.

Encontrar ?

x53

x1

dx la "o'mo% %criir como ?x5

3

x

dx

u = x5 du =1

2 x dx

=

x2

- ln


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1#

?

x53

dx = $ ? x5

3( 12 x)

dx = $ ?(u2

2 ) c

81

u2 c

MTODO DE SUSTITUCIN

No &o'a% la% in&gral% % "u'n *aluar n (orma 'irc&a u%an'o la% in&gral% %&@n'ar/

Sin margo+ muc0a% *c% la in&gral 'a'a "u' r'ucir% a una in&gral %&@n'ar ,a

conoci'a m'ian& un camio n la *arial ' in&graci)n/ E%& m5&o'o % conoc como

m5&o'o ' %u%&i&uci)n , corr%"on' a la rgla ' la ca'na n 'i(rnciaci)n/

.

5

x2+

'. u8 .$ du8 $. '. "8 K

1

2

5

x2+

/3,x dx4 81

2

(x2+5)4+1

4+1 c 81

2

(x2+5)5

5 c

12

5

x2

+

/3,x dx4

= -

=


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1

Alguna% *c% la 'i(rncial .ac&a a"ro"ia'a no a"arc n la in&gral mi%ma+ %ino -u la

(unci)n ' mul&i"licar% o 'i*i'ir% "or cir&a con%&an& E>m"lo:

x2e

x3+1

dx la 'ri*a'a ' x3+1

% 3x

2

/ Pu%&o -u la ."r%i)n x2

no a"arc

n l

In&gra'o+ %&o no %ugir 0acr u8 x3

1 + lugo+ du8 3x

2

, a% x2

'. 81

3 du/

x2e

x3+1

dx U&ili!amo% la (ormula un

1

3(du) 8

1

3u

n

c+ , no% 'a como

r%ul&a'o+

1

3 ex

3+1

x2

dx(3) 8

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS REALES

El co%&o marginal ' una (inca ' +== 0c&@ra% -u "ro'uc anano org@nico n

UROCAL %&@ 'a'a "or la cuaci)n !$x% = ) * --5x

a) 'eterine la funcin de co$to C (x) $i lo$ co$to$ fi#o$ de la finca e$ de *, dlare$

en$uale$-

CX 3.4 8 =/==B.

CX 3.4 8 3 3 =/==B. dx= 3dx+ 0.008x dx

C 3.4 8 . 0.008x

2

2+ c

1e

x 3+1+c

C x = 3x +0.004x2+c


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Aplicacion de Las Integrales Indefinidas-1

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